不等式的解法举例及函数与不等式
课 题：不等式的解法举（2）
教学目的：
1．对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论； 2．进一步熟悉并掌握数轴标根法；
3．掌握分式不等式和高次不等式基本解法 4．要求学生能正确地解答无理不等式 教学重点：分式不等式和高次不等式解法 教学难点：正确地对参数分区间讨论 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
一元一次与一元二次不等式 1．解不等式：12
732)1(2->-+
+x
x x )2( 21 <≤-??? ? ??<≤-≥x x x x ） 3．解不等式：652 >+-x x )32(< 4．解不等式：0442 >+-x x )2,(≠∈x R x 5．解不等式：0322 <++x x ),08(φ∈<-=?x 二、讲解新课： 1．含有参数的不等式 2．分式不等式与高次不等式 3．无理不等式： ?? ???>?? ??≥≥?>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域 型 ? ? ?<≥?? ? ??>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0 )()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 ?? ? ??<>≥?<2)]([)(0 )(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 4．指数不等式与对数不等式 三、讲解范例： 例1解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>- 解：将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>- 讨论：当b a >时，b a b a ab x -+> ) ( 当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时R x ∈ 当b a <时，b a b a ab x -+< ) ( 例2关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围． 解：当a >0时不合 ， a =0也不合 ∴必有：? ??>-- ?<---=?<01230 0)1(4)1(022 a a a a a a a 31 )1)(13(0--+ 例3 解不等式80)4)(1)(2)(5(-≤--++x x x x 解：原不等式等价于080)2)(20(22≤+-+-+x x x x 即 0120)(22)(2 2 2 ≤++-+x x x x 0)10)(12(22≤-+-+x x x x 0)2 411)(2411)(3)(4(≤---+-- -+x x x x ∴32 41 124114≤≤+-+- ≤≤-x x 或 例4 k 为何值时，式13 64222 2<++++x x k kx x 恒成立 解：原不等式可化为：03 64) 3()26(22 2>++-+-+x x k x k x 而03642 >++x x ∴原不等式等价于0)3()26(22>-+-+k x k x 由0)3(24)26(2<-??--=?k k 得1 例5 ⑴解不等式0343>---x x 解：∵根式有意义 ∴必须有：3030 43≥?? ? ?≥-≥-x x x 又有 ∵ 原不等式可化为343-> -x x 两边平方得：343->-x x 解之：2 1 >x ∴}3|{}2 1|{}3|{>=>?>x x x x x x ⑵解不等式x x x 34232->-+- 解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集： Ⅰ：?? ?? ?->-+-≥-+-≥-2 22)34(23023034x x x x x x Ⅱ：???<-≥---0340232x x x 解Ⅰ：??? ? ???≤ 562134x x x x 解Ⅱ： 23 4 ≤ ∴原不等式的解集为}25 6 | {≤ 解：原不等式等价于??? ??+<+->+≥+-222)2(462020462x x x x x x }10102|{100212≤<<≤??? ? ??<<->≤≥?x x x x x x x 或或 特别提醒注意：取等号的情况 例6 解不等式293183 1 >?+-+x x 解：原不等式可化为：0183293 32>+?-?x x 即 0)233)(93(>-?-x x 解之 93>x 或3 23< x ∴x >2或32log 3 2log 3 解：原不等式等价于 ?????-≥->->-2)3(11301x x x x 或?? ? ??-≤-<-<>-2)3(11300 1x x x x 解之得 4 ∴原不等式的解集为{x |4 四、课堂练习： 解下列不等式 1．655332->-+-x x x )2(>x 2．33333++<++ -x x x x )3(-≥x 3．x x ->--214 ( 12 13 5≤<+-x )s 4．02)1(2≥---x x x )12(-=≥x x 或 5．112>+--x x )2 5 11(-≤≤-x 6．解关于x 的不等式： )1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a 当a >1时有2212 34121)12(23403401222 < ?? ????<<-<<->??????->-+>-+>-x x x x x x x x x x （其实中间一个不等式可省） 当0 42234121)12(2340 3401222 < ??????>-<<<->??????-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或 ∴当a >1时不等式的解集为22 1 < 当0 7．解关于x 的不等式x x a a log 1log 5+>- 解：原不等式等价于 Ⅰ：?? ???≥-+>-≥+0 log 5)log 1(log 50 log 12 x x x x a a a a 或 Ⅱ：???≤+≥-01log 0log 5x x a a 解Ⅰ：1log 1<≤-x a 解Ⅱ：1log -≤x a ∴1log 当a >1时有0 ∴原不等式的解集为{x |0 8． 解不等式2 4log a x x x x a > 解：两边取以a 为底的对数： 当0 9 )(log 2 - 4l o g 21< 9)(log 2 ->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ∴ 2 1log 4log <>x x a a 或 ∴a x a x <<>04 或 ∴原不等式的解集为 }10,|{4<<<<<>a a x a x x 或 五、小结 ： 六、课后作业： 1．k 为何值时，不等式61 6 3022≤+-++< x x kx x 对任意实数x 恒成立)6(-=k 2．求不等式) 2()2()23()1()2(22334+--+-+x x x x x x 的解集 })2132 |({±≠>- 31615141+++>+++x x x x )3,4()2 9 ,5()6,(--?--?--∞∈x 4．求适合不等式11 )1(02 <+-< x x 的x 的整数解 (x =2) 5．若不等式1 122+-->++-x x b x x x a x 的解为121< ≠>>+-a a a a x x x 且 (当a >1时),4()1,(+∞?