2014届高考数学(文)专题提分训练:圆的方程(含答案解析)]
圆的方程
高考试题
考点一求圆的方程
1.(2011年安徽卷,文4)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,
则a的值为( )
(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3
解析:圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1,2),
由题意,3×(-1)+2+a=0,
∴a=1.
答案:B
2.(2009年辽宁卷,文7)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程
为( )
(A)(x+1)2+(y-1)2=2
(B)(x-1)2+(y+1)2=2
(C)(x-1)2+(y-1)2=2
(D)(x+1)2+(y+1)2=2
解析:由题意可设圆心坐标为(a,-a),
解得a=1,故圆心坐标为(1,-1),
半径
所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
答案:B
O位于y轴
3.(2010年广东卷,文6)若圆心在x
左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是( )
2+y2=5 2+y2=5
(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5
解析:设圆心为(a,0)(a<0).
因为直线x+2y=0与圆相切,
解得a=-5.
所以圆O 的方程为(x+5)2+y 2=5. 答案:D
4.(2013年江西卷,文14)若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是 .
解析:因圆C 经过坐标原点O 和点A(4,0), 则圆心必在线段OA 的垂直平分线上, 即圆心的横坐标为2, 又因圆与直线y=1相切, 若设圆心坐标为(2,y), 则圆半径为1-y,
=1-y, 整理得y=-3
2
,
所以圆的方程是(x-2)2
+2
32y ??+ ??
?=25
4. 答案:(x-2)2
+2
32y ??+ ???
=25
4 5.(2011年辽宁卷,文13)已知圆C 经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x 轴上,则圆C 的方程为 . 解析:
设圆心坐标为(x,0),由题意得
解得x=2, ∴圆心为(2,0),
半径
∴圆的方程为(x-2)2+y2=10.
答案:(x-2)2+y2=10
6.(2010年新课标全国卷,文13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为.
解析:半径
∴圆的方程为x2+y2=2.
答案:x2+y2=2
考点二直线与圆的位置关系的判定与应用
1.(2013年重庆卷,文4)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则PQ的最小值
为( )
(A)6 (B)4 (C)3 (D)2
解析:因(x-3)2+(y+1)2=4的圆心(3,-1)到直线x=-3的距离为6,圆的半径为2,故|PQ|min=4.故选B.
答案:B
2.(2013年陕西卷,文8)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线
ax+by=1与圆O的位置关系是( )
(A)相切(B)相交(C)相离(D)不确定
解析:由点M在圆外,得a2+b2>1,
<1,
所以圆心O到直线ax+by=1的距离
则直线与圆O相交,故选B.
答案:B
被圆x2+y2-2x-4y=0截得
3.(2013年安徽卷,文6)直线
的弦长为( )
(A)1 (B)2 (C)4
解析:直线与圆相交问题必考虑圆心到直线的距离,圆半径及半弦长组成的直角三角形.由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以圆心为
(1,2),
所以半弦长
为2,弦长为4.故选C.
答案:C
4.(2013年天津卷,文5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )
(A)-1
2(B)1 (C)2 (D)1
2
解析:由题知过P(2,2)与(x-1)2+y2=5相切的直线斜率存在.设过
P(2,2)与(x-1)2+y2=5相切的直线为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,
得k=-1
2
.
由切线与直线ax-y+1=0垂直得a=2.故选C.
答案:C
5.(2012年重庆卷,文3)设A、B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|等于( )
(D)2
解析:由于直线y=x经过圆心,所以|AB|=2r=2.
答案:D
6.(2012年广东卷,文8)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于( )
(D)1
解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,圆心到直线3x+4y-5=0的
距离
=1.
∴
答案:B
7.(2012年安徽卷,文9)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( )
(A)[-3,-1] (B)[-1,3]
(C)[-3,1] (D)(-∞,-3]∪[1,+∞)
解析:圆心坐标为(a,0),半径
圆心到直线的距离
,
∵直线与圆有公共点,
∴d≤r,
解得-3≤a≤1.
答案:C
8.(2012年湖北卷,文5)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )
(A)x+y-2=0 (B)y-1=0
(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0
解析:当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.
圆心O与P点连线的斜率k=1,
∴直线OP垂直于x+y-2=0.故选A.
答案:A
9.(2013年浙江卷,文13)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.
解析:圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25,圆心(3,4)到直线2x-y+3=0
的距离
所以弦长为
答案
10.(2013年山东卷,文13)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 .
解析:如图,设☉M,A(3,1),当所作弦与AM 垂直时弦最短
由
∴
答案11.(2013年湖北卷,文14)已知圆O:x 2+y 2=5,直线l:xcos θ+ysin θ
=10π02θ??
<< ??
?
.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k,则
k= .
解析:圆O:x 2+y 2=5的圆心到直线l 的距离为1,故过原点O 与l 平行的直线l 1与圆O 的2个交点到直线l 的距离为1,l 1关于l 对称的直线l 2与圆O 的2个交点到l 的距离也是1,故k=4. 答案:4
12.(2012年天津卷,文12)设m,n ∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x 轴相交于点A,与y 轴相交于点B,且l 与圆x 2+y 2=4相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为 .
