高考数学向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
二、四心与向量的结合 （1）?=++O 是ABC ?的重心.
证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O
?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ???
???
?++=++=?33321
321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++2=+=,∴2=
∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1,∴O 是ABC ?的重心
（2）??=?=?O 为ABC ?的垂心.
证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.
0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥?
同理BC OA
⊥，AB OC ⊥?O 为ABC ?的垂心
（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心
O OC c OB b OA a ?=++0为ABC ?的内心.
证明：b
c 、
分别为
AC AB 、方向上的单位向量，∴
b
c +平分
BAC ∠,(
λ=∴b
c +)，令
c b a bc ++=λ,∴c
b a bc
AO ++=（b c +),化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a
∴=++c b a
（4
==?O 为ABC ?的外心。
典型例题：
例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，
则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 分析：如图所示ABC ?，
E D 、分别为边AC BC 、的中点.
2=+ ,∴λ2+=,+=
λ2=∴,∴//,∴点P 的轨迹一定通过ABC ?的重心，即选C .
例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足+
+=λ，
[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ B ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
分析：为
、的单位向量，
∴
+
BAC ∠,∴点P 一定通过ABC ?的内心，即选B .
例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足+
+=λ，
[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足
.
+
?
+
+
=
=0，∴点P 的轨迹一定通过ABC ?的垂心，即选D .
练习：
1．已知ABC ?三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：λ=+，则λ
的值为（ ） A ．2 B ．
2
3
C ．3
D ．6 2．若ABC ?的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=?( )
A ．
21 B ．0 C ．1 D ．2
1- 3．点O 在ABC ?内部且满足22=++，则ABC ?面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）
A ．0
B ．
23 C ．45 D ．3
4
4．ABC ?的外接圆的圆心为O ，若++=，则H 是ABC ?的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
5．O 是平面上一定点，
C B A 、、是平面上不共线的三个点，若2
2
2
=+
2
22AB
OC CA +=+，则O 是ABC ?的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 6．ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =
7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →
=0且AB →|AB →| ·AC →
|AC →| =12 , 则△ABC 为( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形 8．已知ABC ?三个顶点
C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ?+?+?=2
，则ABC ?为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心 1、内心 (1)定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 (2)三角形的内心的性质 ①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 ②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ③s= (r是内切圆半径) 2 ④在Rt△ ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2 . ⑤/BOC = 90 +Z A/2 / BOA = 90+/C/2 / AOC = 90+/B/2 2、外心 (1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。 (2)三角形的外心的性质 ①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 ③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
