黑龙江省哈六中2013届高三第三次模拟考试 数学文 (2013哈六中三模) Word版含答案

哈尔滨市第六中学2013届高三第三次模拟考试

数学试卷（文史类）

考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.

4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}111

|

{>-=x x A ，}1log |{2

1>=x x B ，那么“A m ∈”是“B m ∈”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）不充分也不必要条件 2．已知(0,2)απ∈，且α的终边上一点的坐标为55(sin

,cos )66

ππ

，则α等于（ ） (A)23π (B)53π (C)56π (D)76

π

3. 设两条不同直线m 、n 和两个不同平面α，β，βα??n m ,，有两个命题p ：若α∥β，则m ∥n ；q ：若m l ,=?βα∥β，n ∥α，则m ∥n ．那么（ ） （A ）“p ∨q ”为假 (B)“ p ∧q ”为真 (C) “p ?∨q ”为假 (D) “p ?∧q ”为真

4．已知向量)3,2(=a ，)2,1(-=b ，若m a +n b 与b a 2-共线，则n

m 等于( )

(A)21- (B)2

1

(C)2- (D)2

5．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知20121=a ，且)(02*21N n a a a n n n ∈=++++，

则=2013S ( )

(A) 0 (B) 2011 (C) 2012 (D)2013 6．函数a x

x f x --

=2

2)(的一个零点在区间)2,1(内，则实数a 的取值范围是（ ） (A))3,1( (B) )2,1( (C) )3,0( (D) )2,0(

7．圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程

是（ ）

（A ）2

2

7(3)13x y ?

?-+-= ??

?

（B ）22

(2)(1)1x y -+-=

（C ）1)3()1(2

2=-+-y x

(D)2

23(1)12x y ?

?-+-= ??

?

8．阅读如下程序，若输出的结果为

64

63

，则在程序中横线?处应填入语句为（ ） （A ）6≥i （B ）7≥i （C ）7≤i （D ） 8≤i 9．将函数)3

(sin 22π

-=x y 图像所有点横坐标缩短为原来一半，再向右平

移

3

π

，得到函数)(x f 的图像，那么关于)(x f 的论断正确的是（ ） （A ）周期为2π，一个对称中心为)0,2(π

（B ）周期为2π，一个对称中心为)1,2

(π

（C ）最大值为2，一个对称轴为2π

=x

（D ）最大值为1，一个对称轴为2

π

=x

10．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x 代替，那么这位运

动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（ ） （A ）102 （B ）103 （C ）106 （D ）10

7

0 1 2 7 8

0 7 x 9 3 1

运动员

11．如图，一个几何体的三视图正视图和侧视图为边长为2，锐角为?60的菱形，

俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ ） （A ）π2 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π8 12．函数x x y -+=lg 1的图象大致形状是（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量(,),a x y = 若实数,x y 满足20,

,0,x y x y x -+≥??

≥-??≤?

则a 的最大值是____________

14. 已知圆锥曲线C ：14

2

2=+y m x ，则当[2,1]m ∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是

15．数列}{n a 的前n 项和为12++=n n S n ，)()1(*N n a b n n n ∈-=，则数列}{n b 的前50项

和为______________

16．设)(x f 和)2(+x f 均为定义在R 上的偶函数，当)0,2[-∈x 时，1)2

2(

)(-=x

x f ，若在区间)6,2(-内，关于x 的方程)10(0)2(log )(≠>=+-a a x x f a 且恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是

俯视图

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

某旅游景点有一处山峰，游客需从景点入口A 处向下沿坡角为α的一条小路行进a 百米后到达山脚B 处，然后沿坡角为β的山路向上行进b 百米后到达山腰C 处，这时回头望向景点入口A 处俯角为θ，由于山势变陡到达山峰D 坡角为γ，然后继续向上行进c 百米终于到达山峰D 处，游览风景后，此游客打算乘坐由山峰D 直达入口A 的缆车下山结束行程，如图，假设A 、B 、C 、D 四个点在同一竖直平面 （1）求B ，D 两点的海拔落差h ； （2）求AD 的长．

（18）（本小题满分12分）

为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：

将月收入不低于55的人群称为“高收入族"，月收入低于55的人群称为“非高收入族"． （1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，问能否在犯错误的概率不超过0．01的前提下

认为非高收入族赞成楼市限购令

?

（2）现从月收入在[15，25）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率。

附：;)

)()()(()(2

2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=

（19）（本小题满分12分）

γ

D A

B C α

β

θ a

b c

如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，CD AB //，在PAD ?中，

PD PA =，并且82==AD BD ，542==DC AB

（1）点M 是PC 上的一点，证明：平面⊥MBD 平面PAD ；

（2）若△PAD 为正三角形，当面⊥MBD 平面ABCD 时，求点M 到平面ABD 的距离．

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，从曲线C 上一点P 做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为N M ,，点)0,(),0,(a B a A -（a a ,0>为常数），且02

=+?ON BM AM λ（0≠λ）

（1）求曲线C 的轨迹方程，并说明曲线C 是什么图形；

（2）当0>λ且1≠λ时，将曲线C 绕原点逆时针旋转?90得到曲线1C ，曲线C 与曲线1

C 四个交点按逆时针依次为G F E

D ,,,，且点D 在一象限

①证明：四边形DEFG 为正方形； ②若DF AD ⊥，求λ值．

（21）（本小题满分12分）

已知0>a ，函数x ax x f -=2)(，)ln()(ax x g =

（1）若直线1-=kx y 与函数)(),(x g x f 相切于同一点，求实数k a ,的值；

（2）是否存在实数a ，使得)()(x g x f ≥成立，若存在，求出实数a 的取值集合，不存在说明理由．

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做

题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，AB 是⊙2O 的直径，过点A 作⊙1O 的切线交⊙2O 于点E ，并与1BO 的延长线交于点P ，点P 分别与⊙1O 、⊙2O 交于D C ,两点

证明：（1）PC PE PD PA ?=?；

（2）AE AD =．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系Ox 中，O 为极点，点)2,

2(π

A ，)4

,22(π

B ．

（1）求经过B A O ,,的圆C 的极坐标方程；

（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆D 的参数方程1cos ,

1sin x a y a θθ=-+??