--∞∈x 当0 7．)102(log )43(log 3 1231+>--x x x (-2 8．x x -->4) 2 1(3 2 (-1 9．222 2 2 32≤+-x x )12 1 (≤≤x 10．当10<x a a (a 11．10,1<<>b a ，求证：1) 12(log >-x b a 12．)1,0(,011log ≠>>-+a a x x a (-1 (2log ,22 a x a >>；2log ,212 a x a <<<；φ∈=x a ,2) 七、板书设计（略） 八、课后记： 专题三 函数与不等式问题的解题技巧 【命题趋向】 全国高考数学科《考试大纲》为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向．考纲是考试法典，是命题的依据，是备考的总纲．科学备考的首要任务，就是要认真学习、研究考纲．对照考纲和高考函数试题有这样几个特点： 1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象． 2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现． 3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． 4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的． 5．涌现了一些函数新题型． 6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列， 不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导． 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分． 1．在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题. 2．在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题. 3．解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法. 分值在27---32分之间，一般为2个选择题，1个填空题，1个解答题．【考点透视】 1．了解映射的概念，理解函数的概念． 2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数． 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质． 5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 7．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力． 8．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式． 9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、 数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题． 10．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思 想方法证明不等式的能力． 11．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题． 12．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、 立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识． 【例题解析】 1.函数的定义域及其求法 函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1．（2007年广东卷理）已知函数1()1f x x =-的定义域为M ，g(x)=ln(1) x +的定义域为N ，则M ∩N= （A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）? 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法. 解：函数1()1f x x = -的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域 N={}1,x x >-∴M ∩N={|11}x x -<<． 故选C 例2. ( 2006年湖南卷）函数2log 2y x =-的定义域是( ) （A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法. 解：由20 4.log 20 x x x >??>? ->?，故选D. 2.求函数的反函数 求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解. 例3．（2006年安徽卷）函数2 2,0,0 x x y x x ≥?=? - x x y x x ?≥?=? ?- （B ）2,0,0 x x y x x ≥??=?- x x y x x ?≥?=? ?-- （D ）2,0,0 x x y x x ≥??=?-- ()121:2,.(),(0);2 2,0,(),0. ,02 ,0.y x y x x f x x y x y f x x x x x y x x --=∴=∴=≥=-<∴=-- ∴=??-- 解又 故选C. 例4．（2007年湖北卷理）已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则 a = ； b = ． 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识. 解：()()11112,,.2222 y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+ 与3y bx =+比较得a =6， 1 .2 b = 故填162 ； 3.复合函数问题 复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域. 例5．（2007年北京卷文）对于函数①()2f x x =+，②2 ()(2)f x x =-，③ ()cos(2) f x x =-，判断如下两个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数； 命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③ 命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解：22()(2),(2)f x x f x x =-∴+= 是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-． 故选Ｃ 例6．（2006年安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x +=，若 ()15,f =-则()()5f f =__________. 