线性代数(同济大学第五版)行列式讲义、例题
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第一章 行列式
行列式是研究线性方程组的一个有力工具,本章给出了行列式的定义、性质及其计算方法.
§1 全排列及其逆序数
一、排列及其逆序数定义
对于n 个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,,n 这n 个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.
定义 1 由n 个自然数n ,,2,1 组成的一个有序数组n i i i ,,,21 ,称为一个n 元全排列,简称为排列.
例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列.
定义 2 在一个排列里,如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个逆序（反序）,在一个排列里出现的逆序总数叫做这个排列的逆序数,用),,,(21n i i i τ表示排列n i i i ,,,21 的逆序数.
根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数：
设在一个n 级排列12n i i i 中,比(1,2,,)t i t n = 大的且排在t i 前
面的数共有i t 个,则t i 的逆序的个数为i t ,而该排列中所有数的逆序的个
数之和就是这个排列的逆序数．即
12121
().n
n n i i i i i t t t t τ==+++=
∑
例1 计算排列45321的逆序数.
解 因为4排在首位,故其逆序数为0；
比5大且排在5前面的数有0个,故其逆序数为0； 比3大且排在3前面的数有2个,故其逆序数为2； 比2大且排在2前面的数有3个,故其逆序数为3； 比1大且排在1前面的数有4个,故其逆序数为4． 可见所求排列的逆序数为
(45321)002349τ=++++=．
定义 3 逆序数为偶数的排列叫做偶排列, 逆序数为奇数的排列叫做奇排列.
),,,(21n i i i τ=2i 前面大于2i 的元素个数+3i 前面大于3i 的元素的个
数++ n i 前面大于n i 的元素的个数,例如:
3300)2341(=++=τ, 逆序数为3,)2341(τ为奇排列. 6321)4321(=++=τ, 逆序数为6,)4321(τ为偶排列.
定义4 把一个排列中某两个数码i 和j 互换位置,而其余数码不动,就
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得到一个新排列.对一个排列所施行的这样一个变换叫做一个对换.
例如排列2341经过元素2,4对换变成排列4321,可记为4321
2341)
4,2(??→? 定理1 对换改变排列的奇偶性.
证明 先证相邻对换
设排列为m l b b ab a a 11对换a 与b .m l b b ba a a 11 当b a <时, 经对换后a 的逆序数增加1 ,b 的逆序数不变; 当b a >时, 经对换后a 的逆序数不变,b 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.
再证非相邻对换,现设排列为 n m l c bc b ab a a 111现来对换a 与b
n m l m n m l c c b abb a a c bc b ab a a 111111????→?次相邻对换
n
m l m n m l c ac b bb a a c bc b abb a a 1111111????→?+次相邻对换
n
m l m n m l c ac b bb a a c bc b ab a a 11112111?????→?∴+次相邻对换
因此对换两个元素,排列改变奇偶性.
也就是说,只要经过一次对换,奇排列变成偶排列,而偶排列变成奇排
列.
推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
二、排列及其逆序数性质与定理
性质1设n i i i 21和n j j j 21是n 个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由n i i i 21得出n j j j 21.
引理1 对换的可逆性——即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.所以任意n 元排列n i i i 21可经过一系列对换变为自然排列n 12.而自然排列n 12可经一系列对换变为任意一个n 元排列n j j j 21.
事实上,由引理1可知：任意一个n 元排列n j j j 21可经一系列对换
变为自然排列n 12,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.
定理2 2≥n 时,n 个数码的排列中,奇排列与偶排列的个数相等,均为
2
!n 个.
证明：设n 个数的排列中,奇排列有p 个,偶排列有q 个,则!n q p =+,对p 个奇排列,施行同一对换,则由定理1得到p 个偶排列.（而且是p 个
不同的偶排列）因为总共有q 个偶排列,所以q p ≤.
同理 p q ≤.
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所以 2
！n q p =
=.
§2行列式的定义
引言 三阶行列式的构成规律为：32211331231233221133
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a ---
其中：符号33
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a 是由2
3个元素ij a 构成的三行、
三列方表,横排叫行,纵排叫列；在上述形式下元素ij a 的第一个下标叫行下标,第二个下标叫列下标.从形式上看,三阶行列式是上述特定符号表示的一个数,这个数由一些项的和而得：
1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积；
2）项数：三阶行列式是3！=6项的代数和；
3）项的符号：每项的一般形式可以写成3
2
1
321j j j a a a 时,即行标为自
然排列时,该项的符号为)
(3
21)1(j j j
τ-,即由列标排列321j j j 的奇偶性决
定.
