2.7有理数的减法例题与讲解(2013-2014学年华师大七年级上)

2.7有理数的减法例题与讲解(2013-2014学年华师大七年级上)
2.7有理数的减法例题与讲解(2013-2014学年华师大七年级上)

2.7 有理数的减法

1.有理数减法的法则

(1)有理数减法的意义与小学学过的减法意义相同,已知两个数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做减法.减法是加法的逆运算.

但是有理数的减法不像小学里那样直接减,而是把减法转化为加法,再按加法法则和运算律进行运算.

(2)有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.

用字母表示为:a -b =a +(-b ),a -0=a ,0-a =0+(-a ).

(3)有理数减法运算的基本步骤是:

①将减法转化为加法;

②按有理数加法法则运算.

(4)有理数的减法法则实际上是运算的转化,它体现了数学中的一种重要思想——化归思想,将减法运算化归为加法运算来完成.学习时注意理解以下几点:

①弄清减数是什么?它的相反数又是什么?例如,在3-5中,减数是5而不是-5,运用法则转化为加法运算后是:3-5=3+(-5);同样地,在3-(-5)中,减数是-5而不是5,转化为加法运算后是:3-(-5)=3+(+5)或3+5;

②将减法运算转化为加法运算时,只改变减数的符号,而被减数不变.例如,运用法则把(-6)-(-8)转化为加法运算时,被减数-6不变,减数-8改变符号为+8(或8),减号“-”转化为加号“+”,即(-6)-(-8)=(-6)+(+8),不要错误地做成(+6)+(+8); ③并不是所有的减法运算都要转化为加法运算.例如,计算15-5时,运用小学里学过的方法可以直接得出结果为10,而运用法则计算则要先转化为加法运算,然后再运用有理数加法法则进行计算,即15-5=15+(-5)=10,如此运算反而显得复杂;

④一般来说,当减数或被减数为负数,或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算.例如,0-(-2)=0+2=2;3-(-3)=3+3=6;(-2)-(-5)=(-2)+5=3;(-6)-6=(-6)+(-6)=-12;3-8=3+(-8)=-5.

谈重点 转化思想在减法运算中的应用 转化思想是中学数学中重要的思想方法之一,减法转化为加法便体现了这一思想.

【例1】 计算:(1)(-9)-0;(2)0-(-5);

(3)0-5;(4)5-(-6);

(5)(-3.2)-(-7);(6)????-12-23

. 分析:回忆有理数的减法法则,把有理数的减法转化为加法时,正数前面的正号通常省略不写,但负号不能省略.

解:(1)(-9)-0=(-9)+0=-9;

(2)0-(-5)=0+(+5)=5; (3)0-5=0+(-5)=-5;

(4)5-(-6)=5+(+6)=11;

(5)(-3.2)-(-7)=(-3.2)+(+7)=3.8;

(6)????-12-23=????-12+????-23=-76

. 2.有理数减法的应用

有理数减法的应用比较常见的题型有(1)计算高度;(2)计算温差;(3)计算销售利润;(4)计算距离;(5)计算时差等.

有理数减法的应用题虽然比较简单,却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略,充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”.因此,我们要有意识

地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练,提高自己的能力.

【例2】下表列出了外国几个城市与北京的时间差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的数值)

城市东京纽约巴黎芝加哥

时差+1-13-7-14

(1)

(2)如果现在的纽约时间是7:00,那么现在的北京时间是多少?

(3)远在芝加哥的姑妈,在当地时间是7:00时想给在巴黎的舅妈打电话,你认为合适吗?

分析:通过审题发现:同一时刻,纽约时间相当于在北京时间的基础上,减去13个小时;相反,同一时刻,北京时间相当于在纽约时间的基础上,加上13个小时;同理,同一时刻,芝加哥时间相当于在巴黎时间的基础上减去7个小时.

解:(1)因为7-13=7+(-13)=-6,相当于18点(-6+24=18),所以北京时间7:00时,纽约时间是前一天的18:00;

(2)因为7+13=20,所以纽约时间7:00时,北京时间是当天的20:00;

(3)我认为不合适.理由如下:因为7-7=7+(-7)=0,所以巴黎时间7:00时,芝加哥时间是零点,此时是睡眠时间,不适合通电话.