④OA=OB=OC=R ⑤/ B0C=2 BAC / AOB=Z ACB / C0A=2 CBA ⑥S A ABC二abc/4R 3、重心 (1)三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 (2)三角形的重心的性质 ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 ②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 ③重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 ④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：( Z1+Z2+Z3) /3 ⑤重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 4、垂心 (1)定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 (2)三角形的垂心的性质 ①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 ②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 ③垂心0关于三边的对称点，均在△ ABC的外接圆上
三角形内心、外心专项训练
三角形内心、外心专项 训练 -CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1
内心相关知识 三角形内心、外心专项训练 一、判断题 在同一平面内， 在同一平面内， 三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心） 1 、 2 、 3> 4 、 5 、 到三角形三边距离相等的点只有一个到三角形三 边所在直线距离相等的点只有一个 等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形 二、填空题 6、如图（1）,点P为△A8C三条角平分线交点，PD丄AB, PE丄BC, PF丄AC,则 PD __________ PE __________ PF. 7、如图（2） , P是ZAOB平分线上任意一点，II PD=2cm,若使P&2cm,则PE与 0B的关系是___________ . 8、如图（3） , CD为RtAAfiC斜边上的高，ZBAC的平分线分别交CD、CB于点￡, F, FG 丄AB,垂足为G,则CF _________________ F G, Z1+Z 3= ____________ 度，Z 2+Z 4= FG. Z 1+ Z 3= CF. 度，Z3Z4, CE 9.如右图，￡、D分别是&& BED、ZEDC的角平分线交于M 求证；A、M、W在 一条直线上. 证明：过点W作WF丄AB, NH丄ED, NKLAC 过 点M 作MJ丄BC, MPMQ丄AC V￡/V￥分Z8￡6 DN 平分ZEDC :.NF _________ NH, NH NK :.NF _________ NK 代W在ZA的平分线上 乂TBM 半分ZABC, CM 半分ZACB AC匕的一点, ZffiC. /BCD的角平分线交于点Z AM在ZA的_____________ 上 AM. W都在ZA的 _____________ 上 ：4、W在一条直线上 三、作图题 10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点 C
圆的内心与外心专题训练
序号72 设计者： 设计时间 ：2015、11、17 课题 三角形内心与外心 课型 习题课 教 学 目 标 知识目标 掌握基本图形的常用辅助线做法，会运用相关知识解决问题 能力目标 会从已知条件下找到问题解决思路。 一、目标导学，引入新课 1、学会内心的应用，以加深对三角形内切圆的理解。 2、复习三角形的内心、外心的定义、性质。 二、自主学习，合作交流 1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ， 那么∠EDF 等于 2、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE= 3、如图，△ABC 中，∠BOC=140°，I 是内心，O 是外心，则∠BIC= 。 4、如图．在△ABC 中，AC=b ，AB=c ，BC=a 它的内切圆与AB 、BC 、AC 分别相切与E 、D 、F ，则AE=AF= ，BE=BD= ，CD=CF= 三、疑难点拨，因势利导 例题：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心， 求证：①BD=CD=ID ； ②∠AIB =90°+2 1 ∠ACB ; I O B C F E D O A B C 图1E O I C B A
图4 E I D C O B A 变式1：如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC. 变式2：如图3，若∠BAC =90°，AB=8，AC=6，求DI 、OI 的长。 变式3、如图3，若∠BAC =90°，DI=24，求⊙O 的半径。 变式4、如图4，若∠BAC =90°，IE ⊥AC 于E ，OB=R ，IE=r ， 求证：AD r R 2 2 =+ 四、练习检测，自我反思 1、如图3，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC 、BC 分别交于点E 、F 。 求证：EF=AE+BF A B C D I O E 图2 图3I D C O B A 图3 I D C O B A
习题课：内心与外心
1 D D B A B B 习题课：三角形的内心与外心 【方法技巧】借助切线长定理及勾股定理是解决三角形的内心与外心问题的关键． 一、直角三角形的内心与外心 1．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，I 为△ABC 的内心，AC ＝8，BC ＝6． （1）如图1，求IC 的长； （2）如图2，若? AD ＝?BD ，求ID 的长； （3）如图3，求OI 的长． 图1 图2 图3 2．如图，△ABC 是圆的内接三角形，点E 为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，AE 的延长线交圆于点D ． （1）求证：?BD ＝?CD ； （2）判断B 、E 、C 三点是否在以D 为圆心，DE 长为半径的⊙D 上？并说明理由； （3）若∠BEC ＝110°，则∠BDC __________(直接写出结果)． 二、等腰三角形的内心与外心 3．如图，△ABC 中， AB ＝AC ＝13，BC ＝10，⊙O 为△ABC 的外接圆，I 为△ABC 的内心． （1）求BO 的长；（2）求BI 的长． 作业： 1已知点I 是△ABC 的内心，∠ BIC=130°，则∠BAC 的度数是__________. 2.在等边三角形ABC 中，AD= 1 2 E 是△ABC 的内心，以点C 为圆心，CE 长为半径作圆C ，点G 是圆C 上一动点，连接AG,若P 是AG 的中点，则DP 的最大值（ ） A. 2 B. 1 2 1 第2题 第3题 3.O 是△ ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB,与AC,BC 分别交于点，E,F,则（ ） A. EF AE BF >+ B. EF AE BF <+ C. EF AE BF =+ D. EF AE BF ≤+ 4.如图，已知E 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线交BC 于点F ，且与△ABC 的外接圆相交于点D ． 求证：∠DBE=∠DEB ； 6. 如图，△ABC 中，E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D ，求证：DE=DB ．
