2015深圳二模数学(文)试卷 Word版含答案

绝密★启用前 试卷类型：A

2015年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（文科） 2015.4

本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+$$$的系数公式：

1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ==--=-∑∑$，

a y bx =-$$，其中x ，y 是数据的平均数．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1.i 是虚数单位，复数1

1i

+在复平面内对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2.平面向量(1,2)=-a ，(2,)n =-b ，若a // b ，则n 等于

A ．4

B ．4-

C ．1-

D ．2

3.已知集合{}

10A x x =->，{}

21x

B x =>，则A B =I

A ．?

B ．{}01x x <<

C ．{}0x x <

D ．{}

1x x > 4.命题0:0p x ?>，00

1

2x x +=，则p ?为 A ．0x ?>，12x x +

= B ．0x ?>，12x x +≠ C ．0x ?>，12x x +≥ D ．0x ?>，1

2x x

+≠

5.已知直线l ，平面,,αβγ，则下列能推出//αβ的条件是

A.l α⊥，//l β

B.//l α，//l β

C.α⊥γ，γβ⊥

D.//αγ，//γβ 6.已知某路口最高限速50km /h ，电子监控测得连续6辆汽车的速 度如图1的茎叶图（单位：km /h ）．若从中任取2辆， 则恰好有1辆汽车超速的概率为 A.

415

D.3

5

7.将函数()sin(2f x =?的

最小正值为

A ．

π6

D ．7π12

8.03422=+-+y y x 相切，则

A ．

1

2

D ．2 9.如图2

所示的程序框图的功能是求 分别填写

A ．5?i <，S S =

B ．5?i

≤，S =

C ．5?i <，2S =

D ．5?i ≤，2S =

（图1）

3 8

44 1 3 6 5 5 8

10.定义在[+t ∞，）上的函数()f x ，()g x 单调递增，()()f t g t M ==，若对任意k M >，

存在12x x <，使得12()()f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在[+t ∞，）上的“追逐函数”.

已知2()f x x =，下列四个函数：①()g x x =；②()ln 1g x x =+；③()21x g x =-；④1

()2g x x

=-

.其中是()f x 在[1+∞，）上的“追逐函数”的有 A ．1个 B.2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为

必做题和选做题两部分．

（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答． 11.等差数列{}n a 中，44a =，则1592a a a ++= ．

12.若实数,x y 满足222x y x +≥??

≤???

，则22x y +的最小值为 ．

13.的体积为 ．

（二）选做题：第14得分．

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x s

y s

=+??

=-?（s 为参数）与

曲线C ：2

3

x t y t =+??=?（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 、AC 是⊙

O 的两条 切线，切点分别为B 、C ．若60BAC ∠=?，6BC =，

则⊙

O 的半径为 ． A

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 在ABC ?中，已知π11

sin(

)214

A +=,1cos(π)2

B -=-.

（1）求sin A 与B 的值；

（2）若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值.

17．（本小题满分12分）

PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究

车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5

（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$； （3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时

PM2.5的浓度为多少（保留整数）？

18．（本小题满分14分）

如图5，ABC ?是边长为4的等边三角形，ABD ?是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =. （1）证明：//DE 平面ABC ； （2）证明：AD ⊥BE .

19．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*

n ∈N ）.

（1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式248n n a m a m -?=+成立？若存在，请求出所有满足条件的(,)m n ；若不存在，请说明理由.

D

C

A

B

E

（图5）

20．（本小题满分14分）

已知平面上的动点P 与点(0,1)N 连线的斜率为1k ，线段PN 的中点与原点连线的斜率为2k ，1221

k k m

=-

(1m >)，动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；

（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线C 的弦AB 为直径；

②过点N ；③直径AB =．求m 的取值范围．

21．（本小题满分14

已知函数()f x =0>，都有0)1

()(=+x

f x f . （1）求a ，b （2）若)(x f 0)2

(2

>a

f ；

（3）在（2

2015年深圳市高三年级第二次调研考试

文科数学参考答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．

11．16. 12 15．算步骤．

16．（本小题满分12 在ABC ? （1）求sin A 与（2）若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值. 解：（1）π

sin()cos 2

A A +=Q ，

11

cos 14

A ∴=

，…………………………………………………………………………………2分 又0πA <

sin 14

A ∴=

.………………………………………………………………………………4分 1

cos(π)cos 2

B B -=-=-Q ，且0πB <<，

π

3

B ∴=.………………………………………………………………………………………6分

（2）法一：由正弦定理得sin sin a b

A B

=，

sin 7sin a B

b A

?∴=

=，…………………………………………………………………………8分

另由2

2

2

2cos b a c ac B =+-得2

49255c c =+-，

解得8c =或3c =-（舍去），………………………………………………………………11分

7b ∴=，8c =.………………………………………………………………………………12分

法二：由正弦定理得

sin sin a b

A B

=， sin 7sin a B

b A

?∴=

=，…………………………………………………………………………8分

又()cos cos cos()C A B A B π=--=-+Q ，

1111

sin sin cos cos 1421427

A B A B =-=

-?=，……………………10分 2222cos c a b ab A ∴=+-得21

2549257647

c =+-???

