格林函数与输运
《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运
内容提要：1概述；
2单粒子性质的格林函数表述；
3用格林函数推导迁移率中1-α项
1概述 1． 1金属中电子输运特性
对于金属
*
m e τμ-
=， μσ0en -=，
τ是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0=t 时一个处于某动量本征态的电子在τ=t 时完全失去了对其原有动量的记
忆。输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等：
∑=--i
i 11ττ
即输运驰豫时间由各种机构中i τ最小的决定。
绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。T >0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m ，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see, p.131 in Ref.[1]），在低温时水平地达到一定值。低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessen rule ，又翻译为马提生定则（1862））。这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。
上述金属中的杂质不含磁性杂质。磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。
1． 2半导体输运特性
半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。光学波也通过两种方式散射电子：二种不
等价原子之间的相对移动所引起的形变势（光学波形变势散射）；在极性晶体中伴随光学波的极化所产生的微扰势（极性光学波散射）。后者只有纵光学波（LO 声子）才产生，横光学波不产生。对于离子性晶体，这时电子与LO 声子形成极化子（详见后文）。
各种散射机制中，电离杂质散射﹑声学声子形变势散射﹑压电散射中驰豫时间与电子能量的关系可统一地写成[2]
r E 0ττ=
对于不同的散射机构0τ和r 有不同的值。电离杂质散射r =3/2；声学声子形变势散射r =-1/2；压电散射r =1/2。光学声子形变势散射形式比较复杂，这里略。对于极性光学声子散射不能有驰豫时间的定义。
对于不同的散射机构，i τ随温度的变化关系不同。电离杂质散射I τ～2/3T ；声学声子形变势散射as τ～2/3-T ；压电散射PZ τ～2/1-T 。光学声子形变势散射形式比较复杂，这里略。在低温下I τ值最小，所以低温下主要散射机构是电离杂质散射。典型半导体中各种散射机构下迁移率温度的变化关系如图2（p.135 in Ref.2）所示。
一般地0en -=
σμ中电子浓度0n 可通过霍尔效应精确测定，0
n σ
叫做霍尔迁移率，它与我们常规定义的电导率迁移率相差一个常数因子。图3(Fig.7.9 in Ref.3)
是CdTe 霍尔迁移率的温度依赖关系。
1． 3极性光学波散射
长期以来电导问题是用Boltzmann 方程处理的[4]。1958年Edward 首先将格林函数方法应用于输运问题。Kadanoff 和Baym 用格林函数方法证明，在金属中只有k F l >>1时Boltzmann 方程才是正确的，这里k F 是费米波矢，l 是平均自由程。现在格林函数已经用于推导很多不同系统的输运性质，包括Boltzmann 方程不适用的情况。格林函数方法的优点是，用它可以推导出输运系数的准确表达式，然后在各种条件下作近似计算。
严格的计算必须同时考虑晶格振动和杂质对电子的散射。单独考虑这两种散射时计算方法非常相近。下面只考虑晶格振动（LO 声子）的散射，不考虑杂质散射，电子哈密顿为Frohlich 极化子的哈密顿[3]
)(12
/10
0+
-+++
++∑
+
∑+∑=q q p qp
q p q q
q p p
p p a a c c q
M a a c c H νωε (7.2.1)
2
/12
/3020
)
2()(4B m M ωπα =
)11()2(02/102εεωα-=∞ B m e
B
p m p 22
=ε 其中0ω为LO 声子的频率。我们讨论弱耦合(1<<α)的情况，所以极化子尺寸很大，是所谓的大极化子。 1． 4极化子迁移率理论
有许多关于极化子迁移率的理论[3]，例如 （1）通过求解Boltzmann 方程(BE)；
（2）通过计算电流-电流关联函数（见后文）；
>
u u i j j T e d i ττν
ωπτβ
ωτ
式中u 是(x,y,z )之一，当系统各向同性时><>=
<)0().(3
1
)0().(j j T j j T u u ττττ所以 >
j j T e d i i ττνωπτβ
ωτ。
令δωωi i +→则可由电流-电流关联函数得到推迟的电流-电流关联函数。
]})
({Im[lim 0ω
ωπσωret →-=(久保公式)
0→ω说明得到的是直流电导。在久保公式中，为了求直流电导需要先计算交流
电导，然后取极限0→ω。若开始就从直流电场出发则计算要麻烦一些。久保的上述理论又叫线性响应理论。 （3）通过计算力-力关联函数；
>
F F T e d i R i ττωτβ
ωτ
令δωωi i +→则可由力-力关联函数得到推迟的力-力关联函数。
]})({Im[lim 1
020
2ωωρωret R n e →-=