命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：由()() 12f x f x +=,得()() 1 4()2f x f x f x += =+，所以(5)(1)5f f ==-，则 ()()11 5(5)(1)(12)5 f f f f f =-=-= =--+. 4.函数的单调性、奇偶性和周期性 函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 例7．（2006年全国卷） 已知函数()1,1 x f x a z =-+，若()f x 为奇函数，则 a =________. 命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,01 21 121=+-++- -x x a a .2 112212112112121=++? =??? ??+++=∴-x x x x a 应填21. 巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即. 21,01 210=∴=+- a a 应填21. 点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论. 例8．（2007年全国卷理I ）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件 C ．必要而不充分的条件 D ．既不充分也不必要的条件 命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识. 解 先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数， 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有 ()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=， 所以 ()h x 为偶函数． 反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =， (),f x x =2()g x x x =-，故选B. 方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B 点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质 的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想. 例9．(2006年山东卷)函数y=1+a x (0 （A ） （B ） （C ） （D ） 命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识. 解：∵y=1+a x (0 ()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的. 故选A. 6. 函数综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．（2007年浙江卷文）已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解； （Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.4112 1 <+x x 命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。满分15分。 （I ）解：当.02|1|)(,222=++-==x x x x f k 时 分两种情况讨论： ①当时或即时11,112-≤≥≥-x x x ， 方程化为,01222=-+x x 131313.01,,.222 x x -±-+--= <<=解得因为舍去所以 ②当11,012<<-<-x x 即时， 方程化为1+2x = 0， 解得2 1-=x ， 由①②得， . 2 1 ,2310)(,2-=--===x x x f k 或的解是方程时当 （II ）解：不妨设2021<< 因为?? ? ≤+>-+=, 1||, 1,1||,12)(2x kx x kx x x f 所以(]1,0)(在x f 是单调递函数， 故(]1,00)(在=x f 上至多一个解， (]12121211 2221 ,(1,2),0,,,0,1,(1,2).2 1 ()0,,1;17 ()0,2, 1.2 7 1,()0(0,2).2 x x x x x x f x k k x f x k x k x k f x ∈=- <∈∈==- ≤-==--<<-- <<-=若则故不符合题意因此由得所以由得所以故当时在上有两个解 方法一： (]22 11222221222212 180,1,,210; 48 (1,2),, 4 1141(8),287778(,1),8()88, 222 11 4. k k x x x kx k k k x x k k k x x k k y k k k k x x -±+∈=-+-=-++∈= +=-+=+-+-=+---+-<-++=+<因为所以而方程的两根是因为所以则而在上是减函数则因此 方法二： 因为(]01,1,011=+∈kx x 所以； ① 因为012),2,1(22 22=-+∈kx x x 所以， ② 由①②消去k ，得 2121222 1 2 1 2 111120,2.(1,2), 4.x x x x x x x x x x --=+=∈+<即又因为所以 7.以集合为背景的不等式 以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题. 例11. （2007年北京卷文） 记关于x 的不等式01 x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ； （II ）若Q P ?，求正数a 的取值范围． 命题意图：本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法. 解：（I ）由301 x x -<+，得{}13P x x =-<<． （II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤． 由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ?，所以2a >， 即a 的取值范围是(2)+∞，． 8.以线性规划形式出现的不等式 以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求解. 例12.（2006 年辽宁卷）双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 （A ）0003x y x y x -≥??+≥? ?≤≤? （B ）0 003x y x y x -≥??+≤? ?≤≤? （C ） 0 003x y x y x -≤??+≤? ?≤≤? （D ） 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 命题意图：本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识，体现数形结合能力. 解：作图可知三角形区域在第一象限.即满足0 003x y x y x -≥??+≥? ?≤≤? 故选(A) 9..