对称性原理在刚体定轴转动教学中的应用
新北师大版七年级数学下线段、角的轴对称性练习及答案
线段、角的轴对称性 [趣题导学] 如图1.4-1，初二（1）班与初二（2）班这两个班的学生分别在M、N两处参加劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，你能找出符合条件的点P，并简要说明理由吗？ 图1.4-1 图1.4-2 解答：P点如图1.4-2所示，作∠BAC的角平分线AD，作线段MN的垂直平分线EF，AD 与EF交于点P，因为AD平分∠BAC，所以点P到两条道路AB、AC的距离相等，又因为点P在线段MN的中垂线上，所以PM=PN。 [双基锤炼] 一、选择题 1、下列图形中，不是轴对称图形的是（） A. 两条相交直线 B. 线段 C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段 2、到三角形的三个顶点距离相等的点是（） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 3、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。其中轴对称图形共有（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 4、已知：在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线上，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA=1000，则（） A.DE>DF B.DE 怀文中学2012---2013学年度第一学期教学设计 初二数学（1.4线段、角的轴对称性2） 主备：陈秀珍审核：陈曼玉日期：2012-8-31 学习目标： 1．经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2．探索并掌握角平分线的性质； 3．了解角的平分线是具有特殊性的点的集合； 4．在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力．教学重点：角平分线的性质． 教学难点：角的平分线是具有特殊性值的点的集合． 教学过程： 一．自主学习（导学部分） 1．同学们用纸片做过纸箭和纸飞机吗？说说你的方法． 2．试用如图所示的等腰三角形AOB纸片，折一只以点 头的纸箭，再展开纸箭，观察折痕，你有什么发现？ 二．合作、探究、展示 活动一画角、折纸，探索角的轴对称性和角平分线的性质 1．（1）画∠AOB，折纸使OA、OB重合， 折痕与∠AOB有什么关系？． （2）在折痕上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足为D、E，那么PD与PE有什么关系？ 得出结论： ． 2．在上面第二个结论中，有两个条件 （1）OC是∠AOB的平分线； （2）点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB．两者缺一不可． 结论是：PD＝PE， 3．讨论：点P在∠AOB的平分线上，那么点P到OA、OB的距离相等；反过来， 你能得到什么猜想？ 得出结论：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上； 角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合． 4．例题：（投影展示） 三．巩固练习 1．练习：P25 1、2 2．P25 习题4、5 3．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M， PN垂直OB于N，且PM=2cm时，则PN＝__________cm．4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O， OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D、E、F． （1）OD与OF相等吗？为什么？ （2）OE与OF相等吗？为什么？ （3）OD与OE相等吗？为什么？ （4）OC平分∠ACB吗？为什么？ 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D． （1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是． （2）若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长 是． 理由： 6．如图，直线a，b，c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？ 四．课堂小结 五．布置作业 六．预习指导 教学反思： B O A F E D C B A c b a 第二章线段、角的轴对称性 一．选择题（共10小题） 1．（2016湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2016淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分 别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（2016德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（） A．65°B．60°C．55°D．45° 4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（） A．2 B．2C．4 D．4 5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90°B．95°C．100°D．105° 6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（） A．24°B．30°C．32°D．42° 7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为（） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（） ①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等 ②三角形的三条内角平分线交于一点 ③三角形的内角平分线位于三角形的内部 ④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分． A．1个B．2个C．3个D．4个 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A．11 B．5.5 C．7 D． 10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（） A．PC＜6 B．PC=6 C．PC＞6 D．以上都不对 二．填空题（共6小题） 11．（2016西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=______． 12．（2016遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=_____ _度． 2.4 线段、角的轴对称性（4） 教学目标: 1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题； 2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据； 3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 教学重点: 综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题． 