3.有理数减法运算中明确符号“-”的含义

我们知道,“-”号在小学里就是减号,表示两个数做减法运算,在有理数中,符号“-”有三种含义:减号、负号、表示一个数的相反数.那么,在一个式子中,遇到“-”号时应按哪种含义来理解呢?

例如,计算-(-5)-(+8)时,式子中有三个“-”号,根据本题整体情况,第一个“-”号应理解为取(-5)的相反数,第二个“-”号应理解为负号,第三个“-”号可理解为减号.这样-(-5)-(+8)=(+5)+(-8)=-3.再如,-9-5中,第一个“-”号理解为负号最为恰当,第二个“-”号可有两种理解,一是理解为负号,此时,-9-5就表示-9与-5省略了加号的和,即-9-5=-9+(-5)=-14;再是理解为减号,据减法法则仍有-9-5=-9+(-5)=-14.

谈重点“-”号的双重身份“-”号有两个身份——性质符号、运算符号,“一号一用”是正确计算的前提.对于“-”号的含义,要结合题目的具体情况来确定,但要注意“一号一用”,即某个“-”号定为某种用途后,它就不能再来做另一种用途.【例3-1】计算:(1)(-15)-(-12)=__________;

(2)18-23=__________;

(3)25-(-25)=__________;

(4)96-69=__________;

(5)(3-7)-(9-12)=__________.

解析:(1)减数是-12,根据法则把减法化为加法时,被减数-15不变,减数-12变为它的相反数12,得(-15)-(-12)=(-15)+12=-3;(2)减数是23,把“18-”化为“18+”时,减数23要变为它的相反数-23,故18-23=18+(-23)=-5;(3)被减数是25,减数是-25,先把减法运算转化为加法运算,得25-(-25)=25+25=50;(4)直接用96减去69得27就可以了;(5)根据运算顺序,要先算括号里面的,再把结果相减.答案:(1)-3(2)-5(3)50(4)27(5)-1.

【例3-2】计算:(1)-(-5)-(-7)-5-(-6);

(2)[(-4)-(+8)]-[3-(-3)].

分析:(1)算式中的“-”号分别是一个数(-5)的相反数、负号、减号、负号、减号、减号、负号;(2)负号、减号、减号、减号、负号.

解:(1)-(-5)-(-7)-5-(-6)

=5+(+7)-5+(+6)

=5+7+(-5)+6

=13;

(2)[(-4)-(+8)]-[3-(-3)]

=[(-4)+(-8)]-[3+(+3)]

=-12-6

=-18.

4.“转化—求解”的思想方法

有理数的减法是转化为加法来运算的,这种“转化-求解”的思想方法,是本节课应当重点掌握的.这与有理数绝对值的化简方法是一致的,例如求一个数的绝对值就要转化为求这个数本身或这个数的相反数.

有理数的大小比较也可以转化为有理数的减法运算.我们知道较大的数减去较小的数,结果一定是正数;反之,较小的数减去较大的数,结果一定为负数;若两数相等,结果一定为0.即若a>b,则a-b>0;若a<b,则a-b<0;若a=b,则a-b=0.

表现在数轴上就是右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数,结果为正数;反之,左边的点所表示的数减去右边的点所表示的数,结果为负数.

解技巧求差法利用求两个有理数的差的方法可以比较有理数的大小.若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则a=b.

【例4-1】如果|a|=3,|b|=1,且a,b异号,求|a-b|的值.

分析:本题是有理数减法与相反数和绝对值的综合,解题时应仔细思考它们各自的意义和运算的方法.绝对值等于3的有理数有两个,它们是3和-3;绝对值等于1的数也有两个,它们是1和-1.又根据a,b异号,可知a=3时,b=-1;a=-3时,b=1.从而求出|a -b|的值.

解:∵|a|=3,∴a=3或-3.∵|b|=1,∴b=1或-1.

又∵a,b异号,∴|a-b|=|3-(-1)|=4,或|a-b|=|-3-1|=4.综上|a-b|=4.

