江苏省2016届高三三模填空题压轴题解析(续)

填空题压轴题解析（续）

四、盐城市2016届高三年级第三次模拟考试数学试题

11．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ?=

（λ为常数），且点C 总不在以点B

为圆心，

1

2

为半径的圆内，则负数λ的最大值是 ▲ . 解析：设(1,0)(1,0)(,)A B C x y -、、,

由CA CB λ?= 得221x y l =+-，即点C 的轨迹方程为22

1x y l +=+.

由于点C 总不在与以点B 为圆心，

1

2

为半径的圆内，所以112l +?，解之得

3

4

l ?

， 故负数λ的最大值是34

-. 12．若函数3

1()12x

f x e x x =+-

-的图象上有且只有两点12,P P ，使得函数3()+m g x x x

=的图象上存在两点12,Q Q ，且1P 与1Q 、2P 与2Q 分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是 ▲ .

解析：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，则111(,)Q x y --、222(,)Q x y -- 因为12,P P 在函数3

1

()12

x

f x e x x =+-

-的图象上， 所以13111112x y e x x =+--①，23

222112

x y e x x =+--②；

同理3

111m y x x -=--

③，3222

m y x x -=--④. 由①③得13

31111

112x m

e x x x x +-

-=+，即1211112x x e x x m --=，

同理由②④得22

22212

x

x e x x m -

-=. 又因为满足题意的12,P P 仅有两个且不为坐标原点，所以关于x 的方程

21

2

x xe x x m --=有两非零解.

设21()2

x

H x xe x x =--，问题转化为函数()H x 与y m =的图象有两个交点（不为坐

标原点），

由()1(1)(1)0x x x H x e xe x e x '=+--=-+=得，10x x =-=或（不合题意，舍） 所以1x =-时，()H x 取得极值，函数()H x 与y m =的图象有两个交点（不为坐标原点）

故1

1(1)2

m H e -=-=-+

. 所以实数m 的取值集合是{

2

2e e

-}. 13．若数列{}n a 满足：对任意的n N *

∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的

m 的个数为n b ，则得到一个新数列{}n b ．例如，若数列{}n a 是1,2,3,,,n ??????，则数列

{}n b 是0,1,2,,1,n ???-???. 现已知数列{}n a 是等比数列，且252,16a a ==，则数列{}n b 中满足2016i b =的正整数i 的个数为 ▲ . 解析： 由题意知：{}n b 即n a 中小于n 的元素的个数. 由条件易知12

3

1622()2

n n n a --==?，因此,221201712016--≤

变题：（2010·湖南·理第15题）若数列{}n a 满足：对任意的n N *

∈，只有有限个正整

数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}

()n a *

．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}

()n a *

是0,1,2,1,n -…，…．已知对任

意的N n *

∈，2n a n =，则5()a *= ，(())n a **= ． 【答案】2，2

n

【解析】因为5m a <，而2n a n =，所以m=1,2,所以5()a *

=2.

12345678910111213141516 ()0,

()1,()1,()1,

()2,()2,()2,()2,()2,

()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3,

a a a a a a a a a a a a a a a a *****

*

*

*

*

*******================因为

所以1(())a **＝1, 2(())a **＝4，3(())a **＝9，4(())a **＝16，

猜想2(())n a n **=

【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。

14．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ?为锐角三角形，且满足

22b a ac -=，则

11

tan tan A B

-的取值范围是 ▲ . 解析1：由22

b a a

c -=，根据正弦定理得22sin sin sin sin B A A C -=，

∴

1cos 21cos 2sin sin 22B A A C ---=?，11

cos 2cos 2sin sin 22A B A C ?=?

∴[][]11

cos ()()cos ()()sin sin 22

B A B A B A B A A

C +---++-=?, ∴sin()sin()sin sin B A B

A A C +?=?，

∵sin()sin 0B A C +=?. ∴sin()sin B A A -=. 又

11cos cos sin cos cos sin sin()1

tan tan sin sin sin sin sin sin sin A B B A B A B A A B A B A B A B B

??-=-===

鬃下只需求出B 的取值范围即可.

法一：由上sin()sin B A A -=，因为ABC ?为锐角三角形，所以B A A -=，即2=A B ，故(0)4A p

?，，()32

B p p ?，，

∴123

1sin 3

B <

<

， ∴

11tan tan A B -的取值范围是23(1,)3

. 法二：∵ABC ?为锐角三角形，∴根据余弦定理得2

2

2

b a

c -<，∴2

2

2

b a a

c c -=<，

a c < ①；

另一方面，2

2

2

b a

c +>，又2

2

b a a

c -=，两式相减得22

2a c ac >- ② 由①、②可求得：12c

a

<

<.

再根据余弦定理， 222211

cos (0,)22222

a c

b

c ac c B ac ac a +--=

==-? ∴

32

B p p

<<，（下同法一） 解法2：222222

11cos cos 22tan tan sin sin sin sin b c a a c b A B bc ac A B A B A B

+-+--=-=- 222222222222

12222sin sin sin sin sin b c a a c b b c a a c b abc ac abc ac A B B B B a b +-+-+-+-=-=-=

（下同解法1）. 五、南通市2016届高三第三次调研测试

13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()1

0y x x x

=+

>的图像上.记,AB m BC n ==，则

2m

n

的最大值为 . 解析：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则21m x x =-， 1212

11n x x x x =+=+， 因为12x x ≠，所以121x x =，

所以2212222222222

1

1

114424()()x x x x m t t n t t x x x x -

-===≤=+?++. 其中22

1

0,t x x =-

>当且仅当2t =时取等号

.