2015 高考数学模拟预测试卷(新课标)5

2015 高考数学模拟预测试卷（新课标）

1．已知集合{}|31A x x =-≤<,{}|2B x x =≤,则集合A B =U

A.{}|31x x -≤<

B.{}|32x x -≤≤

C. {}|1x x <

D. {}|2x x ≤ 2．在极坐标系中，过点(2,

)3

π

且垂直于极轴的直线方程为（ ）

A. sin 1ρθ=-. B sin 1ρθ= C. cos 1ρθ=- D. cos 1ρθ= 3．执行右边的程序框图，若5p =，则输出的S 值为 （ ）

A.

78 B. 1516 C. 3132 D. 63

64

4．已知向量(2,1)a =， 2(1,1)a b k +=-，则2k =是a b ⊥的 （ ）

(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

5．将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有（ ）

A. 12种

B. 24种

C. 36种

D. 48种 6．已知函数()cos(2)cos 23

f x x x π

=+

-，其中x R ∈，给出下列四个结论

①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数；

②.函数()f x 图象的一条对称轴是23x π=； ③.函数()f x 图象的一个对称中心为5(,0)12

π

； ④.函数()f x 的递增区间为2,6

3k k π

πππ??

+

+

???

?

，k Z ∈. 则正确结论的个数是（ ）

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

7．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)

x

a x a x f x a x -+-≤?=?

>?满足对任意实数12x x ≠，

都有

2121

()()

0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是 （ ）

（A ）()0,1 （B ）()1,+∞ （ C ） 51,3?? ???

（ D ）5

,23?????

?

8．设非空集合M 同时满足下列两个条件： ①{}1,2,3,,1M n ???????-；

②若a M ∈，则n a M -∈，(2,)n n N +≥∈.则下列结论正确的是 （A ）若n 为偶数，则集合M 的个数为2

2n 个； （B ）若n 为偶数，则集合M 的个数为221n -个； （C ）若n 为奇数，则集合M 的个数为122n -个； （D ）若n 为奇数，则集合M 的个数为122n +个.

9．已知i 为虚数单位，在复平面内复数

21i

i

+对应点的坐标为__________. 10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是___________

主视图

侧（左）视图

俯视图

3

4

11

．6

1)x

的展开式中，常数项是______________.

3

12．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，垂足为A .如果APF 是边长为4的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为__________,点P 的横坐标P x =______.

13．设,x y 满足约束条件4340

44000

x y x y x y -+≥??--≤?

?≥??≥?，若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最

大值为8，则ab 的最大值为__________.

14．设等差数列{}n a 满足公差d N +∈,n a N +∈,且数列{}n a 中任意两项之和也是该数列的一项.若513a =，则d 的所有可能取值之和为_________________.

15．已知

ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满

足

3

sin sin )2

A A A +=

（1）求角A ；

（2

）若a =

ABC

S

=b ，c 的值.

16．某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为

2

3

，且相互间没有影响. (1）求选手甲进入复赛的概率；

(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望.

17．如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，0

60BAD ∠=，平面PAD ⊥平

面ABCD ，2PA PD AD ===，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上一点，且

13

P M P C =

. P

M Q A

B

C

D

（1）求证：PQ ⊥平面ABCD ； （2）证明：PA ∥平面BMQ ；

（3）求二面角M BQ C --的度数. 18．已知函数2

1()ln 2

f x ax x x =

-+（,0a R a ∈≠） （1）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；

（2）若在区间[)1,+∞上函数()f x 的图象恒在直线y ax =下方，求a 的取值范围．

19．已知椭圆C

的离心率e =

1(A

，2A ． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.

20．对任意实数列{}123,,A a a a =???，定义{}213243,,,A a a a a a a =---???它的第n 项为1n n a a +-()n N +

∈,假设A 是首项是a 公比为q 的等比数列. （1）求数列()A 的前n 项和n T ； （2）若11a =，2a =，2q =.

