概率论与数理统计课后习题答案 徐雅静版
习题答案
第1章 三、解答题
1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.
2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P ，
又因为)()(B A P B P 即.0)()( B A P B P 所以
(1) 当)()(B A P B P 时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P =0.6.
(2)
1)( B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.
3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P ，记P (A ) = p ，试求P (B )．
解：因为)()(B A P AB P ，
即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P ，
所以
.1)(1)(p A P B P
4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．
解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)( AB P AB P .
5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有410C n
种，以下求至少有两只配成一双的取法k ： 法一：分两种情况考虑：15C k
24C 212
)(C +25C 其中：2
122
41
5)(C C C 为恰有1双配对的方法数
法二：分两种情况考虑：!
21
61815
C C C k +2
5C
其中：!
216
1815
C C C
为恰有1双配对的方法数
法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k +25C
其中：)(142
8
1
5C C C 为恰有1双配对的方法数
法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2
815C C k -25C
法五：考虑对立事件：410C k -45C 412)(C
其中：4
5
C 4
12)(C 为没有一双配对的方法数
法六：考虑对立事件：!
41
4
1618110410
C C C C C k
其中：
!414
1618110C C C C 为没有一双配对的方法数
所求概率为.21
13
410
C k p 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．
解：(1) 法一：12131025 C C p ，法二：121
3
102513 A A C p (2) 法二：2013102
4 C C p ，法二：201
3
10
2413 A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则
834
)(33
41 A M P , 1694)(324232 A C M P , 161
4)(3143
C M P
8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？
解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 3.0)(25232 C C M P ,6.0)(2
512131 C C C M P ,1.0)(25
2
2
1 C C M P
9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．
解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则
2121M M M M M 且.
所以.28
13
C C C C )()()()(282
328252121 M P M P M M P M P
10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ，y )：0 x ，y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ： x + y 6/5} 因此
25
17154211)(2
的面积的面积A A P ． 图？
11．随机地向半圆220x ax y
（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求
原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
4
的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标， 表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ={(x ，y )：220,20x ax y a x
}
事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4
” ={(x ，y )：4
0,20,202
x ax y a x }
因此
2112
14121)(222 a a
a A A P 的面积的面积．
12．已知2
1
)(,31)(,41)( B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,12
1
3141)()()( A B P A P AB P ,6121121)|()()(
B A P AB P B P
.3
11216141)()()()(
AB P B P A P B A P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？
解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。
设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；
321)(1)(21026 C C A P A P ，15
2
)(21024 C C B P ，
5
132/152)()()()()|(
A P
B P A P AB P A B P
14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则
52
)(,5
3)(151
2 A P C C A P ，由全概率公式得
,45
23
5253)|()()|()()(191
41915 C C C C A B P A P A B P A P B P
由贝叶斯公式得
.23
15
4523/53)()|()()|(191
5 C C B P A B P A P B A P
15．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？ 解：设M =“原发信息是A ”，N =“接收到的信息是A ”， 已知
,01.0)|(,02.0)|( M N P M N P .3
2)(
M P 所以
,99.0)|(,98.0)|( M N P M N P ,3
1
)( M P
由贝叶斯公式得
.197
196
)01.03198.032(98.032)|()()|()()|()()|(
M N P M P M N P M P M N P M P N M P
16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为4
1
,31,51，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？
解：设A i =“第i 个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知,41)(,31)(,51)
(321 A P A P A P 所以,4
3)(,32)(,54)(321 A P A P A P 至少有一人能将此密码译出的概率为
.5
3
4332541)()()(1)(1221321 A P A P A P A A A P
17．设事件A 与B 相互独立，已知P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7，求)(A B P .