以简易逻辑为背景的不等式 以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来确定命题,用简易逻辑知识解决问题. 例13.（2006 年山东卷）设2 21:200,:0||2 x p x x q x ---><-，则p 是q 的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 命题意图：本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力. 解： 由题设可得: 22:200,:5, 4.1:0,1,2, 2.||2p x x p x x x q x x x x -->><--<-<<<->-即即1或 故选(A) 10..与函数知识结合的不等式 与函数知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题. 例14.（2006 年山东卷）设1232,2()((2))log (1) 2. x e x f x f f x x -??=?-≥??＜，则的值为， （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 命题意图：本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力. 解：0((2))(3)(1)2 2.f f f f e ===3=log 故选(C) 12..与平面向量知识结合的不等式 与平面向量知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合平面向量知识和坐标运算,通过和坐标运算和推理来解决问题. 例15.（2006 年辽宁卷）设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ= ,若OP AB PA PB ?≥? ,则实数λ的取值范围是 （A ）112 λ≤≤ （B ）2112 λ-≤≤ （C ）12122 λ≤≤+ （D ）22112 2 λ-≤≤+ 命题意图：本题主要考查利用不等式和平面向量知识解决问题的能力. 解：设P(x,y),则由AP AB λ= 得, ,(1,)(1,1),1,1,,. AP AB x y x x y y λλλλλλ=-=--=-=-??∴??==?? 即解得 2222,(,)(1,1)(1,)(,1),0,(1)20,2211.22 OP AB PA PB x y x y x y x y y λλλλ?≥?∴-≥----∴+-≥∴-+-≤∴- ≤≤+ 又点P 是线段AB 上的一个动点, 0 1.λ∴≤≤ 2 1 1. 2 λ∴- ≤≤ 故选(B) 13..与函数的导数知识结合的不等式 .与函数的导数知识结合的不等式,解题时往往以不等式和函数的导数为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题. 例16. （2006 年江西卷） 已知函数32()f x x ax bx c =+++在23 x =-与1x =时都取得极值. (1) 求a 、b 的值及函数()f x 的单调区间; (2) 若对[]1,2x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围. 命题意图：本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查就数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力. 解：322 (1)(),()32,f x x ax bx c f x x ax b '=+++=++ 22124 ()0,(1)320, 3931,2, 2 ()32(32)(1),(): f a b f a b a b f x x x x x f x ''-=-+==++==-=-'=--=+-由得函数的单调区间如下表 x 2(,)3 -∞- 23- 2(,1)3 - 1 (1,)+∞ ()f x ' + - + ()f x 极大值 极小值 所以函数()f x 的递增区间为2(,)3 -∞-与(1,)+∞;递减区间为2(,1)3 -. [][]32221 (2)()22 222 1,2,,(), 327 (2)2,(2)2. ()(1,2),(2)2,1 2.f x x x x c x x f x c f c f c f x c x c f c c c =--+∈-=-=+=+=+∈-=+-当时为极大值而则为最大值要使恒成立只须解得或 <> <> 14..与数列知识结合的不等式 与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题. 例17.（2006 年湖北卷） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*,()n S n n N n ??∈ ?? ? 均在函数32y x =-的图像上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1 3n n n b a a += ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m . 命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力. 解：（I ）依题意得，32,n S n n =-即232n S n n =-. 当n ≥2时， ()221(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -??=-=-----=-??; 当n=1时，113a S =-×21-2×1-1-6×1-5. 所以65()n a n n N *=-∈. （II ）由（I ）得[]131111(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +??= ==- ?-+--+?? ， 故 111111111...277136561n n b n n T =????????-=-+-++- ? ? ???-+???? ????∑=111261n ??- ?+??. 因此，使得111261n ??- ? +? ? ﹤()20 m n N *∈成立的m 必须满足12 ≤20 m ，即m ≥10,故 满足要求的最小整数m 为10. 15..不等式的实际应用 不等式的实际应用题,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识和函数的导数的应用,通过建立不等式模型,利用计算和推理来解决问题. 例18．（2007年重庆卷文）（本小题满分12分） 用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 命题意图：本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用不等式知识解决实际问题的能力． 解：设长方体的宽为x （m ），则长为)(2m x ，高为 ).2 3 0( )(35.441218<<-=-= x m x x h 故长方体的体积为).2 30( )(69)35.4(2)(3322<<-=-=x m x x x x x V 从而 )1(181818)(2x x x x x V -=-=' 令 00)(==x x V ，解得（舍去）或x =1，因此x =1. 