第26章 《二次函数》小结与复习(1)-

第26章 《二次函数》小结与复习（1）

教学目标：

理解二次函数的概念，掌握二次函数y ＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y ＝ax 2经过适当平移得到y ＝a(x －h)2＋k 的图象。

重点难点：

1．重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y ＝ax 2图象的性质。

2．难点：二次函数图象的平移。

教学过程：

一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点

1．二次函数的概念，二次函数y ＝ax 2 (a ≠0)的图象性质。

例：已知函数4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；

(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?

学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。

教师精析点评，二次函数的一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)。强调a ≠0．而常数b 、c 可以为0，当b ，c 同时为0时，抛物线为y ＝ax 2(a ≠0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y 轴，即直线x ＝0。

(1)使4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，则m 2＋m －4＝2，且m ＋2≠0，即： m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得；m ＝2或m ＝－3，m ≠－2

(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m ＋2＞0，

(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m ＋2＜0。

抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。

强化练习:已知函数m m 2x )1m (y ++=是二次函数，其图象开口方向向下，则m ＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y 随x 的增大而增大，当x_____0时，y 随x 的增大而减小。

2.用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方法求出抛物线y ＝－3x 2－6x ＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y ＝－3x 2。

学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。

教师归纳点评：

(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式

与顶点式的互化关系： y ＝ax 2＋bx ＋c ————→y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳；

投影展示：

强化练习：

(1)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y ＝x 2－2x ＋1，求：b 与c 的值。

(2)通过配方，求抛物线y ＝12

x 2－4x ＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。

3．知识点串联，综合应用。

例：如图，已知直线AB 经过x 轴上的点A(2，0)，且与抛

物线y ＝ax 2相交于B 、C 两点，已知B 点坐标为(1，1)。

(1)求直线和抛物线的解析式；

(2)如果D 为抛物线上一点，使得△AOD 与△OBC 的面积相

等，求D 点坐标。

学生活动：开展小组讨论，体验用待定系数法求函数的解析式。

教师点评：(1)直线AB 过点A(2，0)，B(1，1)，代入解析式y ＝kx ＋b ，可确定k 、b ，抛物线y ＝ax 2过点B(1，1)，代人可确定a 。

求得：直线解析式为y ＝－x ＋2，抛物线解析式为y ＝x 2。

(2)由y ＝－x ＋2与y ＝x 2，先求抛物线与直线的另一个交点C 的坐标为(－2，4)， S △OBC ＝S △ABC －S △OAB ＝3。 ∵ S △AOD ＝S △OBC ，且OA ＝2 ∴ D 的纵坐标为3 又∵ D 在抛物线y ＝x 2上，∴x 2＝3，即x ＝± 3 ∴ D(－3，3)或(3，3) 强化练习：函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)，求：

(1)a 和b 的值；

(2)求抛物线y ＝ax 2的顶点和对称轴；

(3)x 取何值时，二次函数y ＝ax 2中的y 随x 的增大而增大，

(4)求抛物线与直线y ＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。

二、课堂小结

1．让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。

2。投影：完成下表：

三、作业：

作业优化设计

一、填空。

1．若二次函数y ＝(m ＋1)x 2＋m 2－2m －3的图象经过原点，则m ＝______。

2．函数y ＝3x 2与直线y ＝kx ＋3的交点为(2，b)，则k ＝______，b ＝______。

3．抛物线y ＝－13(x －1)2＋2可以由抛物线y ＝－13

x 2向______方向平移______个单位，再向______方向平移______个单位得到。

4．用配方法把y ＝－12x 2＋x －52

化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式为y ＝__________________，其开口方向______，对称轴为______，顶点坐标为______。

二、选择。

1．函数y ＝(m －n)x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是( )

A ．m 、n 是常数，且m ≠0

B ．m 、n 是常数，且m ≠n C. m 、n 是常数，且n ≠0 D. m 、n 可以为任意实数

2．直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝2x 2－8x ＋k ＋8相交于点(3，4)，则m 、k 值为( )

A ．???m ＝1k ＝3

B ．???m ＝－1k ＝2 C. ???m ＝1k ＝2 D. ???m ＝2k ＝1

3．下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )

三、解答题

1．函数

(1)当a 取什么值时，它为二次函数。

(2)当a 取什么值时，它为一次函数。 2．已知抛物线y ＝14

x 2和直线y ＝ax ＋1 (1)求证：不论a 取何值，抛物线与直线必有两个不同舶交点。

(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是抛物线与直线的两个交点，P 为线段AB 的中点，且点P

的横坐标为x 1＋x 22

，试用a 表示点P 的纵坐标。 (3)函数A 、B 两点的距离d ＝1＋a 2|x 1－x 2|，试用a 表示d 。

(4)过点C(0，－1)作直线l 平行于x 轴，试判断直线l 与以AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由。