【例4-2】用“>”或“<”填空:

(1)如果a>0,b<0,那么a-b______0,a______b;

(2)如果a<0,b>0,那么a-b______0,a______b;

(3)如果a<0,b<0,那么a-(-b)______0,a______-b;

(4)如果a=0,b<0,那么a-(-b)______0,a______-b.

解析:先按照减法法则把减法变成加法,代入特殊值求差,再根据两个数的差与其大小之间的关系判断两数的大小关系.

答案:(1)>>

(2)<<

(3)<<

(4)<<

5.利用有理数减法求数轴上两点间的距离

有理数的减法有着广泛的应用,求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一.数轴上任意两点之间的距离,都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示.点A,B在数轴上分别表示有理数a、b,A,B两点之间的距离表示为|AB|.

(1)当两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图,

|AB|=|OB|=|b|=|a-b|.

(2)当A,B两点都不在原点时,

①点A,B都在原点的右边,如图,

|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;

②点A,B都在原点的左边,如图,

|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;

③点A,B在原点的两边,如图,

|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|.

【例5-1】如图所示的数轴上,表示-2和5的两点之间的距离是__________,数轴上表示2和-5的两点之间的距离是__________,数轴上表示-1和-3的两点之间的距离是__________.

解析:数轴上表示-2和5两点之间的距离是|-2-5|或|5-(-2)|;数轴上表示2和-5两点之间的距离是|2-(-5)|或|-5-2|;数轴上表示-1和-3的两点之间的距离是|-1-(-3)|或|-3-(-1)|.

答案:77 2

【例5-2】点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|,下面来探究在数轴上A,B两点之间的距离|AB|如何用数a,b来表示.

回答下列问题:

(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是________,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________;

(2)数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为__________;

(3)数轴上表示a,b的两点之间的距离表示为________.

解析:本题阅读部分将计算数轴上两点A、B之间的距离,先由特殊到一般地展示其发生发展的过程,然后归纳概括出公式|AB|=|a-b|,即数轴上任意两点之间的距离用表示这两点的有理数的差的绝对值表示.再根据这个公式解答问题.

答案:(1)334(2)|x+3|(3)|a-b|

析规律数轴上两点间的距离公式数轴上两点A,B之间的距离公式是|AB|=|a-b|,利用此公式可以求出数轴上任意两点之间的距离.解题时,注意求两个负数之间的距离时,要添加括号.

一元二次方程应用题经典题 型汇总含答案

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A.把右端的平衡螺母向右旋出一些 B.把左端的平衡螺母向左旋出一些 C.向天平右盘中增加砝码或将游码向右移动 D.将天平右盘中砝码减少 7、人体受精卵发育成胎儿的结构层次是() A.细胞→组织→器官→系统→人体 B.人体→系统→器官→组织→细胞 C.组织→细胞→器官→系统→人体 D.细胞→组织→系统→器官→人体8、松树和狗这两种生物大家都知道一种是植物一种是动物,下列四个答案中你能选出它们之间最根本的区别是什么吗() A.松树固定生活,狗能运动 B.狗能发出声音,松树不能 C.狗能繁殖生小狗,松树不能 D.狗通过摄取食物获得营养,松树自己制造营养 9、保护生物的多样性,下列哪项措施最有效() A.将濒危物种迁出原地 B.将动物领回家 C.建立自然保护区 D.建立种子库 10、下列不能用种子进行繁殖的植物是() A.马尾松 B.胎生狗脊 C.法国梧桐 D.银杏 11、关于实验室中常用的温度计和生活中使用的体温计,下面说法正确的是() A.都可以测量人的体温 B.都可以离开被测物读数 C.都是利用液体的热胀冷缩的性质制成的 D.刻度范围一样 12、对哺乳动物进行分类,小科将“羊、牛、马”分成一组,将“虎、狮、狼”