①求实数列{}123,,A a a a =???的通项n a ； ②证明：31223411232

n n a a a a n n

a a a a +-<+++???+<.

参考答案

1．D 【解析】

试题分析：由已知得，}{

2A B x x =≤U ．

考点：集合的运算. 2．D 【解析】

试题分析：如图所示，在Rt AOC ?中，=2cos 3

AO π

=1，则在Rt AOB ?中，1

cos θρ

=

，

即cos 1ρθ=．

考点：极坐标方程. 3．C 【解析】

试题分析：程序执行过程中，,n S 的值依次为0,0n S ==；111,022

n S ==+

=；1132,244

n S ==

+=； 3173,488n S ==+=；7115

4,81616

n S ==+=；151315,163232n S ==+=，程序结束，输出3132S =．

考点：程序框图. 4．A 【解析】

试题分析：由题知，b a b a =+-=2

(1,2)k --，则a b ⊥?2

220a b k ?=-+-=，即

2k =±，故2k =是a b ⊥的充分不必要条件.

考点：充分条件和必要条件. 5．C

【解析】

试题分析：先将4名学生分成三组，人数分别为2、1、1，共有2

46C =种，再讲这三组分配到3个实验室，有336A =种，由分步计数原理，不同分配方案共有6636?=种.

考点：排列和组合. 6．C 【解析】 试题分

析：由已知得，

()

c o s (2)c o s 2

3f x x x π

=+-=

c o

s 2c o s s i 3

3

x x x π

π

--

s

i n (26π

=-+．不是

奇函数，故①错；当23x π=时，24()sin()1336

f πππ

=-+=，故②正确；当512x π=时，

5()sin 012f ππ=-=，故③正确；令322x 2262k k πππππ+≤+≤+，得2x 63

k k ππππ+≤≤+，故④正确．综上，正确的结论个数为3个．

考点：三角函数的图象和性质.

7．C 【解析】

试题分析：由已知，得函数()y f x =在R 上单调递增，故满足101341a a a ->??

>??-≤?

，解得a 的取值

范围是51,3

?? ???

.

考点：1、分段函数；2、函数的单调性. 8．B 【解析】

试题分析：当2n =时，{}1M ?，且满足1,21M M ∈-∈，故集合M 的个数为1个；当

3n =时，{}1,2M ?，且1,312M M ∈-=∈，故集合M 的个数为1个；当4n =时，

{}1,2,3M ?，

且1,413M M ∈-=∈，2,422M M ∈-=∈，故集合M 的个数为3个，故可排除A,C,D ，选B ．

考点：1、子集；2、归纳推理. 9．(1,1) 【解析】

试题分析：由已知，得

22(1)2211(1)(1)2

i i i i

i i i i -+===+++-，故在复平面内对应的点为(1,1)．

考点：1、复数的运算；2、复数的几何意义.