中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(八)三角形的内心与外心练习
滚动小专题(八) 三角形的外心与内心 类型1三角形外心 1．已知在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，则△ABC的外心在(D) A．△ABC内B．△ABC外C．BC边中点D．AC边中点 2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是(B) A．D点B．E点C．F点D．G点 3．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，则下列说法错误的是(C) A．O是△CEF的外心B．O是△CFG的外心 C．O是△OAC的外心D．O是△CDE的外心 4．如图是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心(C) A．△ABD B．△BCD C．△ACD D．△ADE 5．某地有四个村庄E，F，G，H(其位置如图所示)，现拟建一个电视信号中转站，信号覆盖的范围是以发射台为圆心的圆形区域．为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小(圆形区域半径越小，所需功率越小)，此中转站应建在(C) A．线段HF的中点处B．△GHE的外心处 C．△HEF的外心处D．△GEF的外心处 6．在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距离是5 cm，则△ABC的外接圆半径为(C) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)．
8．如图，在△ABC 中，∠BAC＝70°，AB ＝AC ，O 为△ABC 的外心，△OCP 为等边三角形，OP 与AC 相交于点D ，连接OA. (1)求∠OAC 的度数； (2)求∠AOP 的度数． 解：(1)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO 垂直平分BC. ∵AB＝AC ， ∴AO 平分∠BAC. ∴∠OAC＝1 2 ∠BAC＝35°. (2)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO＝CO. ∴∠OAC＝∠OCA＝35°.∴∠AOC＝110°. ∵△OCP 为正三角形，∴∠POC＝60°. ∴∠AOP＝50°. 类型2 三角形内心 9．如图为5×5的网格图，点A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，则点O 是(B ) A ．△ACD 的外心 B ．△AB C 的外心 C ．△AC D 的内心 D ．△ABC 的内心 10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，点D ，E 在BC 上，△ADE 是等边三角形．若点O 是△ABC 的内心，则下列说法正确的是(C ) A ．点O 是△ADE 的内心 B ．点O 是△ADE 的外心 C ．点O 不是△ABE 的内心 D ．点O 是△ABC 的外心
与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理
三角形外心、内心、重心相关的关系和定理。外心即外接圆的圆心，此时三角形三个顶点在圆上，圆心到三个顶点的距离相等，即外心到三角形三个顶点距离相等，因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。 内心即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即内心到三角形三个顶点距离相等，因此内心是三角形三个角的角平分线交点。 重心即三条中线的交点，分别通过三个顶点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分成1:2，即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。 垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点作对边作垂线，垂线的交点即是垂心。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的三个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）. 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、外心到三顶点的距离相等
内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和、减去斜边的差的二分之一。 3、O为三角形的内心， A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO: ON=AB: BN=AC: CN=(AB+AC): BC 4（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠ A、∠ B、∠C的内角平分线分别交 BC、A C、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 5、内心到三角形三边距离相等。
圆的内心与外心专题训练
