2011年考研数学三真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)已知当0x →时,()3sin sin3f x x x =-与k
cx 是等价无穷小,则( )
(A )k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C )
【考点】无穷小量的比较,等价无穷小,泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】
解析:方法一:当0x →时,sin x x
03sin sin 3lim
k x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x x
cx
→--= ()
20
sin 3cos 22cos lim
k
x x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x x
cx -→--= ()221
32cos 12cos lim
k x x x
cx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx
--→→-== 3
04
lim
14,3k x c k cx -→==?==,故选择(C ).
方法二:当0x →时,3
3sin ()3!
x x x o x =-+ )
(4)](!
3)3(3[)](!3[33sin sin 3)(33333
3x o x x o x x x o x x x
x x f +=+--+-=-=
故3,4==k c ,选(C ).
(2)已知函数()f x 在x =0处可导,且()0f =0,则()()
233
2lim
x x f x f x x →-= ( )
(A ) -2()0f ' (B ) -()0f ' (C ) ()0f ' (D ) 0. 【答案】(B )
【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】
解析:()()
()()()()2333
30
0200lim
lim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→??
---??=-????
()()()0200f f f '''=-=-.
故应选(B )
(3)设{}n u 是数列,则下列命题正确的是 ( ) (A )若
1n
n u
∞
=∑收敛,则
21
21()n n n u
u ∞
-=+∑收敛 (B )若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛,则1n n u ∞
=∑收敛
(C ) 若
1
n
n u
∞
=∑收敛,则
21
21
()n n n u
u ∞
-=-∑收敛 (D )若2121
()n n n u u ∞
-=-∑收敛,则1
n n u ∞
=∑收敛
【答案】(A )
【考点】级数的基本性质 【难易度】★★ 【详解】 解析:由于级数
21
21
()n n n u
u ∞
-=+∑是级数1
n n u ∞=∑经过加括号所构成的,由收敛级数的性质:当1
n n u ∞
=∑收
敛时,21
21
()n n n u
u ∞
-=+∑也收敛,故(A )正确.
(4)设4
l n s i n I x d x π=
?
,
4
ln cot J x dx π=?
,40
ln cos K x dx π
=?,则,,I J K 的大小关系是( )
(A ) I J K << (B ) I K J << (C ) J I K << (D ) K J I <<
【答案】(B )
【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】
解析:如图所示,因为04
x π
<<
时,
0sin cos cot 2
x x x <<
<<,因此lnsin lncos
x x <<4
4
4
ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx π
π
π
<
<
?
?
?
,故选(B )
(5)设A 为3阶矩阵,将A 的第二列加到第一列得矩阵B ,再交换B 的第二行与第三行得单位矩
阵,记1100110001P ?? ?= ? ???,2100001010P ?? ?
= ? ???
,则A = ( )
(A ) 12P P (B ) 112P P - (C ) 21P P (D ) 1
21-P P
【答案】(D )
【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】
解析:由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =,2P B E =,
所以1111
12121A BP P P P P ----===,故选(D )
(6)设A 为43?矩阵,123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解,12,k k 为任意常数,则Ax β=的通解为( ) (A )
23
121()2k ηηηη++-
(B )
23
121()2k ηηηη-+-
(C ) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- (D ) 23121231()()2
k k ηηηηηη-+-+-
【答案】(C )
【考点】线性方程组解的性质和解的结构;非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】
解析:1213,ηηηη--为0=Ax 的解,因为321,,ηηη线性无关,故1213,ηηηη--线性无关,
2
3
2ηη+为β=Ax 的解,故β=Ax 的通解为
)()(2
1221313
2ηηηηηη-+-++k k 所以应选(C ).
(7)设1()F x ,2()F x 为两个分布函数,其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数,则必为概率密度的是 ( )
(A )1()f x 2()f x (B )22()f x 1()F x
(C )1()f x 2()F x (D )1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D )
【考点】连续型随机变量概率密度 【难易度】★★ 【详解】
解析:
[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+?2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞
-∞-∞=+??
