特殊三角函数值的计算
特殊三角函数值的计算一．选择题（共10小题）
1．2cos60°=（）
A．1 B ．C ．D ．
2．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA=1，
sinB=，你认为△ABC最确切的判断是（）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
3．tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．=（）
A ．
B ．
C ．D．1
5．cos60°+tan45°的值等于（）
A ．
B ．
C ．D．1
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则sinB的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么∠B的度数为（）
A．60°B．45°C．30°D．30°或60°
8．在△ABC中，若|sinA ﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°
9．如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（）
A ．
B ．
C ．D．3
二．填空题（共10小题）
11．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=．
12．在△ABC中，若|sinA ﹣|+（cosB
﹣）2=0，则∠C的度数是．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=．
14．计算：2sin245°﹣tan45°=．
15．计算：3tan30°+sin45°=．
16．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于度．
17．已知α为锐角，且满足tan（α+10°）=1，则α为度．18．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．
19．已知：tanx=2，则=．
20．若α为锐角，且sinα+cosα=，则sinα?cosα=．
三．解答题（共15小题）
21．计算.2cos60°+4sin60°?tan30°﹣cos245°
22．计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣|．23．计算：sin30°﹣cos45°+tan260°．
24．计算：﹣2tan45°﹣cos30°+4sin30°．25．求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°26．计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．27．计算：sin30°﹣2cos230°+（﹣tan45°）2018．28．计算：sin45°．
29．计算：tan45°﹣（sin60°）2﹣+2cos30°．
30．计算：
（1）tan60°﹣；
（2）6tan230°﹣sin 60°﹣2sin 45°
31．若规定：sin（α+β）=sinα?cosβ+cosα?sinβ，试确定sin75°+sin90°的值．
35．已知α是锐角，cos（a﹣15°）=，求﹣|cosa﹣tan|的值．
32．如图，已知△ABC中，∠C=90°，且sinA=，BC=1.5，求AC．
33．已知α为锐角，sin（α+15°）=，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．
34．设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角三角函数的两条基本性质：①
tanθ=；②cos2θ+sin2θ=1，利用这些性质解答本题．已知cosθ+sinθ=，求值：
（1）tanθ+；
（2）||．
特殊三角函数值的计算
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．A；2．B；3．D；4．D；5．A；6．D；7．C；8．C；9．B；10．A；
二．填空题（共10小题）
11．；12．90°；13．；14．0；15．+；16．70；17．20；18．；19．；20．；
三．解答题（共15小题）
21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；31．；32．；33．；34．；35．；
三角函数计算公式大全
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三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或t g） 余切（cot或ct g） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1]． 函数关系 倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②． 平方关系：①；②；③．
诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值 (第3课时) 复习引入 教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，?利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值． 探究新知 （一）特殊值的三角函数 学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结． 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：
教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2， 2， 分子按角度增加分别为．对于正切，60?度的正切 ，即是下 一个角的正切值． 要求学生记住上述特殊角的三角函数值． 教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）． （二）特殊角三角函数的应用 1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45?? -tan45°． 教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书． 解：（1）cos 260°+sin 260°=（12 ）2+2=1 （2）cos 45sin 45?? -tan45° 2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意： （1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90， ，，求∠A 的度数． （2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB a ．