当 0)(2 31 ;0)(10<'<<>'< 故在x =1处)(x V 取得极大值，并且这个极大值就是)(x V 的最大值. 从而最大体积 ，)(31619)1(332m V V =?-?==此时长方体的长为2m ，高为1.5m 答：当长体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为3m 3. 【专题训练与高考预测】 一.选择题 1.y =322-+x x 的单调递减区间为（ ） A.(－∞，－3) B.(－∞，－1) C.［1，+∞］ D.［－3，－1］ 2.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ） A.y =－x B.y = 1 1-x C.y =3－2x D.y =－x 2+2x +1 3.设f (x )是定义在A 上的减函数，且f (x )＞0，则下列函数：y =3－2f (x ),y =1+) (2x f ,y =f 2(x ),y =1－)(x f ，其中增函数的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4．关于x 的方程9x +(a+4)·3x +4=0有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-∞，-8]∪[0，+∞）B 、（-∞，-4） [-8，4） D 、（-∞，-8] 含参不等式（有解、无解问题）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.若不等式组的解集为，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 2.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 3.若不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 4.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 5.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 6.关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 7.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 8.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 9.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 10.若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 含参不等式知识互联网 题型一：不等式（组）的基本解法 x （ x （ b （ 无解（大大小小无解了） 典题精练 【例1】 ⑴解不等式 31 423 x x x +--+≤. ⑵解不等式组12(1)532122 x x x --?? ?-<+??≤，并在数轴上表示出解集 ⑶求不等式组2(2)43 251x x x x --??--? ≤＜的整数解 ⑷解不等式组32215x x -<-< ⑸解不等式组253473 x x -?? （2012年朝阳一模） 题型二：含参数的不等式（组） 思路导航 对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <， 例题精讲 【引例】⑴关于x 的一次不等式组x a x b >???? ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<-- ⑸() 212m x +< ⑹()25n x --< 【例3】 ⑴不等式 ()1 23 x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是 ． ⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 . ⑶ 关于x 的不等式5ax >的解集为5 2 x <-，则参数a 的值 . ⑷ ①若不等式组3 x x a >??>? 的解集是x a >，则a 的取值范围是 . ②若不等式组3 x x a >??? ≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 . A ．3a ≤ B ．3a = C ．3a > D ．3a ≥ （北京二中期中考试） ⑸已知关于x 的不等式组2 32x a x a +??-?≥≤无解，则a 的取值范围是 ． ⑹已知关于x 的不等式组>0 53x a x -??-? ≥无解，则a 的取值范围是 ． 【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0 521≥x a x -??->? 只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ． ⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（ ） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥ （北京五中期中考试） 例2 解不等式135 x <-< 课后练习： 一．选择题（共2小题） 1．（2015春?石城县月考）已知m为整数，则解集可以为﹣1＜x＜1的不等式组是（） A ．B ． C ． D ． 2．（2002?徐州）已知实数x、y同时满足三个条件：①3x﹣2y=4﹣p，②4x﹣3y=2+p，③x＞y，那么实数p 的取值范围是（） A ．p＞﹣1 B ． p＜1 C ． p＜﹣1 D ． p＞1 二．填空题（共7小题） 3．（2012?谷城县校级模拟）若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围 是． 4．（2010?江津区）我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1 ＜＜3，则x+y的值是． 5．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=． 6．关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是． 7．不等式组的解是0＜x＜2，那么a+b的值等于． 8．已知不等式组的解集1≤x＜2，则a=． 9．若关于x的不等式的解集为x＜2，则k的取值范围是． 三．解答题（共4小题） 10．（1）解方程组： （2）求不等式组的整数解． 11．（2013?乐山）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 12．（2011?铜仁地区）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2，单价和为160元． （1）篮球和排球的单价分别是多少元？ （2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？ 13．（2011?邵阳）为庆祝建党90周年，某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛．规则一：合唱队的总人数不得少于50人，且不得超过55人． 