一、n 阶行列式的定义 定义5 n 阶行列式定义为
∑
+-=
=
n
n n
n n n j j j i i i j i j i j i i i i j j j nn
n n n n a a a a a a a a a a a a A
212122112121)
()(2
1
2222111211
)
1(ττ
用符号
nn
n n n n a a a a a a a a a
2
1
2222111211
表示由2n 个数ij a 所组成的n 阶行列
式,简记为A 或D ,这是一个数,
其中n i i i 21和n j j j 21都是n 级排列,∑
表示对所有的n 级排
列求和.
由定义可以看出,n 阶行列式的值等于所有取自不同的行、不同的列上的n 个元素的乘积n n j i j i
j i a a a 2
2
1
1的代数和,共有!n 项,每一项前面的符
号由排列n i i i 21和n j j j 21的逆序数)(21n i i i τ+)(21n j j j τ决定.
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另外行列式的还可以定义为
∑
-=
=
n
n nj j j j j j nn
n n n n a a a a a a a a a a a a A
212121)
(2
1
2222111211
)
1(τ
或
∑-=
=
n i i i i i i nn
n n n n n n a a a a a a a a a a a a A
21)
(2
1
2222111211
2121)
1(τ
以上两个定义式分别以行列的排列为标准序列,其每一项前面的符号有n j j j 21和n i i i 21的逆序数决定.
例2 在四阶行列式中,21321443a a a a 应带什么符号？
解 1）按行列式定义5计算,因为2132144314213243a a a a a a a a =,
而4123的逆序数为 (4123)01113τ=+++=,
所以21321443a a a a 的前面应带负号.
2）按行列式定义5计算,因为21321443a a a a
行指标排列的逆序数为 (2314)00202τ=+++=,
列指标排列的逆序数为 (1243)00011τ=+++=. 所以21321443a a a a 的前面应带负号.
例3 计算行列式
44
3223211211
0000000a a a a a a .
分析 按行列式定义,每一项都是取自不同行不同列的4个元素的乘积,共有!4项.但此行列式中有很多零元素,因此有的项为零,故只需找出不含零元素的项,不妨设各个字母表示的都是非零元素.于是在第一行中只有两个非零元素11a 和12a .当第一行取11a 时,第二行只能取23a （21a 与11a 同列,故不能取）,第三行只能取32a ,第四行只能取44a ,即44
322311a a a a 是其中的一项.另外,当第一行取12a 时,第二行可以取21a 和23a ,但当第二
行取23a ,第三行只能取零元素,故第二行只可以取21a ,第三行取33a ,第四
行取44a ,即另一非零项为44332112a a a a .
解 44332112)
2134(44322311)1324()1()
1(a a a a a a a a D ττ-+-= 4433211244322311a a a a a a a a --=
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例4 证明n 行列式
(1)
nn nn
n n nn
n n a a a a a a a a a a a a a a a
2211222112112
1
222111
0000==,
(2)
11,212
)
1(1,1
21
,21)
1(n n n n n nn n n n n n n
a a a a a a a a a
-----=
证 (1) 记nn
n n a a a a a a D
2
1
222111
1000=
nn
n n a a a a a a D
022*******=
由于当i j >时,0=ij a ,故1D 中可能不为0的元素i
ip a ,其下标应有
i p i ≤,即,11≤p ,22≤p .,n p n ≤
在所有排列n p p p 21中,能满足上述关系的排列只有一个自然排列
n 12,所以1D 中可能不为0的项只有一项nn a a a 2211)1(τ
-,此项的符
号所以,1)1()1(0
=-=-τ
nn a a a 22111D =.
由于当i j <时,0=ij a ,故2D 中可能不为0的元素i
ip a ,其下标应有
i p i ≥,即,11≥p
,22≥p .,n p n ≥
在所有排列n p p p 21中,能满足上述关系的排列只有一个自然排
列n 12,所以2D 中可能不为0的项只有一项nn a a a 2211)1(τ
-,此项的
符号所以,1)1()1(0=-=-τ
nn a a a 22112D = 得证.
(2) 根据行列式定义
11,211
,1
21
,21)1(n n n t
nn
n n n n n n
a a a a a a a a a
----=
其中t 为排列21)1( -n n 的逆序数,故
2
)1(210-=
++++=n n n t 证毕.
二、子式、余子式与代数余子式
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（1）k 阶子式：设n
ij a D =,在D 中取定某k 行k 列,位于这些行列
相交处的元素构成的k 阶行列式,叫做D 的一个k 阶子式.
（2）余子式：设n
ij
a D =)1(>n ,将元素ij a 所在的行、所在的列
的元素划掉后余下的1-n 阶子式,叫做元素ij a 的余子式,记为ij M .
nn
j n j n n n n
i j i j i i i n i j i j i i i n j j n j j ij
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M
1
,1
,2
1
,11
,11
,12
,11,1,11,11,12,11
,121
,21
,2222111,11,11211+-+++-+++-+-----+-+-= （3）代数余子式：设n
ij
a D =)1(>n ,元素ij a 的余子式ij M 附以
符号j
i +-)
1(后,叫做元素ij a 的代数余子式,记为ij A .即ij A =j
i +-)
1(ij
M
.