力-力关联函数的严格推导是由Mahan 给出的。
（4）通过求解量子Boltzmann 方程(QBE)。
QBE 与BE 的差别是：BE 是关于分布函数 ),,(t r v f 的微分方程；而 QBE 是关于Wigner 分布函数 ),,,(t r k f ω的微分方程。
这些理论各自不同，但在弱耦合 (1<<α)和低温（10>>βω）极限下结论是一致的，这些理论都预言
00
00
)1(2lim 0μωατμβωα≡--=-
=→→e m e
m e B B T (7.2.2)
000
21
ωατN =
1
1
0-=
βωe N
(7.2.2)对于检验理论是有用的，但在同实验比较方面无能为力，原因是（1）在
温度2/10≈βω范围，迁移率的计算只考虑了光学声子散射。这是一个低温理论，我们需要能在更高温下计算迁移率的理论（2）我们感兴趣的大多数材料的极化子耦合常数都在中间耦合（31≤≤α）的范畴内。所以我们需要一个在中间耦合下适用的计算迁移率的理论。在这方面最成功的是费曼路径积分方法。对于中间耦合和高温的情况，格林函数并不擅长，所以我们下面的计算仍限于低温弱耦合的情况。
我们通常采用的方法是1964年Langreth 和Kadanoff 用过的方法（1）利用格林函数从久保公式出发推导(7.2.2)式。迁移率可写成幂级数形式
++++=
-221001
αααα
μa a a a
(7.2.3)
得到(7.2.2)即得到上面级数的首项（1-α项）；（2）在上面基础上获得量级为0α的所有修正项。
定义0
002N m e B ωαμ-
=则L-K 结果为
)(6
1
120ααμμO +-= (7.2.4)
这个结果同用下面方法，即由*m
e τ
μ-
=，然后将*,m τ分别按α展开：)(12
0αττO +=，α6
11*+=B m m )(2αO +得到的结果精确符合。 我们将推导L-K 公式中的第一项（即1-α项）。
2 单粒子性质 (see, Section 7.2 of Ref.[3])
我们用格林函数来表述单粒子性质。因为是在低温单声子情况下，所以用零
温格林函数。首先看电子自能。自能算符∑是一个非局域的且与能量k E 有关的非厄密算符。由于∑非厄密，k E 一般为复数，∑实部代表多体效应引起的能级移动，而∑虚部为粒子在该状态寿命的倒数。电子自能的实部为
),()(sin )
()],(Re[2
02/101)
1(2
/12
/30ααεωωεεωαωN O p p p p ++-∑-=- 在零温上式退化为
)],,(3
1
21[)],(Re[22)1(0p p p O p ωεεωεωωαω+∑-+-=
(7.2.6)
根据自能我们可写出有效质量*m 和重整化系数（或重整化因子）Z 的表达式
)(2
1
1)211()1(211000αααεωO Z p p +-=+=?∑?-
=--== ααα
εω6112
1131
1)1()(0
0*-≈++=?∑?+===p p B z m m (7.2.7)
我们用到的另一个量是寿命τ，电子寿命定义为
)]},(Im[2){()
(1
∑-=p E p p Z p τ (7.2.8)
1
)1()(-=?∑?-
=p E p
p Z ωε 这里Z(p)是重整化系数。
(7.2.8)式中我们计算的是p E =ω点的自能（虚部），而不是0→ω点的自能（虚部）。E p 是粒子的基态能量，它可从方程
∑+=)],(Re[p p p E p E ε
中自恰计算求得。这个方程近似为
∑+=)
1()],(Re[ret p p p E p E ε。
作为一级近似，E p 也可由下法得出：
将E p 展开为幂级数形式
)(24
2*
20p O p m
E E p ++= 显然
p p E E 0
0lim →==∑)
1(0)],0(Re[ret E 。
根据参考文献[3]第六章算出的一阶电子自能
∑--=)1(2
/1002/30
0)
()],0(Re[ret
E E ωεω
即
2
/1002/30
0)
(E E --
=ωεω
从中展开得到
020)(ααωO E +-=
所以
)(24
2*
20p O p m
E p ++-= αω。 由(7.2.8)式我们看到Z(p)与寿命的定义有关。下面我们看Z(p)的物理意义。 由谱函数的定义
∑+∑--∑-=
-=2
)]
[Im()],(Re {)]
,(Im[2)],(Im[2),(ωεωωωp p E p G p A p ret (7.2.9)
在∑→0Im 的极限下，谱函数变成一个δ函数（表示能量守恒）和重整化系数的乘积
)(2)()]},(Re[{2),(lim 0
Im p p p Z p p A εωδπωεωπδω-∑?=--=∑→
推迟格林函数定义为
),(2)(),(ωπωθωp A e i d t t p G t
i ret -∞
∞
-?
= (7.2.10)
根据格林函数的衰减我们可定义弛豫时间。在谱函数的峰值p E ≈ω附近我们有
ω
ωωεωωεω?∑?--∑∑--≈--)
Re()
()],(Re[)],(Re[p p p E p p )
(])Re(1)[(p Z E E p
p -≈
?∑?-
-≈ωωω 这样谱函数近似为
∑--∑-≈
2
22)][Im(/){)
Im(2),(Z E p A p ωω
上式用(7.2.8)定义的弛豫时间改写为
2
2)
2/(){)
(/1)
(),(τωτω+-≈p E p p Z p A 这样(7.2.10)变成
)()(),(2/t e e
p iZ t p G t itE ret p
θτ---=
