【最新版】某些非线性常微分方程的常数变易法毕业论文
本科毕业论文
某些非线性常微分方程的常数变易法
毕业设计（论文）任务书
题目某些非线性常微分方程的常数变易法
1、本论文的目的、意义：本论文的主要目在于通过对常微分方程的深入分析，分别对一阶非线性常微分方程和二阶非线性常微分方程的性质、解法进行系统地分析、比较、归纳、总结，并深入探讨两类方程的解法。最后，利用两类方程的理论知识去分析和解决某些特殊的非线性常微分方程，并给出相关应用的例子。
将常数变易法可以运用到一些物理或者化学一些其他学科的问题解决中，对于其中的那些非线性常微分方程进行求解，使得问题更加简便化。
2、学生应完成的任务
1、通过查阅相关资料，进一步掌握常数变易法的背景，意义及研究现状；
2、掌握有关常数变易法和非线性常微分方程的基础知识；
3、分析并总结两类非线性常微分方程的性质及求解方法；
4、举例说明两类非线性常微分方程的解法；
5、检查论文中的内容是否有错误；
6、做好相关的英文文献翻译工作；
3、论文各部分内容及时间分配：（共15 周）
第一部分参阅相关书籍和利用网上有关资料，掌握常数变易法的背景，意义等基础知识； (2 周)
第二部分探讨，分析并总结一阶非线性常微分方程的性质和解题方法； (2 周)
第三部分探讨，分析并总结二阶非线性常微分方程的性质和解题方法； (3周)
第四部分举例说明两类非线性常微分方程的解法； (3 周)
第五部分检查论文的内容是否有错误； (2 周)
第六部分完成英文翻译工作和论文的修改。(2 周) 评阅及答辩(1周) 备注
指导教师：年月日
审批人：年月日
摘要
常数变易法是求解微分方程的一种特殊方法，利用常数变易法在解决某些方程特解时简便易用。列举了几种常数变易法区别于教材中的一些用法，并比较了此方法在某些方面的优劣。
常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程行之有效的方法。本文从求解一类特殊形式的一阶常微分方程入手,证明了变量分离方程、Bernoulli方程、部分齐次方程以及其它形式的一阶非线性常微分方程可用常数变易法求解,从而将常微分方程中的常数变易法用于更加广泛的地发去。
阅读理解首次积分求得的六个定理以及推论，将六个类型的方程与常数变易法相结合，并对定理运用常数变易法进行证明，求解。
应用变量变换方法，解几类可化为分离变量的二阶非线性微分方程，扩大了变量变换方法的使用范围，提供微分方程的可积类型，给出几个通积分的表达式。
二阶线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。本文利用常数变易法对二阶非线性微分方程'''
++=进行讨论后, 给出了求其通解表达式的
()()(,)
y P x y Q x y f x y
具体方法。
关键词：常微分方程; 常数变易法; 非线性；二阶非线性；可积类型；通解分。
Abstract
Constant variation method is a special method of solving diferential equation．It is simpler to use constant variation method to get some special solutions．Several constant variation methods different from those in textbooks are listed here to find out their advantages and disadvantages in some aspects．
The method of constant variation is an effective way to solve the first order non - homogeneous linear ordinary differential equation. This paper studies the first order ordinary differential equation in a special form, and proves that the equation of variable divided, Bernoulli equation, some non - homogeneous equations and the first order non – linear ordinary differential equation in another form can all be solved with this method, and then popularizes the method of constant variation.
Reading the six obtained by the first integral theorem and corollary, With six types of equations and constant variation, I use the constant variation to prove, to solve theorems.
Solutions to some kinds of second-order differenfial equations by using variable transformation method are given and the scope of applications is expanded．Meanwhile, the integral types of differential equations are provided and the expressions of reduction of integrals to a common denominator are also given．The Second-order Linear Homogeneous Equation is widely used in practical problems. The paper discusses the second-order non-linear homogeneous differential equation“'''
++=”by the constant-variation method, and
y P x y Q x y f x y
()()(,)
presents some specific methods on the expression of the general solution.