解：由于A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B ),且
P (A ∪B )=P (A )+ P (B ) - P (AB )= P (A )+ P (B ) - P (A )P (B )
将P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7代入上式解得 P (B ) = 0.5，所以
.5.05.01)(1)
()
()(1)()(1)(1)(
B P A P B P A P A P AB P A B P A B P
或者,由于A 与B 相互独立,所以A 与B 相互独立，所以
.5.05.01)(1)()( B P B P A B P
18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设A =“甲射击目标”，B =“乙射击目标”，M =“命中目标”， 已知P (A )=P (B )=1,,5.0)(,6.0)( B M P A M
P 所以
).()()()()(AB P B A P B A P AB B A B A P M P
由于甲乙两人是独立射击目标，所以
.8.05.06.05.04.05.06.0)()()()()()()( B P A P B P A P B P A P M P
75.08
.06
.01)()|()()()()|(
M P A M P A P M P AM P M A P
19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？
(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？
解：设A i =“第1种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2,3； B i =“第2种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2. （1）根据题意，P (A 1)=0.7，P (A 2)=0.8，P (A 3)=0.9，P (B 1)=0.7,P (B 2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为
P (A 1A 2A 3)= P (A 1)P (A 2)P (A 3)=,504.09.08.07.0
第二种工艺加工得到合格品的概率为
P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=,56.08.07.0
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P (B 1)=P (B 2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为
P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=.49.07.07.0
可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。
1．设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件ABC = ，,21
)()()(
C P B P A P 且已知16
9)(
C B A P ，求P (A )．
解：因为ABC = ，所以P (ABC ) =0, 因为A ，B ，C 两两相互独立，),()()
(C P B P A P 所以
2)]([3)()()()()()()()()(A P C P A P C P B P B P A P AC P BC P AB P
由加法公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P
得
16
9
)]([3)(32
A P A P 即 0]1)(4][3)(4[ A P A P 考虑到,21)
(
A P 得.4
1)( A P 2．设事件A ，B ，C 的概率都是
2
1
，且)()(C B A P ABC P ，证明： 2
1)()()()(2
BC P AC P AB P ABC P ．
证明：因为)()(C B A P ABC P ，所以
)]
()()()()()()([1)(1)(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P 将
2
1
)()()(
C P B P A P 代入上式得到 )]()()()(2
3
[1)(ABC P AC P BC P AB P ABC P
整理得
.2
1
)()()()(2 AC P BC P AB P ABC P
3．设0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，P (A |B ) +1)|( B A P ，试证A 与B 独立．
证明：因为P (A |B ) +1)|( B A
P ，所以
,1)
(1)
(1)()()()()()( B P B A P B P AB P B P B A P B P AB P
将)()()()(AB P B P A P B A P
代入上式得
6
,1)
(1)
()()(1)()( B P AB P B P A P B P AB P
两边同乘非零的P (B )[1-P (B )]并整理得到
),()()(B P A P AB P
所以A 与B 独立.
4．设A ，B 是任意两事件，其中A 的概率不等于0和1，证明)|()|(A B P A B P 是事件A 与B 独立的充分必要条件．
证明：充分性，由于)|()|
(A B P A B P ，所以
,)
()()()(A P B A P A P AB P 即
,)
(1)()()()(A P AB P B P A P AB P
两边同乘非零的P (A )[1-P (A )]并整理得到),()()(B P A P AB P 所以A 与B 独立.
必要性：由于A 与B 独立，即),()()(B P A P AB P 且,0)(,0)( A P A P 所以
一方面
),()
()
()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P
另一方面
),()
()()()()()()()()()|(B P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P A B P
所以).|()|
(A B P A B P
5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为
2
p
.
(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率． 解：设A i =“第i 次及格”，i=1，2.已知,2
)|(,)|(,)(12121p A A P p A A P p A P
由全概率公式得
2
)
1()|()()|()()(21211212p p p A A P A P A A P A P A P (1) 他取得该资格的概率为
.
2
32)1(),|()()()()()()()(22
2
12121212121p p p p p p p A A P A P A P A P A A P A P A P A A P
(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为
.122
)1()()|()()()()|(2212122121
p p
p p p p p A P A A P A P A P A A P A A P
6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．
解：设A i =“一箱产品有i 件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”.
已知,3
1
)()()(210 A P A P A P ,1.0)|(,02.0)|( M N P M N P
由全概率公式
,10
9
)1081091(31)|()()|()()|()()(221100 A M P A P A M P A P A M P A P M P
,10
1
1091)(1)( M P M P 又,98.002.01)|(1)|( M N P M N P
由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为
.892.01.010
1
98.0109)|()()|()()(
M N P M P M N P M P N P 7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率． 解：A =“一产品真含有杂质”，B i =“对一产品进行第i 次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.
