勾股定理讲义

《勾股定理》讲义

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用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221

4()2

ab b a c ?+-=，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221

422S ab c ab c =?+=+

大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++

c

b

a

H

G F E

D

C

B A

b

a

c

b

a

c c

a

b

c

a

b

所以222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211

2S 222

ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

4利用勾股定理作长为

的线段

易错点

1,,,勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是，只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，非直角三角形不具备这种关系。因此，在非直角三角形中或者是在不知道三角形是不是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理。另一方面，若已知三角形中有直角，使用勾股定理时也需谨慎，不能机械地把它记为222c b a =+，这只是

o C 90=∠时的情形。当o A 90=∠时，有222a c b =+；当o B 90=∠时，有222b c a =+

2,,注意隐含条件

已知直角三角形的两边长分别为3cm ，4cm ，求第三边的长

由于思考不周全，忽略隐含条件，误认为一边是3cm ，一边是4cm ，所以第三边就应该是5cm ，实际上，题目隐含着两种情况 3,注意应用的区别

在直角的三角形中需要用到三边关系时用勾股定理，而已知三边长想用勾股定理进行有关计算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判定它是不是直角三角形。

4,注意遇到求高问题常考虑用勾股定理解决

a b

c

c b

a

E D C

B

A

【知识点 1】 勾股定理内容

1、在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2

AB +2AC +2

BC =__

2、下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A.a=1.5，b=2,c=3 B.a=7,b=24,c=25 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5

3、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A.25 B.14 C.7 D.7或25

4、三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.

5、（西城区2010-2011）下列各组数中，以它们为边长的线段不能．．

构成直角三角形的是（ ）． A ．6，8，10 B ．8，15，17 C ．1，3，2 D ．2，2，32

6、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定， 两个固定点AB 之间的距离是（ ） A ． 13 B ． 9 C ． 18 D ． 10

7、如图,64、 400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是 ___ .

8、如右图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走

出了一条“路”，而他们仅仅少走了 步（假设1米 = 2步），却踩伤了花草.

9、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 、E 、F 的面积之和是

2

18题图

15题图

10、（西城区2009-2010）下列各组数中，以它们为边长的线段能．

构成直角三角形的是（ ）． A ．3，4，6 B ．5，12，14 C ．1，1

D ．2

， ，4 11、（西城区2008-2009）下列各组数中，以a 、b 、c 为边长的三角形不是直角三角形的是（）

A. ，

B.

C.

D.

12、直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为（）

13、下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（） A ．8、15、17 B. 10、24、25 C. 9 、15、20 D. 9、 80、 81

14、 如图，一根木棍斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍中点为P ，若木棍A

端沿墙下滑，且B 沿地面向右滑行。在此滑动过程中，点P 到点O 的距离 （ ）

A. 不变

B.变小

C. 变大

D.无法判断 15、（西城区2008-2009）下列各组数中，以a 、b 、c 为边长的三角形不是直角三角形的是

（）

16、直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为（）

17、三十五中学为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够。要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（ ）

A ．0.7米

B ．0.8米

C ．0.9米

D ．1.0米

18、若直角三角形的两边长分别为6cm 和8cm ，则第三边长为

19、如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD 的面积。

5c ,4b ,3a ===13c ,12b ,5a ===5c ,2b ,1a ===3

c ,2b ,23

a ===5c ,4

b ,3a ===13

c ,12b ,5a ===O

A

N

20、（东城区2008—2009）在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）

A 、a ：b ：c=3：4：5

B 、a=9，b=40，c=41

C 、a=11，b=12，c=13

D 、a=b=5，c=52

21、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下 拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为

22、老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积。老李测量了草坪各边得知：AB=3米,BC=4米,AD=12米,CD=13米,且AB ⊥CB.请同学们帮老李家计算一下这块草

坪的面积.

23、如图在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。 求 （7分）

24、如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）

Ａ．4 Ｂ．6

C ． 16 Ｄ．55

25、

等腰三角形的周长为2，腰长为1，则它的底边上的高为_______．

26、如图已知正方形ABCD 中，AD AF EB AE 41,=

=，求证：EF CE ⊥

ABC S ? A B

C

D

27、如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE 于点E ，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是_________________。

28、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．如图1中是以格点为顶点面积为5的正方形；

（1）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3、4、5； （2）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、5、13．

29、已知直角三角形的边长分别是5、12、13，则三角形的面积是

30、在高为3米,斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米,每平方米地毯30元,那么这块地毯需花多少元?

