(第29课)多面体欧拉定理的发现(1)
课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(一)教学目的：
1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式
2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力
教学重点：欧拉公式的发现过程
教学难点：欧拉定义及其证明
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣
教学过程：
一、复习引入：
1 欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝（详细资料附后）
2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．
3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．
4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等
二、讲解新课：
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体
说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
⑹
2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：
发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 式：2V F E +-=．
上述关系式对简单多面体都成立
3.欧拉公式的探究
1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E V ＋F －E ＝6+6-10=2
2．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？
3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。
可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V ＋F －E ＝2。这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体。
4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式： 2V F E +-=．
证明:(方法一
)
(10)
D
D A
⑴如图⑽：将多面体的底面ABCDE 剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABCDE 表示）均没有变，故所有面的内角总和不变。
⑵设左图中共有F 个面，分别是12,,,F n n n 边形，顶点数为V ，棱数为E,
则122F n n n E +++= .
左图中，所有面的内角总和为
?-++?-+?-180)2(180)2(180)2(21F n n n
＝?-+++180)2(21F n n n F
＝?-180)22(F E
()360E F =-? ⑶右图中，所有面的内角总和为
V 360V 2180V 2180()????下下上＋（－）＋（－）剪掉的底面内角和
＝0
V V 2360(2)360V ?=-上上（＋－） ⑷()360E F -? ＝0(2)360V -
整理得2V F E +-=.
（方法二）以四面体A B C D 为例来说明：
将它的一个面BC D 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数V 、棱数
E 与剩下的面数(1)
F -变形后都没有变 因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面B C ，就减少一个面ABC ． 同理，去掉棱C D 、B D ，也就各减少一个面A C D 、ABD ．
所以(1)F E --、V 的值都不变，因此(1)V F E +--的值也不变
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点例如去掉C A ，就减少一个顶点C ．同理，去掉D A 就减少一个顶点D ，最后剩下
A B （如图）
．
在此过程中V E -的值不变，但这时面数F 是0，
所以(1)V F E +--
由于最后只剩下A B ，所以(1)2011V F E +--=+-=，
最后加上去掉的一个面，就得到2V F E +-=．
4．欧拉示性数：
在欧拉公式中令()f p V F E =+-，()f p 叫欧拉示性数
说明：（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p =．
（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p =．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体()1616320f p =+-=．
三、讲解范例：
例1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求n 解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，∴5n =．
例2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n 解：∵8V =，83
122E ?==，
∴26
=+-=，
F E V
∴6
n=．
四、小结：欧拉定理及其证明；欧拉示性数
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）
欧拉，瑞士数学家及自然科学家在1707年4月15日出生于瑞士的巴
塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝欧拉出生于牧师家庭，自
13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位
欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心研究数学，直至18岁，
他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作
文章，并获得巴黎科学院奖金
1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利，成为物理学教授
在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题1735 年，他因工作过度以致右眼失明在1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其它数学领域均有开创性的发现
1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡 1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明但他以其惊人的
及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作
欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础
欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目他计算出ξ函数在偶数点的值他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示
此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值,其值近似为0.57721566490153286060651209...
在18世纪中叶，欧拉和其它数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程学中，在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对于非齐次方
程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文
在微分几何方面（微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支），欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式在1766年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑他将曲面表为 z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示z对x，y的偏导数，这些符号至今仍通用此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G函数和B 函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积分等等在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a+bi的形式欧拉还给出了费马小定理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数φ(n)，他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分支欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了ξ函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题
欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家从19岁起和欧拉通信、讨论等周问题的一般解法，从而引起了变分法的诞生等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得了欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成就，并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年轻的拉格朗日的著作得以发表和流传，赢得巨大声誉
1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭
时天王星刚发现不久，欧拉写出计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下……欧拉就这样“停止了生命和计算”
历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家．他们有一个值得注意的共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理、力学等方面的实际问题他们的工作常常是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而力图探究宇宙的奥秘，揭示其内在的规律欧拉留给后人丰富的科学遗产中，分析、代数、数论占4o％，几何占18％，物理和力学占28％，天文占11％，弹道学、航海科学、建筑等其他问题占31748年在瑞士洛桑出版的他的《无穷小分析引论》，是划时代的代表作，也是世界上第一本完整的有系统的分析学
欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
研究性多面体欧拉定理的发现(一)
9.10研究性多面体欧拉定理的发现(一) 教学目的： 1.了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式. 2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力. 教学重点：欧拉公式的发现过程. 教学难点：欧拉定义及其证明. 授课类型：新授课. 课时安排：3课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 内容分析： 本节为研究性课题.通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣. 教学过程： 一、复习引入： 1.欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家.1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝.（详细资料附后） 2.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体． 4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等. 二、讲解新课： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体. 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体.
