2011年考研数学三真题及解析

2011年考研数学三真题及解析
2011年考研数学三真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)已知当0x →时,()3sin sin3f x x x =-与k

cx 是等价无穷小,则( )

(A )k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C )

【考点】无穷小量的比较,等价无穷小,泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】

解析:方法一:当0x →时,sin x x

03sin sin 3lim

k x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x x

cx

→--= ()

20

sin 3cos 22cos lim

k

x x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x x

cx -→--= ()221

32cos 12cos lim

k x x x

cx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx

--→→-== 3

04

lim

14,3k x c k cx -→==?==,故选择(C ).

方法二:当0x →时,3

3sin ()3!

x x x o x =-+ )

(4)](!

3)3(3[)](!3[33sin sin 3)(33333

3x o x x o x x x o x x x

x x f +=+--+-=-=

故3,4==k c ,选(C ).

(2)已知函数()f x 在x =0处可导,且()0f =0,则()()

233

2lim

x x f x f x x →-= ( )

(A ) -2()0f ' (B ) -()0f ' (C ) ()0f ' (D ) 0. 【答案】(B )

【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】

解析:()()

()()()()2333

30

0200lim

lim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→??

---??=-????

()()()0200f f f '''=-=-.

故应选(B )

(3)设{}n u 是数列,则下列命题正确的是 ( ) (A )若

1n

n u

=∑收敛,则

21

21()n n n u

u ∞

-=+∑收敛 (B )若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛,则1n n u ∞

=∑收敛

(C ) 若

1

n

n u

=∑收敛,则

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛 (D )若2121

()n n n u u ∞

-=-∑收敛,则1

n n u ∞

=∑收敛

【答案】(A )

【考点】级数的基本性质 【难易度】★★ 【详解】 解析:由于级数

21

21

()n n n u

u ∞

-=+∑是级数1

n n u ∞=∑经过加括号所构成的,由收敛级数的性质:当1

n n u ∞

=∑收

敛时,21

21

()n n n u

u ∞

-=+∑也收敛,故(A )正确.

(4)设4

l n s i n I x d x π=

?

4

ln cot J x dx π=?

,40

ln cos K x dx π

=?,则,,I J K 的大小关系是( )

(A ) I J K << (B ) I K J << (C ) J I K << (D ) K J I <<

【答案】(B )

【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】

解析:如图所示,因为04

x π

<<

时,

0sin cos cot 2

x x x <<

<<,因此lnsin lncos

x x <<4

4

4

ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx π

π

π

<

<

?

?

?

,故选(B )

(5)设A 为3阶矩阵,将A 的第二列加到第一列得矩阵B ,再交换B 的第二行与第三行得单位矩

阵,记1100110001P ?? ?= ? ???,2100001010P ?? ?

= ? ???

,则A = ( )

(A ) 12P P (B ) 112P P - (C ) 21P P (D ) 1

21-P P

【答案】(D )

【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】

解析:由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =,2P B E =,

所以1111

12121A BP P P P P ----===,故选(D )

(6)设A 为43?矩阵,123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解,12,k k 为任意常数,则Ax β=的通解为( ) (A )

23

121()2k ηηηη++-

(B )

23

121()2k ηηηη-+-

(C ) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- (D ) 23121231()()2

k k ηηηηηη-+-+-

【答案】(C )

【考点】线性方程组解的性质和解的结构;非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】

解析:1213,ηηηη--为0=Ax 的解,因为321,,ηηη线性无关,故1213,ηηηη--线性无关,

2

3

2ηη+为β=Ax 的解,故β=Ax 的通解为

)()(2

1221313

2ηηηηηη-+-++k k 所以应选(C ).

(7)设1()F x ,2()F x 为两个分布函数,其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数,则必为概率密度的是 ( )

(A )1()f x 2()f x (B )22()f x 1()F x

(C )1()f x 2()F x (D )1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D )

【考点】连续型随机变量概率密度 【难易度】★★ 【详解】

解析:

[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+?2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞

-∞-∞=+??

