向量的正交分解与向量的直角坐标运算

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算 NO.16

教学内容：向量的正交分解与向量的直角坐标运算知识点：①向量的正交分解 ②向量的直角坐标运算课标要求：掌握向量的正交分解与向量的坐标表示，会用坐标表示向量的加、减、数乘运算。教学建议：注重学生对向量正交分解的教学题型一（向量的坐标表示）

例1、在直角坐标系xoy 中，向量a ，b ，c

的方向和长度如图所示，分布求它们的坐标。

（2a = ，3b = ，4c =

）

（变式）

变式：①在直角坐标系xoy 中，a ，b

如图所示，分布求它们的坐标。(4,3a b == )

②已知向量r 的模和它相对于x 轴正方向的转角θ，求向量r

的坐标： ①16r = ，60θ=

②26,45r θ== ③200,65r θ== 80,120r θ== ④ 200,65r θ==

例2、已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，求向量AB

的坐标。

例3、在直角坐标系xoy 中，已知点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，求线段AB 中点的坐标。

例4、在直角坐标系xoy 中，已知点)(3,2A ,点)(2,4B -，求向量OA OB +

的方向和长度。

例5、已知ABCD 的三个顶点(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ,求顶点D 的坐标。例6、已知(2,1)A -，(1,3)B ，求线段AB 中点M 和三等分点P,Q 的坐标。

变式：1、已知向量a ，b 的坐标，求a b + ，a b - ，32a b -

（1）(2,4)a =- (5,2)b = （2）(4,3)a = ， (3,8)b =-

2、已知A, B 两点的坐标，求 ,OA

(6,9)B OB 的坐标以及它们的长度和方向。

（1）(3,5)A ，(6,9)B (2) (3,4)A -, (6,3)B （3）(0,3)A , (0,5)B

(4) (3,6)A -, (3,5)xa yb +=-

3、①已知ABCD 的三个顶点(1,2)A --, (3,1)B , (0,2)C , 求顶点D 的坐标。 ②已知ABCD 的三个顶点(1,3)A --，(3,1)B ，(5,2)C ，求顶点D 的坐标和

它的中心的坐标。

4、①已知(1,4),A (3,2),B 32

AP AB =

, 求点P 的坐标。

②已知(2,5)A -，(4,2)B ，点P 在AB

上，且AP:PB=1:2, 求点P 的坐标。 ③已知(2,1)A ,(2,3)B -，如果点P 和点M 分别满足 3AP AB = ,3PM AB =-

求点P 和点M 的坐标。

④已知点(1,1)A -, (4,5)B -及3BC BA = , 3AD AB = , 12

AE AB =

, 求点C,

D, E 的坐标。

5、已知(3,2)A --, (3,4)B ，求线段AB 的中点和三等分点坐标。

6、计算下列各式

（1）(1,3)(2,2)(5,8)-+-+ （2）(4,7)(3,5)(2,4)---

(3) 2(1,5)3(1,2)7(0,3)+---- (4)

(2,4)(3,6)23

---- 7、①已知(1,2)a = ，(2,3)b = ，实数 ,x y 满足(3,4)xa yb +=

，求,x y

②已知(6,4)a =- ，(2,6)--，并且(3,5)xa yb +=-

，求,x y 。

8、（1）已知点(2,3),A - (3,5)B ，分别求点A, B 关于点(1,1)M 的中心对称点,A B ''

的坐标，并说明,A B AB ''=-

(2)已知点11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别求A, B 关于点00(,)M x y 的中心对称点

,A B ''的坐标。

9、已知点(5,1)A , (1,3)B 及113OA OA = , 113

OB OB =

, 求11A B 的坐标和长度。

10、已知点11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y 且(1)AP PB λλ=≠-

求证: 121x x x λλ+=

+ , 12

1y y y λλ

+=+

11、若向量(1,1)a = ，(1,1)b =- ， (1,2)c =-

，则c = （）

A 、1322a b -+

B 、1322a b -

C 、3122a b -

D 、3122

a b -+

12、设向量(1,3)a =- ，(2,4)b =- ，(1,2)c =--

，若表示向量4a ，42b c - ， 2()a c -

，d 的有向线段首尾相接能够成四边形，则向量d 为（）

A 、(2,6)

B 、(2,6)-

C 、(2,6)-

D 、(2,6)--

13、已知向量集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈

{|(2,2)(4,5),}N a a R μμ==--+∈

, 则M N ?=

14、已知(1,2)A -, (2,1)B , (3,2)C 和(2,3)D -, 试以AB , AC

为一组基底表示

AD BD CD ++

15、已知(0,0),O (1,2),A (4,5),B OP OA t AB =+ 00,a b

(1) t 为何值时，P 在x 轴上？P 在第二象限？

（2）四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出t ；若不能，说明理由。

16、已知(1,1)a = ，(4,5)b =- ，分别求,a b

的单位向量00,a b 。

高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题

高中数学-空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系．类型举例如下：（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，．设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ，则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ．（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，

