蚌埠市成功杯2013初中数学邀请赛
蚌埠市“成功杯”初中数学邀请赛2013年试题
一、选择题（本大题共8小题，每题6分，共计48分）
1、将一张正方形纸片按下图的方式二次折叠，折叠后再按右图所示沿MN 裁减，则可得……[ ]
Ａ．多个等腰直角三角形 Ｂ．四个相同的正方形 Ｃ．一个等腰直角三角形和一个正方形 Ｄ．两个相同的正方形
２、若a b+c =b c+a =c a+b
=t ，则一次函数y=tx+t 2
的图像必定经过的象限是………………[ ]
Ａ．第一、二象限 Ｂ．第一、二、三象限 Ｃ．第二、三、四象限 Ｄ．第三、四象限
３、如图，Ｅ、Ｆ分别是长方形ABCD 边AD 、BC 上的点且△ABG 、△DCH 的面积分别是15、20。则图中阴影部分的面积为…………………………………………………………………………[ ] Ａ．１５ Ｂ．２０ Ｃ．３５ Ｄ．４０
４、甲、乙、丙、丁四人做相互传球游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样传球共进行了４次，则第四次仍传回到甲的概率是………［ ］ Ａ．727 Ｂ．527 Ｃ．78 Ｄ．2164
5、如图，P 是函数y=
1
2x
（x>0）图像上的一点直线y=--x+1分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，做PM ⊥x 轴于点M ，交AB 于点E ，作PN ⊥y 轴于点N ，交AB 于点F ，则AF ·BE 的值为……[ ] Ａ．２ Ｂ．2 Ｃ．１ Ｄ．1
2
6、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4，若EF//BC ，且梯形AEFD 与梯形EBFC 的周长相等，则EF 的长为……………………………………………………………[ ] Ａ．457 Ｂ．335 Ｃ．395 Ｄ．152
7、若方程x 2—mx+n+1=0的两个实根均为正整数，则m 2+n 2为………………………………[ ] A ．合数 Ｂ．质数 Ｃ．完全平方数 Ｄ．偶数
8、满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形有……………[ ] Ａ．１个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．无穷多个
二、填空题（本大题共7小题，共计42分）
9、如图，C 、D 是线段AB 上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总合为29，则 AB= 。
10、一次函数y=－
13
3+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B 。以线段AB 为边在第一象限内作正方形
ABCD （如图）。在第二象限内有一点P （a ，1
2），满足S △APB =S □ABCD ，则a= 。
11、已知x ，y 满足3
x +5|y|=7，T=2x -3|y|，则实数T 的取值范围是 。
12、用列表法画二次函数y =ax 2
+bx+c 的图像时，先列一个表，当表中自变量x 的值以相等间隔
的值增加时，函数y 对应的值依次为20，56，110，182，274，380，506，650，其中一个值不正确，这个不正确的值是 。 13、已知(x2+2013 -x)(y2+2013 -y)=2013，则x+y= 。
14、计算：
5000
10011
2
2
+-+
++-+
+-5000
50055
5000
30033
2
2
2
2
…+
5000
990099
99
2
2
+-=
15、正整数M 的个位上的数字与数20132015
的个位上的数字相同，把M 的个位上的数字移到它的
左边第一位数之前形成一个新数N ，若N 是M 的4倍，T 是M 的最小值，则T 的各位数字之和等
于 。
三、解答题（本大题共4小题，共60分）
16、（本题满分10分）
求方程组x3-xyz=-5，y3-xyz=2，z3-xyz=21的正整数解（x，y，z）
17、本题满分20分
已知二次函数y=ax2+bx+c的图像G和x轴有且只有一个交点A，与y 轴的交点为B（0，4），且ac=b。
（1）求该二次函数的解析表达式。
（2）将一次函数y=-3x的图像作适当平移，使它经过点A，记所得图像为L，图像L与G的另一个交点为C，求三角形ABC的面积。
18、本题满分10分
2013个质点均匀分布在半径为R的圆上，依次记为P1，P2，P3…，P2013 ，小明用红色按如下规则涂这些点：设某次涂第i个质点后面的第i个质点，按此规则，小明能否将所有的质点涂成红色，若能，请给出一种方案，若不能，请说明理由。
19、本题满分20分
在△ABC中，DE//BC，△ABC的内切圆与BC、DE分别切于M、N 点，BE与CD交于P点。证明：Ｍ，Ｎ，Ｐ三点共线。
全国初中数学联赛
全国初中数学联赛一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、化简1- 3+2 3-2 的值是（） A、0 B 、23C、- 23D、4 2.实数a,b,c满足a+b+c=0, abc=1,则a,b,c中正数的个数是（）. A、0 B、 1 C、 2 D、 3 3.在一个圆柱形水池内，有一个进水管和一个出水管，进水管流水速度是出水管流水速度的两倍，开始时有一满池水，出水管开始放水，到池水只有一半池时，打开进水管放水（此时出水管不关）直到放满池水关闭进水管，再由出水管放完池水，则在这一过程水池中的水量v随时间t的变化关系的图像是（ ） 4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，AE是∠BAD的平分线，EF垂直于AE,则AF的长为（）. A、32 B、4 C、25 D、10 5方程|x-2|-|x-3|的解的个数为（） A、1个 B、 2个 C、 3个 D、无数个 6.在△ABC中，∠B和∠C的角平分线交点是I，则∠BIC是（） A、锐角 B、直角 C、钝角 D、无法确定 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1.用火柴棍按照如下图所示的规律搭建三角形，“...”表示按照前面的规律一直搭建下去，当搭建到第n个编号三角形的时候，所用火柴棍的根数是 （用含有n的式子表示）. 2.若a为整数，则关于x的方程（a-1）x=a+1 的所有整数解的和是 3.a,b为常数，且对任何实数x,都有 2 x+3a b =+ 2222 (x+1)(x +2)x +1x+2 成立，则 a b =