已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B 1，B 2发生了，而B 3未发生. 又知,9.0)|(,8.0)|( A B P A B P i i
,4.0)( A P 所以
,1.0)|(,2.0)|( A B P A B P i i ,6.0)(,4.0)( A P A P
所求概率为,)
|()()|()()|()()()()|(321321321321321321A B B B P A P A B B B P A P A B B B P A P B B B P B B AB P B B B A P
由于三次检验是独立进行的，所以
.
905.09
.01.01.06.02.08.08.04.02
.08.08.04.0)
|()|()|()()|()|()|()()
|()|()|()()|(321321321321
A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P B B B A P
8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？
解：设A i =“第i 次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知,3.0)()
(31 A P A P ,35.0)()(42 A P A P 所以
,7.0)()(31 A P A P ,65.0)()(42 A P A P
(1) 火炮被击毁的概率为
356475
.035.07.065.07.035.07.0)()()()()()()
()()(432121432121432121 A P A P A P A P A P A P A A A A P A A P A A A A A A P
坦克被击毁的概率为
4365
.03.065.07.03.0)()()()()
()()(321132113211 A P A P A P A P A A A P A P A A A A P
(2) 都不被击毁的概率为
.207025.065.07.065.07.0)()()()()(43214321 A P A P A P A P A A A A P
9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为
冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是
2
1
，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率． 解：A i =“甲第i 局获胜”， B i =“乙第i 局获胜”，B i =“丙第i 局获胜”，i=1,2,….， 已知,...2,1,2
1
)()()
(
i C P B P A P i i i ，由于各局比赛具有独立性，所以 在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为
,
71...212121...)(9
6
3
987654321654321321
C C A B C A B C A C C A B C A C C A P 同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为,7
1
丙得冠军的概率为,7
2712
甲、乙得冠军的概率均为.145)721(21
第二章
2
一、填空题： 1. x X P ，)()(12x F x F
2. }{k X P k n k
k n
p p C )1(，k = 0，1，…，n 3.
0,!
}{
e k k X P k
为参数，k = 0，1，…
4.
11
5. 其它
,0 ,1
)(b x a a b x f 6.
x e
x f x ,21)(2
22)(
7. x e x x ,21)(2
2
8. )()(
a b
9.
10.
64
9 分析：每次观察下基本结果“X ≤1/2”出现的概率为4
1
2)(21
2
1
-
xdx dx x f ，而本题对随机变量X 取值的观察可看作是3重伯努利实验，所以
64
9
)411()41(223223 C Y P
11.
7257.0)212.2(212.2212.2
X P X P ,
,
8950.01)3.1()4.2()3.1()4.2()216.1()218.5(218.521216.15.86.1
X P X P 同理，P {| X | 3.5} =0.8822. 12.
)31(
3113)(
y F y X P y X Y P y G . 13.
48
13
，利用全概率公式来求解：
.48
13
414141314121410 442332 2221122
X P X Y P X P X Y P X P X Y P X P X Y P Y P 二、单项选择题：
1. B ，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导
F (-a)=
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f a
a
0a -0
a
-0)(21)(-21)(-)()(
2. B ，只有B 的结果满足1)(lim )(
x F F x
3. C ，根据分布函数和概率密度的性质容易验证
4. D ，
2
,2
,2X X X Y
，可以看出Y 不超过2，所以 0,2,12
,12,12 ,12,2 ,1)(0
y e y y dx e y y y X P y y Y P y F y x y Y ， 可以看出，分布函数只有一个间断点.
5. C, 事件的概率可看作为事件A （前三次独立重复射击命中一次）与事件B （第四次命中）同时发生的概率，即
p p p C B P A P AB P p 231
3)1()()()(.
三、解答题
（A ）
1．(1)
分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1
至6点均可，共有1-61
2
C （这里1
2C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的
情形，因为61
2
C 多算了一次）或151
2
C 种，故 36
11
3615361-611212
C C X P ,其他结果类似可
得.
(2)
6
165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，
6 165363554 3632
43 3627323620
2136111 0 x x x x x x x ，
，，，，，，
2．
注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然 12612995
10
C X P
. 3．
1!0
ae k a k k
，所以 e a .