10．8π 【解析】

试题分析：由三视图还原几何体，该几何体为底面半径为2，高为3的圆柱，去掉底面半径

为2，高为3的圆锥的剩余部分，则其体积为22

1=232383

V πππ??-???=．

考点：1、三视图；2、几何体的体积. 11．15 【解析】

试题分析：

由二项式定理得，

16

1()r

r r T C x -+=-3326(1)r r r

C x -=-，令3302

r -=，得2r =，故展开式中的常数项为22

6(1)15C -=．

考点：二项式定理. 12．(1,0)；3 【解析】

试题分析：如图所示，设200(,)2y P y p

，则20422y p PA p =+=①，又在Rt AMF ?中，

060AFM FAP ∠=∠=，

故0

t a n 3

A M y

AFM MF

p

∠=

=

=②，联立①②得

，02,p y ==，故焦点坐标为(1,0)，点P 的横坐标为2

0x 32y p

==．

考点：1、抛物线的定义和标准方程；2、解直角三角形. 13．2 【解析】

试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为a z y x b b =-

+，由已知得0a

b

-<，且纵截距最大时，z 取到最大值，故当直线l 过点(2,4)B 时，目标函数取到最大值，即

248a b +=，因0,0a b >>，由基本不等式得，248a b +=≥，即2ab ≤（当且

仅当244a b ==，即2,1a b ==时取“=”），故ab 的最大值为2．

考点：1、线性规划；2、基本不等式. 14．364 【解析】

试题分析：设,n m a a (m n)≠设等差数列{}n a 中的任意两项，由已知得，53(n 1)n a d =+-，53(1)m a m d =+-，则523(2)m n a a m n d +=?++-，

设m n a a +是数列{}n a 中的第k 项，则有5

3(1)m n a a k d +=+-，即55

23(2)3(1)m n d k

d ?++-=+-，531

d m n k =-+--，

故d 的所有可能取值为2

3

4

5

1,3,3,3,3,3，其和为

6

1336413

-=-． 考点：1、等差数列的通项公式；2、推理． 15．（1）

3

π

；（2

）b c ==

【解析】

试题分析：（1）利用正弦二倍角公式以及降幂公式，将已知变形为sin(2)16

A π

-=，再根

据0A π<<，得1126

6

6

A π

π

π-

<-

<

，从而确定A 的值；（2）由（

1）知3A π

=，结合

ABC

S

=

不难想到1

sin 2

bc A =得8bc =，

又根据余弦定理得22

8b c bc =+-，联立求b c ，即可．

试题解析：（1）由已

知3sin sin )2A A A +=

，2

3cos sin 2

A A A +=，1cos 23222A A -+=1

2cos 212

A A -=∴sin(2)16A π-= 5分

Q 0A π<<，∴1126

6

6

A π

π

π

-

<-

<

∴由sin(2)16A π-=得262

A ππ-=，∴3A π

= 7分

（2）由余弦定理得228b c bc =+-，又ABC S ?=1

sin 2

bc A ∴=，8bc ∴=

又22

88

bc b c bc =??+-=?，解得b c == 考点：1、正弦二倍角公式和降幂公式；2、三角形的面积公式；3、余弦定理. 16．(1）6427；(2)10727

EX = 【解析】

试题分析：(1）选手甲进入复赛分为三类：①回答了三个题且都对，概率为33

32

8()327

C =；②回答了四个题答对三个，概率为22

32

128

()

3

3327

C =；③回答了五个题答对三个，概率为222421216()()33381C =，故选手进入复赛的概率为881664()27278181P A =++=；(2)依题意，X

的可能取值为3,4,5，每个取值都分为两种情况，即因淘汰而离开初赛，或者进入复赛． 试题解析：(1）设选手甲答对每个题的概率为p ，则2

3p =

，设“选手甲进入复赛”为事件A ，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：33

328()327

C =；或选手甲答了4个题，前3

个2对1错，第4次对进入复赛

∴22

32128

()33327

C =， 4分 或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛

∴2224

21216()()33381

C = 6分 ∴选手甲进入复赛的概率881664()27278181

P A =

++= 7分 (2)X 的可能取值为3,4,5，对应X 的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率

3333

33211(X 3)()()333P C C ==+=

232333211210

(X 4)()()333327

P C C ==?+?=

23

22324321128(X 5)()()()()333327

P C C ==?+?=

∴27

EX =

13分 考点：1、n 次独立重复试验中事件A 发生K 次的概率；2、离散型随机变量的分布列和期望.

