2013届高一数学周练(八)

2013届高一年级数学周末练习卷（八）（期中考试模拟）

班级： 姓名： 学号：

一、选择题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分.每小题的四个选项中，只有一

个选项正确）

1、下列关于集合的说法中，正确的是（ ） A 、绝对值很小的数的全体形成一个集合； B 、方程x(x-1)2

=0的解集是{1,0,1}； C 、集合{1,a,b,c}和集合{c,b,a,1}相等； D 、空集是任何集合的真子集。

2、如图，阴影部分表示的集合是（ ） A 、B ∩[?U (A ∪C)]

B 、(A ∪B)∪(B ∪C)

C 、(A ∪C) ∩(?U B)

D 、[?U (A∩C)]∪B

3、下列函数中，哪个与函数(0)y x x =≥是同一个函数（ ） A 、2

)(x y =

B 、x

x y 2

=

C 、33x y =

D 、2x y =

4

、函数2()lg(31)f x x ++的定义域是（ ）

A 、1(,)3-+∞

B 、1(,1)3

-

C 、11(,)33

-

D 、1(,)3

-∞-

5、若函数f(x)=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下：

A 、1.2

B 、1.3

C 、1.4

D 、1.5

6、函数)1()(1

>=-a a x f x 的大致图象是（ ）

A

B C D

7、函数())3(().

1(log ),1(16)(81=???>≤=-f f x x x x f x 则 ）

A ．4

B ．4

1

C ．2

D ．

2

1 8、在x y )21(=，2log y x =，2

y x =，2

3y x =四个函数中，当1201x x <<<时，

使)2

(21x x f +＞2)

()(21x f x f +恒成立的函数个数是（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分.）

9、已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B ?A ，则实数m ＝ ☆ 。

10、当a ＞0且a ≠1时，函数2()3x f x a -=- 必过定点 ☆ 。 11、三个数5log ,4.0,54.054.0按从小到大的顺序排成一排是 ☆ 。 12、函数)22lg(2+-=ax ax y 的定义域为R ，则a 的取值范围是 ☆ 。 13、函数f(x)对于任意实数x 满足条件()()

1

2f x f x +=

，若f(1)=-5，则f(f(5))= ☆ 。 14、深圳市居民用水收费规定如下：每月用水量在22吨以下（含22吨）为2元/吨，22~30吨（含30吨）为3元/吨；30吨以上为4元/吨；排污费均为0.5元/吨。某居民某月缴水费92元（含排污费），则该居民这个月实际用水 ☆ 吨。

三、解答题（共六题，满分44分）

15、（本题满分9分）已知集合{}17A x x =≤<，{}210B x x =<<，{}

C x x a =<，全集为实数集R 。（Ⅰ）求A B ， ()R C A B ； （Ⅱ）如果A C ≠? ，求a 的取值范围。 16、（本题满分8分，其中第1小题4分，第2小题4分） （Ⅰ）已知a =2lg ，b =3lg ，用b a ,表示8.1lg ； （Ⅱ）已知0x >，22

12

1=+-

x

x ，求3

1

221++-+--x x x x 的值。

17、（本题满分9分）已知函数1

()21

x

f x a =-

+。 （Ⅰ）用函数单调性的定义证明：不论a 为何实数，()f x 总是R 上的增函数； （Ⅱ）确定a 的值, 使()f x 为奇函数；

（Ⅲ）当()f x 为奇函数时, 求()f x 的值域。

18、（本题满分9分）求函数2()21f x x ax =--在[0,2]x ∈时的最小值。

19、（本题满分9分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.

（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

（Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的表达式； （Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）

四、附加题（本大题共2小题，共20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20、（本题满分10分，其中第1小题5分，第2小题5分） 设定义域为R 的函数2

1,0,

()(1),0x x f x x x ?+≤=?

->?