121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞
+∞
-∞-∞
-∞
=-+?
?
1=
故选(D ).
(8)设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机
样本,则对于统计量111n i i T X n ==∑和12111
1n i
n i T X X n n
-==+-∑,有 ( ) (A )1ET >2ET ,1DT >2DT (B )1ET >2ET ,1DT <2DT (C )1ET <2ET ,1DT >2DT (D )1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D )
【考点】随机变量函数的数学期望;随机变量的数学期望的性质 【难易度】★★★ 【详解】
解析:由于12,,,n X X X 是简单随机样本,0i i EX DX λ==>,1,2,
,i n =,
且12,,
,n X X X 相互独立,从而
()()111111
()()n n
i i i i E T E X E X n E X n n n
λ=====??=∑∑,
()11
2111111()()11--==??
=+=+ ?--??
∑∑n n i n i
n i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=
?-+-i n n E X E X n n ()()111λ
?
?=+=+ ??
?E X E X n n 故()()
12
又()()1121((11))λ ===??==∑n i i D T D n D X D X n n X n n , ()122 21111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=?-?+--∑12()1D T n n n λλλ =+>=-, 故选(D ). 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸... 指定位置上. (9) 设()()0 lim 13x t t f x x t →=+,则()f x '= . 【答案】()313x e x + 【考点】重要极限公式 【难易度】★★ 【详解】 解析:()()()31300lim 13lim 13x t x t t t t t f x x t x t ? →→??=+=+?? ? ? 3x x e =? 所以有()()313'=+x f x e x . (10) 设函数1x y x z y ?? =+ ??? ,则() 1,1=dz . 【答案】()()12ln 2dx dy +- 【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】 解析:两边取对数得 ln ln(1)x x z y y = +, 由一阶微分形式不变性,两边求微分得 dy y xy y x y x y x z dx y x y x y x y z dz dy y x y x dx y x y y x dy y x dx y y x y x d y x y x d y x dz z ]) ()1ln([])()1ln(1[) 111()1)(1ln()]1[ln()()1ln(12 2 22 2+-+-++++=+ -+++-+=+++= 将1x =,1y =,2)1,1(=z 代入得 ()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+- (11) 曲线tan 4y x y e π? ? ++= ?? ? 在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【考点】隐函数微分法 【详解】 解析:两边对x 求导得y e y y x y '='+++)1)(4 (sec 2 π , 所以在点(0,0)处(0)2y '=-, 从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-. (12) 曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积 为 . 【答案】43 π 【考点】定积分的应用 【难易度】★★ 【详解】 解析: ()2 2 2 2 2 31 1 1 14 1().33V y dx x dx x x ππππ==-=?-=?? (13) 设二次型() 123,,T f x x x x Ax =的秩为1,A 中各行元素之和为3,则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 . 【答案】2 13y 【考点】用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】 解析:A 的各行元素之和为3,即1113111A ????????=???????????? 所以13λ=是A 的一个特征值. 又因为二次型T x Ax 的秩1)(==A r 230λλ?==. 因此,二次型的标准形为:213y . (14)设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()2 2,;,;0μμσ σN ,则()2E XY = . 【答案】2 2 ()μμσ+ 【考点】数学期望的性质;相关系数的性质 【详解】 解 析 : 因 为 (),~ X Y () 22,;,;0μμσσN ,所以 2~(,) X N μσ, ~ Y , 2222)(,σμμ+=+==EY DY EY EX 又因为0=ρ,所以X ,Y 相互独立. 