抽象代数2004试题

抽象代数期终考试试题

2004.05.11

一、 判断题（20分）

( ) 1、设 * 是集合X 上的二元运算，若a ∈ X 是可逆的，则a 是可约的。

( ) 2、任何阶大于1的群没有零元。

( ) 3、任何群都与一个变换群同构。

( ) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。

( ) 5、素数阶群必为循环群。

( ) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。

( ) 7、环的理想构成其子环。

( ) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。

( ) 9、格保序映射必为格同态映射。

( ) 10、设A ? S ，则 < P (A )，? > 是格 < P (S )，? > 的子格。

二、 填空题（10分）

1、设 < G ，? > 为群，a ，b ∈G 且a 的阶为n ，则b －

1 ? a ? b 的阶为 _________。

2、设〈G ，*〉为群且a ∈G 。若k ∈I 且a 的阶为n ，则a k 的阶为______________； 并且 a k = e 当且仅当 ________。

3、域的特征为______________________ ；有限域的阶必为_____________。

4、GF （3）上的二次不可约多项式有___________________。

5、设 D 是 I + 上的整除关系，即对任意的 a ，b ∈I + ，a D b 当且仅当 a | b 。 对任意 a ，b ∈I + ，则 a * b = _________， a ⊕ b = __________。 三、 计算题（40分）

1、试求群 < N 11 —{0}，·11 > 的所有子群。

2、试求群 < N 7 ，+7 > 的所有自同态。

3、设有置换：

试求 P 2 和Q ? P 。

4、试求群 < N 7 —{0}，·7 > 的2阶子群H ，并求 < N 7 —{0}，·7 > 关于H 的商群。

5、给定域 < N 2 ，+2 ，?2 > 上的多项式 a (x ) = x 4 + x 2 + x + 1，b (x ) = x 4 + x 3 + 1， 试判断a (x ) 和 b (x ) 是否为不可约多项式，并说明理由。

??

????=??????=2145312345,3451212345Q P

四、证明题（30分）

1、设〈G，*〉是群，令

C (G) = { x∈G | 若y∈G，则x * y = y * x } （8分）

证明：i) C (G) 是G的子群；

ii) C (G) 是G的不变子群。

2、证明：无限循环群G有且只有两个生成元。（8分）

3、设< L，*，⊕ > 是格，证明：a⊕ (b * c) ≤(a⊕b) * (a⊕c) 。（6分）

4、设〈R，+，·〉是具有幺元1的环，D为R之理想。证明：（8分）

(a)设U = { x | x∈R且x关于·可逆}，则〈U，·〉为群。

(b)设G = {a| a∈U且a－1∈D}，则G是U的不变子群。