Key words：ordinary differential equation; the method of constant variation; non –linear;second—order nonlinear differential equation;variable transformation integral type reduction of integrals to a common denominator
目录
第1章绪论 (1)
1.1引言 (1)
1.2本文的主要研究内容 (4)
第2章一阶非线性常微分方程的常数变易法与举例 (5)
2.1一阶非线性常微分方程的常数变易法 (5)
2.1.1 基本类型Ⅰ (5)
2.1.2 基本类型Ⅱ (5)
2.1.3 基本类型Ⅲ (6)
2.1.4 基本类型Ⅳ (6)
2.1.5 基本类型Ⅴ (6)
2.1.6基本类型ⅤI (7)
2.2 举例 (7)
2.2.1 基本方法Ⅰ (7)
2.2.2 基本方法Ⅱ (8)
2.2.3 基本方法Ⅲ (8)
2.2.4 基本方法IV
(9)
2.2.5 基本方法V (9)
2.2.6 基本方法VI
(10)
2.2.7基本方法VII (10)
2.2.8基本方法VIII (10)
第3章二阶非线性常微分方程的常数变易法与举例 (12)
3.1 二阶非线性常微分方程的常数变易法 (12)
3.1.1 二阶非线性常微分方程组的一般形式与解法 (12)
3.1.2具有几个定理性质的可用常数变易法的方程 (13)
3.2 举例 (13)
结论 (22)
致谢 (23)
参考文献 (24)
部分符号对照表
属于
对任意的
存在
>(<) 大于（小于）
大于或等于（小于或等于）
蕴涵或推出
等价或充分必要
集合的并（集合的交）
积分号
求和符号
维实数空间
求极限
dy/dx y对x求导
第1章 绪论
1.1 引言
常数变易法是常微分方程中解决线性微分方程的主要手段，在教材中都没有详
细的说明，在这里我给出常数变易法是如何一步一步推导出来的。
我们先来看下面的式子：
(1)
对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”。所以我们的思路就是如何将（1）
式的x 和y 分离开来。
起初的一些尝试和启示
先直接分离：
(2)
从中看出y 不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐
次方程”时用过的招数：设.将代入(1)式:
''()()
(1())()()(1())u x u M x ux N x u x u M x x N x du x N x u M x x dx
++=?++=?=-+ 1[()(1())]du N x u M x x dx x
?=-+ (3)
这时u 又不能单独除到左边来，所以还是不行。不过，这里还是给了我们一点
启示：如果某一项的变量分离不出来，那将该项变为零是比较好的方法。因为这样
“变量分离不出”这个矛盾就自然而然的消失了——整个都消失了，那也就不需要
分什么了。比如说，对于（3）式，如果x ＝－1/M(x)，那么那一项就消失了；再比
如说，对于（2）式，如果M(x)＝0，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可
能的，因为x 和M(x)等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我们巧妙
地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事具备了吗？
进一步：变量代换法
我们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果是很简单的。就是这么符合
要求的一个函数。其中u 和v 都是关于x 的函数。这样求y 对应于x 的函数关系就
转变成分别求u 对应于x 的函数关系和v 对应于x 的函数关系的问题。有人可能会
觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是把问题复杂化了，不然,
其实u 和v 都非常有用，看到下面就知道了。
将代换代入（1）式会出现：
(4)
如果现在利用分离变量法来求u 对应于x 的函数关系，那么就是我们刚刚遇到
的没法把u 单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。
怎么变？这是v 的用处就有了。令，解出v 对应x 的函数关系，这本身就是一个可
以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。
(5)
现在v 解出来了，接下来该处理u 了，实际上当v 解出来后u 就十分好处理了。
把（5）式代入（4）式，则这一项便被消掉了。剩下的是
而这也是一个可以分离变量的微分方程。同样可以十分容易地解出来：
()21
1()M x dx u e N x dx C C ??=+? (6) 现在u 和v 都已求出，那么y ＝u ·v 也迎刃而解：
()()211
1[()][]M x dx M x dx y uv e N x dx C C e C -??==+? ()()[()]M x dx M x dx e N x dx C e -??
