基于神经网络的电力系统高精度频率谐波分析

第27卷第34期中国电机工程学报V ol.27 No.34 Dec. 2007

2007年12月Proceedings of the CSEE ?2007 Chin.Soc.for Elec.Eng. 文章编号：0258-8013 (2007) 34-0102-05 中图分类号：TM 714 文献标识码：A 学科分类号：470?40

基于神经网络的电力系统高精度频率谐波分析

王小华1，何怡刚2

(1. 长沙理工大学电气与信息工程学院，湖南省长沙市 410077；

2. 湖南大学电气与信息工程学院，湖南省长沙市 410082)

Neural Network Based High Precision Power System Frequency Harmonic Analysis

WANG Xiao-hua1, HE Yi-gang2

(1. Department of Electrical and Information Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410077,

Hunan Province, China; 2. Department of Electrical and Information Engineering, Hunan University,

Changsha 410082, Hunan Province, China)

ABSTRACT: Window and interpolation algorithm is now widely employed to estimate power harmonics parameters, but its precision is limited in extreme asynchronous sampling cases. In this paper, a neural network algorithm is proposed for accurate estimation from periodic signals in power systems. It is aimed at the system in which the sampling frequency cannot be locked on the fundamental frequency. This new algorithm updates the parameters related to fundamental frequency, harmonic amplitude and phase, and when the algorithm convergent, accurate harmonic analysis results can be obtained. The simulating results show that the estimated fundamental frequency, harmonic amplitude and phase can be measured at accuracy of 99.999999999% with actual fundamental frequency varying from 40Hz to 60 Hz.

KEY WORDS: harmonic analysis; neural network; asynch- ronous sampling; fundamental frequency; window and interpolation algorithm

摘要：加窗插值 FFT 算法是电力谐波分析常用的高精度算法，但在严重非同步采样情况下，其谐波分析精度有限。该文提出一种基于神经网络的高精度电力系统频率谐波分析算法。采样频率不能与实际基波频率同步时，该算法通过对与基波频率、谐波幅值及相位等相关参数进行更新，当神经网络收敛时，可以获得高精度的谐波分析结果。仿真结果表明，当基波频率在40~60Hz范围变化时，电力系统基波频率、基波和谐波幅值和相位的分析精度超过99.999999999%。

基金项目：国家自然科学基金项目(50677014)；湖南省自然科学基

金(06JJ2024)；教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-04-0767)；高校

博士点基金(20060532002)。

Project Supported by National Natural Science Foundation of China (50677014)．关键词：谐波分析；神经网络；非同步采样；基波频率；加窗插值算法

0 引言

随着电力电子技术的广泛应用，电力系统谐波污染日益严重，对电力系统的安全、经济运行造成极大的影响。因此，确切掌握电网中谐波的实际状况显得非常重要。电力系统的谐波分析，通常是通过快速傅立叶变换(FFT)实现。在大多数情况下，由于无法做到同步采样和整周期截断，因而使FFT存在栅栏效应和泄漏现象。为了提高FFT算法的精度，许多文献采用准同步采样算法及加窗FFT插值算法进行谐波分析。然而准同步采样算法[1-2]复杂，且分析精度有限。加窗FFT插值算法[3-11]能有效减少频谱泄漏，通过增加余弦窗项数[12-13]可进一步提高谐波分析精度。然而，当在较严重的非同步采样情况下，加窗FFT插值算法的谐波分析精度下降。近年来，人工神经网络在电力系统中获得了蓬勃发展，并已在电力系统谐波分析中得到应用。然而，这些神经网络谐波分析方法[14-20]大多先采用加窗FFT插值算法获得电力系统的基波频率，然后用人工神经网络算法获得基波及各次谐波的幅值和相位，因而这些神经网络算法的谐波分析精度完全依赖于加窗FFT插值算法的基波频率分析精度。

本文提出一种新的神经网络电力系统频率谐波分析方法。该方法针对非同步采样、非整周期截断情况，进行高精度电力系统基波频率、基波及各次谐波的幅值和相位分析。实例表明，该算法具有

