高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入例题与探究北师大版选修2-2讲义

高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的

引入例题与探究 北师大版选修2-2

高手支招3综合探究

1.含有参数形式的复数何时表示实数、虚数、纯虚数.

此类问题是涉及到复数的分类及各自概念,在理解的基础上注意它们的联系与区别,以此作为判断它们为实数、虚数、纯虚数的条件.

复数z=a+bi 当且仅当b≠0时为虚数,当且仅当b=0时为实数,当且仅当a=0,b≠0为纯虚数,当且仅当a=0,b=0时为0.

下面以3m+9+(m 2+5m+6)i,m 为何值时表示实数、虚数、纯虚数为例说明.

(1)若表示实数则:m 2+5m+6=0(即虚部必须为零);

(2)若表示虚数则:m 2+5m+6≠0(即虚部不能为零);

(3)若表示纯虚数则:3m+9=0且m 2+5m+6≠0(即实部必须为零,虚部不能为零).

2.两个复数相等的充要条件及应用时应特别注意的问题.

因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量相等来理解.在向量坐标表示中,两个向量相等则对应坐标要相等.

两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等.

在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a 、b 、c 、d∈R ,即当a 、b 、c 、d∈R

时,a+bi=c+di ?

??==?.,d b c a 但忽略条件后,则不能成立,因此解决复数相等问题,一定要把复数的实部与虚部分离出来.再利用复数相等的充要条件,化复数问题为实数问题.

3.复系数一元二次方程根的问题与实系数一元二次方程根的问题.

利用复数相等可解决复系数方程根的问题,如果复系数方程有实根,我们将其中的未知数视为等式中的一个实数,将方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R )的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.这里要特别注意,方程有实根务必注意不能用判别式Δ≥0来处理方程的根的问题,否则出错.

如果复系数一元二次方程无实根,则同样不能用Δ<0来处理.此时,方程有复数根,可设方程的根为z=m+ni(m,n∈R ),然后,化简方程,使方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R )的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.

另外,当实系数一元二次方程无实根时,方程的判别式Δ<0,此时虽无实根,但有虚数根,如

实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a,b,c∈R )无实根,则其有两个虚根,分别

为:x=a

i b ac b 242-±-. 当然,也可以设方程的根为z=m+ni(m,n∈R),然后,化简方程,使方程变形化简为s+ti=0(s,t∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.

高手支招4典例精析

【例1】 如果用C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C 为全集,那么有（ ）

A.C ＝R∪I

B.R∩I＝{０}

C.R ＝C∩I

D.R∩I＝? 思路分析:复数系的构成是

复数z=a+bi(a,b∈R )??

??????≠=≠=)0()0()0()0(a a b b 非纯虚数纯虚数虚数实数

由此不难判断正确答案为D 项.

答案:D

【例2】 若z 1=sin2θ+icos θ,z 2=cos θ+i 3sin θ,当z 1=z 2时θ的值为（ ）

A.k π

B.2k π+

3

π C.2k π±3π D.2k π+6π(以上k∈Z ) 思路分析:由已知z 1=z 2,利用复数相等的充要条件,然后解三角方程即

得.∵z 1=z 2,∴???

????==???==,33tan ,21sin ,sin 3cos ,cos 2sin θθθθθθ从而得θ=2k π+6π（k∈Z ）.故选D 项. 答案:D

【例3】 m 为何实数时,复数z=25

23222---m m m +(m 2+3m-10)i(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.

思路分析:利用复数分类,是实数,只要令复数z 的虚部为零即可;是虚数,只要令复数z 的虚部不为零即可;是纯虚数,只要令复数z 的实部为零,虚部不为零即可.

解:(1)令m 2+3m-10=0,得m=2或m=-5.∵分母m 2-25≠0,∴m≠-5.∴m=2;(2)令m 2+3m-10≠0,

又分母m 2-25≠0,得m≠2,且m≠-5,且m≠5;(3)令??

???≠-+=---,0103,025232222m m m m m

m 2+3m-10≠0,得m=2

1-. 【例4】 当实数m 为何值时,复数(m 2-8m+15)+(m 2+3m-28)i 在复平面中的对应点(1)位于第四

象限;(2)位于x 轴的负半轴上:

思路分析:复数a+bi(a,b∈R )在复平面内的对应点：

对于(1)应满足???<>;0,0b a 对于(2)应满足???=<.

0,0b a

解:(1)由已知?????=-+<+-,0283,015822m m m m ∴?