⑹ 发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关 系式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立. 3.欧拉公式的探究 1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并计算V ＋F －E ＝6+6-10=2 2．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？ 3.假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面. 可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V ＋F －E ＝2.这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体. 4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式： 2V F E +-=． 证明:(方法一 ) (10) D D ⑴如图⑽：将多面体的底面ABC DE 剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABC DE 表示）均没有变，故所有面的内角总和不变. ⑵设左图中共有F 个面，分别是12,,,F n n n 边形，顶点数为V ，棱数为E,则122F n n n E +++=. 左图中，所有面的内角总和为 ?-++?-+?-180)2(180)2(180)2(21F n n n ＝?-+++180)2(21F n n n F ＝?-180)22(F E ()360E F =-? ⑶右图中，所有面的内角总和为 V 360V 2180V 2180()????下下上＋（－）＋（－）剪掉的底面内角和 ＝0V V 2360(2)360V ?=-上上（＋－）
欧拉定理
欧拉定理 认识欧拉 欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E 即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式...... 初等数论中的欧拉定理
初等数论定理
初等数论 1. 整除性质 a) 若a|b，a|c，则a|(b±c)。 b) 若a|b，则对任意c，a|bc。 c) 对任意非零整数a，±1|a，±a|a。 d) 若a|b，b|a，则|a|=|b|。 e) 如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。 f) 如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反 过来也成立。 g) 如果a∣b且b∣c，则a∣c。 h) 如果c∣a且c∣b，则c∣ua+vb，其中u，v是整数。 i) 对任意整数a，b，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r
《假如我是欧拉……多面体欧拉定理的发现》教案及说明
假如我是欧拉…… ——多面体欧拉定理的发现 一、教学目的 1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。 2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象； 3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力； 4、让学生再次体验几何体的美； 5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。 二、教学重点 1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面； 2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。 三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。 四、教学过程
t
教案设计说明 本节课设计为“研究性学习课题”。以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。 本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。 在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。 在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。最后问题四的解决，使学生对整个过程进行一个回顾，进行反思和总结，老师对学生的反思总结进行整理和升华，让学生意识到学习中反思和总结的重要性，并最终体会到自主学习的重要性。
第五节初等数论中的几个重要定理
第五节 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数s x x x ,,,21 称为是模m 的既约剩余系，如果对任意的s j ≤≤1，1),(=m x j 且对于任意的Z a ∈，若),(m a ＝1，则有且仅有一个j x 是a 对模m 的剩余，即)(mod m x a j ≡。并定义},,2,1{)(m s m ==?中和m 互质的数的个数，)(m ?称为欧拉（Euler ）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然1)1(=?，而对于1>m ，)(m ?就是1,2，…，1-m 中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有1)(-=p p ?。 引理：∏? =为质数）－（P |P 11)(m P m m ?；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler ）定理）设),(m a ＝1，则)(mod 1)(m a m ≡?。 证明：取模m 的一个既约剩余系))((,,,,21m s b b b s ?= ，考虑s ab ab ab ,,,21 ，由于a 与m 互质，故)1(s j ab j ≤≤仍与m 互质，且有i ab )1(s j i ab j ≤<≤?，于是对每个 s j ≤≤1都能找到唯一的一个s j ≤≤)(1σ， 使得)(mod )(m b ab j j σ≡，这种对应关系σ是一一的，从而)(mod )(mod )(11)(1m b m b ab s j j s j j s j j ∏∏∏===≡≡σ，∴))(mod ()(11m b b a s j j s j j s ∏∏==≡。 1),(1=∏=s j j b m ，)(mod 1m a s ≡∴，故)(mod 1)(m a m ≡?。证毕。 分析与解答：要证)(mod 1)(m a m ≡?，我们得设法找出)(m ?个n 相乘，由)(m ?个数我们想到m ,,2,1 中与m 互质的)(m ?的个数：)(21,,,m a a a ? ，由于),(m a ＝1，从而)(21,,,m aa aa aa ? 也是与m 互质的)(m ?个数，且两两余数不一样，故)(21m a a a ???? ≡)(21,,,m aa aa aa ? ≡)(m a ?)(21m a a a ???? （m mod ），而 （)(21m a a a ???? m ）＝1，故)(mod 1)(m a m ≡?。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
欧拉定理
[编辑本段] 欧拉定理 1、初等数论中的欧拉定理： 对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明： 首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样，那么 （a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n) 费马定理: a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 2、平面几何里的欧拉定理： （1）(Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr． 证明：如右下图，O、I分别为⊿ABC的外心与内心．
多面体欧拉定理的发现
研究性课题：多面体欧拉定理的发现 第一课时欧拉定理（一） 教学目标： （一）教学知识点 1.简单多面体的V、E、F关系的发现. 2.欧拉公式的猜想. 3.欧拉公式的证明. （二）能力训练要求 1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律. 2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律. 3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质. 4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想. 5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路. （三）德育渗透目标 1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求. 2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力. 教学重点欧拉公式的发现. 教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法. 教学方法指导学生自学法 首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明. 以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法. 教学过程 情境设置 欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留
欧拉定理
欧拉定理