七年级数学二元一次方程经典练习题及答案

二元一次方程组练习题100道(卷一) (范围:代数: 二元一次方程组) 一、判断 1、??? ??-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 1032 6 5 23y x y x 的解 …………( ) 2、方程组? ? ?=+-=5231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解( ) 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组( ) 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ,可以转化为???-=--=+27651223y x y x ( ) 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程,则a 的值为±1( ) 6、若x +y =0,且|x |=2,则y 的值为2 …………( ) 7、方程组? ? ?=+-=+81043y x x m my mx 有唯一的解,那么m 的值为m ≠-5 …………( ) 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………( ) 9、x +y =5且x ,y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………( ) 10、方程组? ? ?=+=-351 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解,反过来方程x +5y =3的解也是方程组 ?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解 ………( ) 11、若|a +5|=5,a +b =1则3 2 -的值为b a ………( ) 12、在方程4x -3y =7里,如果用x 的代数式表示y ,则4 37y x += ( ) 二、选择: 13、任何一个二元一次方程都有( ) (A )一个解; (B )两个解; (C )三个解; (D )无数多个解; 14、一个两位数,它的个位数字与十位数字之和为6,那么符合条件的两位数的个数有( )

初一数学有理数加减法计算

初一数学单元测试卷(有理数) 班级:_____ 姓名:____________ 一.填空(每空2分,共60分) 1.小华在某个路口,规定方向以向东为正,向西为负,如果他向东走了50m, 则可表示为;如果他向西走了100m,则可表示为;如果他走了-30m,向西走了30M 表示向西走了30M;如果他走了+80m,则表示向东走了80米;如果小华先向西走了 180m,再向东走了200m,则此时他的位置在路口。 2.按要求把下列数填在相应的横线上:12.3、-0.5、-100、-8、88、4.01、 分数;负整数;正分数;有理 数 12.3、-0.5、-100、-8、88、4.01、 。 3.-2.1的相反数是2.1 ,0的相反数是0,的相反数是。 4.|+2.4|= ,|-4.5|= ,|0|= ,-|-3|= 。 5.用“>”或“<”填空: -5 0,-9 -8,- - ,|-2.6| 0,|- | |- |。 6.(-31)+31= ,(-23)+(+34)= ,(-5)-4=-9 ,(-2)-(-3)= 。 7.最大的负整数是,比4小的正整数有。

8.的绝对值是5,绝对值小于3的整数有。 9.在数轴上表示的数a的点到原点的距离为2,则a+|-a|= 。 二.判断(每小题2分,共10分) 1.一个数不是正数就是负数。() 2.任何数的绝对值都不是负数。() 3.在一个有理数前面添上负号,就可以得到一个负数。() 4.两个有理数的和一定大于其中每一个加数。() 5.如果两数的差是正数,那么这两数都是正数。() 二.计算 1、(-二分之一)+(-五分之二)+(二分之三)+(五分之十八)+(五分之三十九) (-32)+68+(-29)+(-68)= (-21)+251+21+(-151)= 12+35+(-23)+0= (-6)+8+(-4)+12 = 27+(-26)+33+(-27)

华师大版七年级上册科学期末考试卷(附答案)

华师大版七年级上册科学期末考试卷(附答案) 姓名:__________ 班级:__________考号:__________ 一、单选题(共25题;共50分) 1.下列数据中,最接近生活实际的是() A. 学生课桌的高度是70mm B. 成年人的正常体温是39℃ C. 成年人步行的速度约是4m/s D. 初中生的质量大约是50kg 2.在科学实验中,我们用显微镜观察微小物体,用天文望远镜观测遥远的星体。你认为我们在这些科学研究中借助各种仪器是为了( ) A. 完成观察任务 B. 得到观察结果 C. 延长观察时间 D. 扩大观察范围 3.地震和火山的相同点为( ) A. 能量都来自地球的外部 B. 能量都来自地球的内部 C. 都对地形没有影响 D. 都分布在板块的内部 4.等高线地形图表示( ) A. 地形的类型 B. 地形的分布 C. 地形的起伏 D. 地形的地质构造 5.无脊椎动物中最能适应各种环境的是() A. 环节动物 B. 软体动物 C. 节肢动物 D. 线形动物 6.科学家发现,一种名为“绿叶海天牛”的动物在摄取藻类后,能够将藻类的某一细胞结构置于自己的细胞内,从而使自身也能进行光合作用。该细胞结构是() A. 细胞壁 B. 细胞膜 C. 液泡 D. 叶绿体 7.今年4月12日,浙江临安发生4.2级地震时,我市有轻微震感。下列有关地震的说法正确的是() A. 地震是地壳变动的表现 B. 现代科学技术已能准确预报地震 C. 发生地震时赶快乘电梯逃离 D. 所有的地震都会对社会造成巨大损失 8.阅读世界地图你会发现,两岸轮廓能够遥相对应的大洋是( ) A. 太平洋 B. 大西洋 C. 印度洋 D. 北冰洋 9.当你在一个陌生城市旅游时,选择的导游图应当是( ) A. 比例尺尽可能小的地图 B. 世界地图 C. 中国地图 D. 比例尺尽可能大的地图 10.关于“万有引力”下列说法中正确的是() A. 质量太小的物体之间不存在万有引力 B. 距离太远的物体之间不存在万有引力 C. 只有天体之间才存在万有引力 D. 任何物体之间都存在万有引力 11.“基因型身份证”主要是利用先进的DNA指纹技术,选取人体细胞中若干个固定的遗传基因作为人的身份信息,从而用以鉴定不同人的身份。这样的身份信息主要来自于人体细胞结构中的() A. 细胞膜 B. 细胞质 C. 细胞膜和细胞质 D. 细胞核 12.中医给病人诊病时讲究“望、闻、问、切”,其主要目的是为了() A. 提出问题:病人得的是什么病? B. 建立假设:病人得的可能是×××病