第34期 王小华等： 基于神经网络的电力系统高精度频率谐波分析 103

很高的计算精度，即使在严重非同步采样情况下(如

电力系统实际基波频率为40 Hz 或60 Hz)，也能获得同样高精度的频率、谐波分析结果。

1 电力系统频率谐波分析算法

1.1 神经网络结构

一个具有各次谐波的周期信号可表示为 01()sin(2)N

n n n y t A nf t ?==π+∑ (1)

式中：f 0为基波频率；A n 、n ?分别为第n 次谐波幅值及相位；N 为最高次谐波次数。因实际电力系统基波频率f 0未知，以50Hz 整数倍采样频率对上述信号进行离散，则式(1)可表示为

01()sin(),1,2,...N

n s n n y m A n mT m M ω?==+=∑ (2)

式中：0ω为基波角频率；T s 为采样周期。式(2)可进

一步表示为

010()[sin cos() cos sin()]N

n n s n n n s y m A n mT A n mT ?ω?ω==+

=

∑

001

[cos()sin()]N

n

s n s n a

n mT b n mT ωω=+∑ (3)

式中：sin n n n a A θ=；cos n n n b A θ=。式(3)的矩阵表

达式为

=+y aC bS (4) 式中：12[,,...,]N a a a =a ；12[,,...,]N b b b =b ； 000000000cos()cos(2)...cos()cos(2)cos(22)...cos(2)cos()cos(2)...cos()s s s s s s s s s T T MT T T MT N T N T N MT ωωωωωωωωω??????=????????C ###； 000000000sin()sin(2)...sin()sin(2)sin(22)...sin(2)sin()sin(2)...sin()s s s s s s s s s T T MT T T MT N T N T N MT ωωωωωωωωω??????=????????

S ###。 定义误差函数

=?e x y (5) 式中：x 为实际连续信号的离散样本向量；y 为神经网络的输出向量。定义性能指标为

2

11()2M m J e m ==∑ (6)

于是电力系统频率谐波分析问题可转化为使性能指标J 的最小化优化问题。为解决这一优化问题，采用并行BP 神经网络算法来实现。

假设信号的基波频率已知，则在式(4)中，a 和b 为未知向量。根据最速下降法，a 和b 按式(7)、(8)进行调整

T 1k k k k k

J

ηη+?=?=+?a a a e C a (7)

T 1k k k k k

J

η

η+?=?=+?b b b e S b (8) 式中0η>为学习率。为确保该神经网络收敛，选择正确的学习率是非常有必要的。 1.2 收敛定理

定义式(6)为Lyapunov 能量误差函数，则可以证明下面的收敛定理。

定理 如果学习率满足02/N η<<，则该神经网络算法稳定，且渐进收敛于全局最小点(其中，2N 为隐层神经元节点数)。 证明：因为

()()k k k k k

e m J

e m ηη??Δ=?=???a a a (9)

()()k k k k k

e m J

e m ηη??Δ=?=???b b b (10) T T

T T ()()()[

][]()()

()[]()() ()[

]k k k k k k k

k k k k k

k k k k k

e m e m e m e m e m e m e m e m e m ηη??Δ=Δ+Δ=??????????=??a b a b a a b b

22

()

()()k k

k k k

e m e m e m η??????

?+????????

a b (11) 式中2

2

?=?∑为Euclid 范数的平方。因此 }{22112

2

2

1

1{[()()]()}21 ()[2()()]2()()1 ()()2M

k k k k m M

k k k m M k k k m k k J e m e m e m e m e m e m e m e m e m η===Δ=+Δ?=

Δ+Δ=??+?