由期望的性质有2 2 ()E XY EX EY =?22 ()μμσ=+。 三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 求极限 x → 【考点】无穷小量的比较;洛必达法则 【难易度】★★★ 【详解】 解析:当0x →时,ln(1) x x + () 1 lim ln 1x x x x →- +201lim x x x →-= 22 220032 22200012sin (1)2sin 2lim lim 2212sin 2116lim lim lim 2222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→=+-+--==--=-=-=- (16)(本题满分10分) 已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数,()1,12f =是(),f u v 的极值, ()(,,)z f x y f x y =+.求 ()21,1z x y ??? 【考点】多元复合函数的求导法;二阶偏导数;多元函数的极值 【难易度】★★★ 【详解】 解析:(,(,))z f x y f x y =+ 121211x x z f f f f f f x ?''''''=?+??=+?? 211122122211122122211[11][]y x y xy y x y xy z f f f f f f f f f x y f f f f f f f f f ?''''''''''''''=?+??+?+??+???''''''''''' '''=++++? ()1,12f =为(),f u v 的极值 ()()1,11,10x y f f ''∴== 211211212(1,1) (2,2)(2,2)(1,1)(2,2)(2,2)(1,1)xy z f f f f f f x y ?''''''''''∴=+?=+??? (17)(本题满分10分) 求不定积分 【考点】不定积分的基本性质;不定积分的换元积分法与分部积分法 【难易度】★★★ 【详解】 解析: 22==? (arcsin 2ln )2(arcsin 2ln )22t t dt t t t dt ?? +=+-+?? ?? 22(arcsin 2ln )42(arcsin 2ln )42ln t t t t t t t t C C =++=+++=+ 其中C 是任意常数. (18)(本题满分10分) 证明方程44arctan 03 x x π -+ -=恰有两个实根. 【考点】闭区间上连续函数的性质;函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】 解析:令4()4arctan 3 f x x x π =-+ f z = 1 2 x y f x y 则' 2 4 ()101f x x x = -=?=+ 当(,x ∈-∞时,' ()0f x <,()f x 单调递减; 当(x ∈时,' ()0f x >,()f x 单调递增; 当)x ∈+∞时,'()0f x <,()f x 单调递减; 又因为4(4arctan((03 f π =-+ = . x ∴=()f x 在(-∞上唯一的零点. 又因为484arctan 033f ππ=-=-> 且( )4lim lim 4arctan .3x x f x x x π→+∞→+∞ ? =-+ =-∞ ? ∴ 由零点定理可知,) 0x ?∈ +∞,使()00f x =, ∴ 方程44arctan 03 x x π -+ =恰有两个实根. (19)(本题满分10分) 设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数,(0)1f =,且满足 '()()+=????t t D D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t D x y y t x x t t ,求()f x 的表达 式. 【考点】二重积分的计算;一阶线性微分方程 【难易度】★★★★ 【详解】 解析:因为 ()()()()t t t x t t x D f x y dxdy dx f x y dy dx f x y d y x --'''+=+=++?? ?? ?? () [()()]()()t t t y t x x t y x f x y dx f t f x dx f t x f x dx =-====+=-=-??? ()()t tf t f x dx =-?, 21 ()()()2t t D D f t dxdy f t dxdy t f t ==?? ?? 3- 3 201 ()()()2 t tf t f x dx t f t ∴-=?. 两边对t 求导,得 2 ()()02 '+=-f t f t t , 解齐次方程得2 12 ()(2) - -?== -dt t C f t Ce t 由(0)1f =,得4C =. 所以函数表达式为2 4 ()(01)(2) f x x x =≤≤-. (20)(本题满分11分) 设向量组 ()11,0,1T α=,()20,1,1T α=,()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T , ()21,2,3T β=,()33,4,β=T a 线性表出. (I )求a 的值 ; (II )将1β,2β,3β用1α,2α,3α线性表出. 【考点】向量组的线性相关与线性无关;矩阵的初等变换 【难易度】★★★ 【详解】 解析:(I )因为123101 ,,0 1310115 ααα==≠,所以123,,ααα线性无关, 又因为123,,ααα不能由123,,βββ线性表示,所以()123,,3r βββ<, 所以123113 113,,12401 1 5013023 a a a βββ===-=-, 所以5a = (II )123123,,,,,αααβββ()=101113013124115135?? ? ? ??? 