31、下列各组数中，能构成直角三角形的是

A ．4，5，6

B ．1，1

C ．6，8，11

D ．5，12，17 32、如果正方形ABCD 的面积为2，则对角线AC 的长度为

33、如图，在单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边 的线段是（ ） A. CD ，EF ，GH B. AB ，EF ，GH

C. AB ，CD ，GH

D. AB ，CD ，EF

34

、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，至少飞了__________米．

35、如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC 的面积。 （2）在△ABC 中，若AB ＝

15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长。

H

D E F C B A

D C B A N

O M

A M O N B

36、如图，一架长为7.5米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子底端B 距离墙ON 有4.5米.

（1）梯子顶端与地面的距离OA 的长。

（2）若梯子顶点A 下滑1米到C 点，求梯子的底端B 向右滑到D 的距离。

37、一个三角形的三个内角之比为1∶2∶1，其相对应的三边之比为（ B ） A. 1∶2∶1

B ．

C ．1∶4∶1

D ．2∶1∶2

38、如图是2002年北京第24届国际数学家大会 会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图 中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角 形的两直角边分别为_________．

39、已知:如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积. （5分）

40、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm 和10cm.则斜边上的高等于（ ） A.6cm B. 4.8cm C.9cm D.不能确定

41、下列三角形中不是直角三角形的是（ ）.

A ．三个内角之比为5∶6∶1

B ．其中一边上的中线等于这一边的一半

C ．三边之长为9、40、41

D ．三边之比为1.5 : 2 : 3

42、一棵大树在离地面9米高的B 处断裂，树顶A 落在离树底部C 的12米处，则大树数断裂之前的高度为（ ）

A ．9米 B.15米 C. 21米 D. 24米

43、如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？

1:2

:1 A B C D

44、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A 、李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km ．

（1）水泵应建在什么地方,可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；

（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

45、小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )． A ．8米 B ．10米 C ．12米 D ．14

46、正方形面积为36，则对角线的长为 A ．6

B

．

C ．9

D

．

47、△ABC 中，AB=12，AC=9，BC=15，则△ABC 的面积等于

（A ）108 （B ）90 （C ）180 （D ）54

48、如图，ABC RT ?中，0

90=∠C ，若AB=15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为（ ）

A 、2225cm

B 、2

200cm C 、2

150cm D 、无法计算

49、下列线段不能组成直角三角形的是（ ）

A 、10,8,6===c b a

B 、3,2,1==

=c b a

C 、 6,3,2===c b a

D 、

43,1,45===

c b a

【知识点 2】 勾股数

能成为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数，∵32+42=52 ∴3、4、5是一组勾股数 同理 6、8、10是一组勾股数，5、12、13也是一组勾股数；

显然，若(a ，b ，c)为一组基本勾股数，则(ka ，kb ，kc)也为勾股数，其中k 为正整数 例1、观察一下几组勾股数，并寻找规律：① 3， 4， 5； ② 5，12，13； ③ 7，24，25； ④ 9，40，41；……

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：

A B 河边

l

【知识点 3】 勾股定理与方程的综合运用

运用勾股定理解决几何问题时，常常要构造方程求解。 例1、折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。

练习

1、如图，把长方形ABCD 沿BD 对折，使C 点落在C '的位置时，BC '与AD 交于E ，若

6,8AB cm BC cm ==，求重叠部分BED ?的面积。

2、将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，求线段CN 的长．

3、如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D'处，则重叠部分△AFC 的面积=____

4、如图

ABCD 中, ∠C=90度，沿着直线BD 折叠，使点C 落在'C 处，'BC 交AD 于E ，

16AD =，8AB =，求DE 的长．

A B C D E

F (B')

D 5、 如图：有一张直角三角形纸片，两直角边为AC=6cm,BC=8cm ，将三角形ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为D

E ，则CE 长为（ ）cm

A ．254

B.223

C.74

D.53

6、如图所示，将矩形ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 处，若△AFD 的周长 为9，△ECF 的周长为3，则矩形ABCD 的周长为___________.

7、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 ．

8、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6,8AC cm BC cm ==，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合。则CD 等于 （ ）

A 、2cm

B 、3cm

C 、4cm

D 、5cm

9、在ABC ?中，AB=17，BC=9，AC=10，试求ABC ?

利用两直角三角形公共部分建立等量关系）

【知识点 4】 利用割补法求面积

例1、在Rt △如图网格都是边长为1的小正方形，点A ，B,C 在格点上，D 为AB 中点，则CD 的长为

E

C B

D A D

E

C B

A

例2、在ABC △中，AB 、BC 、AC

，求这个三角形的面积．

例3、如图，在正方形网格上有一个△ABC.若网格上的最小正方形边长为1，△ABC 的面积 为 .