均值不等式【高考题】

应用一、求最值 直接求 例1、若x ,y 是正数,则22)21 ()21(x y y x +++的最小值是【 】 A .3 B .27 C .4 D .2 9 例2、设y x b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】 A. 2 B. 23 C. 1 D. 21 练习1.若0x >,则2 x x +的最小值为 . 练习2.设,x y 为正数, 则14 ()()x y x y ++的最小值为【 】 A.6 B. 9 C. 12 D. 15 练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值,则ab 的最大值等于【 】 A.2 B .3 C .6 D .9 练习4.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x = 吨. 练习5.求下列函数的值域: (1)2 2 213x x y + = (2)x x y 1 += 练习6.已知0x >,0y >,x a b y ,,,成等差数列,x c d y ,,,成等比数列,则 2 ()a b cd +的最小值是【 】 A.0 B.4 C.2 D.1 例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111 (1)(1)(1)a b c ---最小值为【 】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 凑系数 例4、若x y ∈+R ,,且14=+y x ,则x y ?的最大值是 . 练习1.已知,x y R +∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 . 练习2. 当40<-+ =x x x x f 在x a =处取最小值,则a =【 】 A.21+ B .31+ C .3 D .4 练习1.已知5 4 x <,求函数14245y x x =-+-的最大值. 练习2.函数 1 (3)3 x x x +>-的最小值为【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 练习3.函数2 32(0)x x x +>的最小值为【 】 A.39 32 B. 3942 C. 39 52 D. 39 2

北师大版七年级数学上册《代数式》典型例题(含答案)

《代数式》典型例题 例1 列代数式,并求值. 有两种学生用本,一种单价是0.25元,另一种单价是0.28元,买这两种本的数分别是m 和n .(1)问共需要多少元?(2)如果单价是0.25元的本和单价是0.28元的本分别买了20和25本,问共花了多少钱? 例2 某城市居民用电每千瓦时(度)0.33元,某户本月底电能表显示数m ,上月底电能表显示数为n ,(1)用m 和n 把本月电费表示出来;(2)若本月底电能表显示数是1601,上月底电能表显示数为1497,问本月的电费是多少? 例3 春节前夕,铁路为了控制客流,使其卧铺票票价上浮20%,春节期间按原价下浮10%,若某地到北京的卧铺票原价是x 元,如果在春节期间乘坐要比春节前少花多少钱,用x 表示出;当228=x 时,求这个代数式的值。 例4 22b a -可以解释为___________. 例5 一个三位数,百位数上的数是a ,十位上的数是b ,个位上的数是c . (1)用代数式表示这个三位数. (2)把它的三位数字颠倒过来,所得的三位数又该怎样表示? 例6 选择题 1.x 的3倍与y 的2倍的和,除以x 的2倍与y 的3倍的差,写成的代数式是( ) A . y x y x 3223-+ B .x y y x 2323-+ C .y x y x 3223-+ D .y x y x 2223-+ 2.如图,正方形的边长是a ,圆弧的半径也是a ,图中阴影部分的面积是( )

A .224a a -π B .22a a π- C .22a a -π D .224a a π- 例7 通过设2003 1413121,20021413121++++=++++= b a 来计算: ).20021413121()200314131211()20031413121()200214131211(++++?+++++-++++?+++++ 例8 按给的例子,把输出的数据填上 例9 对于正数,运算“*”定义为b a a b b a +=*,求)333**(.

