东莞市2011—2012学年度高二第一学期期末教学质量检查理科数学A卷

2011—2012学年度第一学期期末教学质量检查

高二数学（理科A ）

考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器. 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题各有四个选择支，仅有一个

选择支正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1. 在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为

A.5

B.6

C.8

D.10 2. 已知命题p ：“0a =，且0b =”，则下面关于p ?的表述中，不正确的是

A ．0a ≠，或0b ≠

B ．02

2≠+b a

C ．a 、b 中至少有一个不为0

D ．0a ≠，且0b ≠ 3. 点)1,1,2(-A 关于x 轴对称的点的坐标为

A. )1,1,2(--

B. )1,1,2(

C. )1,1,2(--

D. )1,1,2(- 4. 命题“若2>a ，则1≥a ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5．关于的一元二次不等式02

≤++b ax x 的解集是]1-2-[，

,则实数=+b a A.5 B.3 C. 3- D.2

6. 设抛物线28x y =上一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 12 B. 8 C. 6 D. 4

7. 若点),(y x P 为直线l ：082=-+y x 上的一个动点，则xy 的最大值是 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

8. 若641272

1...2121112>++++

-n ,*

N n ∈，则n 的最小值为 A.6 B.7 C.8 D.9.

9.设ABC ?是等腰三角形，?=∠120ABC ，则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 A.

221+ B. 2

3

1+ C. 21+ D. 31+

10. 学校用0.2万元买一台观测仪，从启用的第一天起连续使用，直至它报废.已知这台观测仪第n 天的维修保养费为

10

49

+n 元)(*∈N n ，为了使得报废最合算，即这台仪器使用期间的日平均耗资最少，使用期应为

A ．200天

B ．400天

C ．800天 D. 1200天

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置

上．）

11. 已知数列{}n a 中，11,a =12()n n a a n N *+=∈,则6a = .

12．已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，则1l 和2l 的交点

M 的轨迹方程为_________________.

13.若点(3,1)是抛物线px y 22=的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,则

=p .

14. 海事救护船A 在基地的北偏东0

60，与基地相距渔船B 被困海面，已知B

距离基地20海里，而且在救护船A 正西方，则渔船B 与救护船A 的距离是 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）

已知△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，其中2=c ，又向量

(1,cos )m C = ，(cos ,1)n C =

，1m n ?= .

（1）若4

π

=

A ，求a 的值；

（2）若4=+b a ，求ABC ?的面积．

等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若242=n S ，求n ；

（3）若20-=n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值.

17.（本小题满分14分）

某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2

2m 、2

3m ，用A 种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B 种金属板可造甲、乙产品各6个，问A 、B 两种金属板各取多少张（取整数）时，能完成计划并能使总用料面积最省？并求出最省用料.

如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 底面⊥，四边形ABCD 中，AD AB ⊥，

)40(6,<<-===t t AD t AB PA ，22=CD ，045=∠CDA ．

（1）当1=t 时，求平面PCD 与平面PAB 所成锐二面角的平面角的余弦值；

（2）是否存在实数t ，使直线PB 与平面PCD 所成的角为0

30？若存在，求出t 的值；

若不存在，说明理由.

A

B

P

C

D

（第18题图）

已知椭圆C 的两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -,且椭圆C 经过点)3,2(-. (1)求椭圆C 的方程;

(2)设点)0,(m M 在椭圆C 内,点P 为椭圆C 上任意一点,当||MP 最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m 的取值范围.

已知m m x f x ()(=为常数,0>m ,且)1≠m ,设 ),(,),(),(21n a f a f a f （*

N n ∈）是首项为2

m ,公比为m 的等比数列. (1)求证:数列{}n a 是等差数列；

(2)若)(n n n a f a b =,且数列{}n b 的前n 项和为n S ,当2=m 时,求n S ；

(3)若)(lg )(n n n a f a f c =,问是否存在正实数m ,使得数列{}n c 中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出m 的取值范围；若不存在,请说明理由.

2011—2012学年度第一学期期末教学质量检查

高二理科数学（A 卷）参考答案及评分标准

一、选择题

二、填空题

11.32 12. 13)1()1(22=+++y x 13. 2 14. 20海里或40海里 三、解答题

15. （本小题满分12分）

解：（1）∵m n ?

1cos 2cos cos ==+=C C C ， ………………1分

∴2

1

cos =

C , ………………2分 又0180C <<

,

∴60C =?． ………………3分 由正弦定理得，

2

sin 45sin 60a =??

， ………………4分

∴3

6

23

22=

=

a ． ………………6分 （2）∵2=c ，60C =?，

∴460cos 222=-+

ab b a ， ………………7分

即42

2=-+ab b a ． ………………8分

又∵4=+b a ，

∴1622

2=++ab b a ，

即4=ab ， ………………10分 ∴3sin 2

1

==

?C ab S ABC ． ………………12分

16. （本小题满分12分）

解：（1）由,50,302010==a a

得：??

?=+=+.