。 （Ⅰ）在平面直角坐标系内作出该函数的图像；

（Ⅱ）试找出一组b 和c 的值，使得关于x 的方程

2()()0f x b f x c +?+=有7个不同的实根.请说明你的理由。

21．（本题满分10分，其中第1小题3分，第2小题4分,第2小题3分） 设函数()y f x =是定义在(0,)+∞上的函数，并且满足下面三个条件：

①对任意正数x y 、，都有)()()(y f x f xy f +=；②当x >1时，)(x f <0；③1)3(-=f 。

（Ⅰ）求)9

1()1(f f 、的值；

（Ⅱ）如果不等式2)2()(<-+x f x f 成立，求x 的取值范围；

（Ⅲ）如果存在正数k ，使不等式()(2)2f kx f x +->恒成立，求正数k 的取值范围。

2013届高一年级数学周末练习卷（八）（期中考试模拟）

【答案及评分标准】

一、选择题：本大题每小题4分，满分32分． (1) C (2)A (3)A (4)B (5) C (6)D (7)D (8)C 二、填空题：本大题每小题4分，满分24分．

9．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B ?A ，则实数m ＝ 1 ． 10. 当a ＞0且a ≠1时，函数2()3x f x a -=- 必过定点(2,2)-.

11. 三个数5log ,4.0,54.054.0按从小到大的顺序排成一排是 50.40.4log 50.45<<. 12. 函数)22lg(2+-=ax ax y 的定义域为R ，则a 的取值范围是[)0,2。 13.函数()f x 对于任意实数

x 满足条件()()

1

2f x f x +=

，若()15,f =-则()()5f f =1

5

-。

14. 深圳市居民用水收费规定如下:每月用水量在22吨以下(含22吨)为2元/吨,22~30

吨(含30吨)为3元/吨;30吨以上为4元/吨;排污费均为0.5元/吨.某居民某月缴水费92元(含排污费),则该居民这个月实际用水 32 吨. .

三、解答题：本大题共4小题，共36分. 15．（本题满分9分）

已知集合{}

17A x x =≤<，{}210B x x =<<，{}

C x x a =<，全集为实数集R . （Ⅰ）求A B ， ()R C A B ； （Ⅱ）如果A C ≠? ，求a 的取值范围。 解：（Ⅰ）A ∪B={x|1≤x<10}…………………………………………（3分）

(C R A)∩B={x|x<1或x ≥7}∩{x|21时，满足A ∩C ≠φ…………………………………………（9分） 16．（本题满分8分，其中第1小题4分，第2小题4分） （Ⅰ） 已知a =2lg ，b =3lg ，用b a ,表示8.1lg ； 解：)19lg 2(lg 21

)10lg 18(lg 211018lg 218.1lg -+=-==

………………2分 )13lg 22(lg 21-+==)12(2

1

-+b a ………………4分 （Ⅱ） 已知0x >， 22

1

21=+-x x ，求3

12

21++-+--x x x x 的值. 解：∵0x >，

22

12

1=

+-

x

x ，∴4)(2

212

1

=+-

x

x ，

则21=+-x x . …………2分

又4)(21=+-x x ， ∴222=+-x x …………3分

∴ 5

1

32123122

1=+-=++-+--x x x x …………4分 17．（本题满分9分）已知函数1

()21

x f x a =-+.

（Ⅰ）用函数单调性的定义证明：不论a 为何实数，()f x 总是R 上的增函数； （Ⅱ）确定a 的值, 使()f x 为奇函数； （Ⅲ）当()f x 为奇函数时, 求()f x 的值域.

解: （Ⅰ） ()f x 的定义域为R, 设12x x <,

则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=12

1222(12)(12)

x x x x -++,…………2分 12x x < , 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<

即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. …………3分

（Ⅱ） ()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即11

2121

x x a a --=-+++,………4分

解得: 1.2a =

11

().221x f x ∴=-+…………6分 法二：1

(0)02f a ==由求得

（Ⅲ）由(2)知11()221x f x =-+, 211x

+> ,10121x

∴<<+,…………7分 111

10,()2122

x

f x ∴-<-<∴-<<+ 所以()f x 的值域为11

(,).22

-…………9分

18. （本题满分9分）求函数2()21f x x ax =--在[0,2]x ∈时的最小值.

解: 222()21()1f x x ax x a a =--=---

()f x ∴图象的对称轴为x a =

（1） 当0a <时，()f x 在[0,2]上为增函数…………2分 m i n ()(0)

1f x f ∴==-…………3分 （2）当02a ≤≤时， 2min ()()1f x f a a ==--…………6分 （3）当2a >时，()f x 在[0,2]上为减函数…………7分 m i n ()(2)34f x f a ∴==- 综上得，2min

1,(0)

()1,(02)34,(2)x f x a x a x -

=--≤≤??->?