均值不等式求最值的常用技巧及习题

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” );若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”) 2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R + ∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 ________。 解:因为x >0,y>0 ,所以 34x y +≥=当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等 号) 1, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二:配凑项求 例2:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。

代数式知识点、经典例题、习题及答案(供参考)

1.2 代数式 【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系,求代数式的值。 【知识梳理】 1、代数式:指含有字母的数学表达式。 2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式: (1)、数和表示数的字母相乘,或字母和字母相乘时,乘号可以省略不写,或用“.”来代替。(2)、当数和字母相乘,省略乘号时,要把数字写到前面,字母写后面。如:100a或100?a,na或n?a。 (3)、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如:(5s )时 (4)、除法运算写成分数形式。 (5)、带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意: (1)语言叙述中关键词的意义,如“大”“小”“增加”“减少”。 “倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。 (2)要理清运算顺序和正确使用括号,以防出现颠倒等错误,例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。 (3)在同一问题中,不同的数量必须用不同的字母表示。 【经典例题】 【例1】(2012重庆,9,4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五

角星,…,则第⑥个图形中的五角星的个数为( ) 【解析】仔细观察图形的特点,它们都是轴对称图形,每一行的个数都是偶数,分别是2,4,6,…,6,4,2,故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。 答案:D 【例2】(2011甘肃兰州,20,4分)如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去,已知第一个矩形的面积为1,则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知,每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的 12,故后一个矩形的面积是前一个矩形的14 ,所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1221142n n --????= ? ?????,已知第一个矩形面积为1,则第n 个矩形的面积为2212n -?? ???。 【例3】按一定规律排列的一列数依次为 111111,,,,,,2310152635 …,按此规律,第7个数是 。 【解析】先观察分子:都是1;再观察分母:2,3,10,15,26,…与一些平方数1,4,9,16,…都差1,2=12+1,3=22-1,10=32+1,15=42-1,26=52+1,…,这样第7个数为 2117150=+。 答案:150 【例4】已知: 114a b -=,则2227a ab b a b ab ---+的值为( ) A .6 B .--6 C .215- D .27 - 【解析】由已知114a b -=,得4b a ab -=, ∴4,4, 2()242 6.2272()787b a ab a b ab a ab b a b ab ab ab a b ab a b ab ab ab ∴-=-=-------∴===-+-+-+答案:A 【课堂练习】 1、(2012湖北武汉,9,3分)一列数a1,a2,a3,…,其中a1= 111,21n n a a -=+(n 为不

(完整版)均值不等式常考题型

均值不等式及其应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

代数式求值经典题型(含详细答案)

代数式求值 经典题型 【编著】黄勇权 经典题型: 1、x+x 1 =3,求代数式 x 2 -2 x 1的值。 2、已知a+b=3ab ,求代数式b 1 a 1+的值。 3、已知 x 2 -5x+1=0,求代数式x 1x +的值。 4、已知x-y=3,求代数式(x+1) 2 -2x+y (y-2x )的值。 5、已知x-y=2,xy=3,求代数式x 2 -xy 6+y 2的值。 6、已知y x =2,则x y -x 的值是多少?