三、行列式展开式定理 定理3 设n
ij
a D =,则D 等于它的任意一行（列）的所有元素与各
自对应的代数余子式的乘积的和.
即???++++++=nj
nj j j j j in
in i i i i A a A a A a A a A a A a D 22112211 ),,2,1,(n j i =.
例5 已知,3
2
5
6
4
1122224523
33555
54321=A 求(1)55
545552515432A A A A A ++++,(2)33
3231A A A ++及
3534A A +.
解：由行列式的性质可知
(1) 55545552515432A A A A A ++++=0
5
4
3
2
1
11222
245233
3
5
5
5
54321=
(2) 5A 31+5A 32+5A 33+3A 34+3A 35 =03
2
5
6
4
1122233555
33555
54321=
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2A 31+2A 32+A 33+A 34+A 35 =03
2
5
6
4
1122211222
33555
54321= 解出A 31+A 32+A 33=0,A 34+A 35 =0 .
§3行列式的性质
设行列式
nn
n n n n a a a a a a a a a D
2
1
2222111211
=
nn
n
n
n n T
a a a a a a a a a D
212221212111
=
行列式T D 叫做行列式D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即T D D =.
证明 用数用归纳法证明,对于二阶行列式性质1显然成立,假设对于
n-1阶行列式性质1成立,把n 阶行列式Ｄ按第一行展开,依据归纳法假设可得
∑∑=+=+=-=
-=
n
j T
j
T
j j
n
j j j j
D M
a M a D 1
1111
111)
1()
1(
右端恰为T D 按第一列的展开式.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证：先证明邻行互换时行列式变号,设1D 是由n 阶行列式D 的第i 行与第1+i 行互换得到的行列式:
行
行
1,1,,11
,1,11
,11+=++--i i a a a a a a D n i i n
i i n i i
把1D 按第1+i 行展开
∑∑=+=++-=--=-=
n
j ij
ij j
n
j ij
ij j
i D M
a M
a D 1
11
11)
1()
1(
设2D 是由n 阶行列式D 的第i 行与第j 行互换得到的行列式,不妨设j i <,于是2D 可看成D 的第i 行依次经过i j -个邻行互换后到第j 行位置,而原第j 行又依次经过1--i j 邻行互换后到第i 行位置,因此
D D D i j i j -=-=--+-)
1()(2)
1(
推论：如果行列式有两行（列）完全相同,那么此行列式为零.
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性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式.即
111211112112121
2
1
2
.n n i i in i i in n n nn
n n nn
a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =
第i 行(或列)乘以k ,记为k i ?γ(或i c k ?).
推论：行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例,则此行列式为零. 性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.
nn
n in
in i i n a a a a a a a a D
1
1
1111'+'+= 那么D 等于下列两个行列式之和
nn
n in i n nn
n in i n a a a a a a a a a a a a D
1
11111
1
111''+= 若n 阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成2n 个行列式.如
a x
b y a b y x b y
c z
d w
c
d w z d w ++++=+++++a b a y x b x y c
d c w
z
d
z
w
=+
++
性质6 把行列式的某一行（列）各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应元素上去,行列式的值不变,即j i ≠时
nn
n in i n nn
n jn
in j i n a a a a a a a a ka
a ka
a a a
1
1
1111
1
1111=++ 性质7 行列式任一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
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)(0
2211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++
或
)(02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++
§4行列式的计算
在计算三阶以上的行列式时,一般要注意观察其结构特点,利用行列式的有关性质,结合使用定义法、数学归纳法、递推法、换元法、析因子法、加边法等方法简化计算.
一、直接利用行列式定义的证明 例6 证明行列式
00
00000055
54
4544353425
24232221
1514131211==
a a a a a a a a a a a a a a a a D 证 按行列式定义,每一项都是取自不同行不同列的5个元素的乘积,在第一列中只有两个非零元素11a 和21a ,当第一列取元素11a ,第二列只能取22a ,而第三列所能够取的元素只有零元素,故这一项为零.同理,当第一
列取21a 时,这一项也为零.行列式其它项也都为零因子,所以.0=D
注 (1) 用n 阶行列式的定义直接计算行列式是相当麻烦的,因此仅当一个行列式的每一行（列）上n 个元素中有少数元素不为零,才用定义计算.其关键是处理好每一项前的符号,求出逆序数.一般方法是按行序排好,计算列排列的逆序数.
(2) 结论：在一个n 阶行列式中,等于零的元素如果比)(2n n -还多,
那么这个n 阶行列式必为零.