教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数． 解：（1）在课本图28．1-9（1）中， ∵sinA=3 6 BC AB = 2， ∴∠A=45°． （2）在课本图28．1-9（2）中， ∵tana=3 AO OB OB =3 ∴a=60°． 教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则 sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB． 随堂练习 学生做课本第80页练习第1、2题． 课时总结 1、学生要牢记下表： 30 ° 45 ° 60 ° sinα1 2 2 2 3 2
锐角三角函数--特殊角的函数值
25.2锐角三角函数（2） 教学目标 ：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点： 进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。 教学准备：一副三角尺、 多媒体演示。 教学过程： 一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ， 所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a
九年级下册《锐角三角函数的计算》教案
九年级下册《锐角三角函数的计算》教案 九年级下册《锐角三角函数的计算》教案 一、教学目标 1．通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动，学会用计算器求一个锐角的三角函数值。 2．经历利用三角函数知识解决实际问题的过程，促进观察、分析、归纳、交流等能力的发展。 3．感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习的好奇心，培养学生与他人合作交流的意识。 二、教材分析 在生活中，我们会经常遇到这样的问题，如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船舶的定位等，要解决这样的问题，往往要应用到三角函数知识。在上节中已经学习了30°，4°，60°角的三角函数值，可以进行一些特定情况下的计算，但是生活中的问题，仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值解决是不可能的。本节让学生使用计算器求三角函数值，让他们从繁重的计算中解脱出，体验发现并提出问题、分析问题、探究解决方法直至最终解决问题的过程。 三、学校及学生状况分析
九年级的学生年龄一般在1岁左右，在这个阶段，学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但在很大程度上，学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动理解抽象的逻辑关系。另外，计算器的使用可以极大减轻学生的负担。因此，依据教材中提供的背景材料，辅以计算器的使用，可以使学生更好地解决问题。 学生自小学起就开始使用计算器，对计算器的操作比较熟悉。同时，在前面的程中学生已经学习了锐角三角函数的定义，30°，4°，60°角的三角函数值以及与它们相关的简单计算，具备了学习本节的知识和技能。 四、教学设计 (一)复习提问 1．梯子靠在墙上，如果梯子与地面的夹角为60°，梯子的长度为3米，那么梯子底端到墙的距离有几米? 学生活动：根据题意，求出数值。 2．在生活中，梯子与地面的夹角总是60°吗? 不是，可以出现各种角度，60°只是一种特殊现象。 图1(二)创设情境引入题 如图1，当登缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 。已知缆车的路线与平面的夹角为∠A＝16 °，那么缆车垂直上升的距离是多少? 哪条线段代表缆车上升的垂直距离? 线段B。
与特殊三角函数值有关的计算
与特殊三角函数值有关的计算 满分100分，时间40分钟 姓名_________________ 一．解答题（必须写出详细计算过程！） 1．（2013?漳州5分）计算：|﹣4|﹣+cos30°． 2．（2013?雅安5分）（1）计算：8+|﹣2|﹣4sin45°﹣ 3．（2013?铜仁地区8分）（1）计算（﹣1）2013+2sin60°+（π﹣3.14）0+|﹣|； 4．（2013?沈阳10分）计算：． 5．（2013?深圳10分）计算：|﹣|+﹣4sin45°﹣． 6．（2013?钦州10分）计算：|﹣5|+（﹣1）2013+2sin30°﹣． 7．（2013?黔西南州10分）（1）计算：．8．（2013?宁夏10分）计算：．
9．（2013?盘锦10分）先化简，再求值：，其中． 10．（12分）△ABC是锐角三角形，BC=6，面积为12，点P在AB上，点Q在AC上，如图所示，正方形PQRS（RS 与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC公共部分的面积为y． （1）当RS落在BC上时，求x； （2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式； （3）求公共部分面积的最大值． 11．（2013?湛江10分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°=_________；① sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°=_________；② sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°=_________．③ … 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=_________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想； （2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．
特殊角的三角函数值的巧记
特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：
说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）
5.2特殊角的三角函数值的计算(2015年)