121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞

+∞

-∞-∞

-∞

=-+?

?

1=

故选(D ).

(8)设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机

样本,则对于统计量111n i i T X n ==∑和12111

1n i

n i T X X n n

-==+-∑,有 ( ) (A )1ET >2ET ,1DT >2DT (B )1ET >2ET ,1DT <2DT (C )1ET <2ET ,1DT >2DT (D )1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D )

【考点】随机变量函数的数学期望;随机变量的数学期望的性质 【难易度】★★★ 【详解】

解析:由于12,,,n X X X 是简单随机样本,0i i EX DX λ==>,1,2,

,i n =,

且12,,

,n X X X 相互独立,从而

()()111111

()()n n

i i i i E T E X E X n E X n n n

λ=====??=∑∑,

()11

2111111()()11--==??

=+=+ ?--??

∑∑n n i n i

n i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=

?-+-i n n E X E X n n ()()111λ

?

?=+=+ ??

?E X E X n n 故()()

12

又()()1121((11))λ

===??==∑n i i D T D n D X D X n n X n n

()122

21111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=?-?+--∑12()1D T n n n λλλ

=+>=-,

故选(D ).

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...

指定位置上.

(9) 设()()0

lim 13x t

t f x x t →=+,则()f x '= .

【答案】()313x e x + 【考点】重要极限公式 【难易度】★★ 【详解】

解析:()()()31300lim 13lim 13x t x

t

t

t

t t f x x t x t ?

→→??=+=+??

?

?

3x x e =?

所以有()()313'=+x f x e x .

(10) 设函数1x y

x z y ??

=+

???

,则()

1,1=dz .

【答案】()()12ln 2dx dy +- 【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】

解析:两边取对数得

ln ln(1)x x

z y y

=

+, 由一阶微分形式不变性,两边求微分得

dy y xy y x y x y x z dx y x y x y x y z dz dy y

x y

x

dx y x y y x dy y x dx y y x y

x d y x y x d y x dz z ])

()1ln([])()1ln(1[)

111()1)(1ln()]1[ln()()1ln(12

2

22

2+-+-++++=+

-+++-+=+++=

将1x =,1y =,2)1,1(=z 代入得

()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-

(11) 曲线tan 4y

x y e π?

?

++= ??

?

在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【考点】隐函数微分法

【详解】

解析:两边对x 求导得y e y y x y '='+++)1)(4

(sec 2

π

所以在点(0,0)处(0)2y '=-,

从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-. (12)

曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积

为 . 【答案】43

π 【考点】定积分的应用 【难易度】★★ 【详解】 解析:

()2

2

2

2

2

31

1

1

14

1().33V y dx x dx x x ππππ==-=?-=??

(13) 设二次型()

123,,T f x x x x Ax =的秩为1,A 中各行元素之和为3,则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .

【答案】2

13y

【考点】用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】

解析:A 的各行元素之和为3,即1113111A ????????=????????????

所以13λ=是A 的一个特征值.

又因为二次型T

x Ax 的秩1)(==A r 230λλ?==. 因此,二次型的标准形为:213y .

(14)设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()2

2,;,;0μμσ

σN ,则()2E XY = .

【答案】2

2

()μμσ+

【考点】数学期望的性质;相关系数的性质

【详解】 解

(),~

X Y ()

22,;,;0μμσσN ,所以

2~(,)

X N μσ,

~

Y

,

2222)(,σμμ+=+==EY DY EY EX

又因为0=ρ,所以X ,Y 相互独立.

由期望的性质有2

2

()E XY EX EY =?22

()μμσ=+。

三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)

求极限

x →

【考点】无穷小量的比较;洛必达法则 【难易度】★★★ 【详解】

解析:当0x →时,ln(1)

x x +

()

1

lim

ln 1x x x x →-

+201lim x x x →-=

22

220032

22200012sin (1)2sin 2lim lim 2212sin 2116lim lim lim 2222

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x →→→→→→=+-+--==--=-=-=- (16)(本题满分10分)

已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数,()1,12f =是(),f u v 的极值,

()(,,)z f x y f x y =+.求

()21,1z x y

???

