2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题及答案(B卷)

武汉大学数学与统计学院 B 卷

2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题

一、（86'?）试解下列各题：

1、计算30arctan lim ln(12)x x x

x →-+ 2、计算1

20ln(1)d (2)x x x +-? 3、计算积分：21

arctanx d x x +∞

? 4、已知两曲线()y f x =与1x y xy e ++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出 此切线方程，并求极限2

lim ()n nf n

→∞

5

、设，2

2

21cos cos t x t udu y t t ?=??=-??，试求：d d y x

，2

2d |d t y x 6、确定函数sin sin sin ()lim()

sin x

t x

t x t f x x -→=的间断点，并判定间断点的类型。 7、设1

(1)

y x x =-，求()n y

8、求位于曲线(0)x

y xe

x -=≥下方，x 轴上方之图形面积。 二、（12分）设()f x 具有二阶连续导数，且()0f a =， ()

()f x x a g x x a A

x a ?≠?

=-??=?

1、试确定A 的值，使()g x 在x a =处连续；

2、求()g x '

3、证明()g x '在x a =处连续。

三、（15分）设P 为曲线2

cos (0)2sin 2x t t y t

π

=?≤≤?=?上一点，作原点(0,0)O 和点P 的直线OP ，由曲线、直线OP 以及x 轴所围成的平面图形记为A ，

1、将y 表成x 的函数；

2、求平面图形A 的面积()S x 的表达式；

3、将平面图形A 的面积()S x 表成t 的函数(cos )()S S t S t ==，并求

d dt

S

取得最大值时点P 的坐标；

四、（15分）已知函数25

3

x y x -=-求：

1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；

2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。 五、（10分）设函数()f x 在[,]l l -上连续，在0x =处可导，且(0)0f '≠，

1、证明：对于任意(0,)x l ∈，至少存在一个(0,1)θ∈使

()d ()d [()()]x

x

f t t f t t x f x f x θθ-+=--??

2、求极限0lim x

θ+

→

武汉大学数学与统计学院 B 卷 2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案

一、试解下列各题：（86'?）

1、解：30arctan lim ln(12)x x x x →-+

2

2232

200011arctan 111lim lim lim 6266x x x x x x x x x x x →→→---++====- 2、解：原式11

1000ln(1)1111

|ln 2()d 2(1)(2)31+2x dx x

x x x x x +=-=-+-+--??

11

0011ln 2(ln(1)|ln(2)|)ln 233

x x =-+--=

3、解： 12211

arctanx 11d arctan |d x (1)x x x x x x +∞+∞

+∞

=-++?? 2111[ln ln(1)]ln 24242

x x ππ+∞

=+-+=+

4、解： 由(0)0(0)(0)f f y ''==，又 (1)0x y

y xy e y +''+++=；

(0)1(0)1

y f ''=-=-

故所求切线方程为：0x y +=， 且2()(0)

2lim ()lim 22(0)22n n f f n nf f n n

→∞→∞-'=?==-

5、解：2222sin (0),2sin dy dt

t t t t t dt dx

=->=-

|t d y d y t d x d x =

222221|2sin t d y

d y dx t t dx =- 6、解：sin sin sin sin ()lim()sin x

x

t x

x t x t f x e x

-→==，故0x =是)(x f 的第一类可去间断点。

l i m ()x k f x π

→=

∞，故(1,2,)x k k π==±±是函数)(x f 的第二类无穷间断点。 7、解：由111y x x

=

+

-

()

(1)(1)[(1)(1)]!

n n n n y x x n -+-+=-?+-

8、解：000

||1x x x x S xe dx xe e dx e +∞

+∞

--+∞--+∞

=

=-+==?

?

二、（10分）解：1、 ()

lim ()x a

f x A f a x a

→'==- 2、当2

()()(),()()f x x a f x x a g x x a '--'≠=- 当2()()()()()()

,()lim lim ()2()

x a x a g x g a f x f x x a f a x a g a x a x a →→'''---'====-- 所以 2()()()()()()2

f x x

a f x x a x a g x f a x a '--?≠?-?

'=?

''?=??

3、2

()()()()

lim ()lim

()2()

x a

x a

f x x a f x f a

g x g a x a →→'''--''===- 故()g x '在x a =处连续。

三、（10分）解：1、22(1)y x =-

2、设曲线上有点2

(,2(1))P x x -，而OP 的方程为：22(1)

y x Y X X x x

-== ，

则所求面积为：

122

302(1)41()2(1)33x x x S x XdX X dX x x x -=+-=--??

3、3

41()cos cos 33S t t t =--，2()sin (1cos )S t t t '=+

2()cos (3cos 1)S t t t ''=-，令22

14()0cos ,sin 33

S t t t ''=?==

43x y == d dt S

取得最大值时点P

的坐标；4)3

P

四、（15分）解：定义域为：(,3)(3,)-∞+∞

2

(1)(3)

(3)x x y x --'=- 令?='0y 驻点1,3x = 38(3)y x ''=

-

极小值为：(5)10f =，极大值(1)2f =。

2）下凸区间为：(3,)+∞ 上凸区间为：(,3)-∞

由3

2

3lim (1)x x x →=∞-，故3x =为函数图形的铅直渐近线。

又()

lim 1x f x x

→∞= l i m [()]x f x x →∞-=

故3y x =+为函数图形的斜渐近线。

五、（9分）解：1、设0

()()d ()d x

x

F x f t t f t t -=

+??，[,]x l l ∈- 应用拉格朗日中值定理有：

()d ()d [()()]x

x

f t t f t t x f x f x θθ-+=--??

2、由1、所以

02

()d ()d ()()

22x x

f t t f t t

f x f x x x

θθθθ

-+--=

??

因此0

2

00()d ()d ()()(0)

lim lim 422x

x x x f t t f t t

f x f x f x x

+

+

-→→+'--===??

00()()lim (0)lim 2x x f x f x f x θθθθθ++→→--'= 故01

lim 2

x +

→=