桁架内力计算的截面法
截面法
截面法可以快速求出某一内力，通常取结构 的一部分为隔离体，其上力系为平面一般力 系。每个隔离体上有3个独立平衡方程。一般 表示为： ∑FX = 0 投影法 ∑FY = 0 力矩法 ∑M = 0 计算要点： 尽量使一个方程解一个未知数，避免求解 联立方程。
1
一. 力矩法
例：求图示桁架1、2、3杆的轴力。
2
VA
VB
解：由整体平衡条件求得支座反力 VA=VB HA=0
作Ⅰ--Ⅰ截面,截开1、2、3杆的轴力 取截面以左为隔离体。 Ⅰ
3
Ⅰ
（1）求1杆轴力N1
K1
4
选取未知力N2和N3 延长线的交点K1作 为取矩点。 N1 对K1点取矩，由 ∑MK1 = 0 从而求出所求未知 力N1。
VA
（2）求2杆轴力N2
N2
Y2
5
K2
X2
2
VA
由∑MK2 = 0 ,
比例关系
从而求出所求未知力Y2。 2杆轴力N2
（3）求3杆轴力N3
Y3 N3 X3
K3 VA
6
由 ∑MK3 = 0
比例关系
从而求出所求未知力X3。 3杆轴力N3
力矩法要点：
欲求某指定杆内力，则作一截面，截开待求 杆； 隔离体上除所求未知力外，其余未知力的延 长线均交于某一点K。 对K点取矩，从而求出所求未知力 。 （1）选择其余未知力延长线的交点K作为取矩 点，从而用∑MK=0，求出指定杆内力。 （2）将斜杆的内力放在某一个合适的点上分 解，使其一个分力通过取矩点K。 解，
7
例1. 求图示桁架杆件a、b、c的轴力
8
90kN
30kN
作Ⅰ—Ⅰ截面
Ⅰ
9
Ⅰ
求Na
Na 求Na时，对另 外两个未知力的 交点C取矩， C
10
由 ΣMc＝0，得 Na×4＋30×8＝0
30kN
解得： Na =－ 60kN
求Nb
D Xb E Yb Nb
30kN
11
求Nb时，对点D取 矩。 将Nb 其在E点处分解 为水平和竖向分量。 由ΣMD＝0，得 Yb×12＋40×4 － 30×12＝0 解得 Yb＝16.67 kN
由比例关系得到：
N b = 2Yb = 2 × 16.67 = 23.57kN
求Nc
Yc Xc
D Nc
12
E
求Nc时，对点E取 矩。 将Nc 其在D点处分解 为水平和竖向分量。 由ΣME＝0，得 Yc×12 － 40×8 ＝0 解得 Yc＝ 26.67kN
30kN
由比例关系得到：
N c = 2Yc = 2 × 26.67 = 37.71kN
二. 投影法
例：求图示桁架a杆的轴力.
