实验08 数据处理与多项式计算(第6章)

实验08 数据处理与多项式计算

（第6章 MATLAB 数值计算）

一、实验目的

二、实验内容

1. 检验一组随机数的性质

利用MATLAB 提供的rand 函数生成30000个符合均匀分布的随机数，然后检验随机数的性质：

(1)

均值和标准方差。 (2) 最大元素和最小元素。

(3) 大于0.5的随机数个数占总数的百分比。

2. 学生成绩表处理

将100个学生5门功课的成绩存入矩阵P 中，进行如下处理： (1) 分别求每门课的最高分、最低分及相应学生序号。 (2) 分别求每门课的平均分和标准方差。

《数学软件》课内实验

王平

(3) 5门课总分的最高分、最低分及相应学生序号。

(4) 将5门课总分按从大到小顺序存入zcj中，相应学生序号存入xsxh。

提示：上机调试时，为避免输入学生成绩的麻烦，可用取值范围在[45,95]之间的随机矩阵来表示学生成绩。

3. 三次样条插值应用

某气象观测得某日6:00~18:00之间每隔2h的室内外温度（0C）如实验表1所示。

试用三次样条插值分别求出该日室内外6:30~17:30之间每隔2h各点的近似温度（0C）。

4. 曲线拟合应用

已知lgx在[1,101]区间10个整数采样点的函数值如实验表2所示。

试求lgx的5次拟合多项式p(x)，并绘制出lgx和p(x)在[1,101]区间的函数曲线。

程序：

5. 多项式计算

有3个多项式P1(x)=x4+2x3+4x2+5，P2(x)=x+2，P3(x)=x2+2x+3，试进行下列操作：

(1) 求P(x)=P1(x)+P2(x)P3(x)。

(2) 求P(x)的根。

(3) 当x取矩阵A的每一元素时，求P(x)的值。其中：

1

1.2 1.40.752 3.505

2.5A --????=??

????

(4) 当以矩阵A 为自变量时，求P(x)的值。其中A 的值与第(3)题相同。

命令及运行结果（建议在命令窗口中逐条输入命令）：

三、实验提示

四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（1/2）

6.1 数据处理与多项式计算 p139 6.1.1 数据统计与分析

1. 求最大元素(max)和最小元素(min)

(1) 求向量的最大元素和最小元素 求向量X 的最大元素：

y=max(X)：返回X 的最大元素，存入y 。

[y,I]=max(X)：返回X 的最大元素，存入y ，最大元素的序号存入I 。 若X 中包含复数元素，则按模取最大值。

min 类似。

例 求向量x 的最大值 p139

(2) 求矩阵的最大元素和最小元素

求矩阵A的最大元素：

max(A)：返回一个行向量，第i个元素是A的第i列上的最大值。

[Y,U]=max(A)：行向量Y记录A的每列的最大值，行向量U记录每列最大值的行号。

max(A,[ ],dim)：dim取1或2。取1时，与max(A)相同；取2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行上的最大值。

min类似。

例6.1 求矩阵的最大和最小元素p140

(3) 两个向量或矩阵对应元素的比较

函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较。

U=max(A,B)：U是与A,B同型的向量或矩阵，每个元素等于A,B对应元素的较大者。

U=max(A,n)：n是一个标量，U是与A同型的向量或矩阵，每个元素等于A对应元素和n中的较大者。

min类似。

例max用于矩阵的比较p141

求两个2×3矩阵所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。

2. 求平均值(mean)和中值(median)

●求数据序列平均值指的是算术平均值。

●中值是指：（数据序列，指按升序或降序）

数据序列为奇数个时，中值的大小恰好处于数据序列各个值的中间。

数据序列为偶数个时，中值等于中间的两项之平均值。

mean(X)：返回向量X的算术平均值。

median(X)：返回向量X的中值。

mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。 mean(A,dim)：

dim为1，对各列操作，等同于mean(A)；

dim为2，对各行操作。

median类似。

例求向量的平均值和中值p142

3. 求和(sum)与求积(prod)