4．(1)
3x 13243214
1-1
x 03
x 132}2{}1{21}1{-1
x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x f ，
(2)
41121 X p X P 、 212252
3
X P X P 、
4
3
323232
X P X P X X P X P ；
5．(1)
3121121121lim 212121222242
i i i
X P 偶数， (2)
161
16151415
X P X P ， (3)
712
1121121lim 2
1
33
33
1
3
i i i i X P 的倍数
.
6．(1) 5.15.0~P t P X 5.10 e X P .
(2)
5.25.0 t 5.21011 e x P x P .
7．解：设射击的次数为X ，由题意知
.20400~，B X
k
k k k
C X P X P 4001
040098.002.011129972.028.01!
818
1
0 e k k K ，其中8=400×0.02.
8．解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数， .305~，
B X 则指示灯发出信号的概率
)7.03.07.03.07.03.0(131********
55005C C C X P X P p
1631.08369.01 ；
9. 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则5
1)
(x
e
x F ， 2)10(110 e F X P
， 2
5~ e B Y ，
则50,1,k ,)1()(}{5225 k k k e e C k Y
P
0.5167
11}0{-1}1{5
2 ）（e Y P Y P
10. (1)、由归一性知：
22
2cos )(1
a xdx a dx x f ，所以2
1
a . (2)、4
2|sin 21cos 21}4
{404
x xdx X P . 11. 解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim
11F x F x F x x
，即A=1.
（2） 7.03.0X P
4.0)3.0()7.0( F F .
（3）X 的概率密度
,01
0,2)()(x x x F x f . 12. 解 因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以
其他05051
)(x x f
若方程024422
X Xx x 有实根，则03216)4(2 X X ，即
12 X X ，所以有实根的概率为
5
3510511252
15
2
x dx dx X P X P p 13. 解: (1) 因为
4)(3~，N X 所以
)2()5(}52{F F X P
5328.016915.08413.01)5.0()1(
)4()10(104 F F X P
996
.01998.021
)5.3(21)5.3()5.3(
212 X P X P 221 X P
)2()2(1 F F )5.2()5.0(1
)5.0()5.2(1 3023.01 6977.0
313 X P X P )3(1F )0(1 5.01 5.0
(2)
c X P c X P 1，则 2
1 c X P 2
1)2
3()( c c F ，经查表得
21)0(
，即02
3 c ，得3 c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) d X P d X P 1)(1d F 9.0)2
3
(1 d ，
则1.0)23( d ，即9.0)23-( d ，经查表知8997.0)28.1( ，
故28.12
3- d ，即44.0 d ； 14. 解： k X P k X P 1 k X k P 1)()(1
k
k
)(22
k
1.0
所以 95.0)(
k
， 95.0)()(
k k F k
X p ；由对称性更容易解出；
15. 解
),(~2 N X 则
X P X P
)()( F F
)()(
)1()1(
0.68261)1(2
上面结果与 无关，即无论 怎样改变， X P 都不会改变；
16. 解：由X 的分布律知
p
51 6
1
51
151 30
11
所以 Y 的分布律是
Z 的分布律为
2
22)(21)(
x e
x f ，
17. 解 因为服从正态分布),(2
N ，所以
则dx e
x F x
x
2
22)(21)(
， y e p y F x Y )(，
当0 y 时，0)( y F Y ，则0)( y f Y
当
0 y 时， y x p y e p y F x Y ln )(
2
2
2)(ln '
211))(ln ()()(
y Y Y y
y F y F y f e
所以Y 的概率密度为
e
21
1)(2
2
2)(ln
y y y
y f y Y
；
18. 解
)
1,0(~U X ，
100
1
)(
x x f ， y x p y Y p y F Y 1)()1(1y F ，
所以
其他其他)1()(0,1
01,0,1101,y y y f y f X Y 19. 解：)2,1(~U X ，则
其他
210
1)(
x x f
y
e P y Y P y F X Y 2)
(
当0 y 时， 0)(2 y e
P y F X
Y
，
当
0 y 时，
)
(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X
，
其他其他424
2'
21
)ln 2
1(0
21))ln 21(()()(e x e y
e x e y
f y F y F y f X Y Y
20. 解: (1) y X P y Y P y F Y 3)(11
y X P 31)31(y F X )3
1(31))31(()()('
11y f y F y F y f X Y Y
因为其他1
10
23)(2 x x x f X
所以
)31(31)(1y f y f X Y 其他,13
11,01812 y y 其他,3
3,0
1812 y y (2)
)3(133)(22y F y X P y X P y Y P y F X Y ， )3()]3(1[)()(''22y f y F x F y f X X Y Y
因为
其他
1
10
2
3)(2 x x
x f X ，
所以
)3()(2y f y f X Y 其他0,131,)3(232y y 其他
0,4
2,)3(23
2y y
（3） y X P y Y P y F Y
2
3)(3
当0 y 时， 0)(23 y X P y F Y ，0)()('
3
3 x F y f Y Y 当
0 y 时，
)()(3y F y F y X y P y F X X
Y
，
)]([21
)]([)()('
'33y f y f y
y F y F x F y f X
X
Y Y
所以
,
0,
)]([21
)(3
y y y f
y f y y f X
X
Y ，
因为
其他
1
10
2
3)(2 x x
x f X ，
所以
其他,1
0,0
2
3)(3 y y y f Y 四．应用题
1．解：设X 为同时打电话的用户数，由题意知
.20,10~ B X
设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则
99.0!