=+? (这里) (7) 这个方法看上去增加了复杂度，实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程
化成了两个可以直接分离变量的微分方程。这个方法就叫“变量代换法”，即用u ·v
代换了y 。
再进一步：常数变易法
再进一步观察我们可以看出，求v 的微分方程（即）其实就是求当N(x)＝0时
的齐次方程。所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。即解出的解
来。 得：
(8)
注意这里的并非最终答案，从上一步我们知道这其实是v 而已。而最终答案是
u ·v ，v 仅是其中一部分。因此这里的并不是我们要的y ，因此还要继续。
把（8）式和上面提到的（7）式比较一下：
(7)
(8)
（7）式是最终的结论，（8）式是目前我们可以到达的地方。那我们可以这样子
做：把（8）式的那个C 换成u ，再把这个u 解出来，那么问题不就简单了吗？所谓
的“常数变易法”就是这么来的，即把常数C 硬生生地变成了u 。接下来的事情就简
单多了，和前面是一个思路，把代换代入（1）式，由于是一个可以令那个分离不出
变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得。从中解出u ，再带回便可得到最终
答案。
常数变易法在这里并没有显出比变量代换法更好的优势（因为就是变量变换与
常数变易法的正逆推导而已），但在解决高阶线性微分方程时就会方便得多。因此常
数变易法与变量变换法在本质上是一样的，就看我们在什么地方用哪一个方法了。
从上面的一步步推导，可以总结为[4]：
对于一阶线性微分方程：
dy/dx=M （x ）y+N （x ） （1）
若Q （x ）=0，则（1）变为：
dy/dx=M （x ）y （2）
可知（2）为变量分离方程，所以可求得其通解为：
（3）
在（3）中，将常数c 变易为x 的待定函数c （x ）使它满足（1），从而求出c （x ）。
为此，令 （4）
微分之，得到
()()()()()M x dx M x dx dy dc x e c x M x e dx dx
??=+ （5） 将（4），（5）代入（1）中即可得到：
从中可求得c （x ），将c （x ）代入（4）中即可得到方程（1）的通解。
这种将常数变易为待定函数的方法，我们就称之为常数变异法。 一般的高阶常微分方程没有统一，便捷的解法，处理问题的根本解决办法就是降阶，
通过变换把高阶的常微分方程的求解问题变成较低阶的常微分方程来求解。特别的，
对于二阶齐线性方程，如果能够知道它的一个非零特解，则可通过降阶求得与它线
性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次性方程，就需要再运用常
数变易法求出它的一个特解，问题自然轻松地被解决了，因此，对于高阶常微分方
程的求解问题的关键就在于寻找齐线性方程的一个非零特解。
1.2 本文的主要研究内容
首先，通过对常数变易法的背景、概念的进一步理解, 本文系统地分析了两类非
线性常微分方程的各种性质并加以举例以方便理解。在一般的教材中，往往仅限于
对于线性常微分方程的常数变易法，在此基础上，本文深入探讨了关于一阶非线性
常微分方程和二阶非线性常微分方程的常数变易法，将所探讨的结果进行系统地分
析、比较、归纳和总结并给出了每种解法的特点和使用条件。在实际的计算中，根
据各种计算方法的特点和使用条件，合适地选择解法可使计算简化。其次，本文初
步探讨了关于高阶非线性常微分方程的常数变易法问题。结合例题，本文指出在利
用两类非线性常微分方程的解法的必要条件，并分析其中的原因并给出相应的解决
方法。另外，关于两类非线性常微分方程的常数变易法的证明使得解法更加的容易
理解，思路清晰。同时，分析了两类非线性常微分方程之间的联系，即降阶法。最
后，我们可以得出我们做非线性常微分方程的方法可归结为：线性化，可积化，降阶化。希望上述工作能对进一步深入研究常数变易法的运用和广泛应用提供必要的准备。
第2章 一阶非线性常微分方程的常数变易法与举例 本章分两节，第一节着重介绍关于一阶非线性常微分方程的常数变易法，第二节进行举例，以便能够更加了解解题得方法。然后将所探讨的结果进行分析、归纳和总结，并给出每种计算方法的特点和适用条件。