P P
13
m
m
Na
作m-m截面，截开a 杆，取截面以上为隔离 体。其上共有四个未知力。
投影法
P
14
当隔离体上除所求 未知力Na外，其余未知 力均相互平行且都在竖 直方向上。 将Na 分解为水平和竖 向分量Xa 、Ya。 建立水平投影方程 ∑FX=0，可求出 Xa=－ P 由比例关系得到 Na 。
Xa Ya Na
投影法要点：
欲求某指定杆内力，则作一截面，截开待求 杆； 当隔离体上除待求未知力外，其余未知力均相 互平行。 建立投影方程，求出待求未知力。
15
例2. 试求图示桁架a、b杆的内力
Ⅰ Ⅰ
2l
16
3l
作Ⅰ-Ⅰ截面，截开a 杆，取截面以上为隔 离体。其上共有三个未知力。
a杆的内力
17
Xa
建立水平投影方程 ∑FX=0，可求出 由比例关系得到
Xa = P
Na = 2P
b杆的内力
18
Ⅱ
Ⅱ
作Ⅱ-Ⅱ截面，截开b杆，取截面以上为隔 离体。其上共有五个未知力。
b杆的内力
19
Xb
建立水平投影方程 ∑FX=0，可求出 由比例关系得到
Xb=2P Nb = 2 2P
联合桁架
先求出联系杆件的内力，即先求出刚片间的约束 力，然后将约束力作为已知的荷载加在刚片上（简 单桁架上）。
20
C
S
S
∑MC = 0
S
∑Y = 0
S=0
静定桁架的内力计算
第二节平面静定桁架的内力计算 桁架是工程中常见的一种杆系结构，它是由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。桁架中各杆件的连接处称为节点。由于桁架结构受力合理，使用材料比较经济，因而在工程实际中被广泛采用。房屋的屋架（见图3－10）、桥梁的拱架、高压输电塔、电视塔、修建高层建筑用的塔吊等便是例子。 图3－10房屋屋架 杆件轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架（如一些屋架、桥梁桁架等），否则称为空间桁架（如输电铁塔、电视发射塔等）。本节只讨论平面桁架的基本概念和初步计算，有关桁架的详细理论可参考“结构力学”课本。在平面桁架计算中，通常引用如下假定： １）组成桁架的各杆均为直杆； ２）所有外力（载荷和支座反力）都作用在桁架所处的平面内，且都作用于节点处； ３）组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接，杆件自重不计，桁架的每根杆件都是二力杆。 满足上述假定的桁架称为理想桁架，实际的桁架与上述假定是有差别的，如钢桁架结构的节点为铆接（见图3－11）或焊接，钢筋混凝土桁架结构的节点是有一定刚性的整体节点， 图3－11 钢桁架结构的节点 它们都有一定的弹性变形，杆件的中心线也不可能是绝对直的，但上述三点假定已反映了实际桁架的主要受力特征，其计算结果可满足工程实际的需要。 分析静定平面桁架内力的基本方法有节点法和截面法，下面分别予以介绍。 一、节点法 因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以逐个地取节点为研究对象，分别列出平衡方程，即可由已知力求出全部杆件的内力，这就是节点法。由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程，所以应用节点法往往从只含两个未知力的节点开始计算。 例3－8 平面桁架的受力及尺寸如图3－12ａ所示，试求桁架各杆的内力。
桁架内力计算
15-1 多跨静定梁
031=+-=+'=qx qa qx y Q D X a x 3 1 = 2 当l X = α cos 2 l q Q B -= αα0sin sin =--qx y N A X
因在梁上的总载不变：ql l q =11 αcos 11 111q l l q q l l q === ()()()111221122111 1 1 d p l V f H M H H x a p a p l V M b p b p l V A A C B A B A A -?= ===+==+= ∑∑∑
f M H V V V V C A B B A A = = = f=0时，H A =∞，为可弯体系。 简支梁： ① 1 P V Q A - = ()a x P V A- - 1 H=+H A ，（压为正） ②()y H a x p x V M A A - - - = 1 1 即y H M M A - = D截面M、Q、N ()y H a x p x V M A A x ? - - - = 1 1 即y H M M A x - = ? ? ? ? sin sin sin cos H Q N H Q Q x x + = - = 说明：?随截面不同而变化，如果拱轴曲线方程()x f y=已知的话，可利用 dx dy tg= ?确定?的值。 二.三铰拱的合理轴线（拱轴任意截面 = = Q M ） 据：y H M M A ? - = 当0 = M时， A H M y = M是简支梁任意截面的弯矩值，为变值。 说明：合理拱轴材料可得到充分发挥。 f M H c A =（只有轴力，正应力沿截面均匀分布） c M 为简支跨中弯矩。
