最大匹配等于最小定点覆盖
二分图最大匹配的K?nig定理及其证明
本文将是这一系列里最短的一篇，因为我只打算把K?nig定理证了，其它的废话一概没有。以下五个问题我可能会在以后的文章里说，如果你现在很想知道的话，网上去找找答案：
1. 什么是二分图；
2. 什么是二分图的匹配；
3. 什么是匈牙利算法；(https://www.360docs.net/doc/1b18610101.html,/blog/article.asp?id=41)
4. K?nig定理证到了有什么用；
5. 为什么o上面有两个点。
K?nig定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如，下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道，但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此，我在这里写一下这个定理的证明，希望对大家有所帮助。
假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法可以告诉我们，选哪M个点可以覆盖所有的边。
匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。但是，现在我们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。换句话说，我们能寻找到很多可能的增广路，但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号：从右边的所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点（最后走
出的路径是很多条不完整的增广路）。那么这些点组成了最小覆盖点集：右边所有没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点。看图，右图中展示了两条这样的路径，标记了一共6个点（用“√”表示）。那么，用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。
首先，为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢？答案很简单，因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；如果左边的哪个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（否则就找到了一条完整的增广路）。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（不然的话右边的点就可以经过这条边到达了）。因此，最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
其次，为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢？答案同样简单。不可能存在某一条边，它的左端点是没有标记的，而右端点是有标记的。原因如下：如果这条边不属于我们的匹配边，那么左端点就可以通过这条边到达（从而得到标记）；如果这条边属于我们的匹配边，那么右端点不可能是一条路径的起点，于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的（想想匹配的定义），左端点就应该有标记。
最后，为什么这是最小的点覆盖集呢？这当然是最小的，不可能有比M还小的点覆盖集了，因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点（再次回到匹配的定义）。
证完了。
Matrix67原创
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二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法
二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法 匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是二部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V 中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图3、图4 中红色的边就是图 2 的匹配。我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹
配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含4 条匹配边。完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图5 中的一条增广路如图6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数
对“相容关系与覆盖”的再认识
对“相容关系与覆盖”的再认识 摘要：本文对左孝凌等编写的《离散数学》教材“相容关系”一节作深入剖析后提出，重新定义完全覆盖使之合理化，相容关系与完全覆盖不是一一对应的关系。 关键词：相容关系；等价关系；完全覆盖；划分 左孝凌等编写的《离散数学》教材在国内外享有盛誉，被许多院校采用作为离散数学课程的经典教材。然而，笔者在讲授相容关系一节时，发现有一些内容是值得商榷的。特别是，教材中“相容关系与完全覆盖存在一一对应”的结论，我认为值得怀疑，需要进一步重新认识。 一、“完全覆盖”概念需要合理化 谈到完全覆盖概念，首先要了解覆盖的含义。教材中对覆盖明确定义是[1，p128]。 定义1 令a为给定非空集合，s={s1,s2,…,sn}，其中si?哿a,si ≠?覬(i=1,2,…,n)，且■si=a，集合s称为集合a的覆盖。 对于完全覆盖，教材中给出的定义是（[1，p138]） 定义2 在集合a上给定相容关系r，其最大相容类的集合称为集合a的完全覆盖，记作cr(a)。 对比覆盖和完全覆盖的概念，不免会产生许多疑惑。 其一：在相容关系给定的前提下，才会有完全覆盖的概念？从定义来看，的确如此。因为只有给出了相容关系，我们才能找出最大