…………9分 19. （本题满分9分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.

（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

（Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的表达式； （Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，

利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）

解：（Ⅰ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则

55002

.051

601000=-+

=x ， 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.…………3分

（Ⅱ）当时，当时，55010060100

0≤<=≤

62)100(02.060x

x P -=--=

当,51550=≥P x 时，…………4分

所以60,(0100)()62,(100550)().5051,(550)x x P f x x x N x <≤??

?==-<<∈?

?≥??…………6分

（Ⅲ）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则 220,(0100)(40)22,(100500) ().5011,(100500)

x x x L P x x x x N x <≤??

?

=-=-<≤∈??

<≤??

当x =500时，L=6000； 当x=1000时，L=11000.

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；…………7分 如果订购1000个，利润是11000元. …………8分 答：（Ⅰ）当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.

（Ⅱ）?????

?

?≥∈<<-≤<=)

550(51).)(550100(5062)1000(60)(x N x x x x x f P

（Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；

如果订购1000个，利润是11000元. …………9分

第Ⅲ卷(附加题 共20分)

四、附加题（本大题共2小题，共20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20.（本题满分10分，其中第1小题5分，第2小题5分）

设定义域为R 的函数2

1,0,()(1),0x x f x x x ?+≤=?->?

. （Ⅰ） 在平面直角坐标系内作出该函数的图像；

（Ⅱ） 试找出一组b 和c 的值，使得关于x 的方程2

()()0f x b f x c +?+=有7个不同

的实根.请说明你的理由.

解：（Ⅰ）见下图. …………5分

（Ⅱ）(开放题)如2

1

,23=-

=c b 等. 设()0,2=++=c bt t t x f ,由图像可得以上有关于t 的方程必须有一解为1，另一解在区间()1,0中，才

会使得关于x 的方程2()()0f x b f x c +?+=有7个解. …………7分

其中,()1=x f 有3个解， …………8分

()()0,1f x a =∈有四个解. …………9分

所以可令21,121==t t ，即可得方程02

1232

=+-x x . …………10分

注：凡,b c 的取值满足(2,1),(0,1)10b c b c ∈--∈++=且都是正确答案.

21．（本题满分10分，其中第1小题3分，第2小题4分,第2小题3分） 设函数()y f x =是定义在(0,)+∞上的函数，并且满足下面三个条件：

①对任意正数x y 、，都有)()()(y f x f xy f +=；②当x >1时，)(x f <0；③1)3(-=f .

（Ⅰ）求)9

1

()1(f f 、的值； （Ⅱ）如果不等式2)2()(<-+x f x f 成立，求x 的取值范围；

（Ⅲ）如果存在正数k ，使不等式()(2)2f kx f x +->恒成立，求正数k 的取值范围.

解：（Ⅰ）令x =y=1易得0)1(=f . …………1分

而211)3()3()9(-=--=+=f f f ， …………2分

且.2)9

1

(0)1()91()9(===+f f f f ，得 …………3分

（Ⅱ）法一：先证明函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数

设120x x >>，则

11221,x x

x x >故f()<0， 11121222

()()()()()x x

f x f x f x f f x x x ∴==+<

故函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数 …………5分

由条件①及（Ⅰ）的结果得：,20)9

1()]2([<<<-x f x x f 其中

又由函数)(x f 在R 上的递减性，可得：?????

<<>-2

0,91)2(x x x …………6分 由此解得x 的范围是3

2

21,3221(+-

） …………7分 法二：(9)2f =- ，由条件①可得

[(2)](9)002,f x x f x -+<<<其中

即[9(2)]002,f x x x -<<<其中…………5分 再由条件②：当x >1时，)(x f <0可得

02,9(2)1

x x x <?…………6分 由此解得x 的范围是3

2

21,3221(+

-

） …………7分 （Ⅲ）同上，不等式1

()(2)2(2)029

f kx f x kx x x +->-<

<<可化为且， 可得 1

9(2)

k x x <-， …………8分

此不等式恒成立等价于[]min

1

9(2)k x x <-

∵max [(2)]1x x -=，

…………9分 1

9

k 故0＜＜即为所求范围. …………10分