解析:由题意知A 1,0m ?? ??
?
,B 1
0,n
??
??
?
,圆的半径为2,且l 与圆的相交弦长为2,
m 2+n 2=1
3
,且S △
AOB
=
1211m n =1
2mn ≥221m n
+=3,即三角形面积的最小值为3. 答案:3
13.(2012年江西卷,文14)过直线
上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是 . 解析:设P(x,y),由两条切线的夹角为60°,得切线与PO 的夹角为30°(O 为圆x 2+y 2=1的圆心),又圆的半径为1,所以|PO|=2,即x 2+y 2=4.与
x+y-2联立解得
即
答案
14.(2011年湖北卷,文14)过点(-1,-2)的直线l 被圆x 2+y 2-2x-2y+1=0
则直线l 的斜率为 .
解析:由题意知直线要与圆相交,必存在斜率,设为k,则直线方程为y+2=k(x+1),又圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为1,
∴圆心到直线的距离
解得k=1或
17
7. 答案:1或17
7
15.(2011年湖南卷,文15)已知圆C:x 2+y 2=12,直线l:4x+3y=25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为 ;
(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 .
解析:(1)圆心坐标为(0,0),圆心到直线4x+3y=25的距离
=5.
(2)设与直线4x+3y=25距离为2且与该直线平行的直线与圆交于P 、Q 两点.由(1)知,点O 到直线PQ 的距离为3,因为圆的半径为
故可得∠OPQ=60°.若点A 到直线l 的距离小于2,则点A 只能在弧PQ 上,故所求概率P=
60
360=16
. 答案:(1)5 (2)16
16.(2013年江苏卷,17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上
.
(1)若圆心C 也在直线y=x-1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M,使MA=2MO,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 解:(1)由题设,圆心C 是直线y=2x-4和y=x-1的交点, 解得点C(3,2),
于是切线的斜率必存在.
设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y=kx+3. 由题意,
=1,
解得k=0或k=-34
,
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线y=2x-4上,
所以圆C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),
因为MA=2MO,
,
化简得x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4,
所以点M 在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上. 由题意,点M(x,y)在圆C 上, 所以圆C 与圆D 有公共点, 则|2-1|≤CD ≤2+1,
即1 3. 整理,得-8≤5a 2-12a ≤0. 由5a 2-12a+8≥0, 得a ∈R; 由5a 2-12a ≤0, 得0≤a ≤
125
. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,
5??
????
. 17.(2013年四川卷,文20)已知圆C 的方程为x 2+(y-4)2=4,点O 是坐标原点.直线l:y=kx 与圆C 交于M,N 两点. (1)求k 的取值范围;
(2)设Q(m,n)是线段MN 上的点,且2
2OQ
=
2
1OM
+2
1ON
.请将n 表示为m
的函数.
解:(1)将y=kx 代入x 2+(y-4)2=4中,得 (1+k 2)x 2-8kx+12=0.(*)
由Δ=(-8k)2-4(1+k 2)×12>0, 得k 2>3.
所以,k 的取值范围是(-∞∪∞).
(2)因为M,N 在直线l 上,可设点M,N 的坐标分别为(x 1,kx 1),(x 2,kx 2),
则|OM|2=(1+k 2)21x ,|ON|2=(1+k 2)2
2x .
又|OQ|2=m 2+n 2=(1+k 2)m 2. 由
2
2OQ
=
2
1OM
+2
1ON
,得
()2221k m +=()22111k x ++()22
2
1
1k x +, 即22m =211x +22
1x =()2
121222122x x x x x x +-.