由此可知，Z 是准粒子强度，即衰减波的振幅。我们还可以从另外一个角度来理解寿命定义中的因子Z 。∑-)Im(2（寿命的倒数）是态),(ωp 衰减的速率，而Z 是准粒子强度的一部分，准粒子强度的其余部分通常色散掉了。
现在我们可以计算单声子自能对准粒子寿命的贡献了。由表达式
)]()1()([)2(2)],(Im[2000022
33q p q p N N q M q d p ==--++-∑?+=-εωωδεωωδππω
])()(ln )()1()()(ln )([)(2
/102/10002/102/10002/12
/30
p
p p p p N N εωωεωωωωθεωωεωωωωθεωα--+--++-++++= (7.2.11)
在0,00→≤-≈p αωω时
∑+-≈+=-)](2/[2)
(2)],0(Im[202
002
/102
/300ωωωωαωωωαωO N N ∑++=--)](2/1[2)],0(Im[22000ααωααωO N
这样寿命
)](1[1
)211)(211(1
)]Im(2[1
200ατααττ
O Z +=+-∑=
-= 3 迁移率中1-α项的推导(see, Section 7.2 of Ref.[3])
利用久保公式计算电导率
>
j j T e d i i ττνωπτβ
ωτ
]})
({Im[lim 0ω
ωπσωret →-=
en -=
σ
μ
e 和n 0分别是电子电荷和浓度。 一阶项为
),(),(1)2(3)(23
322)
0(ωβπ?π
i ip p G ip p G p p d m e i n ip n B n +∑?= ])([),(2)2(32
23
32
2)
0(εεωπεπσ
??-??=F B n p A d p p d m e
(7.2.13)
假设电子遵循Maxwell-Boltzmann 分布
)
(2/3*2
20)2(3E B F e m
m e n --=εβπβ 因为
0)
(
εF n ，所以)0(σ是正值。 2)
(23
32/3*2)
0(),(2)
2()2(60επεππββμ
εβp A e d p p d m m e E B --??-= (7.2.14)
其中谱函数平方∑+∑--∑-=2
22
2
})][Im()],(Re {[)]},(Im[2{),(ωεωωωp p p A p
2
222
2}
)2/(){()()(τωτ+-=-p E p p Z 在∑→0Im （或∞→)(p τ）的极限下，
)()()(4),(22p E p Z p p A -≈ωδπτε
)(2
23
32/3*2)
0(0)()()2()2(3E E B p e
p p Z p p d m m e --?-=βτππββμ
引入新变量2/1*)2/(m p x β=则在低温极限下（0→T ）能量指数
)](1[)](1[2)(0
22
0*
20βωωεββx O x O m p E E p p +=+=- 另外，在低温极限下（0→T ）0)2/(2/1*→=-m x p β。所以)0()(Z p Z →，
)0()(ττ→p ，则
2
*2042/12*2)
0()0()0()(38])0()0([2
B x B m m Z e e dxx m m Z e τπτμ
β-=?-=- (7.2.15) 用
α2
11)0(0-=≡Z Z
0)0(τττ=≡
α6
1
1*+=B m m 代入则
)6
5
1(0)0(ατμ--
=B m e . (7.2.16)
将
000
21
ωατN =和0
002N m e B ωαμ-
=代入上式得
αμμ6
5
10)0(-=.
参考文献：
[1]H. E. Hall,固体物理学，高等教育出版社，1983。
[2]钱佑华，徐至中，半导体物理，高等教育出版社，1999。
[3]G .D.Mahan, Many-Particle Physics, Plenum Press, 1990,Section 7.2。
[4]卫崇德，章立源，刘福绥，固体物理中的格林函数方法，高等教育出版社，1992。
格林函数与输运
《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运 内容提要：1概述； 2单粒子性质的格林函数表述； 3用格林函数推导迁移率中1-α项 1概述 1． 1金属中电子输运特性 对于金属 * m e τμ- =， μσ0en -=， τ是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0=t 时一个处于某动量本征态的电子在τ=t 时完全失去了对其原有动量的记 忆。输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等： ∑=--i i 11ττ 即输运驰豫时间由各种机构中i τ最小的决定。 绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。T >0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m ，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see, p.131 in Ref.[1]），在低温时水平地达到一定值。低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessen rule ，又翻译为马提生定则（1862））。这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。 上述金属中的杂质不含磁性杂质。磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。 1． 2半导体输运特性 半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。光学波也通过两种方式散射电子：二种不