相容类，得到完全覆盖。由最大相容类的定义，如果给定了集合a 上的一个相容关系，就能确定唯一的的完全覆盖。反过来，如果给定了a的一个完全覆盖，能否确定a上的一个相容关系呢？显然，讨论这样的问题没有意义。因为没有相容关系，完全覆盖就无从谈起。可见，在讨论相容关系与完全覆盖的对应时就只能考虑其中的一个对应，因此这样定义完全覆盖是有缺陷的。 另外，单从定义来看，很难看出覆盖和完全覆盖有什么联系。然而，经过证明可得，集合a的完全覆盖一定是覆盖，覆盖未必是完全覆盖。既然这对概念之间有很密切的联系，所以在定义完全覆盖时，就应该充分体现出它与覆盖的关系。 鉴于完全覆盖概念的不合理性，应该考虑将其重新定义。参考[2，p32]。 定义3 s={s1,s2,…,sn}是集合a的覆盖，且对于s中任意元素si，不存在s中的其他元素sj，使得si是sj的子集，则称s为集合a的完全覆盖。 由定义易得，集合a的完全覆盖是集合a的覆盖，而覆盖未必是完全覆盖。利用最大相容类的定义和性质证明可得，集合a上相容关系r所产生的最大相容类的集合是集合a的一个完全覆盖。这和定义2的内容是完全一致的。可见，定义3充分体现了覆盖和完全覆盖这对概念之间的联系，并且与原来定义内容是保持一致的。因此，定义3较定义2更为合理，更具有一般性。
Ku二分图最大权匹配(KM算法)hn
Maigo的KM算法讲解(的确精彩) 顶点Ｙｉ的顶标为B［i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[ｉ,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(ｉ,j),A［i]+B[j]>=w［i,ｊ]始终成立。KM 算法的正确性基于以下定理： * 若由二分图中所有满足A［i］+B[j]=ｗ[ｉ,ｊ］的边（i，ｊ)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。 这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。 初始时为了使A［ｉ]＋B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，Ｂ[ｊ］＝0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。 我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个Ｘ顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值ｄ,Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
两端都在交错树中的边(i，j）,A［i]+B[j]的值没有变化。也就是说,它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。 两端都不在交错树中的边(ｉ，ｊ)，A[i］和B[j]都没有变化。也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图，现在仍属于(或不属于)相等子图。 X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i，ｊ)，它的Ａ［ｉ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。 X端在交错树中,Ｙ端不在交错树中的边（i,j),它的A［ｉ]+B[j]的值有所减小。也就说,它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。 现在的问题就是求d值了。为了使Ａ[i]+Ｂ[j］>=w［i,ｊ]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于mｉｎ{Ａ[i]+B[ｊ]-w[ｉ,j]｜Xｉ在交错树中,Ｙi不在交错树中｝。 以上就是KＭ算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为 O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改Ｏ(n)次顶标,每次修改顶标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(ｎ2)。实际上KＭ算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Ｙ顶点一个“松弛量”函数slaｃk，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让ｓlaｃk[j]变成原值与A[i］+B[ｊ］-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slacｋ值中的最小值作为ｄ值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的ｓｌａｃk值都减去d。
汽车正向设计