由(*)式可知,x 1+x 2=281k k +,x 1x 2
=2
12
1k +, 所以m 2=
2
36
53
k -. 因为点Q 在直线y=kx 上, 所以k=n m
,代入m 2=236
53
k -中并化简, 得5n 2-3m 2=36. 由m 2=
2
3653k -及k 2>3,可知0 <3, 即m ∈ ∪ 根据题意,点Q 在圆C 内,则n>0, 所以 . 于是,n 与m 的函数关系为 (m ∈ ∪ 18.(2011年新课标全国卷,文20)在平面直角坐标系xOy 中,曲线y=x 2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C 上. (1)求圆C 的方程; (2)若圆C 与直线x-y+a=0交于A,B 两点,且OA ⊥OB,求a 的值. 解:(1)曲线y=x 2-6x+1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为 故可设C 的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2 2+t 2, 解得t=1. 则圆C 所以圆C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足方程组 ()()22 0, 319, x y a x y -+=???-+-=?? 消去y,得方程2x 2+(2a-8)x+a 2-2a+1=0. 由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a 2>0. 从而x 1+x 2=4-a,x 1x 2=2212 a a -+.① 由于OA ⊥OB,可得x 1x 2+y 1y 2=0. 又y 1=x 1+a,y 2=x 2+a, 所以2x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2=0.② 由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1. 考点三 圆与圆的位置关系的判定与应用 1.(2012年山东卷,文9)圆(x+2)2+y 2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系是( ) (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 解析:两圆圆心、半径分别为(-2,0),2和(2,1),3, ∵两圆圆心之间的距离 ,且3-2 2.(2011年广东卷,文8)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( ) (A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆(D)圆 解析:法一设圆C的半径为r,则圆心C到直线y=0的距离为r.由两圆外切可得,圆心C到点(0,3)的距离为r+1,也就是说,圆心C到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,故点C到点(0,3)的距离和它到直线y=-1的距离相等,符合抛物线的特征,故点C的轨迹为抛物线. 法二由题意可知,圆C的圆心C在x轴上方,设其坐标为 (x,y)(y>0), 由圆C与y=0相切得圆C的半径r1=y, 圆x2+(y-3)2=1的圆心为(0,3),半径r2=1. 化简得8y=x2+8, x2+1, 即y=1 8 ∴圆心的轨迹是抛物线. 答案:A 3.(2011年大纲全国卷,文11)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等 于( ) (A)4 解析:∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1), ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b), 则有(4-a)2+(1-a)2=a2, (4-b)2+(1-b)2=b2, 即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根, 整理得x2-10x+17=0, ∴a+b=10,ab=17. ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32, ∴|C1C2=8. 答案:C 4.(2012年江苏卷,12)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为 x 2+y 2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 . 解析:圆C 的标准方程为(x-4)2+y 2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2, ≤2. 整理,得3k 2-4k ≤0, 解得0≤k ≤43 . 故k 的最大值为43 . 答案:43 5.(2009年天津卷,文14)若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 则a= . 解析:x 2+y 2+2ay=6,x 2+y 2=4, 两式相减得y=1a . 联立221,4,y a x y ? =???+=? 消去y 得x 2 =2241 a a -(a>0), ∴ 解得a=1. 答案:1 6.(2009年江苏卷,18)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C 2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线l 过点A(4,0),且被圆C 1截得的弦长为 求直线l 的方程; (2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标. 解:(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l 的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d, 因为直线l被圆C1截得的弦长为 所以 由点到直线的距离公式得 从而k(24k+7)=0. 即k=0或k=-7 24 , 所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0. (2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0, 则直线l2的方程为y-b=-1 k (x-a). 因为圆C1和圆C2的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即 , 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5, 因为k 的取值有无穷多个, 所以20,30a b b a +-=?? -+=?或80, 50, a b a b -+=??+-=? 解得5,212a b ?=????=-??或3,2 13.2 a b ?=-????=?? 这样点P 只可能是点P 151,2 2??- ??? 或点P 2313,22??- ??? . 经检验点P 1和P 2满足题目条件. 模拟试题 考点一 求圆的方程 1.(2012北京顺义三模)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C 的方程为( ) (A) 2 3x ?± ??+y 2=43 (B) 2 3x ?± ??+y 2=1 3 (C)x 2 +2 y ?± ??=43 (D)x 2 +2 y ? ± ?? =13 解析:∵圆C 关于y 轴对称, ∴圆心在y 轴上, 因为圆被x 轴分成两段弧长之比为1∶2, 故被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π 3 , 设圆心(0,a),半径为r, 则rsinπ 3=1,rcosπ 3 =|a|, 解得 即a=所以圆的方程为x2+ 2 y ? ?? =4 3 . 答案:C 2.(2013山东临沂高三期末)与直线x=3相切,且与圆(x+1)2+(y+1)2=1相内切的半径最小的圆的方程 是( ) (A) 2 1 2 x ?? - ? ?? +(y+1)2=25 4 (B) 2 1 2 x ?? - ? ?? +(y-1)2=25 4 (C) 2 1 2 x ?? - ? ?? +(y-1)2=5 2 (D) 2 1 2 x ?? - ? ?? +(y+1)2=5 2 解析:设圆心(a,b),由题意可知a<3, ∵圆与直线x=3相切, ∴圆的半径为3-a, 又圆与(x+1)2+(y+1)2=1相内切, 即(a+1)2+(b+1)2=(2-a)2, 整理得a=1 3-1 6 b2-1 3 b. 