=， 即8c =，………………………………………………………………………………………11分

7b ∴=，8c =.………………………………………………………………………………12分

【说明】本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力.

17．（本小题满分12分）

PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究

车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：

（1

（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$； （3）若周六同一时间段的车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？

解：（1）散点图如下图所示. ………………………………………………………………2分

（2）

Q 74=，………6分

5

1i =∑5

1

i =∑

1

i

i b ==

$ 74 1.2854 4.88a y bx =-=-?=$， …………………………………………………9分

故y 关于x 的线性回归方程是：? 1.28 4.88y

x =+.…………………………………10分 （3）当25x =时， 1.2825 4.8836.8837y =?+=≈

所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37.…………………………………………12分 【说明】本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力.

18．（本小题满分14分）

如图，ABC ?是边长为4的等边三角形，ABD ?是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =. （1）证明：//DE 平面ABC ； （2）证明：AD ⊥BE .

证明：（1）取AB 的中点O ，连结DO 、CO ，…………1分

Q ABD ?∴DO AB ⊥，DO 又Q 平面ABD ⊥∴DO ⊥平面ABC 由已知得EC ⊥平面∴//DO EC 4分

又2EC DO ==，

∴四边形DOCE 5分 ∴//DE OC 6分

而DE ?平面ABC ，OC ?平面ABC ，

∴//DE 平面ABC .……………………………………………………………………………7分

（2）Q O 为AB 的中点，ABC ?为等边三角形，

∴OC AB ⊥，…………………………………………………………………………………8分

由（1）知DO ⊥平面ABC ，而OC ?平面ABC ，

可得DO OC ⊥，………………………………………………………………………………9分

Q DO AB O =I ，

OC ∴⊥平面ABD ，…………………………………………………………………………10分

而AD ?平面ABD ，

∴OC AD ⊥，………………………………………………………………………………11分

D

D

C

A

B

E

（第18题图）

又Q //DE OC ，

∴DE AD ⊥，………………………………………………………………………………12分

而BD AD ⊥，DE BD D =I ，

AD ∴⊥平面BDE ，…………………………………………………………………………13分

又BE ?平面BDE ，

∴AD ⊥BE .…………………………………………………………………………………14分

【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．

19．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*

n ∈N ）.

（1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式248n n a m a m -?=+成立？若存在，请求出所有满足条件的(,)m n ；若不存在，请说明理由.

解：（1）当1n =得21320a S ++=，解得24a =，………………………………………1分 当2n =得32320a S ++=，2122S a a =+=，

解得38a =-，…………………………………………………………………………………3分 （2）当2n ≥时，11()3()0n n n n a a S S +--+-=，

即1()30n n n a a a +-+=，12n n a a +=-（2n ≥），…………………………………………4分 另由212a a =-得12n n a a +=-，

所以数列{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，……………………………………5分

(2)n n a ∴=-.…………………………………………………………………………………6分

（2）把(2)n

n a =-代入2

48n n a m a m -?=+中得2(2)

(2)48n

n m m --?-=+，

即2(2)8(2)4n n m --=-+，……………………………………………………………………………7分

2(2)1688(2)4(2)4(2)4

n n

n n

m --+∴==--+-+-+，…………………………………………8分 要使m 是整数，则须有

8

(2)4

n

-+是整数， (2)4n ∴-+能被8整除，……………………………………………………………………9分

当1n =时，(2)42n -+=，

8

4(2)4

n

=-+，此时2m =-，……………………………10分 当2n =时，(2)48n -+=，

8

1(2)4

n

=-+，此时1m =，………………………………11分 当3n =时，(2)

n -+8

，此时14m =-，………………………12分

当4n ≥，(2)4n

-+13分 .………………………14分 【说明】20．（本小题满分14已知平面上的动点P 与点(0,1)N 连线的斜率为1k ，线段PN 的中点与原点连线的斜率为2k ，122

1

k k m =-

(1m >)，动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；

（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线C 的弦AB 为直径； ②过点N ；③直径AB =

．求m 的取值范围．

解：（1）设(,)P x y ，记PN 的中点为M ，所以1

(,

)22

x y M +．

由题意11

y k x

-= （0x ≠），21

22

y k x += （0x ≠），

由122

1

k k m =-

可得：()211122

y y x m x +??