汽车正向设计 新车型的研发是一个非常复杂的系统工程，以至于它需要几百号人花费上3、4年左右的时间才能完成。不同的汽车企业其汽车的研发流 程有所不同，我们下面讲述的是正向开发的量产汽车一般的研发流程。以满足车友对汽车研发流程的好奇感研发流程包括管理、设计、组织等方方面面的辅助流程，本文主要向大家介绍汽车研发中的核心流程，也就是专业的汽车设计开发流程，这一流程的起点为项目立项，终点为量产启动，主要包括5个阶段： 一、方案策划阶段 一个全新车型的开发需要几亿甚至十几亿的大量资金投入，投资风险非常大，如果不经过周密调查研究与论证，就草率上马新项目，轻则会造成产品先天不足，投产后问题成堆;重则造成产品不符合消费者 需求，没有市场竞争力。因此市场调研和项目可行性分析就成为了新项目至关重要的部分。通过市场调研对相关的市场信息进行系统的收集、整理、纪录和分析，可以了解和掌握消费者的汽车消费趋势、消费偏好和消费要求的变化，确定顾客对新的汽车产品是否有需求，或者是否有潜在的需求等待开发，然后根据调研数据进行分析研究，总结出科学可靠的市场调研报告，为企业决策者的新车型研发项目计划，提供科学合理的参考与建议。 汽车市场调研包括市场细分、目标市场选择、产品定位等几个方面。项目可行性分析是在市场调研的基础上进行的，根据市场调研报告生成项目建议书，进一步明确汽车形式(也就是车型确定是微型车还是
中高级车)以及市场目标。可行性分析包括外部的政策法规分析、以及内部的自身资源和研发能力的分析，包括设计、工艺、生产以及成本等方面的内容。在完成可行性分析后，就可以对新车型的设计目标进行初步的设定，设定的内容包括车辆形式、动力参数、底盘各个总成要求、车身形式及强度要求等。 将初步设定的要求发放给相应的设计部门，各部门确认各个总成部件要求的可行性以后，确认项目设计目标，编制最初版本的产品技术描述说明书，将新车型的一些重要参数和使用性能确定下来。在方案策划阶段还有确定新车型是否开发相应的变形车，确定变形车的形式以及种类。项目策划阶段的最终成果是一份符合市场要求，开发可行性能够保证得到研发各个部门确认的新车型设计目标大纲。该大纲明确了新车型的形式、功能以及技术特点，描述了产品车型的最终定位，是后续研发各个过程的依据和要求，是一份指导性文件。 二、概念设计阶段 概念设计阶段开始后就要制定详细的研发计划，确定各个设计阶段的时间节点;评估研发工作量，合理分配工作任务;进行成本预算，及时控制开发成本;制作零部件清单表格，以便进行后续开发工作。概念车设计阶段的任务主要包括总体布置草图设计和造型设计两个部分。 1. 总体布置草图 总体布置草图也称为整体布置草图、整车布置草图。绘制汽车总布置草图是汽车总体设计和总布置的重要内容，其主要任务是根据汽车的总体方案及整车性能要求提出对各总成及部件的布置要求和特性参
二分图的最大匹配经典之匈牙利算法
Doctor的图论计划之——二分图最大匹配 第一讲二分图的最大匹配经典之匈牙利算法 二分图，顾名思义就是分成了两个部分的图……很白痴的解释（自己吐槽了先），但吐槽的同时我们也要发现一些二分图的基本性质！ 性质1 二分图之所以分成了两个部分，那是因为单独的一个部分中的任意两点不连通！ 性质2 二分图匹配——匈牙利算法中我们只需记录集合1到集合2的单向边就可以了（注意看上边的图，箭头是单向的）思考这是为什么！ 但是！二分图确实是无向图！！！只不过匈牙利算法只是从一个集合另一个集合走一遍罢了！！！！ 性质3 树是一种特殊的二分图！ 紫色的结点构成集合1，绿色的结点构成集合2，换句话说，儿子和爸爸打仗时爷爷和
孙子站在同一战线！（也可以认为是儿子和爸妈吵架时总是爷爷奶奶护着，小时候有这样的记忆没有？反正我没有！） PS：树就是无回路懂不？ 性质3 对于任意二分图，其包含的环一定全部是偶环！（充要可证） 可以证明，含有奇数条边的环一定有两个在相同集合内的点有边相连！ 也就是说——二分图的bfs子树一定不含奇环！ 接下来说一下二分图求最大匹配的算法——匈牙利算法 【例1】传说中的多米诺骨牌覆盖问题 在一个n*m的棋盘上，摆放一些1*2大小的多米诺骨牌，但棋盘某些地方是坏 掉的，即不能将骨牌置于这些坏掉的格子上，求最多能摆上的骨牌数量 【例2】传说中的猎人打鸟问题 猎人要在n*n的格子里打鸟,他可以在某一行中打一枪,这样此行中的所有鸟都被 打掉，也可以在某一列中打,这样此列中的所有鸟都打掉.问至少打几枪,才能打光 所有的鸟？ 【例3】传说中的搞对象问题 一保守教师想带学生郊游, 却怕他们途中谈恋爱,他认为满足下面条件之一的两 人谈恋爱几率很小: (1)身高差>40 (2) 性别相同(3) 爱好不同类型的音乐(4) 爱好同类型的运动 告诉你每个同学的信息，问老师最多能带多少学生？ 这样的问题如何解决？搜索？怎么搜？会不会超时？答案很简单，三道题中的元素都可以用很简单的方式分成两个互不相干的部分，因此可以用二分图匹配来解决这个问题：形象的说，我们规定搞基和百合都是不允许的，已知一群男人和女人，他们可以看做图中的顶点，男人构成了集合A,女人构成了集合B，边表示这名男人和这名女人互相有好感（可以配成一对）不考虑个人因素，现在希望为这些饥渴的男男女女找到最多的配对数（脚踏两只船也是不允许的！）为了解决这样的问题我们才引入了二分图的匹配算法——匈牙利算法！ 匈牙利算法是一种用增广路求二分图最大匹配的算法。它由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。 如果暴搜的话那么无疑时间复杂度将成为O（2^E）！无法快速实现，于是我们就提出了更为高效的算法，这种算法是从网络流演变而来，但这里我们抛开所有网络流的知识，但从这一算法的角度来进行阐释！ 解释一些常用的名词 交错轨：所谓交错轨，还有一种更为文雅的说法叫增广轨，这种说法让人不禁联想到蛋疼的网络流算法，所以我更喜欢用一种与网络流无关的说法来称呼它，下面我们来举几个交错轨的例子：
最新整理怎样让人员和岗位的完美匹配