空间向量的坐标运算练习

空间向量的坐标运算练习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

空间向量的坐标运算——1 1、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点答：a 的__________________________； b 的________________________________ 2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________ 4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是 ___________; 在yoz 面上的射影坐标是___________ 5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________ 6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若 AB 5 2OC =，则C 点的坐标是______________ 7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________ 8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0， 2) A ：2 D 3C 4B 6ππππ ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标： ______________= ______________=______________=A A'

(完整版)平面向量直角坐标运算习题.doc

向量的直角坐标运算练习题 1.已知 a=(4,5),b=(-2,2),下列运算错误的是( ) A.a+b=(2,7) B.a-b=(6,3) C.3a=(12,15) D.-2b=(4,4) 2. 已知向量 a=(x,2),b=(5,-4),若a∥b,则x=( ) 3. 已知向量 a=(1,2),b=(4,y), 若 a⊥b, 则 y= ( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 4. 已知向量 a=(-1,3),b=(1,2), 则 = ( ) 5. 已知三点 A(0,1),B(2,0),C(3,7),则( ) 6. 已知两点 A(x,-2),B(-3,y), =(2,-1), 则( ) A.x=5,y=1 B.x=-5,y=-3 C.x=5,y=3 D.x=-3,y=-5 7. 设向量 a=(2,-4),b=(-1,2), 且 a=λb, 则λ= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 8. 设向量 a=(3,-4), 向量 e 是与向量 a 同方向的单位向量 , 则 e= ( ) A.(4,-3) B.(1,-1) C. D. 9. 设向量 a=(1,0),b=, 则下列结论中正确的是( ) A.|a|=|b| B.a· b= C.a∥b D.a-b 与 b 垂直 10. 若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b )·c=30, 则 x 等于 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 11. 已知 a=(-4,2),b=(5,1),求a+2b=,a-3b= . 1

12. 若 a=(2,-4),b=(3,5), 则 a· b= ,(a+3b) ·(b-a)=. 13. 已知点 A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 求证 : 14. 已知 a=(-2,5),b=(-1,7),实数x,y满足xa+yb=(-1,2),求x、y. 2

空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)

空间向量的坐标运算（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 3.若向量，，则向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 4.已知向量，，则=( ) A. B. C. D. 答案：C

解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组

基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( ) A. B.

C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

《空间向量运算的坐标表示》说课稿

《空间向量运算的坐标表示》——说课稿各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍：一、教材分析（一）地位和作用本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。（二）目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。（三）重难点的确定及分析本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所

《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计

《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计杨华燕大附中

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计一、教学任务及对象 1、教学内容分析《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。 2、教学对象分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下： 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。三、重、难点分析重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；四、教学策略为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略： 1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．

平面向量的基本定理及坐标运算

平面向量的基本定理及坐标运算【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】一、平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无

关，只与其相对位置有关。三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。

3.1.4空间向量的直角坐标运算【 2014年】

3.1.4空间向量的直角坐标运算（课前预习案）班级：___ 姓名：______ 一、新知导学 1、空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，(,,)123b b b b =，则 a b += ， a b -= ， a λ= ， a b ?= ， //a b ? a b ⊥? ．（2）若(,,)111A x y z ，222(,,)B x y z ，则AB = ．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的______的坐标减去_________的坐标 2、模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则||a a a = ?= ，||b b b =?= ． 3、夹角公式：2cos ||||a b a b a b a ??== ?+ 4、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2 ||(AB AB x ==，或,A B d =

;,,i j k ??，求下列向量的坐标：）346a i j k =+- （）2 323 b i j k =--+ 若(2,1,3),(5,3,2)a b =-=-，则a +b =____________,32a b -=___________, a b ?=_____，(2)(3)a b a b +?-=______________1）(0,0,4),(0,0,7) （2）（（3，4，0），（0，0，6）（2）（-2，1，，-5，7）已知(1,1,1),(1,0,1)a b =--=-，则______,a =,a b <>=____________3.1.4 空间向量的直角坐标运算（课堂探究案）一、空间向量的直角坐标向量(,,a a a a =二、向量的坐标运算已知(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)a b c ===，,2p a b q a b c =-=+-，求： ,p q ，p q ?。

空间向量的基本运算

第六节空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有和的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝。 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作

高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案新人教A版选修2-1

3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标 1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。重、难点 1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2．坐标判断两个空间向量平行。教学过程 1．情景创设：平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到 OA =xi y j zk ++。因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则

a + b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a － b ＝（112233,,a b a b a b ---）， λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。空间向量平行的坐标表示为 a ∥ b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ?===∈R 。例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。例3：求点A （2，－3，－1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点。练习：见学案小结：作业：见作业纸