序号72 设计者：设计时间：2015、11、17 课题三角形内心与外心课型习题课 教学目标知识目标 掌握基本图形的常用辅助线做法，会运用相关知 识解决问题 能力目标会从已知条件下找到问题解决思路。 一、目标导学，引入新课 1、学会内心的应用，以加深对三角形内切圆的理解。 2、复习三角形的内心、外心的定义、性质。 二、自主学习，合作交流 1、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°， ∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于
2、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°， ∠C=60°，则∠DOE= 3、如图，△ABC中，∠BOC=140°，I是内心，O是外心，则∠BIC= 。 4、如图．在△ABC中，AC=b，AB=c，BC=a它的内切圆与AB、BC、AC分别相切与E、D、F，则AE=AF= ，BE=BD= ， CD=CF= 三、疑难点拨，因势利导 例题：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心， 求证：①BD=CD=ID； ②∠AIB=90°+∠ACB;
变式1：如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC. 变式2：如图3，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，求DI、OI的长。 变式3、如图3，若∠BAC=90°，DI=，求⊙O的半径。 变式4、如图4，若∠BAC=90°，IE⊥AC于E，OB=R，IE=， 求证： 四、练习检测，自我反思 1、如图3，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点 E、F。
求证：EF=AE+BF 4、如图，AB是⊙O的直径，CB、CD是切线，切点是D、B，OC交⊙O于E 点，求证：E点是△DBC的内心。
九年数学三角形内心和外心练习题
C E B 三角形的内心和外心测试题 姓名________________ 班级_____________ 成绩____________ 一、选择题： 1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（） A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径 C.它是三角形三条角平分线的交点 D.它是三角形三条边垂直平分线的交点 2、下列命题正确的个数有（） ○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆； ○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离（） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 4、下列说法错误的是（） A.三角形有且只有一个内切圆 B.若I为△ABC的内心，则AI平分∠BAC C.三角形的内心不一定都在三角形的内部 D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上 5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（） A.25 4 cm2 B.5πcm2 C. 25 4 πcm2 D.25cm2 6、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为（） A.1cm B. 2cm C.3cm D.2.5cm 第6题第8题第10题 7、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙ O的半径为5，则BC的长为（） 5 2 8、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F， 则⊙O的半径为（） A. 1 2 cm B.1cm C. 3 2 cm D.2cm 9、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为 （） A.1：2：3 B.1 ：：2 C.2：1 ：3 D.1 10、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( ) A. 4 5 B. 5 4 C. 3 4 D. 5 6
外心内心
个结论 (1) 叫外心 (2)OA=( )=( ) (3) ∠BOC=( ) ∠BAC (4) BC=4，∠BAC=600，求OB (5) 叫内心 (6) )ID=( )=( ) (7) ∠BIC=900+ ( ) ∠BAC ， ∠BOC 与∠BIC 的数量关系为（ ） (8)S △ABC =( )r (9)BG=( )= ( )，G 为△BCI 的（ ）心 (10) AB+AC AG =( ) 2.△ABC 内接于⊙O ， ⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，∠A=700， （1）求∠BOC ，∠BIC （2）若P 为⊙I 上一点，（不与E 、F 重合）求∠EPF 3.△ABC 内接于⊙O ， ⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ， （1）若AB=5，AC=4，BC=6，求AF ，BF ，CD （2）求证：BD-CD=AB-AC
于G ， （1）求证：GB=GI=GC （2）求证：AB+AC AG =BC BG 相似 （3）利用（1）中的结论在右图中分别画出△ABI 、△ACI 、 △BCI 的外接圆 5.Rt △ABC 内接于⊙O ，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ， AB=5， （1）若AC=4，求⊙O 的半径和⊙I 的半径 （2）求证：AB= 2 TI （3）当C 点在以AB 为直径的⊙O 上运动时，求⊙I 半径的最大值 6.Rt △ABC 中，O 为外心，⊙I 与△ABC 各边所在的直线都相切，切点分别为D 、E 、F ，若AC=3，BC=4 （1）求⊙I 的半径 （2）求OI 的长 B
内心和外心 - 学案