怎样让人员和岗位的完美匹配 经常会出现这样的现象：经过对下属能力的详细考察评估，你提拔了一位有才干且绩效不错的主管。但仅仅几个月的时间，你就会发现：主管苦苦支撑，团队灰心丧气，绩效步步下滑。下面由学习啦小编为你分享关于怎样让人员和岗位的完美匹配，希望对你有所帮助! 大概两年前，H a y咨询集团(H a y G r o u p)负责主管测评、发展、人才管理和工作度量的专家们开始寻求解决以上问题的答案。他们从岗位和能力两个方面仔细研究了全球运作最成功的企业(如I B M、百事公司、联合利华等)的600名最具绩效的高级主管，对领导能力发展有了新的认识。 企业快速增长、管理层的扁平化、多变的业务战略以及越来越常见的矩阵型组织结构都已经大幅度地改变了对当今企业领导者的要求。 尽管存在许多相似之处，对领导者的要求仍存在各种各样的巨大差异，原因有：岗位特点、对经营业绩的影响程度以及对战略和运营的关注程度。 至少有三种截然不同的领导岗位族群，每种岗位都
有其独特的领导技能和领导行为。在没有恰当发展规划的前提下，把管理者从一个岗位调动到另外一个岗位或者把该管理者从关注运营调动到关注战略的岗位，无论对管理者本人还是对其所在公司来说都存在风险。 协作型领导岗位正日益成为扁平化和矩阵化为特点的组织机构的中流成柱。这样的岗位虽然缺乏像运营类岗位所具有的直接权限但也对公司的经营业绩负责，这对从传统的领导岗位上成长起来的管理人员史具有挑战性。 重新勾画领导岗位 研究人员发现，根据岗位与经营业绩影响程度以及对人力和资源的控制程度，领导岗位可以划分为如下三个类别： 运营类岗位。谈到领导，大部分人会想到此类较传统的岗位，比如：生产线管理和日常管理等等。这种类型的领导通过控制关键资源直接对经营业绩负责。 咨询类职位。咨询类岗位经常被看作是专业化的岗位，可以就某一特定领域提供建议、指导和支持。虽然咨询类领导者和经营业绩不直接挂钩，但是他们也会经常面临巨大的理性挑战，因为他们负责的是在更高的层
太原理工大学人工智能复习资料
1、（选择题）P85 单点交叉：单点交叉操作的信息量比较小，交叉点位置的选择可能带来较大的偏差。单点交叉不利于长距模式的保留与重组 多点交叉 2、（填空题） 产生式系统组成：全局数据库、产生式规则集、控制策略组成。 产生式系统知识表示：包括事实的表示和规则的表示 事实的表示：孤立事实的表示——三元组（对象，属性，值）或（关系，对象1，对象2）有关联事实的表示——树型结构、网状结构 规则的表示：单个规则的表示：单个规则包括前项和后项两部分组成 （前项由逻辑连接词组成各种不同的前提条件；后项表示前提条件为真时，应采取的行为或者所得的结论。） 3、10.3.3产生式系统的推理方式 （选择题2） 产生式系统的推理方，正向推理、逆向推理和双向推理3种， 正向推理： 正向推理从已知事实出发，通过规则库求得结论，称为数据驱动的方式，也称为自底向上的方式。推理过程如下： 1)规则集中规则的前件与数据库中的事实进行匹配，得到匹配的规则集合。 2)从匹配规则集合中选择一条规则作为使用规则， 3)执行使用规则，将该使用规则后件的执行结果送入数据库。 重复这个过程直至达到目标。 具体地说，如果数据库中含有A，而规则库中有规则A->B,那么这条规则便是匹配规则，进而将后件B送入数据库。这样可不断扩大数据库，直至数据库中包成功结束。如有多条匹配规则，则需从中选一条作为使用规则，不同的选择方法直接影响着求解效率，如何选取规则称为冲突消解，它是控制策略的一部分。 逆向推理： 逆向推理是从目标(作为假设)出发，逆向使用规则，找到已知事实。逆向推理也称目标驱动方式或称自顶向下的方式，其推理过程如下。 (1)规则集中的规则后件与假设的目标事实进行匹配，得到匹配的规则集合。 (2)从匹配规则集合中选择一条规则作为使用规则。 (3)将使用规则的前件作为新的假设子目标， 重复这个过程，直至各子目标均为已知事实后成功结束。如果目标明确，使用逆向方式推理效率较高，所以常为人们所使用。 4、模拟退火算法（填空题） 基本思想：在系统朝着能量减小的趋势这样一个变化过程中，偶尔允许系统跳到能量较高的状态，以避开局部极小点，最终稳定到全局最小点。 能量越小，则平衡状态概率就越大，因而系统处于能量较小的平衡状态的可能性也越大。 对于搜索问题中的爬山法，利用模拟退火法，不但可以使变化的随机选择大一些的步长，而且可以跨过局部极小点。通常做法：最初阶段倾向于取大步，后续阶段倾向于取小步。
最大匹配等于最小定点覆盖
二分图最大匹配的K?nig定理及其证明 本文将是这一系列里最短的一篇，因为我只打算把K?nig定理证了，其它的废话一概没有。以下五个问题我可能会在以后的文章里说，如果你现在很想知道的话，网上去找找答案： 1. 什么是二分图； 2. 什么是二分图的匹配； 3. 什么是匈牙利算法；(https://www.360docs.net/doc/1b18610101.html,/blog/article.asp?id=41) 4. K?nig定理证到了有什么用； 5. 为什么o上面有两个点。 K?nig定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如，下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道，但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此，我在这里写一下这个定理的证明，希望对大家有所帮助。 假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法可以告诉我们，选哪M个点可以覆盖所有的边。 匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。但是，现在我们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。换句话说，我们能寻找到很多可能的增广路，但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号：从右边的所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点（最后走
算法学习：图论之二分图的最优匹配(KM算法)