格林函数()
§2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ??∑ ??S d v u ? 化成体积积分 . )(??????????????+?=???=??∑ T T T vdV u vdV u dV v u S d v u ? （12-1-1） 这叫作第一格林公式。同理，又有 . ???????????+?=??∑ T T vdV u udV v S d u v ? （12-1-2） （12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 , )()(??????-?=??-?∑ T dV u v v u S d u v v u ? 亦即
.)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v u （12-1-3） n ?? 表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 )( ),(T r r f u ∈=?? ? （12-1-4） 第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 ),( M u n u ?βα=??????+??∑ （12-1-5） 其中 ?（M ）是区域边界 ∑ 上的给定函数。α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的 δ 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0）表示位于r 0点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0）应满足方程 ).() ,(00r r r r v ????-=?δ （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4），u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得 . )( )(0?????????--=?-?T T T dV r r u vfdV dV v u u v ? ?δ （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0点，?v 具有δ 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0的小体积，例如半径为 ε 的小球K ε（图12-1），∑ε 的边界面为∑ε 。对于剩下的体积，格林公式成立，
格林函数法求解场的问题
格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： Heat Eq.： ()2222 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20 u f r ρε?=-=- 表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势： () ' '0 4r d V r r ρφπεΩ=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Green ’s Functions 的概念。 Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions. 下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题： ()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβ???=-??? ????+=??????? 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ 代表自由电荷密度。
格林函数()
§2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具 有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ??∑ ??S d v u 化成体积积分 . )(??????????????+?=???=??∑ T T T vdV u vdV u dV v u S d v u （12-1-1） 这叫作第一格林公式。同理，又有 . ???????????+?=??∑ T T vdV u udV v S d u v （12-1-2） （12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 , )()(??????-?=??-?∑ T dV u v v u S d u v v u 亦即