【考点】多元复合函数的求导法;二阶偏导数;多元函数的极值 【难易度】★★★

【详解】

解析:(,(,))z f x y f x y =+

121211x x z

f f f f f f x ?''''''=?+??=+?? 211122122211122122211[11][]y x y xy y x y xy z

f f f f f f f f f x y

f f f f f f f f f ?''''''''''''''=?+??+?+??+???'''''''''''

'''=++++?

()1,12f =为(),f u v 的极值 ()()1,11,10x y f f ''∴==

211211212(1,1)

(2,2)(2,2)(1,1)(2,2)(2,2)(1,1)xy z f f f f f f x y ?''''''''''∴=+?=+??? (17)(本题满分10分)

求不定积分

【考点】不定积分的基本性质;不定积分的换元积分法与分部积分法

【难易度】★★★ 【详解】

解析:

22==?

(arcsin 2ln )2(arcsin 2ln )22t t dt t t t dt ??

+=+-+??

??

22(arcsin 2ln )42(arcsin 2ln )42ln t t t t t t t t C

C

=++=+++=+

其中C 是任意常数.

(18)(本题满分10分)

证明方程44arctan 03

x x π

-+

-=恰有两个实根. 【考点】闭区间上连续函数的性质;函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】

解析:令4()4arctan 3

f x x x π

=-+

f z =

1

2

x y f

x

y

则'

2

4

()101f x x x =

-=?=+

当(,x ∈-∞时,'

()0f x <,()f x 单调递减;

当(x ∈时,'

()0f x >,()f x 单调递增;

当)x ∈+∞时,'()0f x <,()f x 单调递减;

又因为4(4arctan((03

f π

=-+

=

. x ∴=()f x

在(-∞上唯一的零点.

又因为484arctan 033f ππ=-=-> 且(

)4lim lim 4arctan .3x x f x x x π→+∞→+∞

?

=-+

=-∞ ?

由零点定理可知,)

0x ?∈

+∞,使()00f x =,

方程44arctan 03

x x π

-+

=恰有两个实根.

(19)(本题满分10分)

设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数,(0)1f =,且满足

'()()+=????t

t

D D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t

D x y y t x x t t ,求()f x 的表达

式.

【考点】二重积分的计算;一阶线性微分方程 【难易度】★★★★ 【详解】 解析:因为

()()()()t

t t x

t t x

D f x y dxdy dx f x y dy dx f x y d y x --'''+=+=++??

??

??

()

[()()]()()t

t

t

y t x x t y x f x y dx f t f x dx f t x

f x dx =-====+=-=-???

()()t tf t f x dx =-?,

21

()()()2t

t

D D f t dxdy f t dxdy t f t ==??

??

3-

3

201

()()()2

t

tf t f x dx t f t ∴-=?.

两边对t 求导,得 2

()()02

'+=-f t f t t ,

解齐次方程得2

12

()(2)

-

-?==

-dt

t C

f t Ce t 由(0)1f =,得4C =. 所以函数表达式为2

4

()(01)(2)

f x x x =≤≤-.

(20)(本题满分11分) 设向量组

()11,0,1T α=,()20,1,1T α=,()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T

,

()21,2,3T

β=,()33,4,β=T

a 线性表出.

(I )求a 的值 ;

(II )将1β,2β,3β用1α,2α,3α线性表出. 【考点】向量组的线性相关与线性无关;矩阵的初等变换 【难易度】★★★ 【详解】

解析:(I )因为123101

,,0

1310115

ααα==≠,所以123,,ααα线性无关,

又因为123,,ααα不能由123,,βββ线性表示,所以()123,,3r βββ<,

所以123113

113,,12401

1

5013023

a a a βββ===-=-,

所以5a =

(II )123123,,,,,αααβββ()=101113013124115135??