规则二：合唱队的队员中，九年级学生占合唱团总人数的，八年级学生占合唱团总人数的，余下的为七年 级学生． 请求出该合唱团中七年级学生的人数． 含参不等式专题（淮阳中学） 编写：孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。 解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况： （1） 二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。 一、含参数的一元二次不等式的解法： 1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥?） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。 解：0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令 为方程的两个根 （因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论） （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述： （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ； 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2 >--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422 --=? （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212 +<<-<--=? ()()3 2432404222 +=-==--=? a a a a 或时当 （i ）13324-≠ -=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得： 当 ()()时 或即当32432404232 +>-<>--=? a a a a 两根为()2 42)2(2 1 a a a x --+ -= ，()2 42)2(2 2 a a a x --- -= . ()()2 42)2(2 42)2(2 2 a a a x a a a x --+ -> --- -< 或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当3 2 4324+<<-a 时，解 R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?( +∞ -,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞ -- ,13)； （4）当3 24-a 时， 解集为(2 48)2(, 2 +---∞-a a a )?( +∞ +-+ -,2 4 8)2(2 a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2 <++-x a ax 解：若0 =a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0 >a ，原不等式.0)1)(1(<-- ? x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ ； （2）当1>a 时，式)(*11< 绝对值不等式中的含参问题 在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。 一、绝对值的最值问题 1、当绝对值中x的系数相同时。 运用三角不等式：a?b≤a±b≤a+b 例1：求函数f x=x?3+x?4的最值 解：x?3+x?4≥x?3?x?4=1，函数f x的最小值为1。 例2：求函数f x=2x?1?2x?3的最值 解：2x?1?2x?3≤2x?1?2x?3=2，即得到?2≤2x?1?2x?3≤2，函数f x的最小值为?2，最大值为2。 2、当绝对值中x的系数不相同时。 ①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。 例：求函数f x=2x?2+x+2的最值 解：当 x≤?2 ?x+2?(2x?2)即 x≤?2 ?3x， 当 ?2 则有f x= ?3x, x≤?2 ?x+4, ?2 高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 （2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围． 例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 关键点拨：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 是解题的关键，再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。 综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=， 注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1 不等式解法举例 ?教学重点：不等式求解． ?教学难点：将已知不等式等价转化成合理变形式子． ?教学方法：创造教学法 为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破． ?教学过程： 一、课题导入 1、由一元一次不等式、一元二次不等式、和简单的绝对值不等式式子，导出其不等式 解法． 2、一元二次不等式的解法． 3、数形结合思想运用． 二、新课讲授 例1：解不等式|x2-5x+5|<1 分析：不等式|x| x 2-5x +5>-1 ② 解不等式①由 x 2-5x +5< 1 得 (x -1)(x -4)< 0 解集为{x |1 众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。（1）解不等式，寻求新不等式的解集； （2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。 （3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。 一、立足于“直面求解” 解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地从求 解不等式切入。例1.设关于x的不等式 （1）解此不等式；（2）若不等式解集为（3，+∞），求m的取值范围； （3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围 分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m2>0,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为ax>b型，于是可以x的系数a的取值为主线进行讨论。 