101113013124014022?? ?→ ? ???101113013124001102?? ?→ ? ?--??1002150104210001102?? ?→ ? ?--? ? 故112324βααα=+-,2122βαα=+,31235102βααα=+- (21)(本题满分11分) A 为3阶实对称矩阵,A 的秩为2,且111100001111A -???? ? ? = ? ? ? ?-???? (I )求A 的所有特征值与特征向量; (II )求矩阵A . 【考点】矩阵的秩;矩阵的特征值和特征向量的概念、性质;实对称矩阵的特征值和特征向量 【难易度】★★★ 【详解】 解析:(I )因为111100001111A -???? ? ? = ? ? ? ?-???? 所以110011A ????????=????????????,111000111A -?????? ??????==-????????????--?????? , 所以11λ=是A 的特征值,1(1,0,1)T α=是对应的特征向量; 21λ=-是A 的特征值,2(1,0,1)T α=-是对应的特征向量. 因()2r A =知0A =,所以30λ=是A 的特征值. 设3123(,,)T x x x α=是A 属于特征值30λ=的特征向量, 因为A 为实对称矩阵, 所以不同特征值对应的特征向量相互正交,即 131323130,0, T T x x x x αααα?=+=??=-=?? 解得3(0,1,0)T α= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-;特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T T k k k -,其中 123,,k k k 均是不为0的任意常数. (II )将321,,ααα单位化得????? ??=101211γ,??? ?? ??-=101212γ,???? ? ??=0103γ 令? ????? ? ? ? -==02 12110002121),,(321γγγQ ,则????? ??-=011AQ Q T 所以100110000100T A Q Q ???? ? ? =-= ? ? ? ????? . (22)(本题满分11分) 且2 2 ()1P X Y ==. (I ) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布; (II ) 求Z XY =的概率分布; (III ) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. 【考点】二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布;两个随机变量简单函数的分布;相关系数 【难易度】★★★ 解析:(I )因为2 2 ()1P X Y ==,所以22 ()0P X Y ≠= 即0)0,1()1,0()1,0(====-=====Y X P Y X P Y X P 又因为3 1)1(,31)0(,31)1(,32)1(,31)0(=====-==== =Y P Y P Y P X P X P 所以(,)X Y 的概率分布为 (II ) Z XY =的所有可能取值为-1,0,1 . {}{}1 11,13P Z P X Y =-===-= {}{}1 11,13P Z P X Y ===== {}{}{}1 01113 P Z P Z P Z ==-=-=-= Z XY =的概率分布为 (Ⅲ) 3 EX = ,0EY =,0EXY =,故(,)0Cov X Y EXY EX EY =-?=,从而0XY ρ=. (23)(本题满分11分) 设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布,其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域. (I )求X 的概率密度()X f x ; (II )求条件概率密度|(|)X Y f x y . 【考点】二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度;常见二维随机变量的分布 【难易度】★★★ 【详解】 解析:(I )因为1=G S 所以(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G ∈?=??? 由于? +∞ ∞ -= dy y x f x f X ),()( 当0x <或2x >时,()0X f x =. 当01x ≤<时,0 ()(,)1x X f x f x y dy dy x +∞ -∞===? ?; 当12x ≤≤时,20 ()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞ --∞ = ==-? ? ; 所以 , 01, ()2, 12,0, X x x f x x x ≤? =-≤≤??? 其它. (II )? +∞ ∞ -= dx y x f y f Y ),()( 当0y <或1y ≥时,()0Y f y =. 当01y ≤<时,2()122y Y y f y dx y -= =-? ; 所以|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =1 , 2,01,220, y x y y y ?<<-≤ -=?? ?其他.