4.在长方形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，设E为边BC的中点，现将纸片折叠，使A、E重合，则折痕将长方形纸片分成两部分中，较大部分面积与较小部分面积之比的值为 三、（本大题满分20分） 解不等式 |x-2|< 3x-1. 四、（本大题满分25分） 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC, DE⊥BC与E,若DE=3,BD=5,求梯形ABCD的面积。 五、（本大题满分25分） 已知正整数a、b满足（a+b）2=a3+b3，试求a、b的值。
2012美国数学竞赛AMC8名师制作优质教学资料
2012 AMC 8 Problems Rachelle uses pounds of meat to make hamburgers for her family. How many pounds of meat does she need to make hamburgers for a neighborhood picnic? Solution In the country of East Westmore, statisticians estimate there is a baby born every hours and a death every day. To the nearest hundred, how many people are added to the population of East Westmore each year? Solution On February 13 listed the length of daylight as 10 hours and 24 minutes, the sunrise was , and the sunset as . The length of daylight and sunrise were correct, but the sunset was wrong. When did the sun really set? Solution Peter's family ordered a 12-slice pizza for dinner. Peter ate one slice and shared another slice equally with his brother Paul. What fraction of the pizza did Peter eat? Solution
全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
M N A O A B C 1996年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题 1. 实数a 、ｂ满足ａb =１,记M ＝＼ｆ(1，1+a )+错误!，Ｎ＝错误!+错误!，则的关系为 [ ] A ．M ＞N ? B ．M ＝N Ｃ.Ｍ A B C D D ′ B ′ C O M P A B C D E F 3.设1９９5x 3 ＝１996y ３ =199７z 3, xy ｚ＞0,且 =，则１ x +错误!+错误!＝__＿___． 4.如图,将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60°至A B ′C ′Ｄ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是__＿__＿. 第二试 1． 某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和ｎ个女生的捐款总数相等，都是（m ·n +9m +11n +14５）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数. ２.设凸四边形ABC Ｄ的对角线AC 、B Ｄ的交点为M ，过点Ｍ作A Ｄ的平行线分别交A Ｂ、ＣＤ于点Ｅ、F ,交B Ｃ的延长线于点Ｏ,P 是以O 为圆心ＯＭ为半径的圆上一点(位置如图所示）,求证：∠ＯP Ｆ＝∠OEP . 3. 已知a 、b 、c 都是正整数,且抛物线ｙ=ａｘ2＋ｂx ＋c 与x 轴有两个不同的交点A 、Ｂ,若A 、Ｂ到原点的距离都小于1，求a +b ＋c 的最小值． 2017-2018年度美国“数学大联盟杯赛”（中国赛区）题目翻译及解题tips 【翻译】：2018与以下哪个数字相加的总和是偶数？The sum of…总和…；the even number偶数 【翻译】：约翰和吉尔一共有92美元。约翰的钱是吉尔的三倍。问约翰有多少钱？ ①…has three times（倍数）as many(修饰可数名词)/much(修饰不可数名词)as…A的…是B的几倍 ②As···as···和什么一样多 【翻译】：汤姆是一个篮球热爱者！在他的书中，他写了100次“ILOVENBA”（我爱NBA）。问他写的第500个字母是什么。（提示：本题考查周期循环规律题） 【翻译】：一个长*宽为8*25的长方形和以下哪个长方形有相同的面积。 【翻译】：前100个正整数（1-100）的和与后50个正整数（51-100）的和之间的差是多少？ ①Positive difference···与···的差；②positive integers正整数 【翻译】：你有一根10英尺长的杆子需要被切成10等份。若每一份需要10秒去切，完成这份工作一共需要多少秒。 【翻译】：Amy将2018四舍五入约至十位（rounded···to the nearest tens）得到的数字与Ben将2018四舍五入约至百位得到的数字，这两个数字之和是多少？ 【翻译】：下列哪组数有最小公倍数？ 【翻译】：Dan每买2支铅笔的同时也会5支钢笔。如果他买了10支铅笔，那他一共买了几支钢笔？ 【翻译】：星期四的20天后是星期几？ 