二分图的最优匹配（KM算法） KM算法用来解决最大权匹配问题：在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。 基本原理 该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。 KM算法的正确性基于以下定理： 若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。 首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是 Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。 这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。 初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。 我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现： 1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。 2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。 3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。 4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。（针对之后例子中x1->y4这条边） 现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于： Min{A[i]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。 改进 以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[ i ]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y 顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d（因为：d的定义为 min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S, y? T }
图论讲义第3章-匹配问题
第三章 匹配理论 §3.1 匹配与最大匹配 定义3.1.1 设G 是一个图, )(G E M ?，满足:对i e ?,M e j ∈，i e 与j e 在G 中不相邻，则称M 是G 的一个匹配。对匹配M 中每条边uv e =，其两端点 u 和 v 称为被匹配M 所匹配，而 u 和 v 都称为是M 饱和的(saturated vertex )。 注:每个顶点要么未被M 饱和, 要么仅被M 中一条边饱和。 定义3.1.2 设M 是G 的一个匹配, 若G 中无匹配M ′, 使得||||M M >′, 则称M 是G 的一个最大匹配；如果G 中每个点都是M 饱和的, 则称M 是G 的完美匹配(Perfect matching ). 显然, 完美匹配必是最大匹配。 例如，在下图G 1中，边集{e 1}、{e 1,e 2}、{e 1,e 2,e 3}都构成匹配，{e 1,e 2,e 3}是G 1的一个最大匹配。在 G 2中，边集{e 1,e 2,e 3,e 4}是一个完美匹配，也是一个最大匹配。 定义3.1.3 设M 是G 的一个匹配, G 的M 交错路是指其边M 和M G E \)(中交替出现的路。如果G 的一条M 交错路(alternating path)的起点和终点都是M 非饱和的，则称其为一条M 可扩展路或M 增广路(augmenting path)。 定理 3.1.1(Berge,1957) 图G 的匹配M 是最大匹配的充要条件是G 中不存在M 可扩展路。 证明:必要性:设M 是G 的一个最大匹配。如果G 中存在一个M 可扩展路P ,则将P 上所有不属于M 的边构成集合M ′。显然M ′也是G 的一个匹配且比M 多一条边。这与M 是最大匹配相矛盾。 充分性:设G 中不存在M 可扩展路。若匹配M 不是最大匹配，则存在另一匹配M ′,使 ||||M M >′. 令 ][M M G H ′⊕=，(M M M M M M ′?′=′⊕∩∪称为对称差)。 则H 中每个顶点的度非1即2(这是因为一个顶点最多只与M 的一条边及M ′的一条边相关联)。故H 的每个连通分支要么是M 的边与M ′的边交替出现的一个偶长度圈，要么是M 的边与M ′的边交替出现的一条路。 由于||||M M >′，H 的边中M ′的边多于M 的边，故必有H 的某个连通分支是一条路，且始于M ′的边又终止于M ′的边。这条路是一条M 可扩展路。这与条件矛盾。 证毕。
数学建模方法归类(很全很有用)
在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。 用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。 在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。 回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。 逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。（主要用SAS来实现，也可以用matlab软件来实现）。 聚类分析：所研究的样本或者变量之间存在程度不同的相似性，要求设法找出一些能够度量它们之间相似程度的统计量作为分类的依据，再利用这些量将样本或者变量进行分类。 