和平区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
和平区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 二进制数化为十进制数的结果为( )
)(210101A . B .
C .
D .
152133412. 在复平面上,复数z=a+bi (a ,b ∈R )与复数i (i ﹣2)关于实轴对称,则a+b 的值为(
)
A .1
B .﹣3
C .3
D .2
3. 复数z=(m ∈R ,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(
)
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
4. 函数y=sin (2x+)图象的一条对称轴方程为(
)
A .x=﹣
B .x=﹣
C .x=
D .x=
5. 已知全集,集合,集合,则集合为R U ={|||1,}A x x x R =≤∈{|21,}x
B x x R =≤∈U A
C B ( ) A.
B.
C.
D.]1,1[-]1,0[]1,0()
0,1[-【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识,意在考查运算求解能力.
6. 若函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0且a ≠1)在区间(0,)内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为(
)
A .(﹣∞,)
B .(﹣,+∞)
C .(0,+∞)
D .(﹣∞,﹣)
7. 不等式x (x ﹣1)<2的解集是(
)
A .{x|﹣2<x <1}
B .{x|﹣1<x <2}
C .{x|x >1或x <﹣2}
D .{x|x >2或x <﹣1}
8. 已知双曲线kx 2﹣y 2=1(k >0)的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直,则双曲线的离心率是( )
A .
B .
C .4
D .
9. 如图甲所示, 三棱锥 的高 ,分别在P ABC -8,3,30PO AC BC ACB ===∠=
,M N BC
和上,且,图乙的四个图象大致描绘了三棱锥的体积与PO (),203CM x PN x x ==∈
(,N AMC -y 的变化关系,其中正确的是(
)
A .
B . C. D .1111]
10.若复数在复平面内对应的点关于轴对称,且,则复数在复平面内对应的点在12,z z y 12i z =-1
2
z z (
)
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识,意在考查转化思想与计算能力.11.双曲线的渐近线方程是( )A .
B .
C .
D .
12.若函数y=a x ﹣(b+1)(a >0,a ≠1)的图象在第一、三、四象限,则有( )
A .a >1且b <1
B .a >1且b >0
C .0<a <1且b >0
D .0<a <1且b <0
二、填空题
13.如图所示2×2方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1、2、3中的任何一个,允许重复.若填入A 方格的数字大于B 方格的数字,则不同的填法共有 种(用数字作答).A B C D
14.已知f (x )=
,则f (﹣)+f ()等于 .
15.圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为,则圆
的方程为 .16.已知集合(){}2
21A x y x y x
y =
∈+=R ,,,,(){}2
41B x y x y y x =
∈=-R ,,,,则A B
的元素个数是
.
17.,分别为双曲线(,)的左、右焦点,点在双曲线上,满足,
1F 2F 22
221x y a b
-=a 0b >P 120PF PF ?=
若______________.
12PF F ?【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查
基本运算能力及推理能力.18.不等式的解集为R ,则实数m 的范围是
.
三、解答题
19.(本小题满分12分)一直线被两直线截得线段的中点是12:460,:3560l x y l x y ++=--=P 点, 当点为时, 求此直线方程.
P ()0,020.(文科)(本小题满分12分)
我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超过的部分按议价收费,为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5
(1)求直方图中的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数,并说明理由;(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.
21.已知椭圆E : +=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为,点(,)在椭圆E
上.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)设过点P (2,1)的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,若AB 的中点恰好为点P ,求直线l 的方程.
22.已知函数f (x )=log a (1+x )﹣log a (1﹣x )(a >0,a ≠1).(Ⅰ)判断f (x )奇偶性,并证明;(Ⅱ)当0<a <1时,解不等式f (x )>0.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数.
3212)(-++=x x x f (I )若,使得不等式成立,求实数的最小值;
R x ∈?0m x f ≤)(0m M
(Ⅱ)在(I )的条件下,若正数满足,证明:
.,a b 3a b M +=313b a
+≥24.已知曲线C 的参数方程为(y 为参数),过点A (2,1)作平行于θ=的直线l 与曲线C 分别
交于B ,C 两点(极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x 轴的正半轴重合).(Ⅰ)写出曲线C 的普通方程;(Ⅱ)求B 、C 两点间的距离.
和平区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案)一、选择题
1. 【答案】B 【解析】
试题分析:,故选B.()21212121101010
2
4
2=?+?+?=考点:进位制2. 【答案】A
【解析】解:∵z=a+bi (a ,b ∈R )与复数i (i ﹣2)=﹣1﹣2i 关于实轴对称,∴
,∴a+b=2﹣1=1,
故选:A .
【点评】本题考查复数的运算,注意解题方法的积累,属于基础题.
3. 【答案】C
【解析】解:z=
=
=
=
+
i ,
当1+m >0且1﹣m >0时,有解:﹣1<m <1;当1+m >0且1﹣m <0时,有解:m >1;当1+m <0且1﹣m >0时,有解:m <﹣1;当1+m <0且1﹣m <0时,无解;故选:C .
【点评】本题考查复数的几何意义,注意解题方法的积累,属于中档题.
4. 【答案】A
【解析】解:对于函数y=sin (2x+
),令2x+
=k π+
,k ∈z ,
求得x=π,可得它的图象的对称轴方程为x=π,k ∈z ,故选:A .
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性,属于基础题.
5. 【答案】C.