【翻译】：下列哪个角的度数最小？ ①an obtuse钝角②an acute锐角③a right直角④a stright平角 【翻译】：我们班的每位学生都要轮流喊一个整数。第一个人喊的是1。后面每人喊的数字都比前者多3,（即第二个人喊的是数字4，1+3=4）。问下面哪个选项的数字是我们班的某一个学生可能喊到的数字？（提示：本题考查等差数列） ①A whole number整数②in turn轮流③shout out大声喊 【翻译】：一个男孩买了一个篮球和一个棒球，一共花了1.25美元。如果这个篮球比这个棒球贵25美分，那篮球多少钱？（注意：1美元=100美分） 【翻译】：2小时+？分钟+40秒=7600秒 【翻译】：如右图，把数字1-7放入其中，使得每条直线的数字相加为12，请问中间的圆圈填数字几？ 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 25 1±； （B ）251±-； （C ） 2 5 1±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自 然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 11=S 3S =1 32=S ο 120ο 135 2020第38届美国数学邀请赛 1. 在△ABC 中,AB=AC,点D 在边AC 上,点E 在边AB 上且 AE=ED=DB=BC 。∠ABC 的度数是n m ，其中m 、n 是互质的正整数,求m+n 。 2. 存在唯一的正实数，使得log 8(2x),log 4x,log 2x 按顺序可形成公比 为正常数的等比数列，x 可写成n m 形式,其中m 、n 是互质的正整数,求m+n 。 3. 一个正整数N 在十一进制下可表示为abc ,在八进制下可表示bca 1 其中a,b,c(不必不同)代表数字。求N 的十进制表示。 4. 正整数N 的具有下述性质的数形成集合S:N 的末四位数字是2020,当擦去末四位数字2020时得到的数是N 的因数。例如42020是S 中的一个数,擦去2020之后得到的数4是42020的一个因数。求5中的所有数的所有数字之和。例如:42020的数字和4+2+0+2+0=8。 5. 标号分别为1~6的六张卡片排成一行,如果去掉一张卡片之后剩余的五张是按通增或近减顺序排列。求这六张卡片符合这种要求的排列个数。 6. 一块平板上有两个圆孔,半径分别为1、2,两个圆孔的圆心距为7。在每个圆孔上各放置一个半径相等的小球,使这两个小球互相外切。 小球的半径的平方可表示为n m 的形式,其中m ，n 是互质的正整数。求m+n 。 7. 一个俱乐部由11男12女组成,现从中选出一个委员会,要求委员会中的女比男多一人。这个委员会可以是1人或23人,设N 是委员会的选取方法数,求能整除N 的质因数之和。 8. 一只小虫自天爬行,晚上休息。它的起点为O,面向东,爬行5个单位。每个晚上,这只小虫逆时针转动60°。每个白天它都是按新方向爬行前一天一半的距离。这只小虫任意接近点 P ,OP 2=n m ,其中,m,n 是互质的正整数,求m+n 。 9. 设集合S 由209的正整数的约数组成。从S 中独立随机选取三个数,依次为a 1，a 2，a 3，a 1整除a 2,a 2整除a 3的概率是n m ,其中m 、n 是互质的正整数。求用m. 10. 正整数m 、n,满足gcd(m+n,210)=1;m m 是n n 的倍数:m 不是n 的倍数。求用m+n 的最小可能值。 11. 己a,b,c,d 都是整数，设f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d, 求使g(f(2))=g(f(4))=0,且10 d 的三元有序整数组(a ，b ，c)的个数. 12.设n 是使149n -2n 是33*55*77的倍数的最小的正整数。求n 的正整数因数个数. 2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式22 11 a b +的值为 （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11. 【答案】B 【解析】 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程 2310 x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--?+====． 故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ） A ． 185 B ．4 C ．215 D ．245 【答案】D 【解析】 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆， 于是AEF ABC △∽△，故 35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4 sin 5 BAC ∠=． 在Rt ABE △中，424 sin 655 BE AB BAC =∠=?=．故选D 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ） A ．15 B ． 310 C ． 25 D ． 12 . 【答案】C 【解析】 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45， 51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个． 所以所组成的数是3的倍数的概率是 82 205 =．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=，132ACB ∠=，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ） A ．BM CN > B ．BM CN = E F D C B A 2017年全国初中数学联合竞赛试题 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数． 第一试(A) 一、选择题(本题满分42分，每小题7分) 1．