2.1 一阶非线性常微分方程的常数变易法
2.1.1 基本类型Ⅰ
我们知道可以通过常数变异法求解一阶线性常微分方程，而对于一阶非线性常微分方程的求解，还没有很统一，确切的解法，那我们是不是可以将常数变异法从线性常微分方程推广到非线性常微分方程上面呢？这一章我将会对这个问题进行探讨研究。并给出一些例子以用来验证。其中M （x ），N （y ），f （x ，y ）在所考虑的区间上是连续的，且f （x ，y ）0。
一阶非线性常微分方程的一般形式为：
F （x ，y ，dy/dx ）=0 （1）
如果能从（1）中求出dy/dx ，并且dy/dx 可以用下式来表示
dy/dx=M （x ）N （y ）+f （x ，y ） （2）
可以看出（2）式是可分离变量的常微分方程，所以（2）式就可以用常数变异法来求解。
方程dy/dx=M （x ）N （y ）是可分离变量的常微分方程，则我们分离变量可得：dy/N （y ）=M （x ）dx ，两边积分可得出其通解，不妨设其通解为G （y ）=，其中c 为任意实常数。然后我们就可得出（2）的通解为
y= （3）
将（3）代入（2）中可得：
(){}(){}''11()(),(),,()c x c x N G x c x f x G x c x ???--??=????????
这是一个关于未知函数c(x)的一阶常微分方程，如果这个方程是线性的或可分离变量的，那么即可求出未知函数c （x ），将c （x ）代入（3）即可得出（2）的通解。
由上可见，常数变异法可以用来求解非线性常微分方程，但是并不是所有的非线性方程都可以用常数变异法来求解。那么还有有哪些非线性的常微分方程可以用常数变异法来求解呢？下面给出几种。
2.1.2 基本类型II
''()()()()()n f y y f y M x f y N x += （4）
显而易见，方程是可分离变量的常微分方程，其通解为（此为隐函数的形式，不用解出y ）。
设（4）的通解为
（5）
代入（4）中可得：
()()'()()()M x dx n M x dx n c x e c x e N x --??=
这是一个可分离变量的常微分方程，其通解为：
()11(1)()()1()n n M x dx c x n N x e dx --???=-????? （6）
将（6）代入（5）中即可得（4）的通解。
2.1.3 基本类型III
可知这是伯努利方程
的通解为：
设原方程的通解为
代入原方程可得：()()'()()()M x dx n M x dx n c x e c x e N x --?
?= 因其为可分离变量常微分方程，所以可求出c （x ），伯努利方程可用常数变异法来求解。
2.1.4 基本类型IV
的通解为
设原方程的通解为：
代入原方程可得：可知其为可分离变量的常微分方程，可求出c （x ）。因此这种方程可以用常数变异法来求解。
2.1.5 基本类型V
的通解为：
设原方程的通解为
代入原方程可得：
可知其为可分离变量的常微分方程，所以可以用常数变异法来求解。
2.1.5 基本类型VI [12]
若非线性常微分方程的形式为：
假设M （x ），N （x ，y ）在所考虑的区间上连续，N （x ，y ）0。
我们还可以推出下面三个定理：
一,一阶常微分方程可用常数变异法求解的一个充分条件是：，，其中M(x)，N （x ）在所考虑的区间上连续，N （x ，y ）0。
二，一阶常微分方程可用常数变异法求解的一个充分条件是：，其中N （x ，y ）在所考虑的区间上连续，，N （x ，y ）0。
三，一阶常微分方程可用常数变异法求解的一个充分条件是：
1(),(,)()()y M x N x y f x g x x
==，其中在所考虑的区间上连续，N （x ，y ）0。 以上只列举了八种求解方法，当然还有其他的一些方法。对于形如具有上述的形式即可通过各自的方法进行求解，因为并不是所有的非线性常微分方程均可以用常数变异法来求解。若不能通过这八种方法来求解，可以按照一的方法进行求解，先将方程转变为方程（2）的形式，如若可以，即可用常数变异法进行求解，不然则只有另寻它途。
2.2 举例
通过2.1的方法，下面给出从上往下的依次举例，以便更加容易理解掌握上述方法，以使得将一阶非线性常微分方程的求解更加简便化。
2.2.1 基本方法Ⅰ