??∑∑∑a b

22

()()

(2)k k k k

e m e m ηη???++??a b (12)

从式(12)中可以看出，如果

22

()()

20k k

k k

e m e m ηη???++

则0k J Δ≤，即该神经网络收敛。由式(4)、(5)可知：

104 中 国 电 机 工 程 学 报 第27卷

22

2

2

()()

()()()()

()()k k

k k k k k k

e m e m e m e m y m y m y m y m ??+=

???????+?=

????a b a b 2

2

(:,)(:,)m m N ?+?=C S (14)

因此，当02/N η<<时，有0k J Δ≤。如果0k J Δ=,

根据式(12)、(13)有

2

2

2()

()()()0, 1,2,...,k

k k k

k

e m e m e m m M ??+==??a b (15)

由式(14)、(15)，得

()0,

1,2,...,k e m m M == (16)

即0k Δ=a ；0k Δ=b ；0k J =。因此，该神经网络稳定，且渐进收敛于全局最小点。 1.3 神经网络算法的改进

上述神经网络算法在训练过程中只更新权值向量a 和b ，因此在电力系统的实际基波频率已知时，当神经网络收敛，可以获得高精度的电力系统基波及各次谐波的幅值和相位。然而，在大多数情况下，并不知道电力系统电压或电流信号的实际基波频率，为此，进一步提出该神经网络的改进算法来获取高精度的电力系统基波频率。

定义

122422M M N N NM ????

?

?=??????

""####"P (17) 按最速下降法，参数0ω按式(18)进行调整

000(1)()()

J

k k k ωωβ

ω?+=?=? T T T T T T

0(){.**.**}s k k k k T ωβ+?e P C b P S a (18) 其中，0>β为0ω的学习率；且“.*”为矩阵元素群乘

法运算，即.*[]ij ij N M P C ×=P C 。

由式(7)、(8)及(18)构成的神经网络算法，在非同步采样情况下，不仅可以获得精确的基波及各次谐波的幅值和相位，还能够获得精确的基波频率，在以下的实例中可得到验证。 1.4 算法实现

为了进一步说明该神经网络算法的电力系统谐波分析原理，将分析过程总结如下：

（1）初始值设置。 随机产生初始权向量a 和 b ，令初始基波角频率π1000=ω，指定采样频率f s 及采样数据长度M ，能量误差最小值ε，选择合适

的学习率η和β。

（2）由式(4)产生神经网络输出向量y 。 （3）分别由式(5)、(6)计算误差向量e 及能量误差函数J 的值。

（4）分别由式(7)、(8)、(18)更新权值向量 a 、b 及标量0ω。

（5）如果J >ε，回到第(2)步，否则，结束神经网络训练。

2 模拟分析结果

为便于比较，采用文献[10]中的实例，信号幅值为电力系统实测谐波参数，信号相位参数自拟，基波及各次谐波的幅值和相位如表1所示，并设基波频率从40~60 Hz 变化。为了检验该神经网络谐波分析方法对非同步采样离散信号的有效性，指定采样频率为1 510 Hz ，离散数据长度为40采样点。设实际信号的基波频率为40、50、60 Hz 3种状况，在这实际3种基波频率状况下，用指定采样频率及数据长度，显然处于非同步采样、非整周期截断情况。

表1 仿真谐波信号参数

Tab. 1 Components of the simulated harmonic signal

谐波f n 幅值A n 相位?n /(°) 谐波f n 幅值A n 相位?n /(°)基波 240 0 6次 0.05 50 2次 0.1 10 7次 2.1 60 3次 12 20 9次 0.3 80 4次 0.1 30 11次

0.6

100

5次

2.7

40

— — —

设ε=10?29，η=0.0227，基波初始角频率ω0= 100π。现在研究学习率β对基波频率估计值的灵敏度。分别在上述3种实际基波频率下调整β的值，得到基波频率估计误差如图1所示。从图中可知，当β=230附近时，其频率估计误差最小，为此设β=230，对上述3种不同的实际基波频率情况进行谐波分析，分别经550次、443次、421次训练，计算时间分别为0.265、0.218、0.204 s ，神经网络收敛，其所得谐波分析的幅值和相位误差分别如 图2~4所示。另外，当实际基波频率为40 Hz 时，所得基波频率估计误差为Δf 0=2.132×10?14 Hz ，而当实际基波频率为50 Hz 及60 Hz 时，所得基波频率估计误差均为Δf 0=?1.421×10?14 Hz 。