半径r=3-a=3-1 3+1 6 b2+1 3 b=1 6 b2+1 3 b+8 3 . ∴当b=- 1 3 1 2 6 ? =-1时,半径r取到最小值5 2 ,此时a=1 2 .即圆心坐标为 (1 2,-1),半径是5 2 , 圆的方程为(x-1 2)2+(y+1)2=25 4 . 答案:A 考点二直线与圆的位置关系的判定及应用 1.(2013山东临沂高三期中)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线 2ax+by+6=0对称,过点(a,b)作圆的切线,则切线长的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 解析:圆C的圆心C坐标为(-1,2),半径 由题意,点C在直线2ax+by+6=0上, 即有-2a+2b+6=0.∴a=b+3. 切线长 ∴当b=-4 22 ? =-1时,切线长最小为4. 答案:C 2.(2013江苏南通高三第一次调研)已知直线y=ax+3与圆 C:x2+y2+2x-8=0相交于A、B两点,点P(x0,y0)在直线y=2x上,且PA=PB,则x0的取值范围是. 解析:圆C:x2+y2+2x-8=0的圆心C的坐标为(-1,0), 半径r=3.∵直线与圆相交 ,<3, 整理得4a2+3a>0,解得a>0或a<-3 4 . ∵PA=PB,∴PC 与直线y=ax+3垂直, ∴ 021 x x +=-1a ,整理得x 0=-121a +, 由a>0或a<-34 得-1 考点三 圆与圆的位置关系的判定与应用 1.(2012银川一模)若圆C 1:x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R)与圆C 2:x 2+y 2-2by-1+b 2=0(b ∈R)外切,则a+b 的最大值 为( ) (B)-3 (C)3 解析:圆C 1的圆心坐标(-a,0),半径是2; 圆C 2的圆心坐标是(0,b),半径是1. 即a 2+b 2=9. ∴(a+b)2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2 )=18, 当且仅当a=b= . ∴a+b 的最大值为答案:D 2.(2011苏州调研)已知圆x 2+y 2=m 与圆x 2+y 2+6x-8y-11=0相交,则实数m 的取值范围是 . 解析:圆x 2 +y 2=m 的圆心(0,0),, 圆x 2+y 2+6x-8y-11=0 的圆心(-3,4),半径r=6, 由题意得 +6. 解得1 答案:(1,121) 综合检测 1.(2013合肥三模)若函数y=x2-m n x+1 n 的图象在点M(0,1 n )处的切线 l与圆C:x2+y2=1相交,则点P(m,n)与圆C的位置关系是( ) (A)P在圆内(B)P在圆内或圆外 (C)P在圆上(D)P在圆外 解析:y′=2x-m n , ∴k切线=y′|x=0=-m n . 切线方程为y-1 n =-m n (x-0), 即mx+ny-1=0. ∵l与圆相交, <1,即m2+n2>1. ∴点P(m,n)在圆外. 答案:D 2.(2013广东广州高中毕业班综合测试)直线截圆(x-2)2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是( ) (A)π 6(B)π 3 (C)π 2 (D)2π 3 解析:圆心(2,0)到直线的距离d=2 2 =1, ∴弦长l=2 ∴劣弧所对圆心角为120°. 答案:D 3.(2012广东广州二模)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).若过点M有且只有一条直线与圆O相切,则切线方程为. 解析:∵过点M有且只有一条直线与圆O相切, ∴M(1,a)在圆x2+y2=4上, 即1+a2=4,解得a= 当∴k OM∴k切线. 切线方程为 (x-1),即 3 当OM . ∴k切线= 3 切线方程为 (x-1), 3 即 答案或 高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定。以下是圆的方程专题练习,请考生查缺补漏。 一、填空题 1.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0 和x轴都相切,则该圆的标准方程是________. [解析] 设圆心C(a,b)(a0,b0),由题意得b=1. 又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1, 解得a=2或a=-(舍). 所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. [答案] (x-2)2+(y-1)2=1 2.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,则圆C的圆心坐标为________. [解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上, 该直线过圆心,即圆心满足方程x+y-1=0, 因此-+1-1=0,解得a=0,所以圆心坐标为(0,1). [答案] (0,1) 3.已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),则该圆的方程是________. [解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x 联立可求得圆心为(1,-4). 半径r=2,所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. [答案] (x-1)2+(y+4)2=8 4.(2019江苏常州模拟)已知实数x,y满足 x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y|的最小值为________. [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1,令 x=2+cos , y=-3+sin ,则|2x-y|=|4+2cos +3-sin | =|7-sin (-7-(tan =2). [答案] 7- 5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0,b0)对称,则+的最小值是________. [解析] 由圆的对称性可得,直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4),所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9,由=,则a2=4b2,又由a+b=2,故当且仅当a=,b=时取等号. [答案] 9 6.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,若圆x2+(y-1)2=4上存在A,B两点关于点P(1,2)成中心对称,则直线AB的方程为________. [解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB,所以kOP==1,kAB=-1, 而直线AB过P点,所以直线AB的方程为y-2=-(x-1),即 全国高考数学直线与圆的方程试题汇编 一、选择题: 1.(全国Ⅱ卷文科3)原点到直线052=-+y x 的距离为 ( D ) A .1 B .3 C .2 D .5 2.(福建文科2)“a =1”是“直线x +y =0和直线x -ay =0互相垂直”的 ( C ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.(四川理科4文科6)将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?,再向右平移1个单位,所得到的直线 为 ( A ) A .1133 y x =- + B .1 13 y x =- + C .33y x =- D .1 13 y x = + 解析:本题有新意,审题是关键.旋转90?则与原直线垂直,故旋转后斜率为13 -.再右移1得 1 (1)3 y x =--. 选A .本题一考两直线垂直的充要条件,二考平移法则.辅以平几背景之旋转变换. 4.(全国I 卷理科10)若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα,,则 ( B ) A .2 2 1a b +≤ B .22 1a b +≥ C .22111a b +≤ D . 