人教版高中数学B版必修4练习向量的正交分解与向量坐标运算

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算一、基础过关 1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3 2 b 等于 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2) 2．已知a －1 2 b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于 ( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2) C ．(－2,2) D ．(2，－2) 3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为 ( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,2 4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12 MN → ，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－8,1) B.????1，32 C.? ???－1，－3 2 D ．(8，－1) 5．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC → 的坐标是________． 6．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD → ，则x ＋y ＝________. 7．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d . 8．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p . 二、能力提升 9．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD → 等于 ( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)

空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算第一课时空间直角坐标系教学目标：㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算教学难点：向量坐标的确定教学方法：讨论法．教具准备：多媒体投影．教学过程：复习回顾空间向量基本定理探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向

向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图）例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若

专题3-空间向量的正交分解与坐标表示

23,,e e 为有公共起点O 的三个两两

点O 重合，得到向量OA =a ．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{,,}x y z ，使得 =a __________．我们把x ，y ，z 称作向量a 在单位正交基底123,,e e e 下的坐标，记作=a __________．注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响． 5．单位正交基底之间的数量积运算（1）因为单位正交基底123,,e e e 互相垂直，所以121323?=?=?=e e e e e e __________．（2）因为123,,e e e 为单位向量，所以1122331?=?=?=e e e e e e ． 6．空间向量的坐标运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到．设123(,,)a a a =a ，123(,,)b b b =b ，则（1）112233(,,)a b a b a b +=+++a b ， 112233(,,)a b a b a b -=---a b ， 123(,,)a a a λλλλ=a ， 112233a b a b a b ?=++a b ；（2）112233,,a b a b a b λλλλ?=?===∥a b a b ， 11223300a b a b a b ??=?++=⊥a b a b ， =?=|a |a a __________， 112233 22222 2 123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++= ++++<>a b ；（3）在空间直角坐标系中，已知点111()A x y z ,,，222()B x y z ,,，则A ，B 两点间的距离 ||d AB == 222121212()()()x x y y z z -+-+-．注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系．

第28讲-向量的分解与向量的坐标运算(讲义版)

第28讲-向量的分解与向量的坐标运算一、考情分析 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 二、知识梳理 1.平面向量的基本定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2. 其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}.a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [微点提醒] 1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 三、经典例题

向量的直角坐标运算练习

练习一选择题： 1.已知＝(3，－1)，＝(－1，2)，则－3－2的坐标是( ). (A)(7，1) (B)(－7，－1) (C)(－7，1) (D)(7，－1) 2.已知(－5，3)、(1，4)、则的坐标是( ). (A)(－4，7) (B)(6，－1) (C)(6，1) (D)(－6，－1) 3.已知(－3，4)、(6，9)，则的坐标是( ). (A)(9，1) (B)(－9，－5) (C)(3，13) (D)(－27，24) 4.已知点(，－2)与点(0，－14)的距离等于13，则为( ). (A)5 (B) －5 (C)5或－5 (D)0 5.已知(－3，5)，(7，－4)，则线段中点坐标是( ). (A) (B) (C)(4，1) (D)(－4，1) 6.将(3，4)按向量＝(1，2)平移，得到对应点的坐标是( ). (A)(4，6) (B)(2，2) (C)(4，2) (D)(2，6) 7.线段的中点是(－1，2)，点的坐标是(2，5)，那么点的坐标是( ). (A)(0，1) (B)(－4，－1) (C)(4，1) (D)(－4，1) 8.一个向量将点(2，－1)平移到(－2，1)，那么它将点(－2，1)平移到( ). (A)(2，－1) (B)(－2，1) (C)(6，－3) (D)(－6，3) 填空题： 9.已知.的坐标分别为(2，4)和(－2，1)，则的坐标为______. 10.已知(6，2).(－2，4)，则||＝______.

11.已知点(－8，3).(5，－3)，则： (1)点关于直线＝对称点的坐标为______； (2)点关于坐标原点对称点的坐标是______； (3)点关于点的中心对称点的坐标是______. 12.在平移变换下，点(4，－2)，变为点(3，0)，则平移向量是______. 解答题： 13.已知点(－2，－3)、(1，6)，并且、是线段的三等分点，求点和的坐标. 14.已知：(2，－3)、(－1，－1)、(－1，－3)求证：△是直角三角形. 15.把函数的图象平移向量＝(－2，1)到，求对应的函数表达式. 提示和解答： 1.B . 2.C. 3.B. 4.C. 5.A. 6.A. 7.B. 8.D. 9.(－4, －3) . 10.. 11.(1)(3, －8)；(2)( －5,3)；(3)(18, －9). 12.(－1,2) . 13.(－1,0)、(0,3). 14.∵ . ∴△为直角三角形 15.. 练习二