7、若2y 1x 1=+,求代数式:3y xy -3x y 3xy -x ++的值。 8、已知5-x =4y-4-y 2,则代数式2x-3+4y 的值 是多少? 9、化简求值,12x x 1-x 2 ++÷)(1x 2 1+-, 其中x=13- 10、x 2-4x+1=0,求代数式:x 2 +2 x 1 的值。 【答案】 1、x+x 1 =3,求代数式:x 2 -2 x 1的值。 解:x 2 -2 x 1 =(x+x 1)(x-x 1 ) =(x+x 1 )2x 1-x )( =(x+x 1 )2 2x 12x +- =(x+x 1)4x 12x 2 2 -++ =(x+x 1)4x 1x 2 -+)( 将 x+x 1 =3 代入式中

=3×432- =35 2、已知a+b=3ab ,求代数式:b 1 a 1+的值。 解:b 1 a 1+ =ab b a + 将a+b=3ab 代入式中 =3 3、已知x 2 -5x+1=0,求代数式:x 1 x +的值。 解:因x 2 -5x+1=0, 等式两边同时除以x 则有:x 0 x 1x x 5x x 2=+- 化简得:x-5+x 1 =0 把-5移到等号的右边,得: x 1 x +=5

1.3有理数的加减法练习题及答案初一数学

新人教数学七年级上册第1.3有理数的加减法测试题 一、填空题(每小题3分,共24分) 1、+8与-12的和取___号,+4与-3的和取___号。 2、小华记录了一天的温度是:早晨的气温是-5℃,中午又上升了10℃,半夜又下降了8℃,则半夜的温度是____℃。 3、3与-2的和的倒数是____,-1与-7差的绝对值是____。 4、小明存折中原有450元,取出260元,又存入150元,现在存折中还有____元。 5、-0.25比-0.52大____,比-5 21小2的数是____。 6、若b a ,b a -<>则0,0一定是____(填“正数”或“负数”) 7、已知2 1,43,32-=-==c b a ,则式子=--+-)()(c b a _____。 8、把下列算式写成省略括号的形式:)7()3()2()8()5(++---++-+=____。 二、选择题(每小题3分,共24分) 1、已知胜利企业第一季度盈利26000元,第二季度亏本3000元,该企业上半年盈利(或亏本)可用算式表示为( ) A 、)3000()26000(+++ B 、)3000()26000(++- C 、)3000()26000(-+- D 、)3000()26000(-++ 2、下面是小华做的数学作业,其中算式中正确的是( ) ①74)74 (0=+-;②417)417(0=--;③510)51(-=-+;④5 10)51(-=+- A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④ 3、小明今年在银行中办理了7笔储蓄业务:取出9.5元,存进5元,取出8元,存进12无,存进25元,取出1.25元,取出2元,这时银行现款增加了( ) A 、12.25元 B 、-12.25元 C 、12元 D 、-12元 4、-2与414的和的相反数加上6 51-等于( ) A 、-1218 B 、1214- C 、125 D 、1254 5、一个数加上-12得-5,那么这个数为( ) A 、17 B 、7 C 、-17 D 、-7 6、甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20米,-15米和-10米,那么最高的地方比最低的地方高( ) A 、10米 B 、15米 C 、35米 D 、5米 7、计算:2 1)7()9()3()5(+ ---++--所得结果正确的是( ) A 、2110- B 、219- C 、218 D 、2123-