2 211 1a b +≥ 5.(重庆理科7)若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ,则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为 ( A ) A .- 13 B .- 15 C . 15 D . 13 (重庆文科4)若点P 分有向线段AB 所成的比为- 1 3,则点B 分有向线段PA 所成的比是( A ) A .- 32 B .- 12 C .12 D .3 6.(安徽理科8文科10)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率 的取值范畴为 ( C ) A .[ B .( C .[ D .( 7.(辽宁文、理科3)圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有.. 公共点的充要条件是 ( C ) 第四章 4.1 4.1.1 A 级 基础巩固 一、选择题 1.圆心是(4,-1),且过点(5,2)的圆的标准方程是 ( ) A .(x -4)2+(y +1)2=10 B .(x +4)2+(y -1)2=10 C .(x -4)2+(y +1)2=100 D .(x -4)2+(y +1)2=10 2.已知圆的方程是(x -2)2+(y -3)2=4,则点P (3,2)满足 ( ) A .是圆心 B .在圆上 C .在圆内 D .在圆外 3.圆(x +1)2+(y -2)2=4的圆心坐标和半径分别为 ( ) A .(-1,2),2 B .(1,-2),2 C .(-1,2),4 D .(1,-2),4 4.(2016·锦州高一检测)若圆C 与圆(x +2)2+(y -1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是 ( ) A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y +2)2=1 D .(x +1)2+(y +2)2=1 5.(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心到直线ax +y -1=0的距离为1,则a = ( ) A .-4 3 B .-34 C .3 D .2 6.若P (2,-1)为圆(x -1)2+y 2=25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是 ( A ) A .x -y -3=0 B .2x +y -3=0 C .x +y -1=0 D .2x -y -5=0 二、填空题 7.以点(2,-1)为圆心且与直线x +y =6相切的圆的方程是 . 8.圆心既在直线x -y =0上,又在直线x +y -4=0上,且经过原点的圆的方程是 三、解答题 9.圆过点A (1,-2)、B (-1,4),求 (1)周长最小的圆的方程; (2)圆心在直线2x -y -4=0上的圆的方程. 10.已知圆N 的标准方程为(x -5)2+(y -6)2=a 2(a >0). (1)若点M (6,9)在圆上,求a 的值; (2)已知点P (3,3)和点Q (5,3),线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 高二数学辅导资料(三) 内容:圆与方程 本章考试要求 考试内容 要求层次A B C 圆与方程 圆的标准方程与一般方程√ 直线与圆的位置关系 √ 两圆的位置关系√ 用直线和圆的方程解决简单的问 题 √空间直角坐标系 空间直角坐标系√ 空间两点间的距离公式√ 一、圆的方程 【知识要点】 圆心为,半径为的圆的标准方程为: 时,圆心在原点的圆的方程为:. 圆的一般方程,圆心为点,半径,其中. 圆系方程:过圆:与圆: 交点的圆系方程是 (不含圆), 当时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 【互动探究】 考点一求圆的方程 问题1.求满足下列各条件圆的方程: 以两点,为直径端点的圆的方程是 求经过,两点,圆心在直线上的圆的方程; 过点的圆与直线相切于点,则圆的方程是? 考点二圆的标准方程与一般方程 问题2.方程表示圆,则的取值范围是 考点三轨迹问题 问题3.点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是 问题4.设两点,,动点到点的距离与到点的距离的比为,求点的轨迹. 二、直线和圆、圆与圆的位置关系 【知识要点】 直线与圆的位置关系 位置关系相切相交相离 几何特征 代数特征 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式 为,圆的半径为,圆心到直线的距离为,则直线与 圆的位置关系满足以下关系: 直线截圆所得弦长的计算方法: 利用垂径定理和勾股定理:(其中为圆的半径,直线到圆心的距离). 圆与圆的位置关系:①设两圆的半径分别为和,圆心距为,则两圆的位置关系满足关系: 位置关系外离外切相交内切内含 几何特征 代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解 ②设两圆,,若两圆相交,则两圆的公共弦所在的直线方程 是 相切问题的解法: 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢? 高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 一、 选择题: 1.如果直线l 将圆:04222=--+y x y x 平分,且不通过第四象限,那么l 的斜率取值范围是( ) A .]2,0[ B .)2,0( C .),2()0,(+∞-∞ D .),2[]0,(+∞-∞ 2.直线083=-+y x 的倾斜角是( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 3. 若直线03)1(:1=--+y a ax l ,与02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直, 则a 的值为( ) A .3- B .1 C .0或2 3 - D .1或3- 4. 过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ) A.053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 053=+-y x 5.过点)1,2(-P 且方向向量为)3,2(-=的直线方程为( ) A.0823=-+y x B. 0423=++y x C. 0132=++y x D. 0732=-+y x 6.圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3 3 = 的距离是( ) A. 2 1 B. 23 C.1 D. 3 7.圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x 8.过点)1,2(且与两坐标轴都相切的圆的方程为( ) A .1)1()1(22=-+-y x B .25)5()5(22=-++y x C .1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y x D .1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-++y x 9. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点,若≥||MN 则k 的取值范围是( ) A .3 [,0]4 - B .[ C .[ D .2 [,0]3 - 10. 下列命题中,正确的是( ) A .方程 11 =-y x 表示的是斜率为1,在y 轴上的截距为2的直线; B .到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5=y ; C .已知ABC ?三个顶点)0,3(),0,2(),1,0(-C B A ,则 高AO 的方程是0=x ; D .曲线023222=+--m x y x 经过原点的充要条件是0=m . 11.已知圆0:22=++++F Ey Dx y x C ,则0==E F 且0 一、填空题 1.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为________. 解析:解法一(直接法) 设圆心坐标为(0,b ),则由题意知(0-1)2+(b -2)2=1,解得b =2,故圆的方程为x 2+(y -2)2=1. 