浅议初中几何证明的教学

浅议初中几何证明的教学

逸夫中学/郑宝燕

摘自：《厦门逸夫中学》

摘要：从学生害怕学几何证明，逃避学几何证明的现状入手，分析初中学生学习几何证明困难的原因，提出教师在教学中应注意几何语言的教学，注意分析过程综合化的教学，注意图形变换在证明中的应用，注意设计开放性的题目．

关键词：几何证明现状、学习困难、教学建议

“天呀，又要开始学几何证明了”，“几何的证明太难学”每次在上几何课的时候，总是可以听到几何证明学习困难的学生的声音．学生的这种情绪与抱怨很容易助长学习几何证明消极的心理，增加逃避学几何证明的可能性．鉴于这种实际，作为初中的一名数学老师陷入思考----是否是平常在教书的过程中对几何证明教学认识不足、重视不够，还是对几何证明教学方式方法运用不当，影响了课堂教学效果，制约了学生逻辑推理能力的发展，影响了学生的后续学习．为了更好地落实新课程的目标，培养学生的逻辑推理能力，提高学生学习几何证明的能力，笔者对几何证明的现状，学习几何证明困难的原因以及如何进行几何证明教学进行研究与思考．

一、初中几何证明的现状

从多年的教学中笔者体会到：初中几何证明不但是学习的重点，而且是学习的难点．很多同学对几何证明，不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写．这样，导致大部分的学生失去了几何证明学习的信心．

新课程中对几何证明的内容进行了调整、难度要求降低、证明技巧淡化，但对几何证明教学的最基本能力要求其实并没有降低，课标中已明确指出：在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力．虽然新的课程理念要求，推理过程不能过繁，一切从简．但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整．

二、几何证明学习困难的原因分析

初中学生的几何证明学习在内容上正在经历从“直观”到“论证”的转轨．在思维方式上需要解决从“形象思维”到“演绎思维”的过渡．学生学习几何证明从直观到论证之间存在着一个思维要求上的跳跃．学生来不及适应这种高一级的思维方式．这是几何证明学习的认知障碍．因此，笔者觉得初中几何证明难，主要还难在“转轨”与“过渡”上．在事物发展的过程中，经历一种“转变”的时节，正是良好的机遇所在．有必要提醒学生把握机遇，适应转变．

学生开始学习几何证明，没有适应论证数理的答题模式，语言表达方面的特别要求，作业练习常被判为错误，几次碰壁后就觉得“几何证明确实难学”．面对着这种学习的失败，几何证明学习困难的学生在讨论发言、回答问题和动手练习等方面与普通同学存在着差异．他们几乎一直处在旁听陪读的地位，作业又无法独立完成，只得抄袭，更失去了参与学习的机会．

三、几何证明教学的几点建议

教学中怎样才能把几何证明的求解过程叙述清楚呢？根据多年的教学经验，笔者在教学中是这样做的，与大家探讨．

（一）注意几何语言的教学

几何教学有三种不同形式的语言即图形语言、文字语言及符号语言．教学中不仅要让学生建立三种几何语言，还要培养学生对三种语言相互转化的能力．由于三种语言的特点不同，在几何教学中各自发挥的作用也不同．图形语言形象、直观，能帮助学生认识问题和理解问题；文字语言抽象、概括，对图形本身及图形中所蕴含的结论能精确地予以的描述、解释，对几何的定义、公理、定理、命题等内容能精确地予以表达，而符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象，具有更强的抽象性，在三种语言中符号语言是几何初学者最难掌握的一种，也是逻辑推理必备的能力基础．因此教师在教学过程中应不失时机地训练、培养学生对这三种语言相互转化的意识和能力．比如：

等腰三角形的性质1----等腰三角形的两个底角相等，教师应及时引导学生

画出图形，结合图形，将文字语言符号化（如图1-1）：

在中

∵AB=AC

图（1-1）

? ∴∠C=∠B

等腰三角形的性质2----等腰三角形“三线合一”

到底是哪三线重合呢，学生非常容易出错，而且

学生在将其进行符号化的时候，往往会把等腰三角形“三线”中的已知身份忽视．因此，教师应强调学生画出图形，结合图形对其进行符号化，其表达形式为（如图1-2）：

（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD

∴BD=CD，AD⊥BC

（2）∵AB=AC，BD=CD

∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC

（3）∵AB=AC，AD⊥BC

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD

将文字语言图形化，符号化的意识应贯穿几何教

学的始终，只有这样才能为学生几何证明的学习建立

良好的基础．

（二）注意分析过程综合化的教学

分析过程综合化就是指分析问题时从已知出发、从结论入手、结合图形进行问题解决．在几何证明问题的分析过程中通常使用两种逻辑思维方法即综合法和分析法．所谓分析综合法是指从命题的两头（题设和结论）向中间靠拢，使思维更集中，目标更明确，容易发现问题的突破口，利于找到问题的简捷证．.一方面从结论出发，一步步往上推；另一方面，从已知条件出发一步步往下推，最后在中途汇合．比如：