二、利用行列式的性质化成三角形行列式计算
例7 计算n 阶行列式a
b
b
b
b a b b
b b a b
b b b a D
=. 解 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等,根据行列式的性质,从第2列开始到第n 列都加到第1列上得
a
b
b
b
n a b a b b
n a b b a b n a b b b b n a D
)1()1()1()1(-+-+-+-+=
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a b b b a b b b a b b b b n a
1
1
1
1])1([-+= b
a b a b b a b b b
b n a ----+=
00
000
1])1([
1
)
]()1([---+=n b a b n a
注 行列式每行（列）元素的和相等时,可将行列式的各行（列）加至第一行（列）,利用行列式性质提取公因子后化简计算.
三、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理,化成较低行列式的计算
例8 计算n 阶行列式
)
1(1
0)2(00000220000111321--------=
n n n n n D n
.
解 注意到第2,3n ,, 行的元素之和都是零,将第2,3n ,, 列都加到第1列上去,然后按第1列展开,得：
)
1(1
0)2(000
0022000010
1322)1(--------+=
n n n n n n n D n
)
1(1
0)2(0000033000022
000012
)1(--------+=
n n n n n
)!1()
1(211
+-=-n n
四、递推公式法：应用行列式的性质,把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式,再根据此关系式递推得n 阶行列式的值.
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例9 计算n 阶行列式x
y
x y x y
a a a a x a D n ---+=
000000. 解： 将行列式按第n 列展开,可得
y
x x y
x y
a xD D n
n n ----+=+-
11)
1(
1
1--+=n n ay xD
=++=+=∴-----1
2
21
1)(n n n n n n ay
ay
xD x ay
xD D
2
2
1
11
----++++=n n n n ayx
x ay
ay
D x
)(2
2
1
---++++=n n n n
yx x y y
a x
注：此题可按第一行展开即得结果.
例10 计算n 阶行列式3
1
230000031000231
00023
=
n D .
解： 将行列式按第1列展开,可得
2123---=n n n D D D (1)
设)(211----=-n n n n xD D y xD D …….……(2) 比较（1）式与（2）式系数得??
?==+2
3xy y x
所以???==???==1
2
212211y x y x 或.
分别代入（2）式得
??
?=-==-=-=-==-=--------1
)2()2(22)(2)(212211122211D D D D D D D D D D D D n n n n n n n n n n …….…
(3)
其中7,321==D D
消去(3)式中的1-n D 得：.121
-=+n n D
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注 (1) 若行列式的某一行（列）至多有两个非零元素一般按此行（列）展开计算.
(2) 递推法是计算或证明高阶行列式的惯用方法,有时和数学归纳法结合使用.
五、用数学归纳法进行计算或证明. 例11 用数学归纳法证明
θ
θθ
θθθθsin )1sin(cos 21
00
1cos 200000cos 210001cos 21
0001cos 2+=
=
n D n 证明 当1=k 时,
θ
θθ
θ
θθsin 2sin sin sin cos 2cos 21=
=
=D 等式成立.
假设1-≤n k 时,等式成立,则只需证明当n k =时,等式也成立.
n D 按第一行展开有
θ
θθθθθ
cos 21
1cos 200000cos 210001cos 21
0001cos 2cos 2
=n D
θ
θθθcos 21
1cos 2000
00cos 210001cos 20
00011)
1(2
1
+-+
21cos 2---=n n D D θ.
根据归纳假设得：
θ
θ
θθθθθsin )1sin(sin ]1)2sin[(sin sin cos 2+=---=n n n D n .
例12 证明n 阶行列式
)
(1
000
00100010001
1
βαβ
αβ
αβ
ααββ
αβ
ααββ
ααββ
α≠--=
+++++=
++n n n D
证明 当1=n 时,
β
αβαβαβα--=
+=+=2
21D 结论成立.
当2=n 时,
第25页 第26页
β
αβααββαβ
ααββ
α--=
-+=++=
3
32
2)(1
D 结论成立.
假设k n <时,等式成立,则只需证明当k n =时,把k D 按其第1行展开,有
β
ααββ
αβ
ααββ
ααββ
α+++++=
1
0000010001
000
k D
1
1
0000010001
000
)
(-++++++=k β
ααββ
αβ
ααββ
ααββ
αβα
2
1
000
0010001000-+++++=k β
ααββ
αβ
ααββ
ααββααβ
21)(---+=k k D D αββα
β
αβ
α
αβ
β
αβ
α
βα-----+=--1
1
)
(k k k
k
β
αβ
α
--=
++1
1
k k
故对一切自然数n ,结论都成立. 六、 利用已知行列式,进行计算,其中最重要的已知行列式是范德蒙行列式.
例13计算n 阶行列式1
1
1
1)
()
1()()1(1
111
n a a a n a a a
n a a a D n n n n
n
n
n ------=
---+.
