2016高考数学二轮专题复习 第二部分 考前增分指导一 融会贯通5大解题技巧,又快又准解决高考填空题 理

【创新设计】（江苏专用）2016高考数学二轮专题复习 第二部分 考前增分指导一 融会贯通5大解题技巧，又快又准解决高考填空题 理

技巧——巧解填空题的5大妙招

题型概述

解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．

填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系．由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质等．

方法一 直接法

对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法．它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．

【例1】 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．

解析 设P 点在双曲线右支上，由题意得

?

????PF 1＋PF 2＝6a ，PF 1－PF 2＝2a ，故PF 1＝4a ，PF 2＝2a ， 由条件得∠PF 1F 2＝30°，由2a sin 30°＝4a sin ∠PF 2F 1

， 得sin ∠PF 2F 1＝1，∴∠PF 2F 1＝90°，在Rt△PF 2F 1中，

2c ＝（4a ）2－（2a ）2

＝23a ，

∴e ＝c a ＝ 3.

答案 3 探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．

【训练1】 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13

，则{a n }的通项公式是a n ＝________． 解析 由已知S n ＝23a n ＋13

.① 当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13

，解a 1＝1； 当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13

.② ①－②整理，得a n ＝－2a n －1，即a n a n －1

＝－2. 因此{a n }为a 1＝1，公比q ＝－2的等比数列，a n ＝a 1q

n －1＝(－2)n －1. 答案 (－2)n －1

方法二 特殊值法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．

【例2】 若f (x )＝12 015x －1

＋a 是奇函数，则a ＝________． 解析 因为函数f (x )是奇函数，且1，－1是其定域内的值，所以f (－1)＝－f (1)，而f (1)＝12 014＋a ，f (－1)＝12 015－1－1＋a ＝a －2 0152 014.故a －2 0152 014＝－? ??

??a ＋12 014， 解得a ＝12

. 答案 12

探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．

【训练2】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不

同的两点P 、Q ，若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ

＝________．

解析 由题意可知，1λ＋1μ

的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线PQ 与直线BC 重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ

＝2. 答案 2

方法三 图象分析法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．

【例3】 (2015·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ? ??

??π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．

解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·?

????

2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．

观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点．

答案 2

探究提高 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．

【训练3】 已知α，β是三次函数f (x )＝13x 3＋12

ax 2＋2bx (a ，b ∈R )的两个极值点，且α∈(0，1)，β∈(1，2)，则

b －2a －1的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b (a ，b ∈R )，由题意知α，β是函数f (x )的两个极值点，则α，

β是函数y ＝f ′(x )的图象与x 轴两个交点的横坐标．由α∈(0，1)，β∈(1，2)及二次

函数图象的特征，可知?????f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即?????2b ＞0，1＋a ＋2b ＜0，4＋2a ＋2b ＞0，整理得?????b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0，

画出可行域，如图(阴影部分，不包括边界)，b －2a －1

表示连接可行域内一点P (a ，b )与点D (1，2)的直线的斜率k ，又A (－3，1)，B (－2，0)，C (－1，0)，则k AD ＝2－11－（－3）＝14

，k CD ＝2－01－（－1）＝1，由图可知k AD ＜k ＜k CD ，则b －2a －1的取值范围为? ????14，1.故填? ??

??14，1. 答案 ? ??

??14，1 方法四 构造法

构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．

【例4】 如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．

解析 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝（2）2＋（2）2＋（2）2

＝2R ，所以

R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.

答案 6π

探究提高 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．

【训练4】 已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015

，则a ，b ，c 的大小关系为________．

解析 令f (x )＝ln x －x ，

则f ′(x )＝1x －1＝1－x x

. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，

即函数f (x )在(0，1)上是增函数．

∵1＞12 013＞12 014＞12 015

＞0， ∴a ＞b ＞c .

答案 a ＞b ＞c

方法五 综合分析法

对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论．

【例5】 定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )＝f (2－x )，在区间[1，2]上是减函数．关于函数f (x )有下列结论：

①图象关于直线x ＝1对称；②最小正周期是2；③在区间[－2，－1]上是减函数；④在区间[－1，0]上是增函数．

其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．

解析 由f (x )＝f (2－x )可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；又函数f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称，而图象又关于直线x ＝1对称，故函数f (x )必是一个周期函数，其最小正周期为4×(1－0)＝4，故②不正确；因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的，且f (x )在区间[1，2]上是减函数，所以其在区间[－2，－1]上也是减函数，故③正确；④因为函数f (x )关于直线x ＝1对称，在区间[1，2]上是减函数，而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函数在区间[0，1]上为增函数，又由奇函数的性质，可得函数f (x )在区间[－1，0]上是增函数，故④正确．所以正确的结论有①③④.故填①③④.

答案 ①③④

探究提高 对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设条件出发，通过逐步计算、分析总结探究其规律，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多选或漏选．做好此类题

目要深刻理解题意，捕捉题目中的隐含信息，通过联想、归纳、概括、抽象等多种手段获得结论．

【训练5】 已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0，

1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列命题：

①f (2 013)＋f (－2 014)的值为0；②函数f (x )在定义域上是周期为2的周期函数；③直线y ＝x 与函数f (x )的图象只有1个交点；④函数f (x )的值域为(－1，1)．

其中正确命题的序号有________．

解析 对于①，当x ≥0时，有f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，f (2 013)＋f (－2 014)＝f (2 013)＋f (2 014)＝f (2×1 006＋1)＋f (2×1 007)＝f (1)＋f (0)＝0，因此①正确；

对于②，注意到f ? ????－12＝f ? ??

??12＝log 2 32， f ? ????－12＋2＝f ? ????32＝f ? ????12＋1＝－f ? ??

??12 ＝－log 232

， 因此f ? ????－12≠f ? ??

??－12＋2，函数f (x )在定义域上不是周期为2的周期函数，②不正确；对于③，注意到当x ∈[1，2)时，x －1∈[0，1)，f (x )＝－f (x －1)＝－log 2x ；当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，在坐标系内画出函数y ＝f (x )与直线y ＝x 的大致图象，结合图象可知，它们的公共点只有1个，因此③正确；对于④，当x ∈[0，1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)的值域是[0，

1)；当x ∈[1，2)时，f (x )＝－log 2x 的值域是(－1，0]，因此函数y ＝f (x )的值域是(－1，

1)，④正确．综上所述，其中正确命题的序号有①③④.

答案 ①③④

1．解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法．解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果．

2．解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：

(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；

(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；

(3)要重视对所求结果的检验．