.)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v u （12-1-3） n ?? 表示沿边界 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 )( ),(T r r f u ∈=? （12-1-4） 第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 ),( M u n u ?βα=??????+??∑ （12-1-5） 其中 （M ）是区域边界 上的给定函数。＝0， ≠0为第一类边界条件， ≠0，＝0是第二类边界条件，、 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0 ） 表示位于r 0 点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0 ）应满足方程 ).() ,(00r r r r v -=?δ （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4）， u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得 . )( )(0?????????--=?-?T T T dV r r u vfdV dV v u u v δ （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0 点，v 具有 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0 的小体 积，例如半径为 的小球K （图12-1）， 的边界面为 。对于剩下的体积，
武汉大学数学物理方法5_4用电像法求某些特殊区域的狄氏格林函数
§5.3格林函数的一般求法
一、泊松格林函数
1、三维泊松方程的基本解 对于 D G = -d ( M - M 0 ) M ?t (1) 1 ? 2 ?G 注意到 DG = (r ) 2 ?r ?r r ? ?G 1 ? 2G + (sin q )+ 2 ?r r sin q ?q r 2 sin q ? j 2 1 由于是点源产生场故问 题是球对称的 1 d 2 dG 故原定解问题 ? (r ) = d (r ) dr r 2 dr
r = MM 0 =
?
( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2
(1)若 r 1 0 即 M 1 M 0 1 d 2 dG 则 (r )=0 2 dr dr r d 2 dG C1 ù é 2 dG 于是 ( r )=0?r = C1 ? êdG = dr ú 2 dr dr dr r ? ? 1 ? G = - C1 + C 2 取 C 2 = 0 r 1 仍为方程的解 G = - C1 r
( 2 ) 若 r = 0，则应考虑以 M 0 为中心任意小 e 为半径 的球体中情况
由(1)， D Gdxdydz òòò
t
= - òòò d ( x - x0 , y - y 0 , z - z 0 )dxdydz
te
= -1
即 lim
e ?0
òòò
te
D Gdxdydz = - 1
(2)
又当 e 1 0时
òòò
te
DGdv =
òòò = ? Gd s = òò òò
te
? × ? G dv
se
?G ds s e ?r
= =
òò
se
C1
1
e2
ds
2p p
òò
0 0
C1 2 e sin dqdj 2 e
= C1 4p
对此式两边取极限
:
数学物理方程-第五章格林函数法
第五章 格林函数法 在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问 题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用. §5?1 格林公式 在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广. 设Ω为3R 中的区域，?Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在 Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实 函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω?ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去. 如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ??简记为P x ??或x P 等等. 设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式 ( )P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω ?Ω ???++=++???????? (1.1) 或者 ( )(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ ?Ω ???++=++???????? (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： ( ,,)x y z ??? ?=???，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式 ???????=??Ω Ω ds n F dv F (1.3) 其中(cos ,cos ,cos )n αβγ= 为?Ω的单位外法向量. 注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R = 时，其运算定义为 (,,)(,,) , F P Q R x y z P Q R x y z ??? ??=???????=++???