8
.02.0}{0
1010
k
i i
k
i i
i
i e i C k X P ，其中,2
查表得k=5.
2．解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-4
.0 e
，记
X 为10块组件中不能正常工作的个数，则
)1,10(~4.0 e B X ，
5小时后系统不能正常工作，即
2 X ，其概率为
.
8916.0 )()1()()1(1 1121104.014.01
10104.004.0010 e e C e e C X P X P
3．解：因为)40,20(~2
N X ，所以
)30()30(}3030{}30{ F F X P X P
31
49.018944.05187.01)25.1()25.0()40
20
30()402030(
设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则)4931.0,3(~B X ，
(1)
8698
.00.5069
-1)4931.01(4931.01}0{1}1{3
300
3 C Y P Y P .
(2)
3801.05069.04931.0}1{211
3 C Y P .
4．解：
当0 y 时，}{y Y 是不可能事件，知0)( y F ，
当20 y 时，Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布，知5
5
15
1)(y y x
e dx e y F
，
当
2 y 时，}{y Y 为必然事件,知1)( y F ，
因此，Y 的分布函数为
2,120e -10 , 0)(5y y y y F y
，；
5．解：(1) 挑选成功的概率70
1
148 C p ；
(2) 设10随机挑选成功的次数为X ，则该
70110~，B X ，
设10随机挑选成功三次的概率为：
0.00036)70
1
1()701(
}3{73
10 k C X P ， 以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。
（B ）
1. 解：由概率密度可得分布函数
6
,163),3(923131,31
10,31
,0)(x x x x x x x x F
32
k X P 由于，即3
1
)( k F ，易知31 k ； 2. 解： X 服从）
（2,1 的均匀分布，其他，，2
10
31)( x x f ，又,,0011 X X Y ，，
则 3
23
1
)(}0{120
2
x
dx x f X P Y P
， 3
1}0{-1}0{}1{
X P X P Y P 所以Y 的分布律为
3. 解：])1[(1})1({]1[)
(333y F y X P y X P y F X Y ，
3233'3)1()1(3)1()1(])1[(1)()(y f y y y f y F y F y f X X Y Y
R y y y ,)
1(1)1(362
； 4. 证明：因
)(x f x 是偶函数，故)()(x f x f x x ，
}{1}{}{}{)(y X P y X P y X P y Y P y F Y )
(1y F x 所以
)()()()('
y f y f y F y f x x Y Y .