求解
解：将原方程化成形如（2）的形式
的通解为：
设原方程的通解为：
代入原方程可得：
即，积分得：即
所以原方程的通解即为：
。
2.2.2 基本方法Ⅱ
求方程的通解。
解：原方程可化为'12sin cos cos y y x y x y -?-=
即''12(cos )cos cos y y x y x y -+=-（即为一的形式）
的通解为
设原方程的通解为
代入原方程可得：
即积分得：
即
所以原方程的通解为
2.2.3 基本方法Ⅲ
求解
解：的通解为
设原方程的通解为
代入原方程可得：
即，积分得：即
所以原方程的通解为
2.2.4 基本方法IV
求解
解：的通解为
设原方程的通解为：
代入原方程可得
即积分可得
代入可得：
2.2.5 基本方法V
求解
解：的通解为：
设原方程的通解为
代入原方程可得：
分离变量可得：
积分得：
1()sin ()cos ()c x c x c x x c -+=-+
因为所以将代入上式可得原方程的通解：
。
2.2.6 基本方法VI
求解：
解：方程的通解为：。
令，代入到原方程可得：
2
(
(
2c x c x x = 即：，此为可分离变量常微分方程，解得：
所以原方程的通解为：
。
2.2.7 基本方法VII
求解：，。
解：方程的通解为：
令，代入到原方程可得：
即：，此为可分离变量常微分方程组，解之得：
2()(ln )(ln 0)c x x c x c =++>
2.2.8 基本方法VIII
求解：
解：方程的解为：
令，代入到原方程可得：
即：，此为可分离变量常微分方程，所以可求出：
代入原方程可求出：
。
第3章 二阶非线性常微分方程的常数变易法与举例
3.1 二阶非线性常微分方程的常数变易法
3.1.1 二阶非线性常微分方程的一般形式与解法
二阶非线性常微分方程的一般形式为：
'''()()(,)y P x y Q x y f x y ++=
（1）
必须为非线性常微分方程。
设是方程（1）中对应的方程
（2）
的一个不恒为零的解。
令，则有
''''''''()()2()()()()y u x x u x x u x x ψψψ=++
代人方程即得：
''''''''()()2()()()()()()()()()()()()(,)u x x u x x u x x P x u x x u x x Q x u x x f x y ψψψψψψ+++
??++=??
化简可得：
'''''''()()2()()()()()()()()()()(,)
x u x x P x x u x x P x x Q x x u x f x y ψψψψψψ??+++
????++=??
又'''()()()()()0x P x x Q x x ψψψ++≡
所以上式可变为： ''''()()2()()()()(,)x u x x P x x u x f x y ψψψ??++=??
再令并代入上式可得：
''()2()()()(,)x z x P x x z f x y ψψψ??++=?? （3）
可知（6）为关于z 的一阶非线性常微分方程，可用常数变易法对其进行求解，对其积分可得，再乘以即可得到（4）的通解：
3.1.2 具有几个定理性质的可用常数变易法的方程
具有以下几个定理性质的方程均可以通过常数变异法进行求解[11]：
定理l 若,则二阶非线性微分方程
[][]'''2'''
2''''''''2'''2()()()()2()()()()2()()2()()2()()()()()()()0
f x w y
g x w y y f x w y g x w y y f x w y g x w y y f x w y y f x w y g x w y r x -+-????+-++????--= （1）
的通积分为
212()()()()()f x w y g x w y r x dx C x C =+++? （2）
其中为任意常数。
在定理1中令，则有
推论1 若，则二阶非线性微分方程
[]''''''2''2'''2()()4()2()2()()()()0
f x y
g x y f x y g x y f x y
f x y
g x y r x ??-+-+??+--= 的通积分为
212()()()f x y g x y r x dx C x C =+++?