数学物理方法作业
目录 0 引言 (2) 1 格林函数法求解稳定场问题 (3) 2 泊松方程的格林函数 (4) 3 镜像法求格林函数. (5) 4 格林函数的对称性 (11) 5 求解泊松方程的第一类边值问题 (13) 6 用正交函数组展开格林函数 (14)
0引言 格林函数, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数在电磁场理论中有着非常广泛的应用，如在求解静电场问题时，往往会涉及到求解感应电荷的问题，而一般来说感应电荷的量值是不易求得的，特别是对不规则形状的导体通过应用格林函数的倒易性来求解某些接地导体上感应电荷，能比较简便地解决这个问题。本文就在格林函数求解稳定场问题方面加以讨论。
1 格林函数法求解稳定场问题 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： 热力学方程.： ()2222 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 泊松方程.： ()20 u f r ρε?=-=- 表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势： () ' '0 4r d V r r ρφπεΩ=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入格林函数s 的概念。 格林函数：代表一个点源所产生的场。普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 格林函数. 下面，我们先给出格林函数s 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 格林函数s 。
格林函数以及拉普拉斯方程
格林函数 格林函数的概念及其物理意义 格林函数法是求解导热问题的又一种分析解法。 从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。 物体中的温度分布随时间的变化是由于热源、边界的热作用以及初始温度分布作用的结果。这些热作用都可以看做广义上的热源。从时间的概念上说，热源可以使连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为瞬时作用的热源。同样的热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为点热源、线热源和面热源。在各种不同种类的热源中，瞬时点热源虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为在其他的各种热源都可以看作是许多瞬时热源的集合，即把空间中的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源，在特定的几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格（Green)函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场叠加得到，数学上即成为某种几分。这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基本思路。采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程，对于一维、二维和三维问题的解在形式上都可以表示的非常紧凑，而且解的物理意义比较清楚。格林函数法可以来求解不同类型的偏微分方程，包括线性的椭圆形的偏微分方程（如带有热源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程（如力学中的震动问题）。在此仅讨论用格林函数法求解非稳态导热问题。 用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，而格林函数的形式取决于特定问题的具体条件，包括几何条件（即有限大、半无限大或无限大）、边界条件和坐标系的选取。因此用格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对特定定解条件的导热系统确定其格林函数。本方法的第二个要点是确定有热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数的关系。本节从几个较简单的例子开始介绍格林函数法在解决稳态导热问题中的应用，再推广到更为一般的情况。 “瞬时”和“点”热源的概念在数学上都可用狄克拉δ分布函数，简称δ函数，来表示。δ函数的定义为
格林函数--偏微分方程解的积分表示
第十四章 格林函数 --偏微分方程解的积分表示 解偏微分方程主要有两种方法： 数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。 理论物理中的Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。 1，Green 函数的意义： 物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数 数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。 2，Green 函数的分类： 边界值Green 函数：(,')G r r 源函数 初始值Green 函数：(,,',')G r t r t 传播函数 3，Green 函数的性质： 1）对称性：(,')(',)G r r G r r = 与定解问题相关，即与厄米性相关。 2）时间传播函数没有对称性：(,,',')(',',,)G r t r t G r t r t ≠. 3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ?+=--，若λ是对应齐次方程 的本征值，即2?λ??=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在（既有点源又无流，物理上自相矛盾！） 4，Green 函数边值条件： 设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。 1）齐次边值条件：()|0.G G n αβ∑?+=? 2） |0r G →∞=有解：基本解。 5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求(,')G r r 2）利用迭加原理给出待求解()u r 的积分形式