解：把D n+1的第n+1行换到第1行,第n 行换到第2行,…,同时将D n+1
的第n+1列换到第1列,第n 列依次换到第2列,…,再有范德蒙行列式,得
第27页 第28页
n
n
n
n a
n a n a a n a n a D
)
1()
(1
111
1+--+--=
+
)(!2)!1(!1
1j i n n n i j -=
-=∏
+≤<≤ .
七、加边升阶法，即不改变行列式的值的前提下适当增加一行一列或m 行m 列,以便容易求值.
例14计算n 阶行列式1
11
2
21
22
21212121
+++=
n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D
.
解 1
10
10
12
2
1
22
2121212
121+++=n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x D
从第二行开始依次减去第一行的),,2,1(n i x i =倍,得
1
0100011
2
1
21
n
n x x x x x x ---=上式 从第二列开始依次乘),,2,1(n i x i =倍加到第1列上的,得
10
010*********
2
n n
j j
x x x x
∑=+
=
上式∑=+
=n
j j
x
1
21
例15计算n 阶行列式n
n n
n n
n
n
n D n n
n n n n
n n -------------=----2
31
31
3
13
112444
4
4
4633333
32222222
.
解： 对原行列式加边,增加第1行全为1,第一列除11a 外全为0,构造新的行列式为：
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n
n n n
n
n D n n
n n
n n -------=---2
1
1
10
63
3
330
2222201111
将第1行乘以i 加到第),,3,2(n i i =行,第i 行提取因数
),,3,2(n i i =,得：
n
n
n
n D n n n n n n
2
1
2
1
211
33
3
1
2221
111
1!------=
将第n 列逐列移到第2列,第1-n 逐列移到第3列,等等,即得范德蒙德行列式,故
∏=---=n
k n n k D 1
2
)
2)(1()!()
1(.
例16 计算n 阶行列式).0(,2
1
2121≠+++=
x a x a a a a x a a a a x D n
n n
解：n n n n a x a a a a x a a a a x a a a D +++=
2
12
121210
1
x
x x a a a i i n
1
0010011
1
n ,2,3,121---+=行行减第第 x
x x a a a x
a i x
i n n
j j
1
00000011
n ,2,3,11211
-+
+=∑
=列上
加到第列乘以
第
???
? ?
?+
=∑
=n
j j n
x a x 1
1. 八、析因子法,若行列式D 中一些元素是x （或某个参变量）的多项式常用析因子法.
第31页 第32页
例17 计算行列式 2
2
91
3
2
513232213211x
x D --=
解 D 可以看作关于x 的多项式)(x f .观察D 的一次因式, 当1±=x 时,
081
3
2
513232113211
)1(==
±f
当2±=x 时,
051
3
2
513232213211
)2(=-=
±f
可见)(x f 有因子：2,2,1,1+-+-x x x x
另外,从行列式定义可知,D 中含有x 的最高次数为4. 故)2)(2)(1)(1(+-+-=x x x x C D 令0=x ,直接计算得,12-=D 于是3-=C
故)2)(2)(1)(1(3+-+--=x x x x D .
例18 计算行列式 1
11113
2
1
321121121
221n
n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D
---=
解 观察行列式的特点,当x 取n a a a ,,,21 时,行列式都有两行相同,且此时的行列式值为零.故可将行列式看作关于x 的多项式,且此多项式
有因子n a x a x a x ---,,,21 .
故可设)())((21n a x a x a x C D ---=
D 中最高项为n
x ,系数为1.故1=C
即行列式为)())((21n a x a x a x D ---= .
以上方法,前三种方法是最基本的,需要指出的是：行列式的计算方法往往不是唯一的,有时需要多种方法交叉使用.由于行列式的计算方法很多,但具体到一个题目用什么方法去解往往不是一件容易决定的事情,必须首先观察行列式的具体特征,根据行列式的具体特征选择方法.
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§5 克莱姆（Cramer ）法则
本节作为行列式的应用,完满地解决了含n 个未知量n 个方程的线性方程组,在其系数行列式不为零时,其解的存在性、个数及求解（公式）问题；理论完整且重要,定理的证明可按消元法的思想运用行列式的依行依列展开公式为之.
设给定一个含n 个未知量n 个方程的线性方程组： ??
?
??
?
?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212********* （1） 其系数构成的行列式nn
n n in i i n a a a a a a a a a D
2
1
21
11211=叫做方程组（1）的(系数)行列式.
克莱姆（Cramer 法则）对线性方程组(1),当它的(系数)行列式0≠D 时有且仅有一个解:D
D x D
D x D D x n n =
=
=
,,,2211 .其中j D 是把D 的
第j 列的元素换以方程组的常数项n b b b ,,21 而得到的n 阶行列式.
推论 含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组
??
?
??
?
?=+++=+++=+++00
0221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （2） 当它的(系数)行列式0≠D 时仅有零解. 例19求一个一元二次多项式f (x ),使满足
,0)1(=f ,3)2(=f .28)3(=-f
解：设所求多项式为c bx ax x f ++=2)(, 由条件,0)1(=f ,3)2(=f .28)3(=-f 可知??
