排列组合二项式定理专题跟踪训练22

专题跟踪训练(二十二)

一、选择题

1．二项式?

????x －1x 6的展开式中常数项为( ) A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20

[解析] 二项式? ????x －1x 6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·? ??

??－1x r ＝C r 6·(－1)r ·x6－32r.令6－32r ＝0，得r ＝4.因此，二项式?

????x －1x 6的展开式中的常数项是C 46·(－1)4＝15，故选B .

[答案] B

2．(2015·南宁二模)? ??

??x －2x 5的展开式中，x 的系数为( ) A ．40 B ．－40 C ．80 D ．－80

[解析] 依题意，? ????x －2x 5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·x 5－r ·? ??

??－2x r ＝C r 5·(－2)r ·x 5－2r .令5－2r ＝1得r ＝2.因此，在? ??

??x －2x 5的展开式中，x 的系数是C 25·

(－2)2＝40，选A . [答案] A

3．(2015·山西质监)A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )

A ．60种

B ．48种

C ．30种

D ．24种

[解析] 由题知，不同的座次有A 22A 44＝48种，故选B .

[答案] B

4．(2015·湖北卷)已知(1＋x)n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )

A ．212

B ．211

C ．210

D ．29

[解析] 因为(1＋x)n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相

等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数

项的二项式系数和为12×210＝29，故选D .

[答案] D

5．(2015·山西太原一模)已知函数f(x)＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f(x 0)≤2成立的概率是( )

A .14

B .13

C .27

D .12

[解析] 1≤f(x 0)≤2?1≤log 2x 0≤2?2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27

，故选C . [答案] C

6．(2015·云南一检)在? ??

??ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( )

A ．20

B ．15

C ．10

D ．5

[解析] T r ＋1＝C r 4

a 4－r

b r x 24－7r ，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5，故选D .

[答案] D

7．(2015·甘肃兰州诊断)从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )

A .15

B .25

C .35

D .45

[解析] 构成的两位数共有A 25＝20个，其中大于40的两位数有

C 12C 14＝8个，所以所求概率为820＝25，故选B .

[答案] B

8．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于( )

A ．－10

B ．－5

C ．5

D ．10

[解析] 对等式两边求导数，10(2x －3)4＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝1得结果为10，故选D .

[答案] D

9．(2015·西安八校联考)三名男生和三名女生站成一排，若男生甲不站在两端，任意两名女生都不相邻，则不同的排法种数是( )

A ．120

B ．96

C ．84

D ．36

[解析] 依题意，得不同的排法种数是A 33A 34－2A 22A 33＝120，故选

A .

[答案] A

10．如图所示，积木拼盘由A 、B 、C 、D 、E 五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A 与B 为相邻区域，A 与D 为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则可组成的不同的积木拼盘的种数是( )

A．780 B．840 C．900 D．960

[解析]解法一：A、B、C、D、E涂有不同的颜色有A55＝120种；A、D、E有两个涂同一颜色有3×A45＝360种；A、D、E涂同一颜色有A35＝60种；B、E或C、D涂同一颜色有2×A45＋A35＝300种；A与E涂同一颜色，且C与D涂同一颜色或A与D涂同一颜色，且B与E涂同一颜色有2×A35＝120种．一共有120＋360＋60＋300＋120＝960种．

解法二：先涂A，则A有C15＝5种涂法，再涂B，因为B与A 相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有C14＝4种涂法，同理C 有C13＝3种涂法，D有C14＝4种涂法，E有C14＝4种涂法，由分步乘法计数原理可知，可组成的不同的积木拼盘的种数为5×4×3×4×4＝960，故选D.

[答案]D

11．(2015·河南洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()

A.1

15B.1

5C.

1

4D.

1

2

[解析]由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：

第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所

求概率P ＝4·A 33C 36·A 33

＝15，故选B . [答案] B

12．(2015·河北五校高三质检)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个

数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32

的椭圆的概率为( )

A .12

B .1532

C .1732

D .3132

[解析] 在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，对应坐标平面内一个点P(a ，b)，则所有可能的结果对应的平面区域为如图所示的矩形区域ABCD ，且结果落在区域内任何一点处的可能性是相等的．

记事件M 为“方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32

的椭圆”．

由e<32得：c a <32?a 2－b 2a 2<34?12

所以事件M 所包含的全部基本事件组成图中的阴影部分．由几

何概型的概率计算公式得：P(M)＝S 五边形EFGCH S 矩形ABCD

＝4－148＝1532，故选B . [答案] B

二、填空题

13．(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

[解析] 从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这

2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56.

[答案] 56

14．(2015·福建卷)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．

[解析] 依题意知点D 的坐标为(1,4)，所以矩形ABCD 的面积S

＝1×4＝4，阴影部分的面积S 阴影＝4－∫21x 2d x

＝4－13x 3|21＝4－73＝53，根据几何概型的概率计算公式得，所求的

概率P ＝S 阴影S ＝534＝512.

[答案] 512

15．(2015·新课标全国卷Ⅱ)(a ＋x)(1＋x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.

[解析] 解法一：直接将(a ＋x)(1＋x)4展开得x 5＋(a ＋4)x 4＋(6＋4a)x 3＋(4＋6a)x 2＋(1＋4a)x ＋a ，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a ＝3.

解法二：(1＋x)4展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x r ，由题意可知a(C 14＋

C 34)＋C 04＋C 24＋C 44＝32，解得a ＝3.

[答案] 3

16．(2015·河北石家庄一模)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答)．

[解析] 甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有1种；甲和丙或丁两人一组，有2种；甲、丙、丁一组，也是1种．然后再把这两组分到不同班级里，则共有(1＋2＋1)A 22＝8种分法．

[答案] 8