内心和外心复习学案 1.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是() 2.如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°.边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD异侧，I为△APC 的内心． 当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接 ．．写出m，n的值． 3.如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使某顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（） A.4.5 B.4 C.3 D.2 4.如图13，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN ＝α. 若△BPN的外心在该三角形的内部，写出α的取值范围． 5.如图15，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O，B 重合)，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切 优弧CD ︵ 于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP. 若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围． 6.如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（） A. △ACD的外心 B. △ABC的外心 C. △ACD的内心 D. △ABC的内心
7. 如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F ，下列三角形中，外心不是．． 点O 的是（ ） A. △ABE B. △ACF C. △ABD D. △ADE 8.如图,在△ABC 中,点O 是△ABC 的内心,连接OB,OC ,过点O 作EF △BC 分别交AB,AC 于点E,F .已知△ABC 的周长为8,BC=x ,△AEF 的周长为y ,则表示y 与x 的函数图象大致是( ) A. B. C. . 9.如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,又是等边△DEF 的外接圆,则EFBC 等于()
圆的内心与外心专题训练
1 序号72 设计者： 设计时间 ：2015、11、17 1、学会内心的应用，以加深对三角形内切圆的理解。 2、复习三角形的内心、外心的定义、性质。 二、自主学习，合作交流 1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于 2、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE= 3、如图，△ABC 中，∠BOC=140°，I 是内心，O 是外心，则∠BIC= 。 4、如图．在△ABC 中，AC=b ，AB=c ，BC=a 它的内切圆与AB 、BC 、AC 分别相切与E 、D 、F ，则AE=AF= ，BE=BD= ，CD=CF= 三、疑难点拨，因势利导 例题：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心， 求证：①BD=CD=ID ； ②∠AIB =90°+2 1 ∠ACB ; 变式1：如图 2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC. 变式2：如图3，若∠BAC =90 °，AB=8，AC=6，求DI 、OI 的长。 A B C D A B C 图2 图3 D C B 图1
2 图4 D C B A B 变式3、如图3，若∠BA C =90°，DI=24，求⊙O 的半径。 变式4、如图4，若∠BAC =90°，IE ⊥AC 于E ，OB=R ，IE=r ， 求证：AD r R 2 2 = + 四、练习检测，自我反思 1、如图3，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC 、BC 分别交于点E 、F 。 求证：EF=AE+BF 4、如图，AB 是⊙O 的直径，CB 、CD 是切线，切点是D 、B ，OC 交⊙O 于E 点，求证：E 点是△DBC 的内心。 图 3 D C B
内心外心训练答案
【训练题】 1、如图，O 是△ABC 的，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交E 、F ，则（ ） A 、EF ＞AE+BF B 、EF ＜AE+BF C 、EF=AE+BF D 、EF≤AE+BF 解：连接AO 、BO ， ∵∠OAE=∠OAB （角平分），∠EOA=∠OAB （内错角） ∴∠OAE=∠EOA ，则EO=EA ，同理FO=FB 故选C 2、已知，如图，点E 是△ABC 的内心，延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，连接BD 、DC 、EC ，则图 中与BD 相等的线段分别是____________________ 解：由题知，∠BAD=∠OAD ，则BD=CD ，∠DBC=∠DCB 易知：∠DBC=∠DAC ，则∠DCB=∠DAC ∵∠DCE=∠DCB+ 12C ∠，∠DEC=∠DAC+1 2 C ∠ ∴∠DCE=∠DEC 所以 CD=DE 故：与B D 相等的线段分别是CD 、DE 3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，延长AC 到D ，使CD=BC ，点P 是△ABD 的内心， 则∠BPC=___________ 解：∵AB=AC ，P 是△ABD 的内心，∴AP 为BP 的中垂线 则BP=PC ，△BPC 为等腰三角形， 设∠PBC=a ，则∠BPC=180°－2a ∵∠A=40°，∴∠ABC=70° ∵ CD=BC ，∴∠CBD=35°，由题知：∠PBA=∠PBD 则有70°－a=35°+a ，所以2a=35°，故∠BPC=145° 4、如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于E ，作OF ⊥CD 于 F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为__________ 解：延长FO 交AB 于H ，延长EO 交BC 于I ，过O 作O G ⊥AC D E B C A F E O C A B P D C A B
圆重难点突破内心外心
