衡水中学2011-2012学年度高三上学期三调文科数学试题+答案

衡水中学2011—2012学年度上学期三调考试

高三数学（文科）

命题人：刘静祎

第Ⅰ卷（选择题共60分）共120分钟

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填

涂在答题卡上）

1、已知集合U =R ，集合则},1

1|{x

y x A -==U A e等于（） A }10|{<≤x x

B }10|{≥

C }1|{≥x x

D }0|{

2、设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2

＋y 2

≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件

3、若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是

180°，且||=b ，则b 等于( )

A ．(3,6)-

B ．(3,6)-

C ．(6,3)-

D ．(6,3)- 4、若0,0,a b >>且4=+b a ,则下列不等式恒成立的是（）

A ．

11>ab B ．111≤+b a

C ．2≥ab

D ．228a b +≥

5、下列函数中，在区间(0,)π上为增函数的是（） A ．sin y x =

B ．1

y x

C ．2x y =

D ．221y x x =-+

6、设O 为坐标原点，(1,1)A ，点(,)B x y 满足2210101x y x y ?+≥?

≤≤??≤≤?

，则?取得最小值时，点B 的个数是

（）

A.1

B.2

C.3

D.无数个 7、在等差数列{}n a 中，已知123

2,13a a a =+=，则456a a a ++等于（）

A .40 B.42 C.43 D.45

8、不等式

2(1)x x +-≥的解集是( )

A ．132??-????

，

B ．132??-????

，

C ．(]11132 ??????

，，

D ．(]11132 ??-????

，，

9、已知f (x )＝?????

x ＋1， x ∈[－1，0)

x 2＋1， x ∈[0，1]，则下列函数的图象错误的是(

)

10、对一切实数x ，不等式x 2

＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－2，＋∞)

B ．(－∞－2)

C ．[－2,2]

D ．[0，＋∞)

11、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )

A ．b a >

B ．b a <

C ．b a =

D ．a 与b 的大小关系不能确定

12、已知函数1()lg ()2

f x x =-有两个零点21,x x ，则有（）

A ．021

B ．121=x x

C ．121>x x

D ．1021<

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13、已知sin(π2＋α)＝1

3，则cos(π＋2α)的值为_________

14、函数f (x )＝01

log >09c ax b x x x +??

?+??

(≤)()()的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝ . （第14题图） 15、已知函数)2(log )()1(+=+n n f n (n 为正整数),若存在正整数k 满足: k n f f f =???)()2()1( ,

那么我们将k 叫做关于n 的“对整数”.当]2012

,1[∈n 时,则“对整数”的个数为个

16、给出下列四个结论：

①“若22am bm <则a b <”的逆命题为真； ②若0()f x 为()f x 的极值，则0()0f x '=； ③函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点；

④对于任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=且x >0时,()0,()0f x g x ''>>，

则x <0时()()f x g x ''>

其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）三.解答题（共6个小题，共70分）

17、如图，为了计算衡水湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝100m ，AB ＝140m ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 之间的距离(假设A ，B ，C ，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．

、若向量,sin ),(sin ,0),a x x b x ωωω== 其中0ω>，记函数1()()2

f x a b b =+?- ，

若函数()f x 的图像与直线y m =（m 为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列。（1）求()f x 的表达式及m 的值；

（2）将函数()y f x =的图像向左平移12π，得到()y g x =的图像，当7(,)24

x ππ

∈时，()cos g x α=的交点横坐标成等比数列，求钝角α的值。

19、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）. (1)求n S ；

( 2 ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.

20、已知函数32ln )(+-=ax x a x f （0≠a ）. （1）求函数)(x f 的单调区间;

(2）函数)(x f y =的图像在2=x 处的切线的斜率为,23

若函数])([3

1)('23

m x f x x x g ++=

，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围。

21、已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .

(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22、选修4－1：平面几何证明选讲

如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，

PC ＝AC ＝1.求⊙O 的半径．

23、选修4－4：极坐标和参数方程

已知某条曲线C 的参数方程为?

????

x ＝1＋2t ，y ＝at 2

(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a ；

(2)求曲线C 的普通方程．

24.选修4－5：不等式选讲

已知函数)|2||12(|log )(2m x x x f -+++=. （1）当4=m 时，求函数)(x f 的定义域；

（2）若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围

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高三数学（文科）

试题答案

1-5 AAADC 6-10 BBDDA AD

D 【解析】函数1()lg ()2x

f x x =-的两个零点21,x x ，即方程()0f x =的两根，也就是函数|l

g |y x =与1()2x

y =的图象交点的横坐标，如图易得交点的横坐标分别为 ,,21x x 显然()()+∞∈∈,1,1,021x x ，

则???????=???

??-=??? ??2

1lg 21lg 212

x x x x

?10,02121lg 21211

2<<∴

x ． 13、9

14、解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，又函数y ＝log c (x ＋19

) 的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝1

3，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.

15、解析:∵)2(log )()1(+=+n n f n ,

∴)2(log )

1lg()

2lg(3lg 4lg 2lg 3lg )()2()1(2+=++???=

???=n n n n f f f k ∴1024,512,256,128

,64,32,16,8,42=+n 满足要求,∴当]2012,1[∈n 时,则“对整数”的个数为9个. 16、解析：20m =，可知①错；0(),0f x x x ==，则0()f x '不存在，可知②错；由单位圆知sin x x <故只有一个交点，故③错。由奇函数的增减性一致，偶函数的增减性相反，知x <0时()0,()0f x g x ''><，

故④正确。 17、解：在△ABD 中，设BD ＝x m ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即1402

＝x 2

＋1002

－2×100×x ×cos60°，整理得x 2－100x －9600＝0，解之得x 1＝160，x 2＝－60(舍去)，故BD ＝160m ，

由正弦定理，得：BC sin ∠CDB ＝BD

sin ∠BCD ，

又AD ⊥CD ，∴∠CDB ＝30°， ∴BC ＝160sin135°·sin30°＝802≈113(m)．

即两景点B 与C 之间的距离约为113m.

18、

（1

）解：,sin ),(sin ,0),a x x b x ωωω==

11()()cos sin sin(2)226f x a b b x x x x πωωωω∴=+?-=+-=-

----------4分由题意可知其周期为π，故1ω=，则()sin(2)6f x x π

=-，1m =±。--------------6分

（2）解：将()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移12π，得到()sin 2g x x =，-------------------8分由其对称性，可设交点横坐标分别为1113,,2

x x x ππ-+，有 2111139()(),216x x x x πππ-=+=则 ------------------------10分 95cos sin sin cos 888πππα==-= 则58

πα= ------------------------------12

19、解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==?, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分所以12n n a a +-=对*N n ∈成立，所以{}n a 是等差数列， …………………4分所以有212

n a a S n n n +=

?=+ ，*N n ∈ …………………7分（II ）存在. ………………8分

由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立

所以有396,18a a ==，又12a =， ……………10分

所以由 112339, b a b a b a ===，，则23

23b b b b == ……………12分所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ，

其通项公式为1

23n n b -=? .

20、解：（I ）)0()

21()('

>-=

x x