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欧拉定理 认识欧拉 欧拉,瑞士数学家,1３岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到7６岁,他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了70０多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了４7年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,可以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间,也没有停止对数学的研究,口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gａuss，1７77-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π,i，e,ｓｉn,cos，tｇ，Σ,ｆ(x)等等,至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题,还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数Ｖ、棱数E、面数F之间总有关系V+Ｆ－E＝2，此式称为欧拉公式。V+F-Ｅ即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”? 欧拉是如何发现这个关系的?他是用什么方法研究的?今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式．..．.. 初等数论中的欧拉定理
初等数论中的几个重要定理 引理 和推论
初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。并定义中和互质的数的个数， 称为欧拉（Euler）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…， 中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。 引理：；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。 分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而 也是与互质的个数，且两两余数不一样，故 （），而（）＝1，故。 证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由 于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系 是一一的，从而，。
，，故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。 设为质数，若是的倍数，则。若不是的倍数，则 由引理及欧拉定理得，，由此即得。 定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。 定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。 分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。 证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为 则好是的一个剩余系去0。 从而对，使得； 若，，则，，故 对于，有。即对于不同的对应于不同的，即 中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或， 或。 除外，别的数可两两配对，积除以余1。故。
多面体欧拉定理的发现1
多面体欧拉定理的发现(1) 【教学目的】 1．理解简单多面体的定义 2．理解并熟记欧拉公式 3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理 【教学思路】 正多面体5种→认识欧拉 →拓扑变形→简单多面体概念 →研究正多面体V、F、E的关系 →欧拉定理→证明 →欧拉定理的意义 【教学过程】 1.(1) 什么叫正多面体？特征？ 正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征： ①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。 (2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。为什么只有5种正多面体？ 著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。 2. 介绍数学家欧拉 欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。 3. 发现关系：V+F-E=2。是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。 4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念 考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。 像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。
5. 欧拉定理 定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系 V+F-E=2 公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律 6. 定理的证明 分析：以四面体ABCD 为例。 将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。 只需平面图形证明：V+F 1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F 1-E 的值不变。例如去掉BC ，就减少一个面ABC 。同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ，由于V 、F 1-E 的值都不变，因此V+F 1-E 的值不变 （2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F 1-E 的值不变。例如去掉CA ，就减少一个顶点C 。同理去AD 就减少一个顶点D ，最后剩下AB 。 在以上变化过程中，V+F 1-E 的值不变， V+F 1-E=2-0-1=1， 所以 V+F-E= V+F 1-E+1=2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。 7. 定理的意义（几点说明） （1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律； （2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄 A B D A D B C C B B A D A D C C B B A D A D C B A
2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(1)
2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(1) 一、课题：多面体欧拉定理的发现 二、教学目标：1．了解简单多面体的概念； 2．掌握欧拉定理． 三、教学重、难点：欧拉定义及其证明． 四、教学过程： （一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝． （二）新课讲解： 1．简单多面体： 考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么 它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图： 象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面 体，叫做简单多面体． 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都 是简单多面体． 2．填表： 将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表： 发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：． 上述关系式对简单多面体都成立． 3．欧拉定理： 简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：．（欧拉公式） 4．定理的证明： （方法一）以四面体为例来说明： 将它的一个面去掉，并使其变为平面图形， 四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形 后都没有变。因此，要研究、和的关系， 只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可． 对平面图形，我们来研究： （1）去掉一条棱，就减少一个面。例如去掉，就减少一个面． 同理，去掉棱、，也就各减少一个面 、． 由于、的值都不变，因此 的值也不变． （2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少
一个顶点。例如去掉，就减少一个顶点． 同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下 （如图）． 在此过程中的值不变，但这时面数是，所以的值也不变。 由于最后只剩下，所以， 最后加上去掉的一个面，就得到． （方法二） 把“立体图”的面煎掉后，其余各面铺开。 展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和 只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。 设多面体个面，各面边数分别为，，…，， 则内角总和为12()1802180 F n n n F ++ ?-?+， 设多面体有个顶点，底面是边形，则“展开图”有个顶点在中间， 则内角总和为()180(2)180(2)180(2)360V m m m V -?+-?+-?=-?， ∴12()1802180(2)360 F n n n F V ++?-?=-?+， 又∵， ∴． 5．欧拉示性数： 在欧拉公式中令，叫欧拉示性数。 说明：（1）简单多面体的欧拉示性数． （2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体． 6．例题分析： 例1．一个面体共有8条棱，5个顶点，求？ 解：∵，∴，∴． 例2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求？ 解：∵，， ∴， ∴． 五、课堂练习：课本第69页 习题 第4题． 六、小结：欧拉定理及其证明． 七、作业：课本第69页 习题9.10第1题．