5019,

30911d a d a ………………2分

解得.2,121==d a ………………3分 所以 .102+=n a n ………………4分 （2）由242,2)

1(1=-+

=n n S d n n na S ， 得：24222

)

1(12=?-+

n n n ， ………………6分 解得11=n 或22-=n （舍），即11=n ． ………………7分

（3）由20-=n n a b 得：102-=n b n ， ………………8分

所以，当5n 时，0>n b ；当5=n 时，0=n b ，…10分 由此可知：数列}{n b 的前4或5项的和最小． ………………11分 又2054-==T T ，数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值为20-．………………12分

17. （本小题满分14分）

解：设A 、B 两种金属板各取

2

则364556500,0x y x y x y +≥??

+≥??≥≥?

，…4分 目标函数23z x y =+可行域如右图：

由364505650016

4

x x y x y y ?

?+-=?????+-=??=??得直线36450x y +-=与直线56500x y +-=的交点为11

(2

,6)24

M . …………10分

目标函数23z x y =+可化为2133y x z =-

+，由图可知，当动直线21

33

y x z =-+经过点M 时，截距z 31

取得最小值，即z 取得最小值．由于11(2,6)24

M 坐标不是整数，在

可行域找到点(3,6)N 符合要求， ………………12分 此时min 233624z =?+?= ………………13分 答：A 、B 两种金属板分别取3张、6张时，能完成计划并使总用料面积最省，最省用料为242

m .…14分

18.（本小题满分14分）

解：由于ABCD PA 底面⊥，所以AD PA ⊥，AB PA ⊥，又AD AB ⊥，

所以以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系. ………2分

过点C 作AD CE ⊥于E 点，由于22=CD ，0

45=∠CDA ，则2==DE CE ，

)0,4,2(t C -，),0,0(t P ，)0,0,(t B ，)0,6,0(t D -， ……………………4分

),,0,(t t PB -=),6,0(t t PD --=，)0,2,2(-=CD , ……………………5分

设平面PCD 的法向量),,(z y x =, 由CD n ⊥，得y x =， 由⊥，得y t

t

z -=

6， 所以取平面PCD 的法向量)6,,(t t t -=. ……………………7分 （1）当1=t 时，平面PCD 的法向量)5,1,1(=n ，

易得平面PAB 的法向量)0,1,0(=m ， ……………………8分

设平面PCD 与平面PAB 所成锐二面角的平面角为θ，则9

3cos =

=

θ. ……………………10分

（2）假设存在实数t 使直线PB 与平面PCD 所成的角为030，则30sin 0

=

.

……………………11分

化简得,0363652

=+-t t , ……………………12分 解得5

6

1=

t ，62=t （舍去）， ……………………13分 所以存在实数5

6=t ,使直线PB 与平面PCD 所成的角为0

30. ……………………14分

19. （本小题满分14分） 解：(1)由题意得，2=c ，8)30())2(2()30())2(2(22222=-+--+-+---=

a ，

4=a ， ……………………2分

所以122

2

2

=-=c a b ， ……………………3分

所以椭圆C 的方程为

112

162

2=+y x . ……………………4分 (2)设),(00y x P )44(0≤≤-x 是椭圆C 上任意一点,则2

02

04

312x y -

=.………6分 所以2020)0()(||-+-=

y m x MP 20204

312)(x m x -

+-= 220312)4(4

1

m m x -+-=

])4,4[],4,4[(0-∈-∈m x .…………9分 根据题意，当||MP 最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,即40=x 时，||MP 取得最小值， ………………10分 故有44≥m ,解得1≥m . ………………12分 又]4,4[-∈m ,所以实数m 的取值范围是]4,1[. ………………14分

20．（本小题满分14分） 解: (1)由题意知:11

2

)(+-=?=n n n m m

m a f ， ………………1分

又)(n a f n a m =，所以n a n m m

=+1

，即1+=n a n . ………………2分

所以数列{}n a 是首项为2公差为1的等差数列. ………………4分 (2)12)1()(+?+==n n n n n a f a b ， ………………5分

14322)1(242322+?+++?+?+?=n n n S ① ………………6分

①式两端同乘以2，得：

215432)1(22423222++?++?++?+?+?=n n n n n S ② ………………7分

②-①并整理得: 214322)1(22222++?++----?-=n n n n S

2143222)1()2222(2++?++++++--=n n n

n n ?=+22. ………………9分

(3)由（1）知，m m n c n n lg )1(1??+=+.

要使得数列{}n c 中每一项恒小于它后面的项，即要使1+

∈N n 成立，

亦即m m n m m n n n lg )2(lg )1(21??+

∈N n 成立. …………10分 ①当1>m 时,因为0lg >m ,所以m n n ?+<+)2(1一定恒成立；…………………11分

②当10<

对一切*

∈N n 成立，只需m n n ?+>+)2(1恒成立, …………………12分 即要2

1

++<

n n m 恒成立. 而易证

21++n n 在),1[+∞上是增函数，所以1=n 时，2

1++n n 取得最小值32

.

所以m 的取值范围3

2

0<

2,0(+∞ . ……………………14分