?
??=+-=++=++28393240c b a c b a c b a
,401
328123110
,201
39124
1
111-=-=-=-=D A 2028
3
9
3240
11
,601
28
9
134
1
0132-=-===D D 由克莱姆法则,得,1,3-,2===c b a 知13-2)(2
+=x x x f .
线性代数习题及答案(复旦版)1
线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
线性代数练习题(行列式)
线性代数练习题（行列式）A 一、填空题 1、-=--362 2 36623 2、 =00010020 03004000 3、_____________)631254 (=N 4、四阶行列式)det(ij a 的反对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为 5. 行列式2 430123 21---中元素0的代数余子式的值为_______ 二、选择题 1、 =11 a a （ ） ----+1111A a B a C a D a 3、+=-010 111111a a （ ） +++-11(1)(1)A a B a C a D a a 5、若≠314 001 0x x x ，则=x （ ）
≠≠≠≠≠≠020202且或A x x B x x C x D x 6、=111011011011 0111 （ ） --2331A B C D 7、=222 111 x y z x y z （ ） ---+++++()()()()()()A y x z x z y B xyz C y x z x z y D x y z 三、设行列式 2 92170216 3332314----=D ，不计算ij A 而直接证明： 444342412A A A A =++
线性代数练习题（行列式）B 一、填空题 1、 设ij A 是n 阶行列式中元素ij a 的代数余子式，则 =∑1 n ik jk k a A = 2、 设=3(1,2,3,4)i A i 是行列式12345678 2348 6789 中元素3i a 的代数余子式， +++=132********A A A A 3、 各列元素之和为零的n 阶行列式之值等于 4、 设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则 =00 A B ； =00 A B 5、 设=(,1,2)ij A i j 为行列式= 21 31 D 中元素ij a 的代数余子式，则=1121 12 22A A A A 6、 方程 -+-= ----1321360 1 2 2 14 x x x x 的根为 7、 已知齐次线性方程组λ+-=?? +-=??-+=?1231231 232020340 x x x x x x x x x 有非零解，则λ= 8、 若11223344,,,a a a a 都不等于零，则方程组 +++=??++=? ? +=??=? 1111221331441 22223324423333443 3444a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x b 有 解。
《线性代数》练习题行列式部分
《线性代数与解析几何》练习题 行列式部分 一．填空题： 1．已知 4 1 132 213 ----=D 用ij A 表示D 的元素ij a 的代数余子式，则21222323______A A A --+=， 31323323____A A A --+=，行列式__________33 32 31 232221 13 1211 =A A A A A A A A A 2． 12434 003 209 1 064 1 2 a a a a a 的的代数余子式的值等于________。 3.设512 31212 3 122x x x D x x x = ，则D 的展开式中3 x 的系数为______ 4.4阶行列式11121314 21222324 144231323334414243 44 a a a a a a a a D a a a a a a a a a a = 展开式中含有因子的项为______和______ 5.行列式2342342 3 4 2 3 4 a a a a b b b b D c c c c d d d d = ＝______ 6．设 x x x x x f 3211322133 21)(=
则(4)_____f = 7．设 0112520842111111 15411521211111 1541132111111 3 2 3 2 3 2 =+ + -x x x x x x x x x 上述方程的解______________________=x 8．行列式1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b D b a b a = =__________ 9．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321321321x x x x x x x x x λλ 只有零解，则λ应满足_________条件。 10．若方程123123123 020kx x x x kx x x x x ++=?? +-=??-+=?有非零解，则k ＝_________或k ＝________。 11．行列式x y y y x y y y x ＝______ 12.行列式 1110 110110110111＝ ______ 13．行列式 000000000 a b c d e f ＝______ 14．方程组1231232 12 31x x x x x x x x x λλλλλ++=?? ++=??++=? 有唯一解时，对λ的要求是______ 二．计算题： 1．已知5阶行列式
线性代数行列式习题+问题详解
第一章习题 1-1．计算下列行列式 （1）713501 1 63.（2）4 3216 5100 5311 021.（3）2 2 2 111a b c a b c . （4） 20 1041106 3 14321111 1.（5） 49 36251636 2516925 169 416 941. 1-2．计算行列式a b c d b a d c c d a b d c b a . 1-3．计算n 阶行列式 （1）n 32133212 2211 111.（2） 1 432 1432 1132 1312 1321n n n n n n n n ---.（3）2 1111121111211 112 ------． 1-4． 证明： （1）2 2 2111 2 22 22 211111 12c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++. （2）3 2 1 321 3213 3 23 213323 213323 21c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++.