=-+?

（θ是参数，a 为半径），若圆C 与圆D 相切，求半径a 的值．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数()|31| 3.f x x ax =-++ （1）若1=a ，解不等式()5f x ≤；

（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围

一选择题:

BBDAC CBBCB BA 二填空题

17法一:解（1）γβsin sin c b h += ………6分

（2）在ABC ?中，由余弦定理)cos(2222βα+++=ab b a AC 在ACD ?中，由余弦定理)cos(2222θγπ+--+=cAC c AC AD

所以)cos()cos(22)cos(222222θγβαβα-++++++++=ab b a c c ab b a AD ………12分

（2）法二：在ABC ?中，由正弦定理得)sin()

sin(βαθβ+=

-AC

a ，所以)

sin()sin(θββα-+=a AC (9)

分

以下同法一 18.

19解（1）因为82==AD BD ，54=AB ，由勾股定理得AD BD ⊥，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，平面?PAD 平面ABCD =AD ，?BD 面ABCD ，所以⊥BD 平面PAD

?BD 面MBD ，

所以平面

⊥MBD 平面

PAD ………6分

M

（2）如图，因为⊥BD 平面PAD ，所以平面⊥PBD 平面PAD ，，做AD PF ⊥于F ，所以⊥PF 面ABCD ，32=PF ，设面?PFC 面MBD =MN ，面⊥MBD 平面ABCD 所以面//PF 面

MBD ，所以MN PF //，取DB 中点Q ，得CDFQ 为平行四边形，由平面ABCD 边长得N 为FC 中点，所以32

1

==

PF MN ………12分

20. 20解（1）设),(y x P ，所以),0(),0,(y N x M ，由02

=+?ON BM AM λ得222a y x =+λ ①当0<λ时，曲线C 是焦点在x 轴的双曲线； ②当10<<λ时，曲线C 是焦点在y 轴的椭圆；

③当1=λ时，曲线C 是圆；

④当1>λ时，曲线C 是焦点在x 轴的椭圆； ………6分 （2）①当0>λ且1≠λ时，曲线C 是椭圆，曲线1C 方程为222a y x =+λ,设),(y x D

所以两曲线四个交点坐标λ

+==12

2

2

a y x ，所以四边形DEFG 为正方形； ………9分

②设),(x x D ，当DF AD ⊥时，0)2,2(),(=--?-=?x x x a x DF AD 且

解得3=λ． ………12分 21解（1）设)(x g 切点))ln(,(00ax x ，k x x g ==

'0

01

)(， ∴01)ln()(000=-==kx ax x g ，10=∴ax ，

设)(x f 切点))(,(00x f x ，112)(00==-='k ax x f ，10==∴x a

1==∴k a ………5分

（2）令)ln()()()(2ax x ax x g x f x h --=-=，即0)(min ≥x h

x

x ax x h 1

2)(2--=

'，令12)(2--=x ax x p ，081>+=?a 所以0)(=x p 有两不等根21,x x ，021

21<-=a

x x ，不妨令210x x <<， 所以)(x h 在),0(2x 上递减，在),(2+∞x 上递增，所以0)ln()(222

22≥--=ax x ax x h 成立

因为012)(2222=--=x ax x p ，所以2

2

221x x ax +=

所以021ln 21)(2222≥+--=

x x x x h ,且1

812

48112-+=++=a a a x

令)1ln(2ln 2

121ln 21)(x x x

x x x x k +-+-=+--=

)

1(2)

2)(1()(++--

='x x x x x k ，所以)(x k 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减

所以0)1()(2=≤k x k ，又021ln 21)(2222≥+--=

x x x x h ，所以12=x 代入2

2

221x x ax += 所以1=a ………12分

22. 证明：（1）因为PB PE ,分别是⊙2O 割线，所以PB PD PE PA ?=?① 又PB PA ,分别是⊙1O 的切线和割线，所以PB PC PA ?=2② 由①②得PC PE PD PA ?=? ………5分

（2）连接DE AC ,，设DE 与AB 相交于点F ，因为BC 是⊙1O 的直径，所以?=∠90CAB ，所以AC 是⊙2O 的切线，由（1）得DE AC //，所以DE AB ⊥，所以AE AD = ………10分

23. 解（1）)4

cos(22π

θρ-

=； ………5分

（2）2=a 或23=a ． ………10分 24解：（Ⅰ）1a =时，()|31|3f x x x =-++.

当1

3

x ≥

时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤，解之得1334x ≤≤；

当1

3

x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤，解之得1123x -<≤.

综上可得，原不等式的解集为13

{|}.24

x x -

≤≤ ………5分 （Ⅱ）1(3)2,()3

()|31|31(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ?++??=-++=??-+

≥

函数()f x 有最小值的充要条件为30,

30,a a +??-?

≥≤即33a -≤≤ ………10分