已知实数a ，b ，c 满足2a ＋13b ＋3c ＝90，3a ＋9b ＋c ＝72，则3b ＋c a ＋2b ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 2．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论： (1)以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在； (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在； (3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在． 其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正整数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c 且abc ＝2(a ＋b ＋c )，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180 ，且BC ＝3， AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DO OB ＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．43 5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．215 6．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200 ＝( ) A ．1917 B ．1927 C ．1937 D ．1947 AMC／AIME美国数学竞赛试题真题 考试信息 AMC最新考试时间： ●2010年第26届AMC8于 11月16日，星期二 ●2011第12届AMC10A，第62届AMC12A 于2月8日，星期二 ●2011第12届AMC10B，第62届AMC12B 于2月23日，星期三 ●2011第29届AIME－1于3月17日，星期四 2011第29届AIME－2于3月30日，星期三 ●2009年AMC8考试情况 ●2008年考试情况 AMC/AIME中国历程： 1983第1届AIME上海有76名同学获得参赛资格 1984年第2届AIME有110人获得参赛资格 1985年第3届AIME北京有118名同学获得参赛资格 1986年第4届AIME上海有154名同学获得参赛资格，我国首次参加IMO的上海向明中学吴思皓就是在第四届AIME中获得满分 1992年第10届AIME上海有一千多名同学获得参赛资格，其中格致中学潘毅明，交大附中张觉，上海中学葛建庆均获满分1993年第11届AIME上海有一千多名同学获得参赛资格，其中华东师大二附中高一王海栋，格致中学高二（女）黄静，市西中学高二张 亮，复旦附中高三韩志刚四人获得满分，前三名总分排名复旦附中41分，华东师大二附中41分，上海中学40分。 北京地区参加2006年AMC的共有7所市重点学校的842名学生，有515名学生获得参加AIME资格，其中，清华附中有61名学生参加AMC，45名学生获得AIME资格，20名学生获得荣誉奖章 据悉中国大陆以下地区可以报名参加考试： 北京地区：中国数学会奥林匹克委员会负责组织实施 长春地区、哈尔滨地区也有参加考试 在华举办的美国人子弟学校也有参加考试广州地区：《数学奥林匹克报》负责组织实施。 在中国大陆报名者就在中国大陆考试。考题采用英文版。 2009年AMC中国地区参赛学校一览表 2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3 2 b c a b + + 的值为（）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1， 111 135 a b c ++= +++ ，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）. A.125 B.120 C.100 D.81 3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）. A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）. A.424 B.430 C.441 D.460 5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）. C. D. 6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）. A.56 B.58 C.60 D.62 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 7.a的值为________. 8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为 ________. 9.设a,b是两个互质的正整数，且 3 8ab p a b = + 为质数.则p的值为________. 10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 第二试 一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值. 二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P 为AD与EF的交点.证明：EF=2PD. 三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求 222 a b c a b c ++ ++ 的最小值. 2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算=（ ） （A 1 （B ）1 （C （D ）2 【答案】（B ） 【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）. 