高二数学下9多面体欧拉定理的发现教案
课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(一) 教学目的： 1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式 2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力 教学重点：欧拉公式的发现过程 教学难点：欧拉定义及其证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣 教学过程： 一、复习引入： 1 欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝（详细资料附后） 2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线． 3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体． 4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等 二、讲解新课： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体
⑹ ⑸说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数： 正多面体 顶点数V 面数F 棱数E 正四面体 4 4 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体 12 20 30 发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关系 式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立 3.欧拉公式的探究 1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并计算V ＋F －E ＝6+6-10=2 2．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？ 3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。
欧拉定理99617知识讲解
欧拉定理99617
欧拉定理 认识欧拉 欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了4 7年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gau
ss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，co s，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式...... 初等数论中的欧拉定理 定理内容 在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则 a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明 首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n 互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a *x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素
最新多面体欧拉定理的发现精编版
2020年多面体欧拉定理的发现精编版
研究性课题：多面体欧拉定理的发现 第一课时欧拉定理（一） 教学目标： （一）教学知识点 1.简单多面体的V、E、F关系的发现. 2.欧拉公式的猜想. 3.欧拉公式的证明. （二）能力训练要求 1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律. 2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律. 3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质. 4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想. 5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路. （三）德育渗透目标 1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求. 2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力. 教学重点欧拉公式的发现. 教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法. 教学方法指导学生自学法 首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明. 以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法. 教学过程 情境设置 欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10
.12.15初等数论费马小定理与欧拉定理(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 第七讲 费马小定理与欧拉定理 2017.12.18 基础例题 1. 设n 是自然数，则n n n n 4321|5+++/ 2.设{x 1，x 2，x 3，…，()m x ?}为模m 的一个简化剩余系，则()()()mod 1321≡?m x x x x ? 3. 设a ，b ，c ，m 为自然数，m >1，(b ，m )=1，且()m b a mod 1≡， ()m b c mod 1≡，记()c a d ,=，则()m b d mod 1≡ 4. 设p 是素数，p |b n -1，n 为自然数，则下列两个结论中至少有一个成立： (1)p |b d -1对于某个因数d 6. 将612-1分解质因数 7. 若a ，b 是任意整数，p 为素数.证明：()()p b a b a p p p mod +≡+ 8. 设p 为奇素数，a ，n 都是正整数，且p n |a p -1. (1)证明：p n -1|a -1； (2)当p =2时，上述结论成立吗? 10. 求(1237156+34)28被111除的余数. 11. 设p 是一个大于5的素数，求证：240|p 4-1 12. 设p 为素数.证明：存在无穷多个正整数n 使得()p n n mod 2≡ 13.(1)证明下列事实但不许用费马小定理：若p 是质数，h 1，h 2，…，h n 是整数，则(h 1+h 2+…+h n )p ≡h 1p +h 2p +…+h n p (mod p ) (2)由(1)证明费马定理，然后再由费马定理证明欧拉定理. 每周真题小练 1. (ELMO 2017)设H 为三角形ABC 的垂心，M 为边BC 的中点.以AH 为直径的圆上，有相异的两点P ，Q (P 、Q 两点均不与A 重合)，满足M 位于直线PQ 上.证明：三角形APQ 的垂心位于三角形ABC 的外接圆上. 2.(命题人讲座) 设n 是一个大于1的奇数，数a 1，a 2，a 3，…，()n a ?是1，2，3，…，n 中与n 互素的所有正整数.证明()()n n k k n a ??π2 1cos 1=∏= 多面体欧拉定理的发 现 研究性课题：多面体欧拉定理的发现 第一课时欧拉定理（一） 教学目标： （一）教学知识点 1.简单多面体的V、E、F关系的发现. 2.欧拉公式的猜想. 3.欧拉公式的证明. （二）能力训练要求 1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律. 2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律. 3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质. 4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想. 5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路. （三）德育渗透目标 1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求. 2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力. 教学重点欧拉公式的发现. 教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法. 教学方法指导学生自学法 首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明. 以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法. 教学过程 情境设置 欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10 第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即 012 21 11010 10 a a a a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且 01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012 21 1a p a p a p a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且 01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；最新多面体欧拉定理的发现
初等数论知识点汇总