6，Green 函数的求法： 1) 特殊方法：21 (').|'| G r r G r r δ?=--?= -。 2）本征函数展开法：相应算子在同一边界条件下的本征函数作为基矢。 3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。 4）积分变化法：LT ，FT 。 5) 形式解：算子运算。 14.1 Green 函数与偏微分方程 1，定义：Green 函数(源函数，影响函数，传播函数，传播子) 数学上，含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解； 物理上，点源在一定物理条件下产生的场。这种解（场）在时空中的分布与传播。 例1， Possion Equation: 224(),(,')4('), |0.|0.1 (,'),()(,')(')' |'| u r G r r r r u G G r r u r G r r r dr r r πρπδρ∑∑???=-?=--?? ?==???==-? 基本解---无界空间Green 函数的叠加。 例2，Helmholtz Equation ： 22()4(),()(,')4('), |0.|0. ()(,')(')'(see below for the solution,(,'):;('):). u r G r r r r u G u r G r r r dr G r r Field r Source λπρλπδρρ∑∑???+=-?+=--?? ?==???=? 例3， 波动方程， 22222 222(,),|0,|0,|0. (,;',')(')('),|0,|0,|0. t t t t t t a u r t t u u u a G r t r t r r t t t G G G ρδδ∑∑???-?= ???? ===?? ??-?=-- ???? === 在含时Green 函数(,;',')G r t r t 中，为方便计， 我们将它简记为(,').G r r
格林函数法
§3.4 格林函数法 利用一个点电荷的边值问题的解，可以解决同类边值问题：对于给定空间区域V 内的电荷分布ρ和V 的边界S 上（第一类边值问题）各点的电势S ?，或者（第二类边值问题）各点的电场法向分量S n ???。 静电场的电势函数满足泊松（Simeon Denis Poisson, 1781-1840）方程 20 ρ ?ε?=? 其中()r ρG 为电荷密度。位于r ′G 处的单位点电荷的密度分布函数为()r r δ′?G G ，它所产生的静电势(,)G r r ′G G 满足类似的微分方程 2 ()(,)r r G r r δε′?′?=?G G G G ， (3.15) 和相应的边条件。以此Green 函数取代格林公式(0.12)中的函数()r ψG ，可得积分方程 0()(,)()(,)()(,)(),V S r G r r r G r r r dV G r r r dS n n ??ρε?′′????′′′′′′=+???′′??? ?∫∫∫∫∫G G G G G G G G G G w (3.16) 第一类边值问题的Green 函数：在边界S 上各点的电势为零的条件下，空间区域V 内x ′G 的单位点电荷产生的电势分布就是第一类Green 函数，记为1(,)G x x ′G G 。利用(3.16)式可以得到第一类边值问题的解，即 0(,)()(,)()().V S G r r r G r r r dV r dS n ?ρε?′?′′′′′=?′?∫∫∫∫∫G G G G G G G w (3.17) 第二类边值问题的Green 函数：在边界S 上各点的电场法线分量为常数01 S ε的条件下，空间区域V 内x ′G 的单位点电荷产生的电势分布就是第二类Green 函数，记为2(,)G x x ′G G 。利用(3.16)式可以得到第二类边值问题的解，即 0()1()(,)()(,)().V S S r r G r r r dV G r r dS r dS n S ??ρε?′?′′′′′′′=++′?∫∫∫∫∫∫∫G G G G G G G G w w (3.18) 【无界空间的格林函数】（P58） 【半无限空间的格林函数】（P59） 【球外空间的格林函数】（P60） 【球内空间的格林函数】（补充题）
§10 格林函数法求解稳定场问题
第十讲 格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： 热传导方程（Heat Eq.）： ()2 22 2 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场 u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20 u f r ρ ε?=-=- 表示静电场 u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：
() ' ' ' 04V r dV r r ρ φπε=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Grenn ’s Functions 的概念。 Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。 下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。 （我们将不介绍格林函数法在热传导问题和波动方程求解中的应用。） 普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions. 我们只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions. 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：
格林函数