系统聚类分析—将n个样本或者n个指标看成n类，一类包括一个样本或者指标，然后将性质最接近的两类合并成为一个新类，依此类推。最终可以按照需要来决定分多少类，每类有多少样本（指标）。 系统聚类方法步骤： 1.计算n个样本两两之间的距离 2.构成n个类，每类只包含一个样品 3.合并距离最近的两类为一个新类 4.计算新类与当前各类的距离（新类与当前类的距离等于当前类与组合类中包含的类的距离最小值）， 若类的个数等于1，转5，否则转3 5.画聚类图 6.决定类的个数和类。 判别分析：在已知研究对象分成若干类型，并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。 距离判别法—首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心，计算新个体到每类的距离，确定最短的距离（欧氏距离、马氏距离） Fisher判别法—利用已知类别个体的指标构造判别式（同类差别较小、不同类差别较大），按照判别式的值判断新个体的类别 Bayes判别法—计算新给样品属于各总体的条件概率，比较概率的大小，然后将新样品判归为来自概率最大的总体 模糊数学：研究和处理模糊性现象的数学（概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）与模糊数学相关的问题：模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确；模糊相似选择—按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比
用匈牙利算法求二分图的最大匹配
用匈牙利算法求二分图的最大匹配 什么是二分图，什么是二分图的最大匹配，这些定义我就不讲了，网上随便都找得到。二分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流（我在此假设读者已有网络流的知识）；第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法，但是它跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。匈牙利算法其实很简单，但是网上搜不到什么说得清楚的文章。所以我决定要写一下。 最大流算法的核心问题就是找增广路径（augment path）。匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是： 初始时最大匹配为空 while 找得到增广路径 do 把增广路径加入到最大匹配中去 可见和最大流算法是一样的。但是这里的增广路径就有它一定的特殊性，下面我来分析一下。 （注：匈牙利算法虽然根本上是最大流算法，但是它不需要建网络模型，所以图中不再需要源点和汇点，仅仅是一个二分图。每条边也不需要有方向。） 图1是我给出的二分图中的一个匹配：［1，5］和［2，6］。图2就是在这个匹配的基础上找到的一条增广路径：3->6->2->5->1->4。我们借由它来描述一下二分图中的增广路径的性质： (1)有奇数条边。 (2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。 (3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。） (4)整条路径上没有重复的点。 (5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。（如图1、图2所示，［1，5］和［2，6］在图1中是两对已经配好对的点；而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。） (6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。（如图1、图2所示，原有的匹配是［1，5］和［2，6］，这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。） (7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中
二分图最大匹配算法的应用及Matlab实现+++
一共有RecuCal.m LockMap.m BuildMatrix.m Edmonds.m GUI1.m 这几个文件，我把它们合到一块粘上去了,你再把他们分开保存就可以了. 其中前三个文件都是为建立邻接矩阵服务的，Edmonds.m是匈牙利算法的主文件，GUI1.m只是调用Edmonds.m做个界面而已。 调用关系是GUI1.m调用Edmonds.m；Edmonds.m调用BuildMatrix.m和LockMap.m ；LockMap.m调用RecuCal.m 最后运行GUI1.m就ok了 #LockMap.m function [LMA, LMB] = LockMap(n, m) % LOCKMAP - 求解满足条件锁并设置相应的映射 % 输入参数:n 表槽数,m 表高度数。 % 输出参数:LMA,LMB 分别为二维矩阵表示自然数到满足条件锁之间的映射。 global jiA ouB ary A B mm N N = n; mm = m; jiA=0; ouB=0; A=[]; B=[]; ary = zeros(1, n); RecuCal(n); LMA=A; LMB=B; [lena, n] = size(LMA); [lenb, n] =size(LMB); if lena>lenb temp = LMA; LMA=LMB;LMB=temp; temp = lena;lena=lenb;lenb=temp; end #RecuCal.m function RecuCal(n) % RECUCAL - 递归函数 global jiA ouB ary A B mm N if n ==1 for k=1:mm % 调用递归函数时要用到的变量所以 % 设为全局 ary(1) = k; Max = max(ary); Min = min(ary); num = 0; neighbor = 0; for i=1:N num = num + (Max-ary(i))*(ary(i)-Min);