其中为任意常数。
[11]给出的6个定理以及推论均是由首次积分得出的，下面我用常数变易法的求解方法来证明该方程是如何得出的。
证明:上式可变为
'''''
'''''22
4()2()()2()()2()()()2()()2()()2()()2()()
f x y
g x g x y y y f x y g x f x y g x r x f x f x y y f x y g x f x y g x f x y g x -+-=-------
(a)
在这里设是方程(1)中对应的方程： '''''
'4()2()()02()()2()()f x y g x g x y y y f x y g x f x y g x -+-=-- (b) 的一个不恒为零的解。
令，则有
'''''''''''()()()()
()()2()()()()y u x x u x x y u x x u x x u x x ψψψψψ=+=++
代入方程可得
''''''''''''''''2
()()2()()()()4()2()()()()()()()()2()()2()()()2()(()()()())2()()2()()
()(())2()()
u x x u x x u x x f x y g x g x u x x u x x u x x f x y g x f x y g x r x f x u x x u x x f x y g x f x y g x f x xu x f x y g x ψψψψψψψψ+++
-??+-?
?--=-+----
化简可得： ''''
'''''''''''''4()2()()()2()()()2()()4()2()()()()()()2()()2()()()2()(()()()())2()()2()()
()2()()
f x y
g x x u x x x u x f x y g x f x y g x g x x x x u x f x y g x f x y g x r x f x u x x u x x f x y g x f x y g x f x f x y g x ψψψψψψψψ??-+++??-????-+-??--??=-+----2
(())xu x
又因为是方程中对应的方程：
'''''
'4()2()()02()()2()()f x y g x g x y y y f x y g x f x y g x -+-=-- 的一个不恒为零的解。
所以 '''''
'4()2()()()()()02()()2()()f x y g x g x x x x f x y g x f x y g x ψψψ-+-=-- 代入化简所得的方程可得：
''''
'''''''2
4()2()()()2()()()2()()()2()(()()()())2()()2()()()(())2()()
f x y
g x x u x x x u x f x y g x r x f x u x x u x x f x y g x f x y g x f x xu x f x y g x ψψψψψ??-++??-??
=-+---- 令并代入上式可得：
'''
''''''2
4()2()()2()()2()()()2()(()()()())2()()2()()()(())2()()
f x y
g x x z x x z f x y g x r x f x u x x u x x f x y g x f x y g x f x xu x f x y g x ψψψψψ??-++??-??
=-+---- （c ） 在（c ）中将当做已知函数，对（c ）进行一阶非线性常微分方程的常数变易法求解，即可得出z ，z 为关于的函数，再将代入即可得到，则
即可得到结论。
在3.2举例中的3.2.3给出具体步骤，以下推论均可用此方法退出,就不一一证明了。
定理2 若且，则二阶非线性微分方程
''''''2'2'2''''2()()()()()()()()()2()()()()()()0f x w y w y y f x w y w y y f x w y y f x g x w y w y y g x w y r x +++
??++-=?? （3）
的通积分为
()()2
212()()2()()2()g x g x dx dx f x f x r x dx C w y e e C f x -??+????=+?????? （4） 其中为任意常数。
在定理2中令，则有下面的推论。
推论2 若且，则二阶非线性微分方程
'''2'''2()()()2()()()0f x yy f x y f x g x yy g x y r x ??++++-=??
的通积分为
()()2
212()()2()2()g x g x dx dx f x f x r x dx C y e e C f x -??+????=+????? 其中为任意常数。
定理3 若且，则二阶非线性微分方程
'''2''''''()()()()()()0f x w y y w y y f x w y g y y ????++-=????
（5） 的通积分为
（6）
其中为任意常数。
在定理3中令，则有下面的推论。
推论3 若且，则二阶非线性微分方程
'''''()()()0f x y f x g y y ??+-=??
的通积分为