E F D O A B C 前言： 元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。 第1个问题 内心、外心知多少 【2013元调 第10题】 如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（ ） A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠ C 、1 2180 2 AIB AOB ∠-∠= D 、1 2180 2 AOB AIB ∠-∠= 分析： 外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点 三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。 内心：圆在三角形内，与三边都相切 三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。 ∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ， ∠AIB=180° -（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+1 2 ∠C 外心和内心的考查很频繁 外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题 如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD ②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题） 内心的考查更灵活：常考角度、面积 （1）111 90,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠ （2）1 ()2 S a b c r ABC =++，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径 当90BAC ∠=时，四边形ADOF 为正方形，2 a b c r +-= O I C A B O C A B I A B C D B O C A E
专题56 涉及内心外心的试题(学生版)
一、选择题 8．（2020?丽水）如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是上一点，则∠EPF 的度数是（ ） A ．65° B ．60° C ．58° D ．50° 9．（2020·嘉兴）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =25，BC =8，按下列步骤作图： ①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于1 2 EF 的长为 半径作弧相交于点H ，作射线AH ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于1 2 AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于 点O ； ③以点O 为圆心，线段OA 长为半径作圆．则⊙O 的半径为（ ） A ．25 B ．10 C ．4 D ．5 7. (2020·连云港) 10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点.则点O 是下列哪个三角形的外心 A.△AED B.△ABD C.△BCD D.△ACD （第7题图） （2020·济宁）9.如图，在△ABC 中一点D 为△ABC 的内心,∠A =60°,CD=2,BD=4.则△DBC 的面积是（ ） A.43 B.23 C.2 D.4 G O B C
8．（2020·随州）设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（ ） A. h=R+r B.R=2r C.a r 43= D. a R 3 3= 二、填空题 15．（2020·南京）如图，线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC ＝____°. 15．（2020·泰州）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A 、B 、C 、在直角坐标系中的坐标分别为()3,6，()3,3-，()7,2-，则ABC ?内心的坐标为______． 10．(2020·青海)如图4，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则△ABC 的内切圆半径r ＝______． C
三角形内心和外心练习题上课讲义
精品文档 精品文档 C E B 内心和外心 一、 选择题： 1、 对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ） A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径 C.它是三角形三条角平分线的交点 D.它是三角形三条边垂直平分线的交点 2、下列命题正确的个数有（ ） ○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接 圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 3、下列说法错误的是（ ） A.三角形有且只有一个内切圆 B.若I 为△ABC 的内心，则AI 平分∠BAC C.三角形的内心不一定都在三角形的内部 D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则△ABC 的外接圆的面积为（ ） A.254cm 2 B.5πcm 2 C. 254 πcm 2 D.25cm 2 5、⊙O 与△ABC 分别相切于点D 、E 、F ，△ABC 的周长为20cm ，AF=5cm ，CF=3cm ，则BE 的长度为（ ） A.1cm B. 2cm C.3cm D.2.5cm 第5题 第7题 第9题 6、△ABC 内接于⊙O ，∠A=60°，⊙ O 的半径为5，则BC 的长为（ ） 52 7、已知，如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，则⊙O 的半径为（ ）
三角形内心和外心练习题