【知识点 5】 最近问题

在本章中，求解长方体、圆柱体等例题图形表面上两点间最短距离问题，通常是将其表面展开为平面图形，然后根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理计算出结果

例1、如图是一个边长6厘米的立方体ABCD---EFGH ， 一只甲虫在棱EF 上且距F 点1厘米的P 处. 它要爬到顶点D ，需要爬行的最近距离是__________厘米.

例2、有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA1、BB1为相对的两条母线。在AA1上有一个蜘蛛Q ，QA=4cm ；在BB1上有一只苍蝇P ，PB1=3cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是_______________cm.（结果用带π和根号的式子表示）

【知识点6】规律

例1、如图，点(0,0)O ，(0,1)B 是正方形1OBB C 的两个顶点，以它的对角线1OB 为一边作正方形121OB B C ，以正方形121OB B C 的对角线2OB 为一边作正方形232OB B C ，再以正方形

232

OB B C 的对角线3OB 为一边作正方形343OB B C ，…，依次进行下去，则

8

B 点的坐标是（ ）．

A ．(0,16)

B ．(16,0) C

．D

．

A 1

G

例2、第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：

1、已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．

【知识点7】、分类讨论思想

例1、等腰三角形的腰长为10cm ，底边上的高是8cm ，则其底边的长为 _____________cm ． 例2、△ABC 中，若AB=AC=25, AB 边上的高CD ＝7, 则BC=_23525或____________

例3、△ABC 中，AB=AC=5，BD 是AC 边上的高，若BD=3，则BC= 1、已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是线段OA 上一点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____________________________.

2、一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长_________。

3、如果直角三角形的三边长为10、6、x ，则最短边上的高为________________．

4、在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上高AD=12，则BC 的长为（ ） A ．25 B ．7 C ．25或7 D ．不能确

【知识点8】、转化思想

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

例1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。

（思路点拨：现已知BE 、CF ，要求EF ，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD ．）

例2、如图所示，在Rt ABC ?中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=?=∠=?,且3BD =,

4CE =,求DE 的长.

1、已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE,BF,EF 关系

【知识点9】（具有特殊30、45度角的直角三角形） 例1、ABC 中，∠A=60°，∠C=90°,AC=3,则BC=

例2、,如图四边形ABCD 的周长为42，AB=AD=12，∠A=60°， ∠D=150

°，求BC

的长

例3、直角三角形一条直角边长为8 cm ，它所对的角为30°，则斜边为（ ） A 12 cm B 4cm C 16cm D 83cm

练习

1、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，BC=1，则AC 的长是（ ）

A ．2

B ．23

C ．3

D ． 23+

2、ABC ?中，AB=2，BC=1，AC=3，则∠A=

3、在Rt △ABC ，∠C=90°

（1）若a ：b=3：4, c = 10, 求a 、b 的值。（2）若b = 6，∠A=45°，求a 、c 长度。 解： 解：

4、△ABC 中，AB=2，BC=4， ?=∠60B 求AC 边的长．（6分）

5、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为_________，斜边上的高为_________。

6、在Rt △ABC 中，∠C=0

90，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边. （1）已知3=c ，2=b ，求a ； （2）已知6=

a ，∠A=060，求

b ，

c .

7、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。

拓展探究

1、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为

顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．

⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

⑵在图2、图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数 (两个三角形不全

等

图2 图3 图4

2、在正方形网格中，小格的顶点叫做格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条

不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②联结三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请求出斜边AC的长．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，使三个网格中的直角三角形互不全等，并分别求出这三个直角三角形的斜边长．

斜边AC长为斜边长为斜边长为

3、探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的

不同长度值的线段种数：当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1

以不同长度值的线段只有2种，若用Sn表示不同长度值的线段种数，则S2=2；

当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有12n=2时增加了3种，即S3=2+3=5。

观察图形，填写下表：

写出(n －1)×(n －1)和n ×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)

4、正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形. 老师给小明出了一道题：在如图1所示的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出格

点⊿ABC ，使AB=AC=5，BC=2；小明的做法是：由勾股定理，得AB=AC=2

212+=5，BC=2

211+=2，于是画出线段AB ，AC ，BC ，从而画出格点⊿ABC .

请你参考小明的做法，在如图2所示的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出一个格点⊿A ’B ’C ’，使A ’B ’=A ’C ’=5，B ’C ’=10.（直接画图，不写过程）.

5、小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上．__________________ 思维拓展：

（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．若ABC △三边的长分别为、

（0a >），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出

相应的ABC △，并求出它的面积．

探索创新：

（3）若ABC △

00m n >>，，且m n ≠），试运用构图法求出这三角形的面积．

6、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？

（图①） （图②）

A

C

B