专家系统复习
第一章专家系统概述 1、专家系统（ES）：是一个智能程序系统，有大量的、高水平领域专家的知识；有领域专 家解决问题的思维方法。ES所处理的问题是依据已积累的知识来求得问题解答，一般没有准确的数学公式来表达，这就是ES与“一般问题求解”方法的不同之处，数据+算法=传统程序，知识+推理=专家系统。ES的关键是知识获取、知识表达与推理的过程。 2、专家系统的组成：知识库、推理机、数据基、人机界面、知识获取、解释机构。 3、专家系统的分类： （1）诊断类专家系统 （2）预测类专家系统 （3）解释类专家系统 （4）数学专家系统 （5）设计与规划专家系统 （6）咨询与决策专家系统 （7）教学类专家系统 （8）知识自动获取系统 4、专家系统的特征： （1）专家系统具有显示表达的大量领域专门知识 （2）能进行呼号处理 （3）具有智能 （4）对推理过程的理解 5、与多媒体技术结合（了解） 6、图灵奖：专门奖励那些对计算机事业作出重要贡献的个人，是计算机界最负盛名、最崇 高的一个奖项，有“计算机界的诺贝尔奖”之称。明基斯第一个图灵奖获得者。 7、麦卡锡则提出表处理语言Lisp：卡普提出分支界限法；费根鲍姆提出知识蕴藏着力量： 第一个专家系统是MYCIN； 第二章专家系统知识 1、产生式规则表示法： 格式：if （前提1）&（前提2）&…… then（结论1）&（结论2）&…… 2、框架表示法： 框架：是用于描述具有固定的静态对象的通用数据结构；该对象用：“对象——属性——属性值“表示，框架由若干个槽组成，槽用于描述属性。槽有两种形式 a.槽名+槽值；b.槽名+侧面策略 3、语义网络表示法： 语义网络是基于网络结构表示人类知识结构的一种形式，语义主要是指语言结构及其意义上的联系。一个简单的语义网是如下三元组：（节点1，狐，节点2） 例：
Ku二分图最大权匹配(KM算法)hn
Kuhn-Munkres 算法
Maigo 的 KM 算法讲解（的确精彩）
KM 算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转 化为求完备匹配的问题的。设顶点 Xi 的顶标为 A[i]，
顶点 Yi 的顶标为 B[i]，顶点 Xi 与 Yj 之间的边权为 w[i,j]。在算法执行过程中 的任一时刻，对于任一条边(i,j)， A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。KM 算法的正确 性基于以下定理： * 若由二分图中所有满足 A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图 （称做相等子 图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。 这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相 等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相 等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配 一定是二分图的最大权匹配。 初始时为了使 A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令 A[i]为所有与顶点 Xi 关联的边 的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改 顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。 我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个 X 顶点，我们 找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点 全部是 X 顶点。现在我们把交错树中 X 顶点的顶标全都减小某个值 d，Y 顶 点的顶标全都增加同一个值 d，那么我们会发现：
两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于 相等子图，现在仍属于相等子图。 两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和 B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于 （或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。 X 端不在交错树中，Y 端在交错树中的边(i,j)，它的 A[i]+B[j]的值有所增大。 它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。 X 端在交错树中，Y 端不在交错树中的边(i,j)，它的 A[i]+B[j]的值有所减小。 也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子 图得到了扩大。 现在的问题就是求 d 值了。为了使 A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有 一条边进入相等子图，d 应该等于 min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi 在交错树中，Yi 不在 交错树中}。 