解：（1）由题设，原不等式m（x+2）>m2+(x-3)(m R，m≠0) (m-1)x>m2-2m-3(1)∴当m>1时，由（1）解得 当m=1时，由（1）得x R;当m<1且m≠0时，由（1）解得 ∴当m>1时，原不等式的解集为当m=1时，原不等式的解集为R 当m<1且m≠0时，原不等式的解集为 （2）若不等式的解集为（3，+∞），则由（1）知应得 ∴此时m的取值范围为{5} （3）注意到x=3 为不等式的解，将x=3代入（1）得：3（m-1）>m2-2m-3m2-5m<0 0 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围 含参不等式的解法复习课教案 授课内容：含参不等式的解法复习课 教学目标 1.通过复习使学生进一步掌握一些简单的含有参不等式的基本解法；并让学生了解使用分类讨论方法的起因． 2．培养学生分析、概括能力及运算能力． 3．提高学生思维的严谨性和深刻性． 教学重点与难点 教学重点：含有字母系数不等式的求解基本模式的形成． 教学难点：分类讨论方法的正确使用． 教学设想：先通过一组基础题的讨论练习，使学生从中体会含参不等式的解法，树立分类讨论的意识，然后再通过典型例题的分析讲解，使学生进一步掌握解含参不等式的基本解法，明确分类讨论的依据和标准，最后再通过练习加以强化。 教学过程： 一、基础题组练习 解下列关于x的不等式 1． 2. 3. 4. 设置本组练习旨在唤醒学生的解题意识及方法，使其对解含有参数的不等式有一个初步的体会和认识。 学生分组解答、交流结果，之后教师订正。 二、 典型例题分析 例1 解关于x 的不等式： 分析：本题为含有参数的绝对值不等式，移项后得： , 此时，要脱去绝对值符号，就必须要对 的值进行讨论。 分析清楚后由学生合作完成。 例2 已知函数 b ax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x 2=3, x 2=4.（1）求函数f(x)的解析式； （2）设k>1，解关于x 的不等式；x k x k x f --+<2)1()(. 分析:本题第二问为含参的分式不等式，需要对参数进行讨论，要根据条件正确划分分类标准，确保穷尽所有可能情形。 分析完后学生先做，之后教师进行订正，并强调注意事项。 例3 解关于x 的不等式： 分析：该不等式的基本类型为含参的分式不等式，可通过移项通分调整系数数轴标根几步完成，但在调整系数及标根时，涉及到对 《不等式(组)的字母取值范围的确定方法》教学设计 教材分析：本章内容是北师大新版八年级数学（下）第二章，是在学习了《一元一次方程》和《一次函数》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用口诀或数轴直观的得到一元一次不等式组的解集。 学情分析：在学习了一元一次不等式组的解法之后,学生就会经常遇到求一元一次不等式组中字母系数的值或求其取值范围的问题. 不少学生对解决这样的问题感到十分困难. 事实上,只要能灵活运用不等式组解集的知识即可顺利求解. 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握逆向思维和数形结合的数学思想。 学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。 （2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。 教学准备 1、复习上节课的知识，考察学生对一元一次不等式组的解集的四种情况的熟悉程度， 能直接根据下面口诀求出不等式组的解集：大大取大；小小取小；大小小大中间找；大大小小找不到. 2、根据不等式组的解集，结合数轴，能找出满足条件的解（如整数解），并能注意“a x <”与“a x ≤”的区别，为本节课的拓展应用打下基础。 1、⑴不等式组???-≥>1 2x x 的解集是 . ⑵不等式组???-<-<12x x 的解集是 . ⑶不等式组?? ?≥≤14x x 的解集是 . ⑷不等式组???-≤>45x x 的解集是 . 一、已知不等式的解集确定字母系数的问题 1. 逆向运用“大大取大”求解参数 分析：逆向运用大大取大归结为：若不等式组???>>b x a x 的解集为b x >，则b a ≤ 例1.(2014恩施市) 如果一元一次不等式组???>>a x x 3的解集为a x >，则a 的取值范围是：( ) A. a ＞3 B. a ≥3 C. a ≤3 D. a ＜3 变式练习1：若不等式组? ??<->+m x x x 544的解集是3 高二数学课件:《不等式的解法举例》 过去的一切会离你越来越远，直到淡出人们的视野，而空白却会越放越大，直至铺成一段苍白的人生。下面为您推荐高二数学课件:《不等式的解法举例》。 （1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式； （2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法； （3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解； （4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想； （5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣.【教学建议】一、知识结构 本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为： ； ； ； 二、重点、难点分析 本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处，但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的，由于不等式的解集一般都是无限集，如果产生了增根却是无法检验加以排除的，所以解不等式的过程一定要保证同解，所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式，当为一元一次式时，可直接解这个不等式组，但当为一元二次式时，就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式，分别求解在求交集. 三、教学建议 （1）在学习新课之前一定要复习旧知识，包括一元二次不等式的解法，简单的绝对值不等式的解法，简单的分式不等式的解法，不等式的性质，实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生，这一环节不可忽视. （2）在研究不等式的解法之前，应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法，然后提出如何求不等式的解集，启发学生运用换元思想将替换成，从而转化一元二次不等式组的求解. （3）在教学中一定让学生充分讨论，明确不等式组中的两个不等式的解集间的交并关系，两个不等式的解集间的交并关系. （4）建议表述解不等式的过程中运用符号 . （5）建议在研究分式不等式的解法之前，先研究简单高次不等式（一端为0，另一端是若干个一次因式乘积形式的整式）的解法.可由学生讨论不同解法，师生共同比较诸法的优劣，最后落实到区间法. （6）分式不等式与高次不等式的等价原因，可以认为是不等式两端同乘 1.4 含绝对值的不等式解法 1．不等式|x-2|>1的解集是（D ） A ．}31|{< C ．3、9 D ．-3、6 提示：必有0>b ，∴b a x b <-<-，即不等式的解为b a x b a +<<-，令3-=-b a ，9=+b a 解得． 6．已知不等式|x+3|≥|x-5|成立，则实数x 的取值范围是（B ） A ．{x|x>1} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x<1} D ．