新华师大版七年级科学期末复习知识点总结

新华师大版七年级(下)科学期末复习知识点总结 带※是老教材的内容 第一章水 1、海水占地球上全部水量的%。海洋中平均每1000g海水中含有盐类物质35g。所以海水不能喝,也不能灌溉庄稼。 2、地球上的水按其状态分为:固态水、液态水和气态水。水按存在空间分为陆地水、海洋水、大气水和生物水。 3、陆地水占地球全部水量的%,其中淡水占地球全部水量的%。 4、地球上最大的淡水资源是冰川水和地下水。人们容易利用的淡水是江河水、淡水湖泊水和浅层地下水。占全球淡水资源的%。 5、在植物中含水量最大的在水生植物,最少的是干旱环境中的苔藓植物。 6、人体的含水量占人体体重的60%左右。所以我们每天必须补充2~水。 7、标准大气压下,在冰的熔化过程中:当冰低于0℃时,冰吸收热量,温度升高,当温度升高到0℃时,冰开始熔化,在这个过程中,它吸收热量,温度不变,此时它的状态是固液并存。直到完全熔化时,温度又继续上升。冰的熔点和水的凝固点都是0℃。 8、物质由液态变成气态的现象叫做汽化。汽化的两种方式:蒸发,沸腾。 9、影响蒸发快慢的三个因素:液体表面空气流动快慢,液体温度高低,液体表面积大小。 10、蒸发时要吸收热量,使周围物体的温度降低。 11、蒸发和沸腾的区别:①蒸发只在液体表面进行,沸腾在液体表面和内部同时进行,②蒸发可以在任何温度下进行,沸腾必须在一定温度才能进行。而且在沸腾的过程中,物质还必须继续吸热。但是温度不变。 12、液化:物质由气体变成液体的过程。使气体液化的方法:降低温度、压缩体积。 13、升华:物质由固体直接变成气体的过程,凝华:物质由气体变成固体的过程。 14、以上吸热的有熔化、汽化、升华,以上放热的有凝固、液化、凝华。 开水壶嘴冒白气属于液化;冰衣服变干属于升华;湿衣服变干属于升华;樟脑丸消失属于升华;雾的形成属于液化;露水的形成属于液化;雾凇的形成属于凝华;霜的形成属于凝华;酒精挥发属于汽化。 15、晶体和非晶体的区别是:晶体有熔点,而非晶体没有熔点。 16、在水循环的过程中,水的总量保持不变,它使水成为可再生的资源。

均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)

均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析) 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则 2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正 所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设2 3 0< -x ∴2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 技巧三: 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x +1)的项,再将其分离。 当 ,即 时,4 21)591 y x x ≥+? =+((当且仅当x =1时取“=”号)。 技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x +1,化简原式在分离求最值。 22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t -+-++==++) 当,即t=时,4 259y t t ≥?=(当t=2即x =1时取“=”号)。 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ()(0,0)() A y mg x B A B g x =+ +>>,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+的单调性。 例:求函数22 4 y x = +的值域。 24(2)x t t +=≥,则2 24 y x = +221 4(2)4 x t t t x =+=+≥+

人教版七年级数学上册13有理数的加减法 练习题

人教版七年级数学上册:1.3有理数的加减法测试题 一、选择题 1.计算(-3)+5的结果等于() A.2 B.-2 C.8 D.-8 2.比-2小1的数是() A.-1 B.-3 C.1 D.3 3.计算(-20)+17的结果是() A.-3 B.3 C.-2017 D.2017 4.比-1小2015的数是() A.-2014 B.2016 C.-2016 D.2014 5.下列说法不正确的个数是() ①两个有理数的和可能等于零; ②两个有理数的和可能等于其中一个加数; ③两个有理数的和为正数时,这两个数都是正数; ④两个有理数的和为负数时,这两个数都是正数. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.下列算式中:①2-(-2)=0;②(-3)-(+3)=0;③(-3)-|-3|=0;④0-(-1)=1.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.算式-3-5不能读作() A.-3与-5的差 B.-3与5的差 C.3的相反数与5的差 D.-3减去5 8.一个数减去2等于-3,则这个数是() A.-5 B.-1 C.1 D.5 9.如图是一个三角形的算法图,每个方框里有一个数,这 个数等于它所在边的两个圆圈里的数的和,则图中①②③ 三个圆圈里的数依次是() A.19,7,14 B.11,20,19 C.14,7,19 D.7, 14,19 10.古希腊数学家帕普斯是丢潘图是最得意的一个学生,有一天他向老师请教一个问题:有4个数,把其中每3个相加,其和分别是22,24,27,20,

则这个四个数是() A.3,8,9,10 B.10,7,3,12 C.9,7,4,11 D.9,6,5,11 11.与-3的差为0的数是() A.3 B.-3 C.- D. 二、填空题 12.计算:-1+8= ______ . 13.计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是 ______ . 14.大于-3.5且不大于4的整数的和是 ______ . 15.计算:-9+6= ______ . 16.比1小2的数是 ______ . 17.计算7+(-2)的结果为 ______ . 三、解答题 18.计算题 (1)5.6+4.4+(-8.1) (2)(-7)+(-4)+(+9)+(-5) (3)+(-)+ (4)5 (5)(-9)+15 (6)(-18)+(+53)+(-53.6)+(+18)+(-100)

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