设X 是向量，A 是矩阵，调用格式： sum(X)：返回X 各元素的和。

sum(A)：返回一个行向量，其第i 个元素是A 的第i 列的元素和。（对列） sum(A,dim)：

dim 为1，对各列操作，等同于sum(A)； dim 为2，对各行操作。

prod 类似。

例6.2 求矩阵A 的每行元素的乘积和全部元素的乘积 p142

4. 累加和(cumsum)与累乘积(cumprod)

设U=u 1,u 2,…,u n )是向量，且

)

,,,()

,,,(1

21

11

1

2

1

1

1

∏∏∏∑∑∑========n

i i i i i i n

i i i i i i u u u W u u u V

称

V 为U 的累加和向量。 W 为U 的累乘积向量。

设X 是向量，A 是矩阵，调用格式：

cumsum(X)：返回向量X 累加和向量。

cumsum(A)：返回一个与A 同型的矩阵，其第i 列是A 的第i 列的累加和向量。 cumsum(A,dim)：

dim 为1，对各列操作，同cumsum (A)； dim 为2，对各行操作。

cumprod 类似。

例6.3 求累乘积X=(1!,2!,…,10!) p143

5．标准方差(std)

数据序列x 1,x 2,…x N 的标准方差为：

∑=--=

N

i i x x N 1

21)(11σ 或 ∑=-=

N

i i

x x N

1

2

2)

(1

σ

其中

∑==N

i i x N x 1

1

设X 是向量，A 是矩阵，调用格式： std(X)：返回一个标准方差σ1。

std(A)：返回一个行向量，它的各个元素是矩阵A 各列的标准方差σ1。（按列） Y=std(A,flag,dim)：

● dim=1时，按列。dim=2时，按行。 ● flag=0时，求σ1。flag=1时，求σ2。 ● 缺省时，flag=0，dim=1。

例6.4 标准方差p143

6. 相关系数(corrcoef)

对于两组数据序列x i ,y i (i=1,2,...,n)，两组数据的相关系数为：

()()

n

i

i

x x y y r --=

∑其中

11

11,

n

n

i i i i x x y y n n ====∑∑

调用格式：

corrcoef(A)：返回从矩阵A 形成的一个相关系数矩阵R n ×n ，n 为A 的列数，R ij 为第i ，j 列的相关系数。

corrcoef(X,Y)：X,Y 是向量，若X,Y 是行向量则转换为列向量，等同于corrcoef([X,Y])。

例6.5 均值、标准方差和相关系数矩阵p144

生成满足正态分布的10000×

5随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这7. 排序(sort)

sort(X)：返回一个对向量X 中的元素按升序排列的新向量。 [Y,I]=sort(A,dim,mode)：

● dim=1/2，按矩阵A 的列/行排序，默认取1。

● mode='ascend'/'descend'，按升序/降序，默认取'ascend'。 ● Y 是排序后的矩阵。

● I 记录Y 中的元素在A 中位置。（下标排列）

例6.6 对二维矩阵做各种排序 p145

18

5412613713A -????=??

??-??

6.1.2 数据插值 p146

数据插值：构造一个光滑函数y=g(x)，使得f(x i )=g(x i )(i=1,2,...,n)。 ● 按自变量个数划分： 一维插值(interp1) 二维插值(interp2)

多维插值(interp3,interpn) ● 按插值函数划分： 线性插值 多项式插值

样条插值(spline)

1. 一维数据插值(interp1)

根据X,Y 的值，计算函数在X1处的值Y1。

Y1=interp1(X,Y,X1,'method')

● X,Y 是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值。

● X1是一个向量或标量，描述欲插值的点。 ● Y1是一个与X1等长的插值结果。 ● method 是插值方法:

'linear'：线性插值（默认方法） 'nearest'：最近点插值 'cubic'：3次多项式插值 'spline'：3次样条插值

注：X1取值不能超出X 的范围，否则出现“NaN ”错误。 ◆ 3次样条插值函数：Y1=spline(X,Y,X1) 等同于Y1=interp1(X,Y .X1, 'spline')

例6.7（一维插值）计算概率积分 p146

给出概率积分：

2

()x

x f x e dx -=

例6.8（一维插值）离散数据插值p147

某检测参数f 随时间t 的采样结果如表，用数据插值法计算

t=2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57

时的f值。

2 . 二维数据插值(interp2)

Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')

●X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点。

●Z是与参数采样点对应的函数值。

●X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。

●Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。

●method的取值与一维插值函数相同。

●X,Y,Z也可以是矩阵形式。

注：X1,Y1的取值不能超出X,Y的给定范围，否则，给出“NaN”错误。

例6.9（二维插值）计算z=x2+y2 p148

设z=x22，对z函数在[0,1]×[0,2]区域内进行插值。

例6.10（二维插值）3次多项式插值p148

某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点距离(m)，用h表示测量时间(s)，用T表示测得各点的温度(℃)，测量结果如下。

试用3次多项式插值求出在一分钟内每隔10s、钢轨每隔0.5米处的温度。

6.1.3 曲线拟合p150

1. 曲线拟合与最小二乘原理

曲线拟合

构造函数y=g(x)去逼近f(x)，使误差

δi =g(x i )-f(x i )(i=1,2,...,n) 在某种意义上达到最小。 曲线拟合的最小二乘原理 构造m(m ≤n)次多项式

p(x)=a 1x m +a 2x m-1+...+a m x+a m+1

使得

2

1

(())

n

i

i

i p x y =-∑达到最小。

2. 曲线拟合的实现

用polyfit 函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用polyval 函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。

调用格式：

[P,S]=polyfit(X,Y,m)

根据采样点X 和Y ，产生一个m 次多项式P 及其在采样点的误差向量S 。 X,Y 是两个等长的向量。

P 是一个长度为m+1的向量，P 的元素为多项式系数。

例 6.11 曲线拟合 p150

6.1.4 多项式计算 p151

若n 次多项式表示为：

p (x )=a 0x n +a 1x n -1+...+a n -1x +a n

则在MATLAB 中，p (x )表示为向量形式：

[ a 0, a 1, ..., a n -1, a n ]

1. 多项式的四则运算

(1) 多项式的加减运算

加减运算就其所对应的系数向量的加减运算。

若多项式的次数不同，则应把低次的多项式系数不足的高次项用0补足。 (2) 多项式乘法运算 conv(P1,P2)：用于求多项式P1和P2的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。 (3) 多项式除法

[Q,r]=deconv(P1,P2)：用于对多项式P1和P2作除法运算。 Q 返回多项式P1除以P2的商式。 r 返回P1除以P2的余式。 Q 和r 仍是多项式系数向量。 deconv 是conv 的逆函数，即有

P1=conv(P2,Q)+r 。

例6.12 多项式四则运算 p152

设

f (x )=3x 5

-5x 4

+2x 3

-7x 2

+5x +6 g (x )=3x 2+5x -3

① 求f (x )+g (x )、f (x )-g (x )

2. 多项式的导函数

p=polyder(P)：求多项式P 的导函数 p=polyder(P,Q)：求P·Q 的导函数

[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q 的导函数，导函数的分子存入p ，分母存入q 。 参数P ,Q 是多项式的向量表示，结果p,q 也是多项式的向量表示。

例6.13 求有理分式的导数 p152

542109632

3585

()10567100

x x x x f x x x x x x +-+-=+++--

3. 多项式的求值

(1) 代数多项式求值

Y=polyval(P,x)

若x 为一数值，则求多项式在该点的值Y ；

若x 为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值Y 。

例6.14 代数多项式求值 p153

43

Y=polyvalm(P,x)

要求x 为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。

设A 为方阵，P 代表多项式x 3-5x 2+8，那么

polyvalm(P ,A)的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)) polyval(P ,A)的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))

例6.15 多项式求值 p154

已知多项式x 4+8x 3-10，取一个2×2矩阵为自变量分别用polyval 和polyvalm 计算该多项式的值。

4. 多项式求根

n次多项式具有n个根（实根或共轭复根）。

x=roots(P)

P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x。

例6.16 多项式求根p154

43

建立以向量x为其根的多项式，调用格式：

P=poly(x)

多项式的系数赋给向量P，且P(1)=1。

例6.17 多项式求根和建立多项式p154

已知f(x)=3x5+4x3-5x2-7.2x+5

(1) 计算f(x)=0 的全部根。

表数据处理与多项式计算函数和命令p139~155