-?

?

??=-?（0x ≠）， 化简整理可得：22

21x y m

+=（0x ≠），

曲线C 的方程为22

21x y m

+=（0x ≠）．……………………………………………6分

（2）由题意()0,1N ，

若存在以曲线C 的弦AB 为直径的圆过点N ，则有NA NB ⊥， 所以直线NA 、NB 的斜率都存在且不为0， 设直线NA 的斜率为k （不妨设0k >），

所以直线NA 的方程为1y kx =+，直线NB

的方程为y =将直线NA 和曲线C

消y 整理可得(21

m +

解得22221A m k x m k =-+

以k 1-替换k

，可得2

2222

2

221m k

m NB m k m

k

==++， 又因为AB =

，即有NA NB ==，

22

222

2

221m k

m m k k m =++， 所以3222

1k m k m k +=+， 即()(

)2

2

1110k k m

k ??-+-+=?

?，

（1）当m =()(

)()

3

2

2

11110k k m

k k ??-+-+=-=?

?，解得1k =；

（2）当 1m <<()22110k m k +-+=有()

2

2

140m

?=--<，

所以方程()(

)()

3

2

2

11110k k m

k k ??-+-+=-=?

?有唯一解1k =；

（3）当m >(

)

22110k m k +-+=有()

2

2

140m

?=-->，

且()

2211110m +-?+≠，所以方程()()

()3

22

11110k k m k k ??-+-+=-=?

?

有三个不

等的根．

综上，当 1m <≤

21．（本小题满分14分）

已知函数()ln (,)R b f x x ax a b x =-+

∈，且对任意0x >，都有0)1

()(=+x

f x f . （1）用含a

（2）若)(x f 并证明0)2

(2

>a

f ；

（3）在（2 解：（1

∴(1)0f a b =-+=1分 经验证，可得当a b =0=，

∴b a =．………………………………………………………………………………………2分 法二：1()()ln ln b a

f x f x ax x bx x x x

+=-+

--+Q b a

ax bx x x

=-+

-+， 1

()()0b a x x

=-+=，………………………………………………1分

∴要使上式对任意0x >恒成立，则须有0b a -=，即b a =.……………………………2分 （2）由（1）可知()ln a

f x x ax x

=-+

，且0x >， 222

1'()a ax x a

f x a x x x

-+-∴=--=，………………………………………………………3分

令2()g x ax x a =-+-，

要使)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，则须有()y g x =有两个不相等的正数根，

20102140(0)0a a a g a >???>?∴???=->?=-

a a a g a ????=->?=->??，解得102a <<或无解，………………………5分 a ∴的取值范围102a <<,可得2

1028

a <<， 由题意知2ln 2

2ln 2222ln )2(3

322--+=+-=a a a a a a a f ，

令32()2ln ln 22x h x x x =+--

，则242223'()2x h x x x =-- 而当1

(0,

)2

x ∈时，4434434(1)0x x x x -+-=---<()h x ∴在1

(0,

)2

∴1

()()2

h x h >=-即102a <<时，

f 7分

（3）∵1'(

)f x x =x a -， 令0)('=x f 得：1x =，2x =，由（2）知210<

y g x =的对称轴1

(1,)2x a

=

∈+∞，2140a ?=->，(0)0g a =-<， ∴21x >，又121x x =，可得11x <，

此时，)(x f 在),0(1x 上单调递减，),(21x x 上单调递增，),(2∞+x 上单调递减， 所以()y f x =最多只有三个不同的零点,…………………………………………………10分 又∵(1)0f =，

∴()f x 在)1,(1x 上递增，即1[,1)x x ∈时，()0f x <恒成立，

根据（2）可知0)2(2>a f 且21028a <<所以21(,1)2a x ?，即2

1(0,)2

a x ∈

∴2

01(,)2

a x x ?∈，使得0)(0=x f ，……………………………………………………12分

由0101x x <<<，得

011x >，又0)1(,0)()1

(00

==-=f x f x f ， ∴()f x 恰有三个不同的零点：0

01

,

1,x x . 综上所述，()y f x =恰有三个不同的零点．………………………………………………14分 【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.

命题人：殷木森、蔡俊杰、李勇 审题人：魏显峰