教学难点: 学会证明点在角平分线上． 教学过程: 开场白 同学们，上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，而且“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两个定理能用来解决什么问题呢？ 例2 已知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上． 分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE＝PF，从而PD＝PE，所以得证． 通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？ 例3 已知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF． 分析：要证AD垂直平分EF， 只要证：，． 已知∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF AC， 只要证， 只要证． …… 指导学生完成练习． 解完题后，说说你的发现，提出你的问题． 练习：课本P56练习． 学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”． 布置作业 课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程． 2.4 线段、角的轴对称性（1、2）教学案 一、教学目标： 1、探索并掌握线段垂直平分线的性质. 2、经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合. 3、在“操作—探究—归纳—说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力. 二、教学重点：探索并掌握线段垂直平分线的性质. 三、教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合. 四、导学（教学）过程 （一）创设情境 南京市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等. （二）动手实践，探索性质： 1、探索一： 问题1：线段是轴对称图形吗？为什么？ 问题2：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题3：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？得出结论： （1）线段是图形.线段的线是它的对称轴. （2）线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_________. 几何语言：∵直线l⊥AB，OA=OB，P在l上. 问题：线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离相等吗？ 2、探索二： 你能用圆规在下图中找一点P，使AP=BP吗？说说你的方法. A B 再作点M ，使AM=BM. 你还能作出类似的点吗？它们有何特征？ 结论： 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上. 几何语言： ∵ PA=PB ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上 3、推进一步：如图，DA=DB ，CA=CB. 试判断AE 和BE 大小． 动手作一作： 作线段的垂直平分线 结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 随堂练习 如图，在△ABC 中， ∠ACB=90°，DE 垂直平分AB ，垂足为D ，∠CAE:∠EAB=5:2. 问:1.图中有哪些相等的线段? 2.有哪些相等的角? 3.∠B=___ ． （三）例题讲解 例. 已知：如图，AB=AC=12cm ，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ， （1）△ABD 的周长等于29 cm ，求DC 的长. （2）△BDC 的周长等于21 cm ，求BC 的长. B A B C D E 《圆的对称性》教案 教学目标 1．知识与技能 （1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； （2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题． 2．过程与方法 （1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； （2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 3．情感、态度与价值观 经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣． 教学重难点 重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解． 难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．教学过程 一、创设情境，导入新课 问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ （如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）． 问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 生：折叠． 今天我们继续来探究圆的对称性． 问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？ 生：圆心和半径． 问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？ 忆一忆： 1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________． 2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧． 3．___________叫做等圆，_________叫做等弧． 4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角． 二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？ 动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？ 学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条． 知识点二：圆的中心对称性． 问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ 让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 做一做： 在等圆⊙O 和⊙O ' 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠（如图3-8），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由． 学案1.4 线段、角的轴对称性 知识与基础 1、在下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A 、一条线段 B 、两条相交直线 C 、有公共端点的两条相等的线段 D 、有公共端点的两条不相等的线段 2、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。