解法二(数形结合法) 作图,根据点(1,2)到y 轴的距离为1易知圆心为(0,2),故圆的方程为x 2+(y -2)2=1. 答案:x 2+(y -2)2=1 2.若方程a 2x 2+(a +2)y 2+2ax +a =0表示圆,则实数a 等于________. 解析:由a 2=a +2得a =-1或2, 又当a =2时, 4x 2+4y 2+4x +2=0不表示任何图形, 故a =-1. 答案:-1 3.已知点A (4,9),B (6,3),则以AB 为直径的圆的标准方程为________. 解析:由题意可知圆心为(5,6), 半径r =12|AB |=1 2(6-4)2+(3-9)2=10, 故圆的标准方程为(x -5)2+(y -6)2=10. 答案:(x -5)2+(y -6)2=10 4.已知圆的方程为(x -2m )2+(y +m )2=25. (1)若该圆过原点,则m 的值为________; (2)若点P (m,0)在圆内,则m 的取值范围为________. 解析:(1)由题意可知点(0,0)满足(x -2m )2+(y +m )2=25, 即5m 2=25,解得m =±5. (2)由题意可知(m -2m )2+(0+m )2<25, 即2m 2<25, 解得-522 答案:(1)±5 (2)-522 圆与方程测试题 一、选择题 1.若圆C的圆心坐标为(2,-3),且圆C经过点M(5,-7),则圆C的半径为(). A.5B.5 C.25 D.10 2.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是(). A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 3.以点(-3,4)为圆心,且与x轴相切的圆的方程是(). A.(x-3)2+(y+4)2=16 B.(x+3)2+(y-4)2=16 C.(x-3)2+(y+4)2=9 D.(x+3)2+(y-4)2=19 4.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m为(). A.0或2 B.2 C.2D.无解 5.圆(x-1)2+(y+2)2=20在x轴上截得的弦长是(). A.8 B.6 C.62D.43 6.两个圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与C2:x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系为(). A.内切B.相交C.外切D.相离 7.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程是(). A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 8.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的公切线有且仅有(). A.4条B.3条C.2条D.1条 9.在空间直角坐标系中,已知点M(a,b,c),有下列叙述: 点M关于x轴对称点的坐标是M1(a,-b,c); 点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a,-b,-c); 点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a,-b,c); 点M关于原点对称的点的坐标是M4(-a,-b,-c). 其中正确的叙述的个数是(). A.3 B.2 C.1 D.0 10.空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)与点B(2,-1,6)的距离是(). A.243B.221C.9 D.86 二、填空题 11.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为. 12.圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为. 13.以点C(-2,3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是. 14.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,试确定常数a的值. 15.圆心为C(3,-5),并且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程为. 16.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是. 1 圆的方程练习题 1.圆x 2+y 2 -4x=1的圆心及半径分别是 ( ) A .(2,0),5 B . C . D .(2,2),5 2 .方程x 2+y 2 +2x-4y-6 =0表示的图形是 ( ) A .以(1,- 2)为圆心 B .以(1,2)为圆心 为半径的圆 C .以(-1, -2)为圆心 D .以( -1,2)为圆心 3.过点A (6,0),B (1,5),且圆心在直线2x-7y+8=0上的圆的方程为( ) A .(x+3)2+(y+2)2=13 B .(x+3)2+(y-2)2 =13 C .(x-3)2+(y-2)2=13 D .(x-3)2+(y+2)2 =13 4.方程(x-a )2+(y-b )2 =0的图形是 ( ) A .一个圆 B .两条直线 C .两条射线 D .一个点 5.已知点A (2,4),B (8,-2),以AB 为直径的圆的方程 ( ) A .(x-5)2+(y-1)2=18 B .(x-5)2+(y-1)2 =72 C .(x+5)2+(y+1)2=18 D .(x+5)2+(y+1)2 =72 6.与圆x 2+y 2 -2x+4y+3=0的圆心相同,半径是5的圆的方程是( ) A .(x-1)2+(y+2)2=25 B .(x-1)2+(y+2)2 =5 C .(x+1)2+(y-2)2=25 D .(x+1)2+(y-2)2 =5 7.已知圆x 2+y 2 +2x-4y-a=0的半径为3,则 ( ) A .a=8 B .a=4 C .a=2 D .a=14 8.圆心在C (-1,2),半径为 ( ) 11A. B.2213cos 1C. D.23sin 2x x y y x x y y θθ θθ θθ θθ ? ?=+=-+????=-=?????=-+=-+????=+?=+?? 高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢? 必修2第四章《圆与方程》单元测试题 (时间:60分钟,满分:100分) 班别 座号 姓名 成绩 一、 选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C (2,2),半径为2的圆,则a 、b 、c 的值依次为 (A )2、4、4; (B )-2、4、4; (C )2、-4、4; (D )2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为( ) (A)22 (B)4 (C)24 (D)2 3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部,则a 的取值范围是( ) (A) 11<<-a (B) 10<-所表示的曲线关于直线y x =对称,必有 ( ) A .E F = B .D F = C . D E = D .,,D E F 两两不相等 8. 已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)则三角形ABC 的形状是( ) (A) 直角三角形 (B )锐角三角形 (C )钝角三角形 (D )斜三角形 9.直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 10.两圆x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2 -6x=0的连心线方程为 ( ) A .x+y+3=0 B .2x -y -5=0 7.5 圆的方程 ●知识梳理 1.圆的方程 (1)圆的标准方程 圆心为(a ,b ),半径为r 的圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2. 说明:方程中有三个参量a 、b 、r ,因此三个独立条件可以确定一个圆. (2)圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.(*) 将(*)式配方得 (x +2D )2+(y +2 E )2=4422 F E D -+. 