显然，在非同步采样、非整周期截断情况下，用文中所叙神经网络谐波分析方法获得了非常高的精度。由分析结果可知，当实际基波频率从40~

60Hz 变化时，

所得基波频率误差?Δf 0?<3× 10?14Hz ， 幅值误差?ΔA n ?<1.2×10?13，相位误差?Δ?n ?<(3.5× 10?11)°。而文献[10]对同一信号采用加窗FFT 插值

第34期 王小华等： 基于神经网络的电力系统高精度频率谐波分析 105

算法进行谐波分析，实际基波频率为f 0=50 Hz 、采

样频率为3 000 Hz 、数据长度为1024采样点，即在同步采样、非整周期截断情况下，所得基波频率误差 ?Δf 0?>10?7Hz ，文献[12]对含4次谐波的信号进行谐波分析，采样频率为6 400 Hz ，数据长度为4096

0 100 200 300

学习率β ?400

?300

?200 ?100 0 基波频率相对误差/d B

50Hz

40Hz

60Hz

图1 基于不同学习率β的基波频率估计灵敏度

Fig. 1 The error curves of fundamental frequency depended on the value of learning rate β in equation (17)

1 3 5 7 11

0.4

0.8 1.2 幅值误差/10?13

谐波次数 1 3 5 7 11

谐波次数 0

1

2 3 相位误差/10?11 (°)

图2 实际基波频率为40Hz 时的误差曲线 Fig. 2 The error curves for f 0=40Hz

幅值误差/10?14 1 3 5 7 11

谐波次数

2

4 6 1 3

5 7 11

谐波次数 0

0.5

1.0

1.5 相位误差/10?11 (°)

2.0

图3 实际基波频率为50Hz 时的误差曲线

Fig. 3 The error curves for f 0=50Hz

1 3 5 7 11

谐波次数

0.5

1.01.5

2.02.5

3.0幅值误差/10?14 1 3 5 7 11

谐波次数 0

1.02.03.0相位误差/10?11 (°)

图4 实际基波频率为60Hz 时的误差曲线

Fig. 4 The error curves for f 0=60Hz

采样点，基波频率变化范围为49.5~50.5Hz ，所得幅值误差?ΔA n ?>10?4，相位误差?Δ?n ?>(10?7)°，频率估计误差未给出。显然，本文的神经网络谐波分析精度要远高于文献[10,12]中的加窗FFT 插值算法。

3 结论

提出基于神经网络算法的电力系统频率谐波高精度分析方法，介绍了神经网络谐波分析原理及算法实现过程，并与加窗FFT 插值算法的分析结果进行了比较。研究表明，在低采样频率(例中为1510Hz)、低数据长度(例中为40采样点)、基波频率从40~60 Hz 变化，即在非同步采样、非整周期截断情况下，可以获得非常高的电力系统基波频率及基波与各整次谐波的幅值和相位分析精度。该神经网络算法收敛速度快，分析精度高。当然，该方法也存在局限性。一方面该方法仅仅考虑了整次谐波的分析问题，当电力系统中含有次谐波和间谐波时，该谐波分析方法不适应；另外，当信号中存在噪声时，其频率谐波分析精度将较大幅度下降，如在上例中施加幅值为基波幅值1%的白噪声，当实际基波频率分别为40、50和60 Hz 时，所得基波频率估计误差分别为0.043 0、0.006 5和?0.034 3 Hz 。

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收稿日期：2007-03-13。

作者简介：

王小华(1968—)，男，副教授，博士研究生，主要研究方向为电力系统谐波分析、数字滤波器设计等，cslgwxh@https://www.360docs.net/doc/1317639507.html,；

何怡刚(1966—)，男，教授，博士，博士生导师，主要研究方向为电工理论与新技术、模拟电路故障诊断等。

（编辑王剑乔）