平面桁架杆件内力的计算方法探究
平面桁架杆件内力的计算方法探究 杨航 （机械工程学院2009级6班，200961024） 摘要在生活与工程实践中，我们随处可见平面桁架结构，以及基于平面桁架结构的空间桁架。为了确保安全，计算得到各杆件的内力，进而进行合理设计显得尤为重要。本文将基于节点法、截面法、力法正则方程对一些平面桁架杆件内力的计算方法进行探究。 关键词平面桁架；杆件内力；节点法；截面法；力法正则方程 平面桁架结构的内力计算可以分为基本的两大类基本问题，静定结构的内力计算和非静定结构的内力计算。静定结构主要采用节点法和截面法能全面求解。实际工程中以静不定结构多见。 1 静定结构参考[1] 1.1 节点法 桁架结构中各杆的连接点称为节点。节点法就是选去某个节点为研究对象，将于这个节点相连的杆件截断，作用在节点上的力可能包含被截断杆件的内力、加在节点行的外力和支座的约束反力，他们组成了平面汇交力系，用平衡方程即可求得各个桁架内力。 1.2 截面法 假想地用一截面m－m截面处把杆件裁成两部分，然后取任一部分为研究对象，另一部分对它的作用力，即为m－m截面上的内力N。因为整个杆件是平衡的，所以每一部分也都平衡，那么，m－m截面上的内力必和相应部分上的外力平衡。由平衡条件就可以确定内力。 2 静不定结构原创 2.1 一次静不定结构 对于一次静不定结构问题的求解，可采用建立在相当系统上的静定系统来球接触多预感间的内力，结合节点法、截面法求解器他敢间的内力。具具体方法是： （1）将平面桁架结构的一根杆件假象截开，代之以方向相反的一对未知力X1，分别作用于两个截面上。 （2）根据力法正则方程得到他满足的变形协调条件：。 （3）利用单位载荷法求出系数，带回上式即可求得X1。在利用单位载荷法求系数时，可以假设全部拉杆受力为正，压杆受力为负。 （4）利用节点法、截面法求出剩余杆件的内力。 2.2 多次静不定结构 方法与求解一次静不定问题相似，只是正则方程需要使用方程组，高次时利用矩阵求解多元方程组更为简便。可以利用简化计算。 相当与求解i个方程，不同的是，用矩阵的方法不但可以简化表达，而且还可以编程用计算机求解。 2.3 一些简化算法 2.3.1 与可动铰支座相连的杆件 可动铰支座假设在水平方向可动，则与它相连的所有杆件水平方向合力为零。通常来讲，如果只有一根杆件与它水平相连，则它的内力为零。如果与它竖直相连，则其内力就是可动铰支座提供的支反力。 2.3.2 结构对称外载荷对称的桁架 在结构对称的前提下，外载荷对称则对称杆件的轴力分布也对称。这样为我们简化计算提供
简单桁架内力计算
3.4 静定平面桁架 教学要求 掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点，熟练掌握桁架结构的内力计算方法——结点法、截面法、联合法 3.4.1 桁架的特点和组成 3.4.1.1 静定平面桁架 桁架结构是指若干直杆在两端铰接组成的静定结构。这种结构形式在桥梁和房屋建筑中应用较为广泛，如南京长江大桥、钢木屋架等。 实际的桁架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复杂，要对它们进行精确的分析是困难的。但根据对桁架的实际工作情况和对桁架进行结构实验的结果表明，由于大多数的常用桁架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过其它杆件传到结点上，这就使得桁架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的作用，结构中所有的杆件在荷载作用下，主要承受轴向力，而弯矩和剪力很小，可以忽略不计。因此，为了简化计算，在取桁架的计算简图时，作如下三个方面的假定： （1）桁架的结点都是光滑的铰结点。 （2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。 （3）荷载和支座反力都作用在铰结点上。 通常把符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。 3.4.1.2 桁架的受力特点 桁架的杆件只在两端受力。因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。在杆的截面上只有轴力。 3.4.1.3 桁架的分类 （1）简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图3-14a） （2）联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。（图3-14b） （3）复杂桁架：不属于前两类的桁架。（图3-14c）