当D 2+E 2-4F >0时,方程(*)表示圆心(- 2D ,-2 E ),半径r = 21F E D 422-+的圆,把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 (D 2+E 2-4F >0)叫做圆的一般方程. 说明:(1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点: a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. (2)当D 2+E 2-4F =0时,方程(*)表示点(-2D ,-2 E ),当D 2+E 2-4 F <0时,方程(*)不表示任何图形. (3)据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组,可确定圆的一般方程. (3)圆的参数方程 ①圆心在O (0,0),半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ, y =r sin θ ②圆心在O 1(a ,b ),半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ, y =b +r sin θ 说明:在①中消去θ得x 2+y 2=r 2,在②中消去θ得(x -a )2+(y -b )2=r 2,把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆,则有A =C ≠0,B =0,这仅是二元二次方程表示圆的必要条件,不充分. 在A =C ≠0,B =0时,二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0, 仅当( A D )2+(A E )2-4·A F >0,即D 2+E 2-4AF >0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是:①A =C ≠0,②B =0,③D 2+E 2-4AF >0. ●点击双基 1.方程x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0(t ∈R )表示圆方程,则t 的取值范围是 A.-1 《圆的方程》专题 2019年( )月( )日 班级 姓名 1.圆的定义及方程 ?标准方程强调圆心坐标为(a ,b ),半径为r . ?(1)当D 2+E 2-4F =0时,方程表示一个点????-D 2,-E 2; (2)当D 2+E 2-4F <0时,方程不表示任何图形. 2.点与圆的位置关系 点M (x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的位置关系: (1)若M (x 0,y 0)在圆外,则(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2. (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2. 二、常用结论汇总——规律多一点 (1)二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是???? ? A =C ≠0, B =0,D 2+E 2-4AF >0. (2)以A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为直径端点的圆的方程为(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0. 三、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”,错的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程(x -a )2+(y -b )2=t 2(t ∈R )表示圆心为(a ,b ),半径为t 的一个圆.( ) (3)方程x 2+y 2+4mx -2y =0不一定表示圆.( ) (4)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,则x 20+y 2 0+Dx 0+Ey 0+F >0.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (二)选一选 1.圆x 2+y 2-4x +6y =0的圆心坐标是( ) A .(2,3) B .(-2,3) C .(-2,-3) D .(2,-3) 解析:选D 因为圆的方程可化为(x -2)2+(y +3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3). 2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A .(x -1)2+(y -1)2=1 B .(x +1)2+(y +1)2=1 C .(x +1)2+(y +1)2=2 D .(x -1)2+(y -1)2=2 解析:选D 因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径r =12+12=2,则该圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2,选D. 3.若坐标原点在圆(x -m )2+(y +m )2=4的内部,则实数m 的取值范围是( ) A .(-1,1) B .(-3,3) C .(-2,2) D.?? ? ? - 22, 22 解析:选C ∵点(0,0)在(x -m )2+(y +m )2=4的内部,∴(0-m )2+(0+m )2<4,解得-2<m < 2.故选C. (三)填一填 4.(2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________. 高一数学 高中数学圆的方程专题(四个课时) 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-.∵圆心在0=y 上,故0=b .∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点.∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r .所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x .又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22.∴点P 在圆外. 例2 求半径为4,与圆04242 2 =---+y x y x 相切,且和直线0=y 相切的圆的方程. 分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解. 解:则题意,设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-: . 圆C 与直线0=y 相切,且半径为4,则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C . 又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(,半径为3. 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA . (1)当)4,(1a C 时,2227)14()2(=-+-a ,或2 221)14()2(=-+-a (无解),故可得1022±=a . ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2 224)4()1022(=-++-y x . (2)当)4,(2-a C 时,2227)14()2(=--+-a ,或2 221)14()2(=--+-a (无解),故622±=a . ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ,或2 224)4()622(=+++-y x . 例3 求经过点)5,0(A ,且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程. 圆的方程练习题答案 A级基础演练 一、选择题 1.(2013·济宁一中月考)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为 ( ).A.-1 B.1 C.3 D.-3 解析化圆为标准形式(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为(-1,2).