5. 解：随机变量X 的分布函数为
8 ,181 ,1-1
, 0)(3x x x x x F ，显然]1,0[)( x F ，
})({}{)(y X F P y Y P y F Y ，
当0 y 时，})({y X F 是不可能事件，知0)( y F Y ，
当10 y 时，y y X P y X P y F Y })1({}1{)(33，
当
1 y 时，})({y X F 是必然事件，知1)( y F Y ，
即
1 ,110 ,0 , 0)(y y y y y F Y 。
6. （1）}2
1
-{}12{}{)(11
y X P y X P y Y P y F Y
当
02
1
y 时，即1 y 时，00}21-{)(21
-1
dx y X P y F y Y ， 当02
1
y 时，即y >1时，2
121
0-1}21-{)(1y
y x Y e dx e y X P y F
，
所以
其他，，11
,021)(211
y y e y f y
Y ；
（2）}{}{)(22
y e P y Y P y F X
Y ， 当
0 y 时，}{y e X 为不可能事件，则0}{)(2 y e P y F X Y ，
当10 y 时，0ln y ，则 00ln }{)(ln 2
dx y X P y e P y F y
X
Y ，
当
1 y 时，0ln y ，则 y
dx e y X P y F y
x Y 1
1ln )(ln 0
2
， 根据
)()(22y F y f Y Y 得
1,11 ,0)(22y y
y y f Y ；
（3）}{}{)(2
33
y X P y Y P y F Y
， 当0 y 时，0}{)(23 y X P y F Y ，
当
0 y 时，
y
y
x Y e dx e y X y P y X P y F
1}{)(0
2
3，
所以
0,20
,0)(3y y e y y f y
Y ；
7. (1) 证明：由题意知
00
,,0
2)(2
x x e x f x 。 }{}{21211
y e P y Y P y F e Y X
Y x ）（，， 当
0 y 时，01 ）（y F Y 即01
）（y f Y ， 当10
y 时，y dx e y X P y e P y F y x
X Y
2
ln 2222ln }{)(1， 当
1 y 时，122ln )(021
dx e y X P y F x
Y ， 故有
1
0,,01)(1
y y f Y ，可以看出1Y 服从区间（0，1）均匀分布； （2）
}-1{}-1{}{)(2212222y e P y e P y Y P y F e Y X X Y x ，
当01
y 时，1}-1{)(22 y e P y F x Y ，
当110
y 时，
y dx e y X P y e P y F y x X
Y
2
)
1ln(0
2222)1ln(}-1{)(2
）（，
当11
y 时，002)1ln(}-1{)(2
)
1ln(22
dx y X P y e
P y F y X
Y ，
由以上结果，易知 1
0,
,01)(2
y y f Y ，可以看出2Y 服从区间（0，1）均匀分布。
第三章
1解：(X ,Y )取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：
P {X =1,Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1|=2/3 1/2=/3 同理可求得P {X =1,Y =1}=1/3; P {X =2,Y =1}=1/3 (X ,Y )的分布律用表格表示如下：
Y X 1 2 1 1/3 1/3 2
1/3
2 解：X ，Y 所有可能取到的值是0, 1, 2
(1) P {X=i , Y =j }=P{X =i }P{Y =j |X =i |= , i ,j =0,1,2, i +j 2
或者用表格表示如下：
Y
1
2
X 0 3/28 6/28 1/28 1 9/28 6/28 0 2
3/28
(2)P{(X,Y) A}=P{X+Y 1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=
2/14
/1)
()()( AB P A P AB P 得P(AB)=1/8
由P(A|B)=
2/1)
()
( B P AB P 得P(B)=1/4
(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则 P{X=0,Y=0}=))(B A
P =P(
(A)-P(B)+P(AB)=5/8
P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8
P{X=1,Y=0}=P(A )=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由归一性知： 1=
, 故A=4
(2)P{X=Y}=0 (3)P{X (4) F(x,y)= 即F(x,y)= 5.解：P{X+Y 1}= 72 65 )3(),(102 121 dydx xy x dxdy y x f x y x 6 解：X 的所有可能取值为0,1,2,Y 的所有可能取值为0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125 P{X=1,Y=1}=25.05.05 .02 1 2 C , P{X=1,Y=2}=25.05.05.021 2 C P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下： Y X 0 1 2 3 P i . 0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.25 0.5 2 0 0.125 0.125 0.25 P .j 0.125 0.375 0.375 0.125 1 7. 解： 其它,00,),(y x e y x f y 0,00 ,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f x x y X , 00 ,0, 00 , ),()(0 y y ye y y dx e dx y x f y f y y y Y 8. 解： 0, 01 ,),(22x y x y cx y x f (1)21 4212),(11 042 1 11 2 2c dx x x c ydydx cx dxdy y x f x 所以 c =21/4 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ； <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:概率论与数理统计期末复习资料(学生)
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