3.4.2 桁架内力计算的方法 桁架结构的内力计算方法主要为：结点法、截面法、联合法 结点法――适用于计算简单桁架。 截面法――适用于计算联合桁架、简单桁架中少数杆件的计算。 联合法――在解决一些复杂的桁架时，单独应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时需要将这两种方法进行联合应用，从而进行解题。 解题的关键是从几何构造分析着手，利用结点单杆、截面单杆的特点，使问题可解。 在具体计算时，规定内力符号以杆件受拉为正，受压为负。结点隔离体上拉力的指向是离开结点，压力指向是指向结点。对于方向已知的内力应该按照实际方向画出，对于方向未知的内力，通常假设为拉力，如果计算结果为负值，则说明此内力为压力。
桁架支撑计算
施工平台支撑验算 支架搭设高度为7.4米， 搭设尺寸为：立杆的纵距b=1.20m，立杆的横距l=1.20m，立杆的步距h=1.50m,顶托下部采用2根50*100的方通。方通下方为桁架。 1.立杆计算： （1）荷载计算： 取1个计算单元:(1.2m*1.2m) 立杆自重：7.4m*3.5kg/m=0.26kN； 施工荷载取100kg/m2； 堆放荷载取100kg/m2； 水平杆作用在单根立杆上的重量为（5道双向）： 2.4*5* 3.5kg/m=0.42kN； 单根立杆荷载总和为： N=2*1.44+0.26+0.42=3.6kN； （2）立杆稳定性验算： A=4.24cm2，i=1.6cm 计算长度l0=uh=1.75*1.5=2.6m λ= l0/i=260/1.6=162.5, φ=0.294 f=N/ΦA=3.6/(424*0.294)=28.9N/mm2<[f]=215N/mm2 满足要求。 2.方通验算： 按三跨连续梁计算：
（1）变形验算： 用SAP 2000进行计算，结果如下： 最大挠度位于1.6m处，（双方通） 挠度为14mm/2=7mm<3600mm/250=14.4mm 满足要求。 （2）刚度验算： 弯矩图如下（kN.m）： M max=3.54kN.m，W=15.52cm3；
f=M/W=3.54/（2*15.52）=114N/mm2<[f]=215N/mm2 满足要求。 （3）支座反力： 支座反力如下： 3.桁架验算： 计算模型：
a.Y-Z平面： 内力计算结果为： 上部横杆计算结果为： 下部横杆计算结果为：
简单桁架内力的计算方法
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桁架承重架设计计算书
桁架承重架设计计算书 The latest revision on November 22, 2020
桁架承重架设计计算书 桁架承重架示意图(类型一) 二、计算公式 荷载计算:1.静荷载包括模板自重、钢筋混凝土自重、桁架自重(×1.2)； 2.活荷载包括倾倒混凝土荷载标准值和施工均布荷载(×1.4)。 弯矩计算: 按简支梁受均布荷载情况计算 剪力计算： 挠度计算： 轴心受力杆件强度验算： 轴心受压构件整体稳定性计算: 三、桁架梁的计算 桁架简支梁的强度和挠度计算 1.桁架荷载值的计算. 静荷载的计算值为 q1 = 62.18kN/m. 活荷载的计算值为 q2 = 16.80kN/m. 桁架节点等效荷载 Fn = -39.49kN/m. 桁架结构及其杆件编号示意图如下： 桁架横梁计算简图 2.桁架杆件轴力的计算. 经过桁架内力计算得各杆件轴力大小如下： 桁架杆件轴力图 桁架杆件轴力最大拉力为 Fa = 105.31kN. 桁架杆件轴力最大压力为 Fb = -139.62kN. 3.桁架受弯杆件弯矩的计算. 桁架横梁受弯杆件弯矩图 桁架受弯杆件最大弯矩为M = 2.468kN.m 桁架受弯构件计算强度验算= 18.095N/mm 钢架横梁的计算强度小于215N/mm2，满足要求！ 4.挠度的计算. 最大挠度考虑为简支梁均布荷载作用下的挠度 桁架横梁位移图 简支梁均布荷载作用下的最大挠度为 V = 0.425mm. 钢架横梁的最大挠度不大于10mm，而且不大于L/400 = 1.25mm，满足要求！ 5.轴心受力杆件强度的计算.