∵直线过圆心,∴3×(- 1)+2+a=0,∴a=1. 答案 B 2.(2013·太原质检)设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若00,所以原点在圆外. 答案 B 3.圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为 ( ).A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5 解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0,-2),所以所求圆的方程为x2+(y+2)2=5. 答案 D 4.(2013·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为 ( ). A.x2+y2=32 B.x2+y2=16 C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16 解析设P(x,y),则由题意可得:2x-22+y2=x-82+y2,化简整理得x2+y2=16,故选B. 答案 B 二、填空题 5.以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________. 高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一:巧用圆系求圆的过程 在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种: ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。 当时,得到两圆公共弦所在直线方程 例1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若,求实数的值。 分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。 解:过直线与圆的交点的圆系方程为: ,即 ………………….① 依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则 ,解之可得 又满足方程①,则故 例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解:圆和的公共弦方程为 ,即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ,即 依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心 必在公共弦所在直线上。即,则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证:m为任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点P,并求P点坐标。 分析:不论m为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解:由原方程得 m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,① 即 ?? ?-==???=-+=-+4y 9 x 05y x 01y 2x 解得, ∴直线过定点P (9,-4) 注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C :(x -1)2+(y -2)2 =25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ). (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x +y -4)+m (2x +y -7)=0. 2x +y -7=0, x =3, x +y -4=0, y =1, 即l 恒过定点A (3,1). ∵圆心C (1,2),|AC |=5<5(半径), ∴点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点. (2)解:弦长最小时,l ⊥AC ,由k AC =- 2 1 , ∴l 的方程为2x -y -5=0. 评述:若定点A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢? 思考讨论 类型二:直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点,求实数m 的取值范围. 解:∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ,∴利用数形结合法,可得实数m 的取值范围是 22<≤-m 或22=m . 变式练习:1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点,则k 的取值范围是___________. 解析:利用数形结合. 答案:-1<k ≤1或k=-2 例6 圆9)3()3(2 2 =-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r . 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324 311 34332 2 <=+-?+?= d . ∵m ∈R ,∴ 得 课时作业23 圆的一般方程 (限时:10分钟) 1.若圆x 2+y 2-2x -4y =0的圆心到直线x -y +a =0的距离为2 2,则a 的值为( ) A .-2或2 或32 C .2或0 D .-2或0 解析:圆的标准方程为(x -1)2+(y -2)2=5,圆心为(1,2),圆心到 直线的距离|1-2+a |12+-1 2=22,解得a =0或2. 答案:C 2.若圆x 2+y 2-2ax +3by =0的圆心位于第三象限,那么直线x +ay +b =0一定不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解析:圆心为? ?? ??a ,-32b ,则有a <0,b >0.直线x +ay +b =0变为y =-1a x -b a .由于斜率-1a >0,在y 轴上截距-b a >0,故直线不经过第四象限. 答案:D 3.直线y =2x +b 恰好平分圆x 2+y 2+2x -4y =0,则b 的值为 ( ) A .0 B .2 C .4 D .1 解析:由题意可知,直线y =2x +b 过圆心(-1,2), ∴2=2×(-1)+b ,b =4. 答案:C 4.M (3,0)是圆x 2+y 2-8x -2y +10=0内一点,过M 点最长的弦所在的直线方程为________,最短的弦所在的直线方程是________. 解析:由圆的几何性质可知,过圆内一点M 的最长的弦是直径,最短的弦是与该点和圆心的连线CM 垂直的弦.易求出圆心为C (4,1), k CM =1-04-3=1,∴最短的弦所在的直线的斜率为-1,由点斜式,分 别得到方程:y=x-3和y=-(x-3),即x-y-3=0和x+y-3=0. 答案:x-y-3=0x+y-3=0 5.求经过两点A(4,7),B(-3,6),且圆心在直线2x+y-5=0上的圆的方程. 解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其圆心为? ? ? ? ? - D 2,- E 2, 由题意得 ?? ? ??42+72+4D+7E+F=0, -32+62-3D+6E+F=0, 2· ? ? ? ? ? - D 2+? ? ? ? ? - E 2-5=0. 即 ?? ? ??4D+7E+F=-65, 3D-6E-F=45, 2D+E=-10, 解得 ?? ? ??D=-2, E=-6, F=-15. 所以,所求的圆的方程为x2+y2-2x-6y-15=0. (限时:30分钟) 1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别为() A.(2,-3);16B.(-2,3);4 C.(4,-6);16 D.(2,-3);4 解析:配方,得(x+2)2+(y-3)2=16,所以,圆心为(-2,3),半径为4. 答案:B 2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆的条件是() 高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)
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