其中轴对称图形共有（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 3、如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，若∠1＝20o，则∠3＝______o；若PD ＝1cm ，则PE ＝_________cm. A A D C D P O E B B E C 4、如图，在△ABC 中， AB 的垂直平分线DE 交 BC 于点E ，交AB 于点D ，△ACE 的周长为11cm ，AB ＝4cm ，则△ABC 的周长为__________cm. 5、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°,BD 平分∠ABC CD ：AD ＝2：3，则点D 到AB 的距离为A D C P A B 6、如图，直线交于点O ，点P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 、P 。 （1）若l 1、l 2相交所成的锐角∠AOB ＝60°，则∠P 1OP 2＝_________； （2）若OP ＝3，P 1P 2＝5，则△P 1OP 2的周长为_________。 7、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 的垂直平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。 （1）AD 是∠BAC 的角平分线吗？为什么？ （2）写出图中所有的相等线段，并说明理由。 应用与拓展 8、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直 平分，交点为O ，写出图中所有相等的线段和相等的角，A O C 并说明理由。 B 9、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B （如 1 2 3 初中数学《线段、角的轴对称性》教案 教学课题：§1.4线段、角的轴对称性(一) 教学时间（日期、课时）： 教材分析： 学情分析： 教学目标： 1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质； 3.了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合； 4 在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力。 探索并掌握线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合 教学准备 《数学学与练》 集体备课意见和主要参考资料 页边批注 加注名人名言 苏州市第二十六中学备课纸第页 教学过程 一．新课导入 问题1：线段是轴对称图形吗？为什么？ 探索活动： 活动一对折线段 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 二．新课讲授 结论：1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(投影) 例题：例1P21(投影) 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？ 活动二用圆规找点 问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？ 问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？ 结论：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线 1.按课本上的方法在书上作出线段的垂直平分线； 2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线 加注名人名言 函数的对称性 一、有关对称性的常用结论 （一）函数图象自身的对称关系 1、轴对称 (1))(x f -=)(x f ?函数)(x f y =图象关于y 轴对称； (2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+?()(2)f x f a x =- ?()(2)f x f a x -=+； （3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2 b a x += 对称。 2、中心对称 （1）)(x f -=－)(x f ?函数)(x f y =图象关于原点对称；. （2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称?)()(x a f x a f --=+?()(2)f x f a x =-- ?)2()(x a f x f +=-； （3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称?b x a f x a f 2)()(=++- ?b x f x a f 2)()2(=+- （4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函 数)(x f y =的图象关于点)2 ,2(c b a + 对称。 （二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -= 对称。 推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。 推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。 2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2,2( c a b -对称。 推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。 （一）选择题 1. 已知定义域为R 的函数)(x f 在） ，（∞+8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ） A ．)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f > A B 2 1C B A E D O 21 1.5等腰三角形的轴对称性（2） 姓名_________ 班级 ________ 学号 等第 学习目标 1. 掌握“等角对等边”的性质 2. 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质 3. 经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力， 感受分类、转化等数学思想方法； 4. 会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和 表达，提高演绎推理的能力 学习重点 熟练的掌握“等角对等边”及直角三角的重要性质 学习难点 正确熟练的运用解决问题 学习过程 1.探索发现 （1）.将一张长方形的纸条上任意画出一条截线AB ，所得的∠1与∠2相等吗？为什么？ 经过折叠后所得的△ABC ，在所得的三角形中∠1=∠2。那么请同学们度量边AC ，BC 的长度，你们有什么发现？ （2）.在一张薄纸上画线段AB ，并在AB 同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM 和∠ABM.设AM 与BN 相交于点C.量一量AC 与BC 的长度，AC 和BC 相等吗？你和同学所得的结论相同吗？ 2.例题分析 例1. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，两条角平分线BD 、CE 相交于点O 。 (1).OB 与OC 相等吗？请说明理由。 ⑵.BD 与CE 相等吗?为什么? B A C 21 ⑶.如果将BD 与CE 变为高或中线，⑵中的结论还成立吗?为什么? 例2、如图，已知0B 、OC 为△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，△ADE 的周长为10，BC 长为8，求△ABC 的周长. 3. 根据课本P26的探索，请同学讨论，并从中得出相关的结论 取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠： 问题：图中与AD 相等的线段有哪些？CD 与AB 的大小有什么关系？ 4.课堂练习 （1）.课本第26页练习1、2、3 （2）.如图,在四边形ABCD 中， ∠ABC=∠ADC=900，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，求证：MN ⊥BD. （3）.如图,在△ABC 中，∠C=900 ， ∠ABD=2∠EBC ，AD ∥BC ， 求证:DE=2AB. 5. 总结反思 （1）.如何判定一个三角形是等腰三角形？ （2）.直角三角形斜边上的中线与斜边有何关系？ A B C D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A B C D E A C B D M N A B C D E 怀文中学2011---2012学年度第一学期教学设计 初 二 数 学（1.4线段、角的轴对称性1） 主备：陈秀珍 审核：曼玉 日期：2012-8-31 学习目标： 1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2．探索并掌握线段的垂直平分线的性质； 3．了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合； 4．在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力． 教学重点：探索并掌握线段的垂直平分线的性质． 教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合． 教学过程： 一．自主学习（导学部分） 1．按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 线段是轴对称图形吗？为什么？ 2．例1你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？ 题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？ 二．合作、探究、展示 活动一 对折线段 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 例题：P18 例1 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要作一定的 分析， 活动二 用圆规找点 问题1：你能用圆规找出一点Q ，使AQ ＝BQ 吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹）， 还能找出符合上述条件的点M 吗？ 问题2：观察点Q 、M ，与直线l 有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？ 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 活动三 用直尺和圆规作线段的垂直平分线 1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线； 2.同理可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3.如图在直线MN 上求作一点P ，使PA ＝PB ． 4.已知：如图，AB ＝AC ＝12 cm ，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ，△ABD 的周长等于29 cm ，求DC 的长． 三．巩固练 1．到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条高的交点 D ．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，△ABC 中，D E 垂直平分AC ，与AC 交于 E ，与BC 交于D ，∠C ＝15°，∠BAD ＝60°，则△ABC 是 __________三角形． 3．如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC 、 BC 于点F 、G ，若BC ＝25cm ，求△AEG 的周长． 4．在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N ， 若CD ＝5厘米，求ΔPMN 的周长． 5．滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何 处，才能使得它到三个小区的距离相等. 四．课堂小结 五．布置作业 六．预习指导 教学反思： · B O A C B A N M B D C 第二章 2.4 线段、角的轴对称性 一．选择题（共10小题） 1．（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2016?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧， 分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（2016?德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大 于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（） A．65° B．60° C．55° D．45° 4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（） A．2 B．2C．4 D．4 5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90° B．95° C．100°D．105° 6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（） A．24° B．30° C．32° D．42° 7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为（） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（） ①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等 ②三角形的三条内角平分线交于一点 ③三角形的内角平分线位于三角形的内部 ④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分． A．1个B．2个C．3个D．4个 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（） A．PC＜6 B．PC=6 C．PC＞6 D．以上都不对 二．填空题（共6小题） 11． （2016?西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=______． 12．（2016?遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=_____ _度． 1．