（3） 22224 4 4 4 1 111a b c d a b c d a b c d ()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++. 1-5．计算行列式x y y x y x y x 0 0000 000 00 . 1-6．计算4阶行列式 1 122334 4 0000000 a b a b b a b a . 1-7． 如果行列式 ?=nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211，试用?表示行列式n nn n n n n a a a a a a a a a a a a 112 11 21 33231 22221 的值． 1-8．利用克莱姆法则解线性方程组 ?????? ?=+-+-=+-=--=+-+0 674522963852432143242 14321x x x x x x x x x x x x x x . 1-9. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？ 12120 x x x x λλ+=?? +=? 1-10.已知()4 1357 1200=10301004 ij D a = ，求11121314A A A A +++.
同济大学线性代数第六版答案(全)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
线性代数练习题一(行列式)
线性代数练习题一（行列式） 一、填空题 1、 设ij A 是n 阶行列式中元素ij a 的代数余子式，则 =∑1 n ik jk k a A = 2、 设=3(1,2,3,4)i A i 是行列式 12345 678 23486789 中元素3i a 的代数余子式， +++=132********A A A A 3、 各列元素之和为零的n 阶行列式之值等于 4、 设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则 =00 A B ； =00 A B 5、 设=(,1,2)ij A i j 为行列式= 2131 D 中元素ij a 的代数余子式，则 =112112 22 A A A A 6、 方程 13136 01714 x x x x --=- --的根为 7、 已知齐次线性方程组λ+-=?? +-=??-+=?1231231 2320 20340 x x x x x x x x x 有非零解，则λ= 8、 若11223344,,,a a a a 都不等于零，则方程组 a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x b +++=??++=? ? +=??=? 1111221331441 22223324423333443 4444有 解。
二、选择题 1、若 =1112 2122 0a a a a ，则方程组+=?? +=?111122211222 0a x a x a x a x （ ） A 无解 B 有无穷多解 C 有唯一解 D 不一定 2、->1 1 1004a a a 的充分必要条件是（ ） <>-><2222A a B a C a D a 3、λ λ =-21 2 00111 的充分必要条件是（ ） λλλλλ==-===-2203,2A B C D 4、4阶行列式 1 1 22334 4 000 00 a b a b b a b a 的值等于（ ） -+----1234123412341234 1212343423231414()()()() A a a a a b b b b B a a a a b b b b C a a b b a a b b D a a b b a a b b 5、若==≠11 121321 222331 32 330a a a D a a a M a a a ，而?=111213 31323321 22 23 222222a a a a a a a a a ，则?=（ ） --2244A M B M C M D M 6、如果30 4050x y z y z x y z λλ+-=?? +=??--=? 有非零解，则λ=（ ）
线性代数第一章行列式试题及答案
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn
线性代数习题-[第一章]行列式
习题1—1 全排列及行列式的定义 1． 计算三阶行列式123 4 56789 。 2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3． 利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D
⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 001 0000 200 0010 n n D n -= 4． 利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。
习题1—2 行列式的性质 1． 计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
2． 在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=， 证明：当n 是奇数时，D=0. 3． 计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n = ⑵n n a a a D +++= 11 1 1 1111121 ()120n a a a ≠
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数习题 行列式
第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141 102 ---； （2）b a c a c b c b a （3）2 2 2 1 11 c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 8 1 141 1 02 811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2）=b a c a c b c b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3 3 3 3c b a abc ---= （3）=2 2 2 1 11 c b a c b a 2 2 2 2 2 2 cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=3 3 3 )(x y x y -+-- 3 3 3 2 2 3 33)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(23 3 y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 4 3 2 1 4321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式：
线性代数行列式经典例题
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
同济大学线性代数第五版课后习题答案
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
线性代数行列式经典例题
线性代数行列式经典例题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =， 1,1, n a n =-，故 0111 02 12 n n n D n n --= --1,1,,2 i i r r i n n --=-= 0111111 1 1 n ----
1,,1 j n c c j n +=-= 1 2 110 2 1 ( 1) 2 (1) 20 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．
方法2 01110 21 2 n n n D n n --= --11,2,,1 11111 1 12 i i r r i n n n +-=----= -- 12,, 1 00 1 2 0123 1 j c c j n n n n +=---= ---= 1 2 (1) 2 (1) n n n ----
例2.设a, b, c是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式即为y2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 10 010 n n n x x a a a x a -- - - + 解：方法1 递推法按第1列展开，有
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
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行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行 列式的值（ ）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号． 答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为 ； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.
阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i 第一章第一次练习题 一）填空题 1）计算(1465372)τ＝________；[135(21)246(2)]n n τ-L L ＝________； 2）写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项及符号__________； 3）在四阶行列式中，21143243a a a a 的符号为__________； 4）设12134453k l a a a a a 在五阶行列式中带有负号，则k ＝________；l ＝________. 二）解答题 5）计算三阶行列式 2 221 11a b c a b c . 6）用定义证明 1 (1) 2 12 1 00 000 (1) 00 00 n n n n n λ λλλλ λ - - =- L L L L L . 个元素为零，证明这个行列式为零. 7）设n阶行列式中有多于2n n 班级__________ 姓名__________ 学号_______ 第一章第二次练习题 一）填空题 1）把行列式1 11222 a b c a b c ++定出两个行列式之和______________________； 2）把行列式13 24 1 2 34 0000a a a a x y b b z w b b 写成两个行列式之积_________________________________； 3）提取行列式第二行公因子后11 12132122 2331 3233333a a a a a a a a a ＝__________________________； 4）行列式22 3456 7 89a b c d a ab ac ad ＝_________________________________. 二）解答题 5）化简行列式1 11122 223 333x y x a z x y x a z x y x a z +++ 第一章行列式 §行列式的概念 1.填空 ⑴排列6427531的逆序数为____________ ，该排列为_______ 排列。 (2)i = _____ , j = _______ 时，排列1274 i56 j 9为偶排列。 (3)n阶行列式由____ 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列 的_n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么 列标构成一个n元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为___________ 号；若为 偶排列，该项的符号为_______ 号。 (4)在6阶仃列式中，含3i5a23a32a44a5i a66的项的符号为___________________________ ，含 832843814851866825 的项的符号为 _________ 。 2.用行列式的定义计算下列行列式的值 8110 0 (1) 0 822 823 0 832 833 解：该行列式的3!项展开式中，有 _________ 项不为零，它们分别为____________________ _________________________________ ,所以行列式的值为__________________________ 。 0 0 0 III III 82,2 旦n 82n ⑵++ + F r p b h ■ 0 8n斗2 III8n 4,n J 8n 4n 8n1 8n2 III8n,n 4 8nn 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ___________________ ,而它的逆序数是_________ ,故行列式值为 ______________________ 。 。 班级__________ 姓名__________ 学号_______ 第一章第一次练习题 一）填空题 1）计算(1465372)τ＝________；[135(21)246(2)]n n τ-L L ＝________； 2）写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项及符号__________； 3）在四阶行列式中，21143243a a a a 的符号为__________； 4）设12134453k l a a a a a 在五阶行列式中带有负号，则k ＝________；l ＝________. 二）解答题 5）计算三阶行列式 2 221 11a b c a b c . 6）用定义证明 1 (1) 2 12 1 00 000 (1) 00 00 n n n n n λ λλλλ λ - - =- L L L L L . 7）设n阶行列式中有多于2n n 个元素为零，证明这个行列式为零. 班级__________ 姓名__________ 学号_______ 第一章第二次练习题 一）填空题 1）把行列式1 11222 a b c a b c ++定出两个行列式之和______________________； 2）把行列式13 24 1 2 34 0000a a a a x y b b z w b b 写成两个行列式之积_________________________________； 3）提取行列式第二行公因子后11 12132122 2331 3233333a a a a a a a a a ＝__________________________； 4）行列式22 3456 7 89a b c d a ab ac ad ＝_________________________________. 二）解答题 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n : 习 题 一． 填空题 1. 216354的逆序数为 5．5 1 1 1 2115 322311511115 = D ，313233345M M M M -+-= 6.1133016,0213a b a a b ?????? ??? ?== ??? ? ??? ?---?????? 若则 , b = . 二. 选择题 1.设A 是一个m n ?矩阵，B s m ?矩阵， 则T T A B 是一个（ ）矩阵。 (A). m s ? (B) n s ? (C) m n ? (D) s n ? 2.设A, B 是n 阶对称矩阵， 则（ ）不一定是对称矩阵。 (A). T A (B) A B + (C) AB (D) T AA 3.设A, B 是n 阶矩阵， 则（ ）成立。 ()的系数是中在函数3211 21 .4x x x x x x x f ---=______________ .235 24415312的符号为在五阶行列式中a a a a a ___________00000000 .344332211=a b a b b a b a 四阶行列式____ ____________________________ __________ (A). A B A B +=+ (B) AB BA = (C) AB BA = (D) ()1 11A B A B ---+=+ 三. 解答题 1．计算行列式 （1） 11 2 1 3 5 132******** ----= D ； （2） 5 1040010030 1 0002 1543215=D 2.用克拉默法则解下列方程组?????=++=-+=++10 4424 321 3 21321x x x x x x x x x 3．当a 为何值时，齐次线性方程组?????=++=-+=++0 00 321 3 21321x ax x x ax x x x x 只有零解。 4. 已知(1234)A =，计算 10 )(,,A A A A AA T T T 5. (,,,),(1);(2)(1).T a b c d b a d c A a b c d R AA A c d a b d c b a ?? ?-- ?=∈ ?-- ? --??设矩阵求利用的结果求线性代数第一章行列式练习题
线性代数习题参考答案
线性代数第一章行列式练习题
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
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