已知：如图2，分别以△ABC的边AB、AC为直

角边向△ABC外部作等腰直角三角形△ABD和△ACE，点P、M、N分别为BC、BD、EC的中点．

求证：PM=PN．

分析：如果从已知条件“△ABD和△ACE是等腰直角三角形”出发就可以直接得到结论AB=AD，AC=AE及∠BAD=∠CAE=90°，再根据已有的解题经验，由AB=AD，AC=AE及∠BAD=∠CAE=90°，又显而易见地能得到△ADC ≌△ABE，从而可以得到△ADC和△ABE的对应边相等、对应角相等．这道题从结论PM=PN入手，已知PM和PN分别是只要△BDC和△CBE的中位线，只须证CD=BE即可．从已知条件出发我们可以得到CD=BE，从结论入手我们需要CD=BE，这样我们就找到了问题的接洽点，使这个问题得到顺利解决．

在分析问题时，采用分析过程综合化的策略，不仅可以使学生掌握数学基本的思维方法，同时培养了学生的思

维能力，提高了学生解决问题的水平．

（三）注意图形变换在证明中的应用

新课程标准下的初中数学课程增加了图形变换的内容，特

别是平移、旋转和轴对称三种全等变换为学生解决几何证明问

题打开了一扇找到解题思路和方法的窗户．平移、旋转和轴对

称三种变换的共同特点是改变图形的位置的同时，保证图形变换前与变换后的对应元素的大小不发生变化．这三种变换有利于培养学生的空间感、丰富学生的解题方法，因而教师在教学中应加以注意．比如：

已知，如图3所示，M是正方形ABCD的BC边上的一点，K是∠DAM的平分线与CD的交点，

求证：AM=DK+BM．

图3

? 分析：延长CB到点H，使BH=DK，则MH=DK+BM．这样问题即转化为证明AM=HM，即证△AHM为等腰三角形．因而需要添加辅助线．如何添加辅助线是几何教学的难点，如果恰当地运用旋转变换，将△ADK绕着点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，使原来分散的DK和MB集中成一条线段MH，并与AM构成三角形，把问题转化为证等腰三角形．

可见，几何变换是一种思维的艺术，用它来思考几何证明问题会使学生体会到心灵的智巧，领悟到理性的力量，是一曲优美的旋律，是一种美的欣赏．因此，教师要将几何变换的思想渗透到初中几何证明的教学之中，使学生学习这种变换的艺术！

（四）注意设计开放性的题目

改变常规封闭问题的呈现形式，不直接给出问题的结论或使问题的条件不完备，问题的结论由学生设计或问题的条件由学生探究完成．开放性的题目体现了新课程理念，体现了教师以学生为中心的教学观．教师要注意开放度，既要大胆地放，把时间留给学生，让学生有机会去尝试问题设计，又要善于把握全局．设计开放性的题目有效地激发学生敢于思考问题、主动参与知识的建构过程，有利于激发学生的好奇心和求知欲；改变了原有的封闭思维模式，促进学生思维的发展．比如：

已知：如图4，C为AB上一点，△ACD、△BCE都是正三角形．

求证：．

学生经过思考后，可创造出多种结论

结论一：AE=DB

结论二：由AD∥CE，可得△APD∽△ECP、

△ABD∽△CBQ、△AMD∽△ECP；而三角形

相似又可得到对应边成比例；同理还有DC∥BE得对应边成比例；

结论三：由比例式又可判定PQ∥AB；

结论四：可证等边△PQC

本题将问题设计的机会留给学生，让学生展开合理的联想和想象，并根据自己的认知起点和学习经验，从多角度、多方位、多层次进行思考，既体现了学生个性化学习，又体现了学生之间的合作学习，有利于学生良好思维品质的形成．

总之，初中学生的几何证明内容是不可缺少的，要使学生能够学好几何证明，教师要充分认识到初中生学几何证明的困难，并认真研究几何证明较好的教学方法，才能提高几何证明教与学的效率，才能提高学生的逻辑思维水平．

浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法

当今社会，数学作为一门基础学科，发挥着越来越来越重要的作用，学好数学尤为重要。作为新世纪的教师，教学要坚持“以人为本，以学生的发展为本”，

要能真正展现学生是数学学习的主人，使学生积极地参与教学活动，探索知识的

形成过程，学得并掌握获取知识的方法和途径，使思维的能力在探索过程不断升

华和发展。因此我在教学过程中，相应地采用各种教学方法去启发和促进他们的

求知和探索欲，引导学生归纳知识点之间的内在联系，总结解题规律，使数学的

学习更有时效性。

初中数学包括代数与平面几何两大部分。代数部分的学习，一般都有公式可套，题型较为集中，学生学习起来比较轻松。而平面几何是一门提高学生逻辑

思维和分析能力的学科。对于大部分学生来说学习起来比较困难。往往学生最为

头痛的就是如何在这些错综复杂的几何图形去添加合适的辅助线，其实添加辅助

线也是有规律可循，教师在教学的过程中，不但要引导学生对知识进行系统的整

理，同时也要引导学生对教材（包括例、习题）深入挖掘、提炼总结其思想实质，

揭示归纳方法因素，以其更好地发挥思想方法的整体功效，从而提高解题技巧。

这里介绍几种常见的添加辅助线的方法。

一、过分点添平行线

相似形是初中数学的重要内容，由于近年来各地的中考试题向重视学生能力方面快速倾斜，我们在学习相似形内容时，不仅需要掌握相似形的一些基本概

念、性质和基本题形，还需要灵活运用所学相似形的基本知识进行补充、延伸、拓宽。这里，笔者通过大量的习题研究证明一些线段成比例的题型中，发现了过分点添平行线的一种比较好的添线方法，现说明如下：

在证明一些线段成比例的题型中，若图形中未出现相似三角形中的基本题型：A 字型与X 型，通常需要通过找一些分点添平行线去构造这些基本题型。而且找分点还是有规律可循。通常可把条件中出现的已知比例或分点的线段和结论中所要证明的线段所在的直线称为热线，把几条热线的交点称为热点。那么过分点添平行线即可实际操作为过热点添热线的平行线。以下举一道例题加以说明：

例：点D 是三角形ABC 边AC 上的中点，过D 的直线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：

。BF

CF EB

AE =

分析：条件中出现已知中点的线段是AC 、结论中有关的线段落在AB 和BF 上，所以本题中的热线为AC 、AB 和BF ，这三条线段的交点分别为A 点、B 点和C 点，此三点即为三个热点。所以本题的证明方法主要有三种。

解法一：过热点A 作热线BF 的平行线，交FE 的延长线于点G ，那么就有

。BF

AG EB

AE = 只要证得AG=CF 即可。

证明：过点A 作BF 的平行线，交

FE 的延长线于点G 。∵AG ∥BF

∴

BF

AG EB

AE =

DC

AD CF

AG =

又 ∵D 为AC 的中点，∴AD=DC ∴AG=CF ∴

BF

CF EB

AE =

解法二：过热点B 作热线AC 的平行线，交FE 的延长线于点H ，那么就有

BH

AD EB

AE =及

BH

DC BF

CF =

,只要证得

AD=CD ，本题即可得证。

解法三：过热点作C 热线AB 的平

F

行线，交FE 的延长线于点H ，那么就有BF

CF EB

CH

,只要证得CH=AE ，本题即可

得证。

F

一题本来比较复杂的几何题型，通过热线热点这些较为通俗易懂的字眼，使题目简单化，既能提高学生学习几何的兴趣，引导了学生归纳知识点之间的内在联系，总结解题规律，从而提高学生归纳及解题能力。

二、 在梯形中常添的辅助线

初二几何中梯形面积公式的教学，教材中给出作对角线、把梯形分成两个三角形的解法，教学中不应该停留在这种表层的认识上，应引导学生这种方法的深层次含义，既通过“分解与组合”思想，实现把未知问题转化为已知问题，并进而引导学生运用这种思想方法去探求问题的其他解法，培养学生思维的灵活性。在梯形中常见的有以下六种题型：

（1） 已知两底之差或求两底之差的题型，常过上底的一个端点添一腰的平

行线与下底相交；达到把梯形分解成一个平行四边形与三角形的目的；求（图1）；

（2） 已知梯形的上底和底，求面积，常过上底的两个端点向下底作垂线，

添高；（图2）；

（3） 延长两腰交于一点，可得到一对相似三角形 （图3）；

（4） 已知梯形对角线相等或互相垂直的题型，常过上底的一个端点作一对

角线的平行线，与下底的延长线相交，体现组合的思想（图4）；

（5） 有中点时，常过一腰的中点作另一腰的平行线，分别与上底的延长

线、下底相交（图5）；

（6） 有中点时，也常连接上底的一端点与另一腰的中点并延长，与下底

的延长线相交（图6）。

(6)