4线段、角的轴对称性(1) 【学习目标】： 1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质. 【重点难点】：线段中垂线的性质和判定 【预习指导】： 自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要 问题1：线段是轴对称图形吗？为什么 问题2线段的对称轴是什么？ 问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系? 课堂活动 活动一对折线段 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 例题：P18 例1 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？ 活动二用圆规找点 问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？ 问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？ 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线 1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线； 2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【典题选讲】： 已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，. 求DC的长 【学习体会】： 【课堂练习】： 1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？ E 5.2 探索轴对称的性质 教学目标： 1．探索轴对称的基本性质，掌握对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。 2．通过本节课的学习，帮助学生更容易地感受到数学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题中的作用，培养学生实事求是的态度及合作交流的能力。 3．通过环环相扣的、层层深入的问题设置，鼓励学生积极参与，培养学生自主、合作、探究的能力，培养学生学习数学的情趣。 教学重点：1．掌握轴对称的性质。 2．运用轴对称的性质解决实际问题。 教学难点：灵活运用轴对称的性质解决实际问题。 三、教学过程 第一环节复习引入 活动内容： （1）提问：什么样的图形是轴对称图形？怎么判断两个图形成轴对称？ 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫这个图形的对称轴。 轴对称:对于两个图形，把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称。 这条直线是对称轴（幻灯片给出答案）。 （2）观察动画后回答 1、动画（1）中的两个三角形有什么关系？ 2、动画（2）中的三角形是个什么图形？） 活动目的：轴对称图形和两个图形成轴对称是学生比较容易混淆的概念，而本节课是探索轴对称的性质，实际上是以上两者都具备的性质，因此先对轴对称图形和两个图形成轴加强学生的学习目的。 实际教学效果：学生的学习目标得到了明晰，大大提高了课堂效率。 第二环节 探索发现 活动内容：各小组派代表展示自己课前所做的“14”，再结合幻灯片引导学生探索得到本节课的核心内容——轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等。 活动目的：培养学生的动手能力，数学表达能力，团队合作意识。 实际教学效果：学生在一个开放的环境下展示、讲解亲自获取的数学知识，而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使学生们对轴对称的基本性质认识的更为深刻。 第三环节 巩固新知 活动内容： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 2.图⑴是轴对称图形，根据轴对称图形的性子，你可以得到相等的线段是 ，相等的角是 。 3.两个图形关于某直线对称，对称点一定在（ ） A ．这直线的两旁 B ．这直线的同旁 C ．这直线上 D ．这直线两旁或这直线上 4．轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴两旁的部分 ( ) A ．完全重合 B ．不完全重合 C ．两者都有 （1） 八年级数学——线段和角的轴对称性 线段、角的轴对称性 [知识要点] 1.线段的垂直平分线 性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 判定定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 2.角平分线 性质定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3.尺规作图 作线段的垂直平分线和角的平分线 [点睛例题] 例1.如图，C是∠AOB内一点，C1、C2分别是点C关于OA、OB的对称点，若C1、C2的连线交OA于D，交OB于E，C1C2＝4.5cm，则△CDE的周长为（） A．4.5cm B．6.5cm C．5.5cm D．无法求 例2.如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是（） A．OB＝OC B．OD＝OF C．OA＝OB＝OC D．BD＝DC 例3.如图，A、B、C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校，现规划修建居民小区D，其要求是： （1）到学校的距离与其它小区到学校的距离一样； （2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试确定居民小区D 的位置． [点睛习题] 1、如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC = 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交 AC于点E，则△BEC的周长为（） A．13 B．14 C．15 D．16 2、已知，如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，那么点P是否在∠BAC的平分线上？为什么？ 3、下列说法：（1）若直线PE是线段AB的中垂线，则EA＝EB，PA＝PB；（2）若EA＝ EB，PA＝PB，则直线PE垂直平分线段AB；（3）若PA＝PB，则点P必是线段AB的中垂 线上的点；（4）若AE＝BE，则经过点E的直线垂直平分线AB，其中正确的个数为（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个 4、已知，如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，那么点P是否在∠BAC的平分线上？为什么？ 线段、角的轴对称性—知识讲解 责编：陆海霞 【学习目标】 1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题． 2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线 的性质解决问题． （2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 若PE⊥AD于点E， 角平分线的画法 角平分线的尺规作图 【典型例题】 类型一、线段的轴对称性 1、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（） A．13 B．15 C．17 D．19 【变式】（2015?黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置． 2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q， 然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短． 类型二、角的轴对称性 3、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( ) A. 4cm B. 6cm C.10cm D. 以上都不对 教案1．4线段、角的轴对称性(2) 【学习目标】： 1、让学生经历角的折叠过程探索角的对称性，并发现角平分线的性质和判定点在一个角的平分线上的方法； 2、使学生会运用角平分线的性质定理解决生活中的相关问题； 3、培养学生实践探索的科学习惯； 4、在“操作—探究—归纳—说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力. 【重点难点】：角平分线的性质和判定 【预习指导】： 1、在一张薄纸上任意画一个角（∠AOB ）,折纸，使两边OA、OB重合，你发现折痕与∠ AOB有什么关系？ 结论： 2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD,再 沿原折痕重新折叠，由此你能发现角平分线上的点有什么性质? 结论： 几何符号：∵ ∴ 3、反之，如果一个角内一点具备到这个角两边的距离相等，那么这个点的位置有何特征？结论： 几何符号：∵ ∴ 【典题选讲】： 例1、任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设两条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么? P B A 例2、已知:如图,在ΔABC中.O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？ F 【学习体会】： 【课堂练习】： 1、 画一画：已知∠AOB 和C 、D 两点，请在图中标出一点E ，使得点E 到OA 、OB 的距离相等，而且E 点到C 、D 的距离也相等. 2、 已知：在ΔABC 中，D 是BC 上一点,DF ⊥AB 于E,DE ⊥AC 于F,且DE=DF. 线段AD 与EF 有何关系?并说明理由. 3、 已知：在∠ABC 中，D 是∠ABC 平分线上一点,E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE=DF. 试判断∠BED 与∠BFD 的关系，并说明理由. （ 编写者：李晓红） O B A C D · · A C 《等腰三角形的轴对称性一》教案 学习目标 1、理解等腰三角形是轴对称图形； 2、掌握等边对等角的性质； 3、掌握“三线合一”的性质. 学习重难点 教学重点：等腰三角形相关性质的应用； 教学难点：等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用. 自主学习 1、等腰三角形是图形，是它的对称轴. 2、等腰三角形的两个相等(简称“等边对等角”) 3、等腰三角形线、线及线重合(简称“三线合一”) 合作探究 A B C A B C D 1、把等腰三角形沿顶角的平分线对折.同学们有什么发现吗？ 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 2、根据轴对称图形的性质，再次把等腰三角形沿顶角平分线对折后， 发现：等腰三角形的两个重合在一起， 等腰三角形底边上、及线重合.(简称“三线合一”) 结论： (1)、等腰三角形的两个相等(简称“等边对等角”) (2)、等腰三角形线、线及线重合(简称“三线合一”) 以上定理，可以用符号语言表述如下： (1)在△ABC中，∵AB=AC ∴∠=∠ . (2)、在△ABC中，∵A B=AC，∠BAC=∠CAD ∴⊥， = . (3)、在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD ∴⊥，∠ =∠ (4)、在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC ∴ = ，∠ =∠ . 3、完成书本第61页作图. 达标巩固 1、(1)、等腰三角形的一个角是30度，则它的另外两个角分别为 . (2)、等腰三角形的一个角是100度，则它的另外两个角分别为 . (3)、等腰三角形的一边长是2cm，另一长是4cm，则它的周长为 . (4)、等腰三角形的一边长是6cm，另一边长是8cm，则它的周长是 . 2、等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC， ③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是( ) A、4 B、3 C、2 D、1 3、如图，AB=AC，BD=BC，∠A=40°，求∠ABD的度数. 课题：1．4 线段、角的轴对称性（1） 教学目标： 1、经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2、探索并掌握线段的垂直平分线的性质； 3、了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合； 4、在“操作――探究――归纳――说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力。 教学重点： 探索并掌握线段的垂直平分线的性质。 教学难点： 线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合。 教学方法： 探索交流、讲练结合 教学过程： 一、创设情境： 问题：线段是轴对称图形吗？为什么？ （从轴对称的定义出发，让学生说明线段是轴对称图形的理由，一方面直接提出了本课研究的主题，另一方面以为后面的操作活动提供依据。） 二、探索活动一： 活动一对折线段。 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？（学生操作） 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？（学生操作） （这个活动学生不会有困难，易做易得出结论。教师要关注的是学生参与活动的态度是否认真，与同学交流是否积极。） 学生先思考1分钟后，再小组讨论。然后由小组中的一位同学说出讨论结果. 结论： 三、例题教学： 例1：线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离会相等吗？为什么？ 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解， 但不容易叙述，因此要做一定的分析，引导学生展开讨论： ⑵题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？ ⑶根据图形你能说明道理吗？ 已知：直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l外， 说明：线段PA、PB会相等吗？ （注意引导学生用几何语言说理）1.4 线段、角的轴对称性(2)教案
线段、角的轴对称性单元练习1
2.4线段、角的轴对称性(4)
苏科版-数学-八年级上册-《线段、角的轴对称性(1、2)》教学案
《圆的对称性》教案
1.4 线段、角的轴对称性 练习(1)
初中数学《线段、角的轴对称性》教案
一、有关对称性的常用结论
1.5等腰三角形的轴对称性(2)教学案
1.4 线段、角的轴对称性(1)教案
线段角的轴对称性单元练习
1.4线段、角的轴对称性(1)
轴对称性质
八年级数学——线段和角的轴对称性电子教案
线段、角的轴对称性
线段角的轴对称性教案
《等腰三角形的轴对称性一》教案
1.4 线段、角的轴对称性(1)