? ? ???

101113013124014022?? ?→ ? ???101113013124001102?? ?→ ? ?--??1002150104210001102??

?→ ? ?--?

? 故112324βααα=+-,2122βαα=+,31235102βααα=+-

(21)(本题满分11分)

A 为3阶实对称矩阵,A 的秩为2,且111100001111A -????

? ?

= ? ? ? ?-????

(I )求A 的所有特征值与特征向量;

(II )求矩阵A .

【考点】矩阵的秩;矩阵的特征值和特征向量的概念、性质;实对称矩阵的特征值和特征向量 【难易度】★★★ 【详解】

解析:(I )因为111100001111A -???? ? ?

= ? ? ? ?-????

所以110011A ????????=????????????,111000111A -??????

??????==-????????????--??????

, 所以11λ=是A 的特征值,1(1,0,1)T

α=是对应的特征向量;

21λ=-是A 的特征值,2(1,0,1)T α=-是对应的特征向量.

因()2r A =知0A =,所以30λ=是A 的特征值.

设3123(,,)T

x x x α=是A 属于特征值30λ=的特征向量,

因为A 为实对称矩阵,

所以不同特征值对应的特征向量相互正交,即

131323130,0,

T T

x x x x αααα?=+=??=-=?? 解得3(0,1,0)T

α= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-;特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T T

k k k -,其中

123,,k k k 均是不为0的任意常数.

(II )将321,,ααα单位化得????? ??=101211γ,???

?? ??-=101212γ,????

?

??=0103γ 令?

?????

?

?

?

-==02

12110002121),,(321γγγQ ,则????? ??-=011AQ Q T

所以100110000100T A Q Q ???? ? ?

=-= ? ? ? ?????

.

(22)(本题满分11分)

且2

2

()1P X Y ==.

(I ) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布; (II ) 求Z XY =的概率分布; (III ) 求X 与Y 的相关系数XY ρ.

【考点】二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布;两个随机变量简单函数的分布;相关系数 【难易度】★★★

解析:(I )因为2

2

()1P X Y ==,所以22

()0P X Y ≠=

即0)0,1()1,0()1,0(====-=====Y X P Y X P Y X P 又因为3

1)1(,31)0(,31)1(,32)1(,31)0(=====-====

=Y P Y P Y P X P X P 所以(,)X Y 的概率分布为

(II ) Z XY =的所有可能取值为-1,0,1 .

{}{}1

11,13P Z P X Y =-===-=

{}{}1

11,13P Z P X Y =====

{}{}{}1

01113

P Z P Z P Z ==-=-=-=

Z XY =的概率分布为

(Ⅲ)

3

EX =

,0EY =,0EXY =,故(,)0Cov X Y EXY EX EY =-?=,从而0XY ρ=.

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布,其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.

(I )求X 的概率密度()X f x ; (II )求条件概率密度|(|)X Y f x y .

【考点】二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度;常见二维随机变量的分布 【难易度】★★★ 【详解】

解析:(I )因为1=G S

所以(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G ∈?=???

由于?

+∞

-=

dy y x f x f X ),()(

当0x <或2x >时,()0X f x =. 当01x ≤<时,0

()(,)1x

X f x f x y dy dy x +∞

-∞===?

?;

当12x ≤≤时,20

()(,)12x

X f x f x y dy dy x +∞

--∞

=

==-?

?

所以 , 01,

()2, 12,0, X

x x f x x x ≤

=-≤≤???

其它. (II )?

+∞

-=

dx y x f y f Y ),()(

当0y <或1y ≥时,()0Y f y =. 当01y ≤<时,2()122y

Y y

f y dx y -=

=-?

所以|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =1

, 2,01,220, y x y y y ?<<-≤

-=??

?其他.

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