(5)

(4)

(3)

(2)

(1)

例 已知等腰梯形ABCD 的高是9㎝，AB ∥CD ，A C ⊥BD ，求它的面积。

三 、连接两点法

三角形包括三条边、三个角这六个元素，若已知或需证明某些边、角的等量关系时，若不能直接从已知的条件中进行证明，那么此时可以考虑连接两点构造新的三角形，使所证的元素在所构造的新的三角形中。可通过证所构造的三角形全等或相似来证明结论。

分析：∠A 与∠C 分别在?ABO 和?CDO 中，

若通过直接证明这两个三角形全等，根据已知条件显然不够，观察已知条件中的四条边正好组成?ABD 和?CDB ，而BD 正好又是两个三角形的公共边，发现只要证明例 已知AB=CD ，AD=BC ，求证：∠A= ∠C

分析：本题中，既有梯形对角线相等又有互

相垂直的条件，可过上底的一个端点添一对角线的平行线，可得?ACE 是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，求得AE 是18㎝，梯形的面积就能得解。

A

B

C

D

o

四、在圆中常添弦心距

在与圆有关的题

目中，已知弦、弦所对的弧、圆心角、半径等条件时，常添加弦心距，利用垂径定理或圆的有关性质解题。

例 已知：以点O 为圆心画两个不等的圆，大圆的弦AB 交小圆与C 、D. 求证：AC=BD

五、 利用等腰三角形三线合一添高

在等腰或等边三角形中，若已知三边，求面积或需证明底边上的某些线段相等时，常通过添底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质，可得高把原来的三角形分成左右两个全等的直角三角形，利用直角三角形勾股定理或全等三角形对应边、对应角相等的性质解题。

例 已知:点D,E 在BC 上，AB=AC,AD=AE 求证:BD=CE

证明：连接BD 在?ABD 和?CDB 中，

AB=CD （已知） AD=CB （已知）

BD=DB （公共边）

∴?ABD ??CDB （S 。S 。S ）

∴∠ A= ∠ C （全等三角形的对应角相等） 证毕

{

分析：线段AC 与BD 分别是大圆与小圆的

弦，而且弦AB 与CD 所在的圆为同心圆，而且两条弦共线，即可判定它们有公共的弦心距，所以本题可添弦心距，利用垂径定理即可解题，证

明略。

A

B

D

E

C

H

分析：已知条件中有两个等腰三角形，而所证的两条线断正好位于底边上，通过添高利用等腰三角形三线合一的性质可得线段BH=HC, DH=HE 。再根据等式性质，命题即可得证。

六、截长补短法

此法用于证明两条线段之和或之差等于另一 条线段。截长法——在较长线段中截取一段等于图中另一条线段；补短法——延长一条线段，使延长部分等于图中另一条线段。

例 已知在ABC 中，AD 平分∠ BAC ， ∠ B=2 ∠ C ，求证：AB+BD=AC

证明：在AC 上截取AF=AB ，连接DF 在? ABD 与? AFD 中

∠1=∠2（已知） AB=AF

AD=DA （公共边）

∴? ABD ?? AFD （S.A.S ）

∴∠B=∠AFD ，BD=DF （全等三角形对应角，对应边相等） 又 ∠ B=2 ∠ C

∴∠AFD=2∠C

又∠AFD=∠FDC+∠C （在三角形中，一个外角等于不相邻的两个内角和） ∴∠FDC=∠C

∴FD=FC （等角对等边） 即 AB+BD=AC

注：上题也可用补短法，即延长AB 到点E ，使AE=AC ，只要证明BE=BD 即可。

评注：在上述几何题型中，通过透析题、图的条件及待证结论特征，一法补短，即延长AB 到点E ，使AE=AC 。一法截长，在AC 上截取AF=AB ，联想巧妙，规律凸现，妙趣横生。既提高解题兴趣又提高学生的分析思维能力。

总之，要学好几何关键在于平时要养成多思考、多归纳、多总结几何问题的习惯，在每个章节里自己学会去归纳收集各种常见的辅助线，这样，就能够熟能生巧，慢慢地提高自己对于几何的综合分析能力，一定能够正确迅速地解答有关平面几何问题，从而提高自己对数学学习的兴趣，从各方面提高自己的学习能力。

{

1 A

C

E

B

D

F

2