《向量的分解和向量的坐标运算》习题

《向量的正交分解和向量的坐标运算》习题一、选择题 1．(08·广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF → ＝( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋1 4 b D.13a ＋23 b 2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD → ＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 3．(08·湖南)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA → ，AF → ＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC → ( ) A ．反向平行 B ．同向平行 C ．互相垂直 D ．既不平行也不垂直 4．在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AM →＝4MC →，P 为AD 的中点，则MP → ＝( ) A.45a ＋3 10 b B.45a ＋1310 b 5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2 ＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D.6或－ 6 6．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC → ，则r ＋s 的值是( ) A.2 3 B.43 C ．－3 D ．0 7．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )

高考试题分类考点空间直角坐标系空间向量及其运算

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考点37 空间直角坐标系、空间向量及其运算一、解答题 1.（2012·北京高考理科·Ｔ16）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图 2. （1）求证：A 1C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由. 【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系，建系，利用向量法求解. 【解析】（1）//,,DE BC AC BC DE AC ⊥∴⊥Q ，1,DE A D DE CD ∴⊥⊥， 111 ,,A D CD D DE ACD DE AC =∴⊥∴⊥Q I 面又11,,AC CD CD DE D AC BCDE ⊥=∴⊥Q I 面. （2）由（1）可知，1,,CB CD AC 两两互相垂直，分别以它们为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,23)A ,(0,1,3),(0,1,3),(1,2,0),M CM BE ==-u u u u r u u u r 1(3,0,23)A B =-u u u r ，设平面1A BE 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，由 1111111203230n BE x y n A B x z ??=-+=???=-=??u r u u u r u r u u u r ，令11x =，得113(1,,)22 n =u r ， A B C D E C B E D A M 图图

空间向量及其运算练习题

空间向量及其运算练习题一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为（）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图

向量的分解与向量的坐标运算

§2.2向量的分解与向量的坐标运算第一课时平面向量基本定理一、自主学习 1、平面向量基本定理（1）定理：如果21e e 和是一个平面内的两个的向量，那么该平面内的 a ，存在唯一的 a 1, a 2，使a = . （2）基底与向量的分解把向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 },{21e e 。2211e a e a +叫做向量a 关于基底},{21e e 的分解式。 2、直线的向量参数方程式（1）向量的参数方程已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点（如上图所示），则对直线l 上一点P ，一定存在惟一的一个实数t 与之对应，向量等式= ，反之，对每一个数值，在直线l 上都有的一个点P 与对之对应，向量等于OP = + 叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称。（2）线段中点的向量表达式在向量等式t t +-=)1(中，若t= ，则点P 是AB 的中点，且= 。这是线段AB 的中点的向量表达式。二、典例解析中，M 、N 分别是边DC 、BC 的中点。（1）求证：MN BD 21；（2）设b y a x MN b AD a AB +===且,，求x, y 的值。三、小结四、课后作业 1、下列三种说法： ①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向的基底； ②一个平面内有无数对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量。其中正确的是（） ∥

A 、①② B 、②③ C 、①③ D 、①②③ 2、已知b n a m c +=，要使c b a ,,的终点在一条直线上（设c b a ,,有公共起点）， ),(,R n m n m ∈需满足的条件是（） A 、1-=+n m B 、0=+n m C 、1=-n m D 、1=+n m 3、OC OB OA ,,的终点A ，B ，C 在一条直线上，且, 3CB AC -=设 q OB p OA ==,，r =，则以下等式成立的是（） A 、q p r 2 321+-= B 、q p r 2+-= C 、q p r 2123-= D 、p q r 2+-= 4、设)(3,82),5(2 2b a b a b a -=+-=+=，则共线的三点是（） A 、A ，B ，C B 、B ，C ，D C 、A ，B ，D D 、A ，C ，D 5、在△ABC 中，BC EF //,5 1=交AC 于F 点，设b AC a AB ==,，用b a ,表示向量BF 为。 6、设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使31,31,31===，若b a ==,，试用b a ,将,,表示出来。 §2.2向量的分解与向量的坐标运算第二课时向量的正交分解与向量的直角坐标运算一、自主学习 1、（1）如果两个向量的互相垂直，则称这两个向量互相垂直。即向量垂直就是它们所在的直线互相垂直。（2）如果平面向量基底的两个基向量互相，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做。（3）在直解坐标系内，分别取与x 轴和y 轴方向的单位向量21,e e ，对任一向量，存在唯一的有序实数对（a 1, a 2），使得2211e a e a a += ，就