{x|x ≤1} 提示：即0)5()3(22≥--+x x ，∴0)53)(53(≥+-+-++x x x x ． 7．已知a 2=9，则不等式x 2-|a|≥0的解集是（B ） A ．{x|x ≤3-，或x ≥3} B ．{x|x ≤3-，或x ≥3} C ．{x|3-≤x ≤3} D ．{x|3-≤x ≤3} 提示：即32 ≥x ． 8．不等式|21||3|x x ->+的解集是（A ） A ．2 {|3 x x <- ，或4}x > B ．{|3x x <-，或4}x > C ．{|34}x x -<< D ．2 {|4}3 x x - << 提示：原不等式即22(21)(3)x x ->+，∴(213)(213)0x x x x -++--->，即(32)(4)0x x +->，∴2 3 x <-，或4x >，故选A ． 9．设集合M={2|||<-a x x }，P={x | 12 1 2<+-x x }，若M ?P ，则实数a 的取值范围是（A ） A ．{a |0≤≤a 1} B ．{a |0<>的解集是)2()2(∞+--∞，， ，则不等式3|3 |-≤-a a x 的解集是（C ） A ．)1[]1(∞+--∞，， B ．R C ．Ф D ．]11[， - 提示：由已知得a=2，则不等式3|3 | -≤-a a x 即为1||- 不等式(3)----含参不等式的解法 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。 （一）几类常见的含参数不等式 一、含参数的一元二次不等式的解法： 例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈ 分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1 第15讲 一元一次不等式组培优专题 一、含参不等式（组）有关的问题 1.探讨不等式组的解集（写出,a b 满足的关系式） （1）关于x 的不等式组x a x b >????≤11x m x 无解，则m 的取值范围是 （2）若不等式组121 x m x m <+??>-?无解，则m 的取值范围是 (3)若不等式组???>≤ (2)如果关于x 的不等式组7060 x m x n -≥??-的每一个解都是21122 x -<的解，求a 的取值范围 变式：如果关于x的不等式组 22 4 x a x a >- ? ? <- ? 有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a 的取值范围． 4.若关于x的不等式组 21 1 3 x x x k - ? >- ? ? ?-< ? 的解集为2 x<，求k的取值范围 5.不等式组 12 35 a x a x -<<+ ? ? << ? 的解集是3x <<2 a+，求a的取值范围 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）公式法：即利用 a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{}a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式 c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 一、填空题 1．不等式1 |||5|1x a x + >-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】46a << 【解析】 试题分析：x Q 与 1x 同号，11x x x x ∴+=+1 22x x ≥=（当且仅当1x =±时取“=” ）251,51a a ∴>-+∴-<，解得46a <<，故答案为46a <<. 考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值及不等式恒成立问题. 2．已知()48,f x ax ax a R =--+∈，若()f x k ≤恒成，求k 的取值范围__________． 【答案】[ )12,+∞ 3．若不等式12ax +>在()1,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】(,3]-∞- 【解析】 试题分析：121212ax ax ax +>?+>+<-或13a a x x ?> <-或在()1,+∞上恒成立,1 a x > 在()1,+∞上不成立，由3 a x <- 在()1,+∞上恒成立得3x ≤-. 考点：含绝对值不等式的恒成立问题. 4．若存在实数x 使13x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 【解析】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到1的距离之和小于3的点.有13a -≤， 24a ∴-<<. 考点：含绝对值的不等式的解法. 【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如 或 ，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择 或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题. 5．已知关于x 的不等式11x x c -+-<无解，实数c 的取值范围__________． 【答案】][() ,02,-∞?+∞ 6．已知函数．若的解集包含，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】f (x )≤|x －4|?|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ?4－x －(2－x )≥|x ＋a |?－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为 . 7．若适合不等式2435x x k x -++-≤的x 的最大值为3，则实数k 的值为_______． 【答案】8 【解析】因为x 的最大值为3，故x ﹣3＜0， 原不等式等价于|x 2 ﹣4x+k|﹣x+3≤5， 即﹣x ﹣2≤x 2 ﹣4x+k ≤x+2， 则 x 2 ﹣5x+k ﹣2≤0且x 2 ﹣3x+k+2≥0解的最大值为3， 设 x 2﹣5x+k ﹣2=0 的根分别为x 1和x 2，x 1＜x 2， x 2 ﹣3x+k+2=0的根分别为x 3和 x 4，x 3＜x 4． 则x 2=3，或 x 4=3． 若x 2=3，则9﹣15+k ﹣2=0，k=8， 若x 4=3，则9﹣9+k+2=0，k=﹣2． 当k=﹣2时，原不等式无解，含参不等式(有解、无解问题)(人教版)含答案
含参不等式
含参不等式的专题练习教学设计 .doc
含参不等式解法举例
含参不等式的解法
绝对值不等式中的含参问题(原创)
教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc
不等式解法举例
含参不等式练习题及解法
含参数不等式及绝对值不等式的解法
含参不等式的解法复习课教案
含参不等式
高二数学课件-《不等式的解法举例》
含绝对值的不等式解法(北师版)
含参不等式的解法(教师版)
专题--含参一元一次不等式组 (1)教学设计 .doc
含绝对值不等式的解法含答案
破译绝对值不等式中地含参问题