??<<-<<.47,53m m m 或 ∴-7

(2)由已知?????=-+<+-,

0283,015822m m m m 解之得:m=4.

【例5】 已知a∈R ,问复数z=(a 2-2a+4)-(a 2-2a+2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点

的轨迹是什么？

思路分析:根据复数与复平面上点的对应关系知,复数z 对应的点在第几象限,与复数z 的实

部和虚部的符号有关.所以本题的关键是判断a 2-2a+4与-(a 2-2a+2)的符号.而求复数z 对应

点的轨迹问题,首先把z 表示成z=x+yi 的形式,然后寻求x,y 之间的关系,但要注意参数限定的条件.

解:a 2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a 2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1.由此可知,z 的实部为正数,z 的虚部为负数.

∴复数z 的对应点在第四象限.

设复数z=x+yi(x,y∈R ),则?????+--=+-=),

22(,4222a a y a a x 消去a 2-2a 得y=-x+2(x≥3),∴复数z 对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3).

【例6】 用复数表示下图各题的阴影部分

.

思路分析:本题关键在于要设出复数z=x+yi(x,y∈C ),并利用其坐标在复平面内的范围写出用复数表示平面区域中阴影部分的图形.

解:设复数z=x+yi(x,y∈R ),则有:

(1){z|z=x+yi,1

(2){z|z=x+yi,x≤3,y≥1};

(3){z|z=x+yi,1≤|z|≤2,x≥0,y≥0};

(4){z|z=x+yi,|y|≤x,x≥0}.

【例7】 设z 1=6-3i,z 2=22

--22

i,z∈C .若全集

I={z||z|≤|z 1|,z∈C},A={z||z|≤|z 2|,z∈C},那么A 中所有z 在复平面上对应的点的集合是什么图形？

思路分析:解决复数在复平面上对应的几何图形问题,要熟练掌握两点:①复数z=x+yi(x,y∈R )在复平面上对应点Z(x,y);②|z|的几何含义为z 在复平面上对应点Z 与原点的距离.本题关键是求出|z|的取值范围,就可确定z 在复平面上的图形.

解:由已知:|z 1|=22)3()6(-+=3,|z 2|=2

22222???

? ??-+???? ??-=1,

∴I={z||z|≤3,z∈C },A={z||z|≤1,z∈C },

∴A ={z|1<|z|≤3,z∈C }, ∴A 中的z 在复平面上对应的点Z 的集合应是与原点距离大于1而不大于3的所有点. ∴A 中的所有z 在复平面上对应的点的集合是以原点为圆心,以1和3为半径的圆所夹的圆环,但不包括小圆的边界(如图).

【例8】 设z∈C ,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？

(1)|z|=2;(2)2<|z|<3.

解:(1)因为|z|=2,即|OZ |=2,如果设z=x+yi(x,y∈R ）,所以满足|z|=2的点Z 的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆.(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组?

??<>.3||,2||z z 满足不等式|z|>2的点的集合是圆|z|=2外部所有的点组成的集合,满足不等式|z|<3的点的集合是圆|z|=3内部所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解所对应点的集合.因此,满足条件2<|z|<3的点Z 的集合是以原点为圆心,分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界.如下图所示.

高手支招5思考发现

1.对于复数用非标准形式给出,应先化成标准形式a+bi 的形式,使复数问题实数化,这是解复数问题的基本思想,也是化归思想的重要表现.

2.对于复数分类问题的求解,主要包含四类:是实数,是虚数,是纯虚数,是零.是实数就必须使复数的虚部为零;是虚数就必须使复数的虚部不为零;是纯虚数就必须使复数的虚部不为零,同时要使复数的实部为零;是零就必须使复数的实部和虚部均为零.

3.对于涉及到利用复数相等的问题,求解时关键是要抓住两个复数相等的充要条件,从而将复数问题转化为实数问题的主要方法.此外,要明确由一个复数等式可得到两个实数等式这一性质,并在解题中会运用它.

4.在设复数的过程中常设为z=a+bi(a,b∈R );在有关的解决轨迹问题中常设z=x+yi 从而与解析几何联系起来;当复数的模为1时也可以设为z=cos θ+isin θ用三角函数解决相关最值等.

5.复数相等是解决复数问题常用的方法,这是一个将复数问题实数化的过程,转化后再用实数范围内的相关方法来解.

6.在判定复系数一元二次方程根的问题时不能用判定实系数一元二次方程根的问题的方法来解决,否则就会出错.如果复系数一元二次方程有实根,那么就将未知数视作实数,将方程化为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等的充要条件解之.