式中 N ——轴心拉力或轴心压力大小； A ——轴心受力杆件的净截面面积。 桁架杆件最大轴向力为139.622kN, 截面面积为14.126cm2 . 轴心受力杆件计算强度 = 98.841N/mm2. 计算强度小于强度设计值215N/mm2，满足要求！ 6.轴心受力杆件稳定性的验算. 式中 N ——杆件轴心压力大小； A ——杆件的净截面面积； ——受压杆件的稳定性系数。 轴心受力杆件稳定性验算结果列 表 ------------------------------------------------------------- ---------------- 杆件单元长细比稳定系数轴向压力kN 计算强度N/mm2 ------------------------------------------------------------- ---------------- 1 37.948 0.914 0.000 -------- 2 37.948 0.914 105.310 -------- 3 37.948 0.91 4 -52.65 5 40.770 4 40.046 0.907 -139.622 109.010 5 37.948 0.914 0.000 -------- 6 40.046 0.90 7 83.774 -------- 7 37.948 0.914 -26.327 20.385 8 37.948 0.914 -26.327 20.385 9 37.948 0.914 -39.491 30.577 10 37.948 0.914 -52.655 40.770
桁架杆件内力图解法的基本过程参考资料
桁架杆件内力图解法的基本过程 桁架杆件内力图解法的基本原理是利用结构体系受到的杆件轴力和外力形 成一个平衡力系，而且平衡力系的力矢量是一个闭合的图形。根据力矢量的特定（力矢量包括力的方向和力的大小），根据力矢量平衡关系进行求解。 下面以一个桁架结构为例： 图1 桁架受到半跨单位力的作用，采用图解法求解桁架的内力系数。 首先用力的平衡方程求解桁架的支座反力； 第二步：以固定的方向确定外力（包括支座反力）之间区域的编号，例子中采用顺时针方向，用英文字母定义外力区域（a，b，c，d，……）；然后用数字定义桁架杆件之间区域（1,2,3,4,5，……）。因此，不管外力还是杆件轴力，都可以用区域编号命名，如左端支座反力可以命名为m->a（顺时针），支座处斜腹杆可以命名为1->2或2->1（根据选择节点不同，按顺时针命名）。 接着，定义内力图的比例尺（即单元力的长度），按外力的方向依次序画出桁架的外力矢量图，如图2。图中力的大小按比例尺画出，力的方向由力矢量的起点编号和终点编号定义。例如，桁架左端外力为0.5的向下的集中力，那么在 图中表示为0.5个单元力的长度，而且力的方向为a->b（向下）。 图2 第三步：以节点为基准，画出该节点上的杆件的内力矢量。对于节点I，按顺时针，节点上的作用力为a->b的外力，b->1的上弦杆内力，1->a的端竖杆内力。按桁架的上弦杆的方向，b->1的上弦杆内力如图3黑线所示，即b->1的上弦杆内力的力矢量在黑直线上；1->a的端竖杆内力的力矢量在竖直红线上，因此黑线和红线的交点即为两个力矢量的共同端点1。从图3可以看出，b->1的上弦杆内力为零，即该段弦杆为零杆；1->a的端竖杆内力的大小为线段ab的长度，即为0.5，而且按顺时针，1->a的端竖杆内力的方向为向上，即对着节点I，因 此该内力为压力；上述结论和节点法求解的结论是一致的。 图3 按此方法可以分析节点II和节点III的内力，可以得图4的内力矢量图。 图4 依次可以画出桁架的内力矢量图，如图5所示。