1. (2015 内蒙古兴安盟) 计算：2sin45°+（﹣2）2﹣ +（2015﹣π）0 ． 答案：解：原式=2× +4﹣+1=5． 2. (2015 黑龙江省绥化市) 先化简 ，再求值。x x x x x x x 444122x 22-÷?? ? ??+----+ ， 其中 x =tan 600+2。 答案：解：原式=[﹣ ]?=?=?=， 当x=tan60°+2= +2时，原式=． 3. (2015 四川省南充市) 计算 的结果是＿＿＿＿＿． 答案：答案 解析
试题分析：首先根据二次根式和三角函数求出各式的值，然后进行计算.原式=2－2×=. 4. (2015 山东省淄博市) 若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60° 答案： 分析：先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°． 解答：解：∵α是锐角， ∴cosα＞0， ∵cosα＜， ∴0＜cosα＜， 又∵cos90°=0，cos45°=， ∴45°＜α＜90°； ∵α是锐角， ∴tanα＞0， ∵tanα＜， ∴0＜tanα＜， 又∵tan0°=0，tan60°=， 0＜α＜60°； 故45°＜α＜60°． 故选B． 点评：本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 5. (2015 江苏省无锡市) tan45o的值为（） A．1 2 B．1 C． 2 2 D． 2
特殊角的三角函数值及计算
特殊角及计算 归纳结果 0° 3０° 45° 60° 90° si ｎＡ cosA ta ｎA c ｏtA 当锐角越来越大时， 的正弦值越来______＿____,的余弦值越来_＿___＿_____。 当锐角α越来越大时， α的正切值越来__＿__＿＿___＿，α的余切值越来___________。 1：求下列各式的值. (1）cos 2 6０°+sin 2 60°． （2)cos 45sin 45? ? -t ａn45°． 2:（１)如图（１),在Rt △ＡBC 中，∠Ｃ=90，6,B Ｃ3,求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3,求a. 一、应用新知: 1。（1）(ｓi ｎ60°－tan30°)cos45°= 。（2)若0sin 23=-α，则锐角α＝ ． 2。在△ＡB Ｃ中，∠Ａ=７5°，2c ｏsB=2,则ta ｎC= 。
３。求下列各式的值． （１）o 45cos 230sin 2-? （2）ta ｎ３０°-si ｎ 60°·ｓｉｎ３0° （3)c ｏｓ45°+3t ａn30°+c ｏs30°＋2sin ６0°—2ｔａn4 ５° （4)?+?+? +?- ?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4。求适合下列条件的锐角. （１）2 1 cos =α??（2)33tan =α (3)2 2 2sin = α? （４）33)16cos(6=- α (5） （6） ６。如图,在△ABC 中，已知ＢC ＝１+ ,∠Ｂ=60°,∠C=４5°，求AB 的长。 ７．在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ,则△ABC 的 形状是_＿____＿＿________. |tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α01tan 3=-α 3
锐角三角函数之间的关系和特殊角Word版
课题：锐角三角函数之间的关系和特殊角 学习目标： 1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化. 2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系 3、掌握30度、45度、60度的三角函数值，能够用它们进行计算。 自主学习 一.正弦和余弦的关系 1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的 值.cos sin =α 2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的 值.sin cos =α 二..平方关系：1.推导：=+αα22cos sin 1 2、已知α为锐角，且5 3sin = α，则αcos = . 3、已知α为锐角，且13 12cos =α，则=αsin . 三.商数关系：1.推导：αα αtan cos sin = 2、已知α为锐角，且5 3sin =α，那么=αtan . 3、已知α为锐角，且13 5cos =α，那么=αtan . 4、已知α为锐角，且2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角：根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。 合作再探 一、填空（正弦和余弦、正切和余切互化） ①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○ 4cos72°= . 2. 已知α为锐角，且sin α= 5 4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角，且cos α=13 12,则tan α= . 4. 已知α为锐角，且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、 若sinA=cos 245°,则∠A= 。 6、 △ABC 中，有01sin 22 3cos =-+-B A ,那么∠C= 。 7、若∠A=60°，则化简=-2)sin 1(A . 8、Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值
锐角三角函数计算
锐角三角函数 计算 1、2sin30°-2cos60°+tan45° 2、sin 272°+sin 2 18° 3、6tan45°－2cos60° 4、 12＋2sin60° 5、2cos30°－tan60° 6、sin30°·cos30°－tan30° 7、 cos 245°＋tan30°·sin60° 8、4＋??? ?12－1－2cos60°＋(2－π)0. 9、2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2 30° 45° 60° sinA cosA tanA
10、 cos45°sin45°＋2sin60°tan60°－1tan30° ＋tan45°； 11、 sin45°＋cos30°3－2cos60° －sin60°(1－sin30°)； 12、sin 260°tan45°－? ????－1tan60°－2＋(tan30°)0. 13、(－1) 2 011－? ????12－3＋? ????cos68°＋5π0＋||33－8sin60°.