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】（A ） 【解析】分三种情况进行讨论： （1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式； （2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式； （3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020 m m m -≠??--=?解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）. 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于 点D ，若CD =，则AB =（ ） （A ）2 （B （C ） （D ）3 【答案】（A ） 【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则 CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= , 在Rt ONC ?中，∵cos CN OCN OC ∠= =,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（B ） PROBLEM A: The Ultimate Brownie Pan When baking in a rectangular pan heat is concentrated in the 4 corners and the product gets overcooked at the corners (and to a lesser extent at the edges). In a round pan the heat is distributed evenly over the entire outer edge and the product is not overcooked at the edges. However, since most ovens are rectangular in shape using round pans is not efficient with respect to using the space in an oven. Develop a model to show the distribution of heat across the outer edge of a pan for pans of different shapes - rectangular to circular and other shapes in between. Assume 1. A width to length ratio of W/L for the oven which is rectangular in shape. 2. Each pan must have an area of A. 3. Initially two racks in the oven, evenly spaced. Develop a model that can be used to select the best type of pan (shape) under the following conditions: 1. Maximize number of pans that can fit in the oven (N) 2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 1 页 2016年初中数学全国联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题(满分42分，每小题7分) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23t = -a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a -= ( ) .A 12 .B 32 .C 1 .D 3 2.3种图书的单 价分别 为10元、15元和20元，某学 校计划恰 好用500元购买上述图书 3 0本，那么不同的购 书 方 案 有( ) .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：3333 21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 ( ) .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = ( ) .A 0 .B 14 .C 34 - .D 2- 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 ( ) .A 12 .B 15 .C 16 .D 18 5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角 线的交点为M ，则DM = ( ) .A 32 .B 53 .C 22 .D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ) 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若 20 10a b b c ==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011 解：D 由题设得12012101111110 a a b b c b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202 a a b b -++=，则a 的取值范围是 （ ）． （A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C 因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -+ += 的判别式 21()41(2)2a a ?