格林函数 这是一篇关于格林函数经典解法的文章。从现代的讨论中寻求根本的解法。在数学中，格林函数是一种用来解有边界条件的非齐次微分方程式的函数。 在多体理论中，这一术语也被应用于物理中，特别在量子场论，电动力学和统计领域的理论，尽管那些不适合数学定义。 格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林（George Green ），早在1830年，他是第一个提出这个概念的人。 在线性偏微分方程的现代研究中，格林函数主要用于研究基本解。 内容 1、定义及用法 2、动机 3、非齐次边值问题的求解 3.1、研究框架 3.2、定理 4、寻求格林函数 4.1、特征矢量展开 5、拉普拉斯算子的格林函数 6、范例 7、其他举例 定义及用法 技术上来说，格林函数),(s x G 伴随着一个在流形M 中作用的线性算子L ，为以下方程式的解： )(),(s x s x LG -=δ (1) 其中δ为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程： )()(x f x Lu = (2) 若L 的核是非平凡的，则格林函数不只一个。不过，实际上因为对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只需是一种数学分布即可，不一定要具有一般函数的特性。 格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高
的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。其方程如下： )(),(s x s x LG --=δ 这一定义并不显著改变格林函数的任何性质。如果运算符是平移不变量，即当L 与x 是线性关系时，那么格林函数可以转换成一个卷积算，即为： )(),(s x G s x G -= 在这种情况下，格林函数和线性不变系统理论中的脉冲响应是相同的。 动机 若可找到线性算符 L 的格林函数 G ，则可将(1)式两侧同乘)(s f ，再对变量 s 积分，可得： )()()()(),(x f ds s f s x ds s f s x LG =-=??δ 由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于)(x Lu ，因此： ds s f s x LG x Lu )(),()(?= 由于算符 L 为线式，且只对变量x 作用，不对被积分的变量 s 作用），所以可以将等号右边的算符L 移到积分符号以外，可得： ))(),(()(ds s f s x G L x Lu ?= 而以下的式子也会成立： ds s f s x G x u )(),()(?= (3) 因此，若知道(1)式的格林函数，及(2)式中的)(x f ，由于L 为线性算符，可以用上述的方式得到)(x u 。换句话说，(2)式的解)(x u 可以由(3)式的积分得到。若可以找到满足(1)式的格林函数G ，就可以求出)(x u 。 并非所有的算符L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论,(3)式的积分也很难求解，因此
格林函数(免费)
§2.4 格林函数法解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一 种常用的方法— —格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个 点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以 用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设 u （ r ）和 v （r ）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶 导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 u v dS 化成体积积分 u v dS (u v)dV u vdV u vdV . T T T （12-1-1） 这叫作第一格林公式 。同理，又有 v u dS v udV u vdV. T T （ 12-1-1）与（ 12-1-2）两式相减，得 (u v v u) dS (u v v u) dV , T 亦即 u v v u dS (u v v u)dV . n n T n 表示沿边界 的外法向求导数。（ 12-1-3）叫作 第二格林公式 。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 （12-1-2） （12-1-3）
第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 u u (M ), n （12-1-5） 其中 （M ）是区域边界 上的给定函数。 ＝ 0， ≠0 为第一类边界条件， ≠0， ＝ 0 是第二类边界条件， 、 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作 第一边值问题或狄里希利问题 ，与第二类边界条件构成的定解问题叫作 第二边值问题或诺依曼问题 ，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题 。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。 §5.3 中介 绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以 v （ r ， r 0）表示位 于 r 0 点的单位强度的正点源在 r 点产生的场，即 v （r ， r 0 ）应满足方程 v(r , r 0 ) (r r 0 ). （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。 以 v （ r ，r 0）乘（12-1-4）， u （r ）乘（ 12-1-6），相减，然后在区域 T 中求积分，得 (v u u v) dV z T vfdV u (r r 0 )dV . T T T （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化 K r 0 成面积分。但是，注意到在 r ＝r 0 点， v 具有 函数的奇异性，格林公式不 能用。解决的办法是先从区域 T 中挖 O y 去包含 r 0 的小体积，例如半径为 的小 球 K （图 12-1）， 的边界面为 。 x 图 12-1 对于剩下的体积，格林公式成立， (v u u v) dV v u u v dS v u u v dS. T K n n n n （12-1-8） 把（ 12-1-8）代入挖去 K 的（ 12-1-7），并注意 r ≠ r 0 ，故 （r －r 0 ）＝ 0，于是 v u u v dS v u u v dS vfdV . n n n n T K （12-1-9） 当 r r 0 1 ，方程（ 12-1-6）的解 v （ r ，r 0）—→ 位于点 r 0 而电量为－ 0 的点电 r r