定义新运算讲义

（十一）定义新运算

1.规定:a ※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= 。

2.如果a △b 表示b a ?-)2(,例如3△444)23(=?-=,那么,当a △5=30时, a= 。

3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=1

4.根据上面定义的运算,18△12= 。

4.已知a,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2-=?ab b a ,那么

[]=?⊕⊕?)53()86(4 。

5.x 为正数,表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 。

6.如果a ⊙b 表示b a 23-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x ⊙5比5⊙x 大5时, x= 。

7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= 。

8.规定一种新运算“※”: a ※b=)1()1(++?????+?b a a a .如果(x ※3)※4=421200,那么x= 。

9.对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x ※y=cxy by ax -+,其中的c b a ,,表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m=x(m ≠0),则m 的数值是 。

10.设a,b 为自然数,定义a △b ab b a -+=22。

(1)计算(4△3)+(8△5)的值；

(2)计算(2△3)△4；

(3)计算(2△5)△(3△4)。

11.设a ，b 为自然数，定义a ※b 如下:如果a ≥b ，定义a ※b=a-b ，如果a

(1)计算:(3※4)※9；

(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说，下面两式是否成立?①a ※b= b ※a;②(a ※b)※c= a ※(b ※c)。

12.设a,b 是两个非零的数,定义a ※b a

b b a +=。 (1)计算(2※3)※4与2※(3※4)。

(2)如果已知a 是一个自然数，且a ※3=2,试求出a 的值。

13.定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b 。比如:10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70-2=68。

(1)求12⊙21,5⊙15；

(2)说明，如果c 整除a 和b,则c 也整除a ⊙b ；如果c 整除a 和a ⊙b ，则c 也整除b ；

(3)已知6⊙x=27,求x 的值。

答案

一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）规定：a※b=（b+a）×b，那么（2※3）※5=100．

2．（3分）如果a△b表示（a﹣2）×b，例如3△4=（3﹣2）×4=4，那么，当a△5=30时，a=8．

3．（3分）定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b．例如：4△6=（4，6）+[4，6]=2+12=14．根据上面定义的运算，18△12=42．

4．（3分）已知a，b是任意有理数，我们规定：a⊕b=a+b﹣1，a?b=ab﹣2，那么4?[（6⊕8）⊕（3?5）]=98．

5．（3分）x为正数，＜x＞表示不超过x的质数的个数，如＜5.1＞=3，即不超过5.1的质数有2，3，5共3个．那么＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞的值是11．

6．（3分）如果a⊙b表示3a﹣2b，例如4⊙5=3×4﹣2×5=2，那么，当x⊙5比5⊙x大5时，x=6．

7．（3分）如果1※4=1234，2※3=234，7※2=78，那么4※5=45678．

8．（3分）我们规定：符号○表示选择两数中较大数的运算，例如：5○3=3○5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3．

请计算：=．

○=○=，

△=，

=△=，

О2.25=О=

=；

故答案为：．

9．（3分）规定一种新运算“※”：a※b=a×（a+1）×…×（a+b﹣1）．如果（x※3）※4=421200，那么x=2．

10．（3分）对于任意有理数x，y，定义一种运算“※”，规定：x※y=ax+by﹣cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1※2=3，2※3=4，x※m=x （m≠0），则m的数值是4．

，

二、解答题（共4小题，满分0分）

11．设a，b为自然数，定义a△b=a2+b2﹣ab．

（1）计算（4△3）+（8△5）的值；

（2）计算（2△3）△4；

（3）计算（2△5）△（3△4）．

12．设a，b为自然数，定义a※b如下：如果a≥b，定义a※b=a﹣b，如果a＜b，则定义a※b=b ﹣a．

（1）计算：（3※4）※9；

（2）这个运算满足交换律吗？满足结合律吗？也是就是说，下面两式是否成立？

①a※b=b※a；②（a※b）※c=a※（b※c）．

13．设a，b是两个非零的数，定义a※b=．

（1）计算（2※3）※4与2※（3※4）．

（2）如果已知a是一个自然数，且a※3=2，试求出a的值．

b=

，4=

4=4=

※

，则≥2，从而

14．定义运算“⊙”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b．比如：10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70﹣2=68．

（1）求12⊙21，5⊙15；

（2）说明，如果c整除a和b，则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，则c也整除b；（3）已知6⊙x=27，求x的值．