--??+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4． 3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =BC =4-CD ＝AD 边的长为（ ）． （A ） （B ）64 （C ）64+ （D ）622+ 解：D 如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ， F ． 由已知可得 BE =AE ，CF ＝DF ＝ ， 于是 EF ＝4 ． 过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得 AD == 2+ 4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -?--?????=+-- ?????? ????? 《数学奥林匹克报》 Mathematical Olympiad Express https://www.360docs.net/doc/2346448.html, 26th Annual American Invitational Mathematics Examination 2008 第 26 届美国数学邀请赛(AIME1 2008 年 3 月 18 日注意: 1,直到监考老师给出信号方可答题. 2,本卷共 15 道题,答题时间 3 小时.每题的答案都是 000～999 之间的整数.如果某题你的答案是 7, 请在相应位置涂黑 007;如果某题你的答案是 43,请在相应位置涂黑 043.你答对的题数就是你的得分,每题没有部分得分,做错也不倒扣分. 3,可以使用草稿纸,方格纸,直尺,圆规,量角器,橡皮.特别地,不许使用计算器和计算机. 4,AIME 与 AMC10 或 AMC12 的总分将用来决定美国数学奥林匹克(USAMO的参赛资格. 2008 第 37 届USAMO 于 4 月 29 日～30 日举行. 5,请把试题答案和相关信息填涂于 AIME 答题卡. 6,答题卡请用 2B 铅笔在相应的圆圈内涂黑,方框处可用签字笔书写. 7,答题卡不许折叠,不许使用涂改液,涂改带.若需修改请用橡皮擦拭干净后再修改. 8,请不要忘记答题卡背面的签名(先英文再中文"Yes"处也请涂黑. , 9,Last Name 姓,First Name 名,Gender 性别,Female 女,Male 男简体中文版试题 1,在参加学校聚会的学生中,60%的学生是女生,40%的学生喜欢跳舞.随后又多了 20 名都会跳舞的男生,现在聚会的 人中有 58%是女生.那么现在聚会的人中有多少人喜欢跳舞? 2,正方形 AIME 的边长为 10,等腰△ GEM 的底是 EM ,且△ GEM 与正方形 AIME 的公共部分的面积为 80.求△ GEM 的底 EM 上的高. 3,艾德和苏骑自行车的速度相等且恒定,他们慢跑的速 度也是相等且恒定,他们游泳的速度也是相等且恒定.艾德在骑车 2 小时,慢跑 3 小时,游泳 4 小时后共行 74 千米,苏在慢跑 2 小时,游泳 3 小时, 骑车 4 小时后共行 91 千米.他们骑车,慢跑,游泳的速度都是以每小时整千米数行进.求艾德骑车, 慢跑,游泳的速度的平方和. 普及数学知识,传播奥林文化,快递竞赛信息. 《数学奥林匹克报》 Mathematical Olympiad Express 2 2 https://www.360docs.net/doc/2346448.html, 4,存在唯一的正整数 x , y 满足方程 x + 84 x + 2008 = y .求 x + y . 5,圆锥的底面圆半径为r ,高为 h .把此圆锥的侧面平放于桌面,它沿着桌面无滑动地滚动.当圆锥再次回到起始位置时正好滚动 17 周,这时圆锥的底座边沿在桌面上形成一个以圆锥顶点为圆心的圆弧. 比值 h 能写成 m n 的形式,其中 m , n 是正整数且 n 不能被任何质数的平方 整除.求 m + n . r 6,三角形阵列中的第一行数字按照奇数1,3,5,……,99 的递增顺序书写,在第一行下面的每一行比上一行少一个数字,最底部的一行只有一个数字.每行的 2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=??-=±?-=±? 或 110 a b b c a c -=±??-=±?-=?，分别代入即得。 2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3. 解：由已知，693)15121512c b b b b ==-=-≤，∴2c ≤. 3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423 a b <+≤. 解：当a b =时，可计算得23a b ==，从而43a b +=。观察4个选项，只能选C. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0. 解：由已知：42x ax bx c +++一定能被231x x --整除。 ∵4222(31)(310)[(333)(10)]x ax bx c x x x x a a b x a c +++=--+++++++++ ∴(333)(10)0a b x a c +++++=，故3330213100 a b a b c a c ++=??+-=-?++=? 5．在△ABC 中，已知?=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且?=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B ) A ．15°. B ．20°. C ．25°. D ．30°. 解：如图，由已知，ADE 是正三角形。作BF ∥DE 交 AC 于F ，则BD ＝EF ，从而EC ＝DE+BD ＝AB ＝BF ，DE ＝FC ， 又∠1＝∠2＝120○ ，故ΔEDC ≌ΔFCB .故x θ?+=. ∵∠CDB ＝2?，∠BDE ＝120○ ，∴40?=，故 40x θ+= 由406020θ?θθ+=+=?