E B 内心和外心 一、选择题： 1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（） A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径 C.它是三角形三条角平分线的交点 D.它是三角形三条边垂直平分线的交点 2、下列命题正确的个数有（） ○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形. 个个个个 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离是（） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 3、下列说法错误的是（） A.三角形有且只有一个内切圆 B.若I为△ABC的内心，则AI平分∠BAC C.三角形的内心不一定都在三角形的内部 D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（） 25 45π2 C. 25 4 πcm2 D.25cm2 5、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的 长度为（）
第5题第7题第9题 6、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙O的半径为5，则BC的长为（ ） 5 2 7、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切 点为D、E、F，则⊙O的半径为（） 1 2 B.1cm 3 2 D.2cm 8、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为（） ：2：3 ：2 C.2 ：1：3 9、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O 的半径为( ) A. 4 5 B. 5 4 C. 3 4 D. 5 6 10、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、 BD相交于点F.以下四个结论：○1∠BFE=60°；○2BC=BD；○3EF=FD；○4BF=2DF.其中结论一定正确的是（） A. ○1○2○3 B.○1○3 C. ○1○2○4 D. ○1○2○3○4 第10题第15题 第16题 二、填空题
河北省2020届中考数学一轮复习讲义微专题 三角形的内心和外心
微专题三角形的内心和外心 (2018.15，2018.23，2017.23，2016.9，2015.6) 1. 如图，在△ABC中，BC＝6，△B＝90°，△A＝60°，点O为△ABC的外心，则点O到BC边的距离是() A. 3 B. 2 C. 3 D. 2 第1题图第2题图 2. 如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝30°，点I是Rt△ABC的内心，连接CI并延长交AB于点D，若CD＝2，则AC的长为() A. 3 B. 2 C. 3＋1 D. 3 3. 如图，在4×4的网格中，点A，B，C，D，H均在网格的格点上，下面结论：△点H是△ABC的内心；△点H是△ABD的外心；△点H是△BCD的外心；△点H是△ADC的外心，其中正确的有() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第3题图第4题图 4. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分△BAC，若△BAC＝△CFE＝50°，则点O是() A. △ABC的内心 B. △ABC的外心 C. △ABF的内心 D. △ABF的外心
第5题图 5. 如图，在Rt△ABC 中，点B 的坐标(1，5)，点C 的坐标(4，1)，若反比例函数y ＝k x 图象经过△ABC 的内心，则k 的值为( ) A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 6. 如图，等边△ABC 的边长为1, 点E 、F 分别是BC 、AB 的中点，连接AE 、CF 交于点G ，边BC 下方有一动点D ，连接BD 、CD , △BDC 始终保持120°，将△BCD 折叠，点D 的对应点为G ′，则下列结论正确的有( ) △G 为△ABC 的内心；△BD ＝CD ；△CG ＞AG ；△点G 是△BCD 的外心；△G ′E 的最小值为 36 . A. △△△ B. △△△ C. △△△ D. △△△ 第6题图 第7题图 7. 如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，垂足分别为点D ，E .BD ＝4，CE ＝3，若点M 、N 分别是△ADB 、△ACE 的外心，则MN ＝________． 8. 已知，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，CD △AB ，△ACB ＝70°，点O 是△ACD 的内心，则△AOB ＝________． 第8题图 第9题图
圆的内心与外心专题训练
1、学会内心的应用，以加深对三角形内切圆的理解。 2、复习三角形的内心、外心的定义、性质。 、自主学习，合作交流 1、如图，O O 内切于△ ABC，切点为D , E, F.已知/B=50 °,Q=60 °,?连结OE, OF , DE , DF , 2、如图，O O 是△ABC 的内切圆，D , E, F 是切点，/ A=50 °,￡=60 °,?则/DOE= 3、如图，△ ABC中，/ BOC=140 °,l是内心，O是外心，则/ BIC= _________________ 4、如图. 在△ ABC中，AC=b , AB=c , BC=a它的内切圆与AB、BC、AC分别相切与E、D、F, 贝H AE=AF= _____________ , BE=BD= ________________ , CD=CF= _____________ 三、疑难 点拨，因势利导 例题：如图，"ABC内接于O O , I为△ABC的内心, 求证：① BD=CD=ID ; 1 ②/AIB=90。+—ZACB; 2 课题三角形内心与外心课型习题课教知识目标掌握基本图形的常用辅助线做法，会运用相关知识解决问题 学能力目标会从已知条件下找到问题解决思路。 目 标 设计者: 设计时间：2015、11、17 序号72 、目标导学，引入新课 那么/ EDF等于
求证：R r 变式 1 :如图 2，若/ BAC =60 °，则：BD+CE=BC. 变式3、如图3，若/BAC =90 ° , DI= 4 2，求O O 的半径。 变式 4、如图 4，若/BAC =90 °,IE 丄AC 于 E , OB=R , IE= r , 2 AD 2 四、练习检测，自我反思 1、如图3，点O 是厶 AB （的内心，过点 O 作EF // AB , 与AC 、BC 分别交于点 E 、F 。 变式2 :如图3，若/BAC =90 ,AB=8 , AC=6，求 DI 、OI 的长。 D 图 3 D 图4