以上就是 KM 算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为 O(n4)——需要找 O(n)次增广路，每次增广最多需要修改 O(n)次顶标，每次 修改顶标时由于要枚举边来求 d 值，复杂度为 O(n2)。实际上 KM 算法的复 杂度是可以做到 O(n3)的。我们给每个 Y 顶点一个“松弛量”函数 slack，每次 开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如 果它不在相等子图中， 则让 slack[j]变成原值与 A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。 这样， 在修改顶标时，取所有不在交错树中的 Y 顶点的 slack 值中的最小值作为 d 值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的 slack 值都减去 d。
正向最大匹配和反向最大匹配
正向最大匹配和反向最大匹配 最近看了一下分词算法的东西，整理如下： 下面介绍的分词算法中最简单的正向最大匹配和反向最大匹配。 这种两种方法都是机械分词方法，它是按照一定的策略将待分析的汉字串与一个”充分大的”机器词典中的词条进行配，若在词典中找到某个字符串，则匹配成功（识别出一个词）。 按照扫描方向的不同，串匹配分词方法可以分为正向匹配和逆向匹配；按照不同长度优先匹配的情况，可以分为最大（最长）匹配和最小（最短）匹配；按照是否与词性标注过程相结合，又可以分为单纯分词方法和分词与标注相结合的一体化方法。常用的几种机械分词方法如下： 1）正向最大匹配法（由左到右的方向）； 2）逆向最大匹配法（由右到左的方向）； 3）最少切分（使每一句中切出的词数最小）。 还可以将上述各种方法相互组合，例如，可以将正向最大匹配方法和逆向最大匹配方法结合起来构成双向匹配法。由于汉语单字成词的特点，正向最小匹配和逆向最小匹配一般很少使用。一般说来，逆向匹配的切分精度略高于正向匹配，遇到的歧义现象也较少。统计结果表明，单纯使用正向最大匹配的错误率为1/169，单纯使用逆向最大匹配的错误率为1/245。但这种精度还远远不能满足实际的需要。实际使用的分词系统，都是把机械分词作为一种初分手段，还需通过利用各种其它的语言信息来进一步提高切分的准确率。
一种方法是改进扫描方式，称为特征扫描或标志切分，优先在待分析字符串中识别和切分出一些带有明显特征的词，以这些词作为断点，可将原字符串分为较小的串再来进机械分词，从而减少匹配的错误率。另一种方法是将分词和词类标注结合起来，利用丰富的词类信息对分词决策提供帮助，并且在标注过程中又反过来对分词结果进行检验、调整，从而极大地提高切分的准确率 定义比较抽象，举个例子来说明正向最大匹配和反向最大匹配。 例子:’今天来了许多新同事’ 1.正向最大匹配方式，最大长度为5 今天来了许 今天来了 今天来 今天====》得到一个词–今天 来了许多新 来了许多 来了许 来了 来====》得到一个词–来 了许多新同 了许多新 了许多 了许 了====》得到一个词–了 许多新同事 许多新同 许多新 许多====》得到一个词–许多 新同事 新同 新====》得到一个词–新 同事====》得到一个词–同事 最后正向最大匹配的结果是： /今天/来/了/许多/新/同事/ 2.反向最大匹配方式，最大长度为5 许多新同事 多新同事 新同事 同事====》得到一个词–同事 来了许多新 了许多新 许多新 多新 新====》得到一个词–新 天来了许多 来了许多 了许多
匹配算法MATLAB
求二部图G 的最大匹配的算法(匈牙利算法), 其基本思想是：从G 的任意匹配M 开始, 对X 中所有M 的非饱和点, 寻找M -增广路. 若不存在M -增广路, 则M 为最大匹配; 若存 在M -增广路P, 则将P 中M 与非M 的边互换得到比M 多一边的匹配M1 , 再对M1 重复上 述过程. 设G = ( X, Y, E )为二部图, 其中X = {x1, x2, ?, xn }, Y = { y1, y2, ?, yn}. 任取G 的一初 始匹配M (如任取e∈E, 则M = {e}是一个匹配). ①令S = f , T = f , 转向②. ②若M 饱和X \ S 的所有点, 则M 是二部图G 的最大匹配. 否则, 任取M 的 非饱和点 u∈X \ S , 令S = S ∪{ u }, 转向③. ③记N (S ) = {v | u∈S, uv∈E }. 若N (S ) = T, 转向②. 否则取y∈N (S ) \ T. 若y 是M 的饱和点, 转向④, 否则转向⑤. ④设x y∈M, 则令S = S ∪{ x }, T = T ∪{ y }, 转向③. ⑤u - y 路是M-增广路, 设为P, 并令M = M⊕P, 转向①. 这里M⊕P = M∪P \ M∩ P, 是对称差. 由于计算M-增广路P 比较麻烦, 因此将迭代步骤改为： ①将X 中M 的所有非饱和点(不是M 中某条边的端点)都给以标号0 和标记*, 转向②. ②若X 中所有有标号的点都已去掉了标记*, 则M 是G 的最大匹配. 否则任 取X 中一 个既有标号又有标记*的点xi , 去掉xi 的标记*, 转向③. ③找出在G 中所有与xi 邻接的点yj (即xi yj∈E ), 若所有这样的yj 都已有标号, 则转向 ②, 否则转向④. ④对与xi 邻接且尚未给标号的yj 都给定标号i. 若所有的yj 都是M的饱和点, 则转向⑤, 否则逆向返回. 即由其中M的任一个非饱和点yj的标号i 找到xi, 再由xi的标号k 找到yk , ?, 最后由yt 的标号s 找到标号为0 的xs 时结束, 获得M -增广路xs yt ?xi yj, 记 P = {xs yt, ?, xi yj }, 重新记M 为M⊕P, 转向①. ⑤将yj在M 中与之邻接的点xk (即xk yj∈M), 给以标号j 和标记*, 转向②. 例1 求图6-9 中所示的二部图G 的最大匹配.