=，得：20x =. AMC2020 A Problem 1 Carlos took of a whole pie. Maria took one third of the remainder. What portion of the whole pie was left? Problem 2 The acronym AMC is shown in the rectangular grid below with grid lines spaced unit apart. In units, what is the sum of the lengths of the line segments that form the acronym AMC Problem 3 A driver travels for hours at miles per hour, during which her car gets miles per gallon of gasoline. She is paid per mile, and her only expense is gasoline at per gallon. What is her net rate of pay, in dollars per hour, after this expense? Problem 4 How many -digit positive integers (that is, integers between and , inclusive) having only even digits are divisible by Problem 5 The integers from to inclusive, can be arranged to form a -by- square in which the sum of the numbers in each row, the sum of the numbers in each column, and the sum of the numbers along each of the main diagonals are all the same. What is the value of this common sum? Problem 6 In the plane figure shown below, of the unit squares have been shaded. What is the least number of additional unit squares that must be shaded so that the resulting figure has two lines of symmetry AMC8(美国数学邀请赛） AMC8（American Mathematics Competition8） AMC8是美国初中数学竞赛，是针对八年级以下学生的数学科测试，有些小学四～六年级的优秀学生也可以参加，该竞赛开始于1985年，于每年11月中旬的一个星期二举行。 AMC8竞赛内容与美国7、8年级数学大纲相对应，包括（但不局限于）整数、分数、小数、百分数、比例、数论、日常的几何、面积、体积、概率及统计、逻辑推理等。 美国数学协会（MAA）组织AMC8竞赛的目的是通过这样一种对学生有吸引力的考试，增加学生在数学方面的兴趣及学习数学的热情，促进学生学习中学数学必修课程之外的数学内容，增强问题解决的能力，该考试给参加者提供了应用初中所学概念处理由易到难，并包含广泛应用的问题的机会，以使他们得到在初中数学课堂中所不能得到的解决问题的经验，获得高分的部分学生将受邀参加美国高中数学竞赛AMC10。 题数︰25题 时间︰40分钟 题型︰选择题 满分︰25分 成绩处理︰AMC总部 计分方式︰答对一题一分，答错不倒扣 美国数学竞赛amc8的常用数学英语单词 美国数学竞赛amc8的常用数学英语单词 数学mathematics, maths（BrE）, math（AmE）被除数dividend 除数divisor 商quotient 等于equals, is equal to, is equivalent to 大于is greater than 小于is lesser than 大于等于is equal or greater than 小于等于is equal or lesser than 运算符operator 数字digit 数number 自然数natural number 公理axiom 定理theorem 计算calculation 运算operation 证明prove 假设hypothesis, hypotheses（pl.） 命题proposition 算术arithmetic 全国初中数学联赛试题 及答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2010年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3. 3．若b a ,是两个正数，且 ,011 1=+- +-a b b a 则 （ C ） A ．1 03a b <+≤. B ．1 13a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．4 23a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0. 5．在△ABC 中，已知?=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且?=∠60AED ， CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B ) A ．15°. B ．20°. C ．25°. D ．30°. 6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=， 201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）【精品】2020美国数学大联盟)挑战赛三年级真题(附答案+中文翻译+解题思路)
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