【解析】由题意得,,,∴,故选C.[11]
A =-,(,0]
B =-∞(0,1]U A
C B = 6. 【答案】D
【解析】解:当x∈(0,)时,2x2+x∈(0,1),
∴0<a<1,
∵函数f(x)=log a(2x2+x)(a>0,a≠1)由f(x)=log a t和t=2x2+x复合而成,
0<a<1时,f(x)=log a t在(0,+∞)上是减函数,所以只要求t=2x2+x>0的单调递减区间.
t=2x2+x>0的单调递减区间为(﹣∞,﹣),
∴f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣),
故选:D.
【点评】本题考查复合函数的单调区间问题,复合函数的单调区间复合“同增异减”原则,在解题中勿忘真数大于0条件.
7.【答案】B
【解析】解:∵x(x﹣1)<2,
∴x2﹣x﹣2<0,
即(x﹣2)(x+1)<0,
∴﹣1<x<2,
即不等式的解集为{x|﹣1<x<2}.
故选:B
8.【答案】A
【解析】解:由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,可得渐近线的斜率为,
又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故=,∴k=,
∴可得a=2,b=1,c=,由此得双曲线的离心率为,
故选:A.
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系,解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,由此关系求k,熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证.
9.【答案】A
【解析】
考点:几何体的体积与函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系,其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查,本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式,利用二次函数的图象与性质得到函数的图象,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,是一道好题,题目新颖,属于中档试题.
10.【答案】B
【解析】
11.【答案】B
【解析】解:∵双曲线标准方程为,
其渐近线方程是=0,
整理得y=±x.
故选:B.
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程.属于基础题.
12.【答案】B
【解析】解:∵函数y=a x﹣(b+1)(a>0,a≠1)的图象在第一、三、四象限,
∴根据图象的性质可得:a>1,a0﹣b﹣1<0,
即a>1,b>0,
故选:B
二、填空题
13.【答案】 27
【解析】解:若A方格填3,则排法有2×32=18种,
若A方格填2,则排法有1×32=9种,
根据分类计数原理,所以不同的填法有18+9=27种.
故答案为:27.
【点评】本题考查了分类计数原理,如何分类是关键,属于基础题.
14.【答案】 4 .
【解析】解:由分段函数可知f()=2×=.
f(﹣)=f(﹣+1)=f(﹣)=f(﹣)=f()=2×=,
∴f()+f(﹣)=+.
故答案为:4.
15.【答案】 (x﹣1)2+(y+1)2=5 .
【解析】解:设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,
∵点A(2,1)关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上,
∴圆心(a,b)在直线x+y=0上,
∴a+b=0,①
且(2﹣a)2+(1﹣b)2=r2;②
又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为,
且圆心(a,b)到直线x﹣y+1=0的距离为d==,根据垂径定理得:r2﹣d2=,
即r2﹣()2=③;
由方程①②③组成方程组,解得;
∴所求圆的方程为(x﹣1)2+(y+1)2=5.
故答案为:(x﹣1)2+(y+1)2=5.
16.【答案】【解析】
17.1 【
解
析
】
18.【答案】 .
【解析】解:不等式,
x 2﹣8x+20>0恒成立
可得知:mx 2+2(m+1)x+9x+4<0在x ∈R 上恒成立.显然m <0时只需△=4(m+1)2﹣4m (9m+4)<0,解得:m <﹣或m >
所以m <﹣故答案为:
三、解答题
19.【答案】.16
y x =-【解析】
试题分析:设所求直线与两直线分别交于,根据因为分别在直线
12,l l ()()1122,,,A x y B x y ()()1122,,,A x y B x y 上,列出方程组,求解的值,即可求解直线的方程. 1
12,l l 11,x y
考点:直线方程的求解.
20.【答案】(1);(2)万;(3).0.3a = 3.6 2.9【解析】
(3)由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为:;()0.50.080.160.30.40.520.7385%?++++=<月均用水量低于3吨的频率为:
;
()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%?+++++=>则吨.1
0.850.73
2.50.5 2.90.30.5
x -=+?
=?考点:频率分布直方图.
21.【答案】
【解析】解:(1)由题得=,
=1,又a 2=b 2+c 2,
解得a 2=8,b 2=4.∴椭圆方程为:
.
(2)设直线的斜率为k ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴,
=1,
两式相减得
=0,∵P 是AB 中点,∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,
=k ,
代入上式得:4+4k=0,解得k=﹣1,
∴直线l:x+y﹣3=0.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
22.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)由,得,
即﹣1<x<1,即定义域为(﹣1,1),
则f(﹣x)=log a(1﹣x)﹣log a(1+x)=﹣[log a(1+x)﹣log a(1﹣x)]=﹣f(x),
则f(x)为奇函数.
(Ⅱ)当0<a<1时,由f(x)>0,
即log a(1+x)﹣log a(1﹣x)>0,
即log a(1+x)>log a(1﹣x),
则1+x<1﹣x,
解得﹣1<x<0,
则不等式解集为:(﹣1,0).
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解,利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键.
23.【答案】
【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识,意在考查转化思想和基本运算能力.
24.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)由曲线C的参数方程为(y为参数),消去参数t得,y2=4x.
(Ⅱ)依题意,直线l的参数方程为(t为参数),
代入抛物线方程得可得,
∴,t1t2=14.
∴|BC|=|t1﹣t2|===8.
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式,考查了计算能力,属于基础题.