17．（1）答案详见解析；（2）答案详见解析；（3）060 【解析】 试题分析：

（1）常用的证明直线和平面垂直的方法有两种：①证明直线和平面内的两条相交直线垂直；②若两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．本题易证PQ AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，从而证明PQ ⊥平面ABCD ；

（2）证明直线和平面平行的常用方法有两种：①证明直线和平面内的一条直线平行；②若两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面．本题中，连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ，易证

1

3

PM AN PC AC ==，故//MN PA ，进而证明PA ∥平面BMQ ；（3） 选三条两两垂直的三条直线分别作为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点，

分别求两个半平面的法向量并求其夹角，然后观察二面角是锐二面角还是钝二面角，从而决定取正或负角．

试题解析：（1）由已知PA PD =，Q 为AD 的中点，PQ AD ∴⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD

平面ABCD =AD ，PQ ?面PAD ，∴PQ ⊥平面ABCD ．

（2）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ，因为底面ABCD 是菱形，∴//AQ BC ，∴A N Q ?∽BCN ?，

12AQ AN BC NC ==,∴3AC AN =,3AN AC ∴=，又13PM PC =，1

3

PM AN PC AC ∴==,∴//MN PA ，又MN ?平面BMQ ，PA ?平面BMQ ，∴PA ∥平面BMQ ．

（3）连结BD ，Q 底面ABCD 是菱形，且0

60BAD ∠=，∴BAD 是等边三角形，

∴BQ AD ⊥由（1）PQ ⊥平面ABCD .∴

PQ AD ⊥.以

Q 为坐标原点，,,QA QB QP 分

别为x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系

则(0,0,0),(1,0,0),Q A B P . 10分

设平面BMQ 的法向量为(,,)m x y z =，∴00

m QB m MN ??=??

?=??，注意到MN ∥PA

∴0

m QB m PA ??=??

?=??，解得(3,0,1)m =是平面BMQ 的一个法向量 12分 又平面B Q C 的法向

量为==0,0n QP （，设二面角M BQ C --的大小为θ，1cos 2

m n m n

θ?=

=

?，∴3π

θ=，即二面角二面角M BQ C --的度数为060．

考点：1、直线平面垂直的判定；2、直线和平面平行的判断；3、二面角. 18．（1）220x y --=；（2）20a -<< 【解析】

试题分析：（1）先求导函数'()f x ，由导数的几何意义知'(1)k f =，利用直线的点斜式方程求切线方程；（2）由题意，不等式()f x ax <恒成立，对于恒成立问题可考虑参变分离，也可以构造函数法，本题构造函数2

1()()ln 2

g x f x ax ax x x ax =-=

-+-，等价于max

()0g x <，故利用导数求函数()g x 的最大值，求'()0g x =的根，得1x =或1

x a

=，讨

论根的大小并和定义域比较，同时要注意分子二次函数的开口方向，通过判断函数大致图像，从而求函数的最大值，进而列不等式求a 的取值范围． 试题解析：（1）函数的定义域为(0,)+∞．

当2a =时，2

()ln f x x x x =-+，'1()21f x x x

=-+

，则'(1)2k f ==，又切点为(1,0)，故曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=． （2）令2

1()()ln 2

g x f x ax ax x x ax =-=

-+-定义域(0,)+∞ 在区间[)1,+∞上，函数()f x 的图象恒在直线y ax =下方，等价于()0g x <在[)1,+∞恒成

立，即m a x ()0g x <，'

1

()1g x ax a x =-+-2(1)1ax a x x

-++=(1)(1)ax x x --=，令'()0

g x =，得1x =或1

x a

=， 当0a <时，'

()0g x <，故()g x 在[)1,+∞单调递减，则max ()(1)102

a

g x g ==-

-<，得20a -<<；

当01a <<时，1

1a >，当1(1

,)x a ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减；当1(,)x a

∈+∞时，()g x 单调递增，此时()[(1),)g x g ∈+∞，故不可能max ()0g x <，不合题意；

当1a ≥时，()g x 在[)1,+∞单调递增，()[(1),)g x g ∈+∞，故不可能max ()0g x <，不合题意．

综上：a 的取值范围20a -<<．

考点：1、导数的几何意义；2、导数在单调性上的应用；3、利用导数求函数的极值、最值.

19．（1）2

212

x y +=；（2）存在，(1,0)N 【解析】 试题分析：（1）由已知，得a ，再根据离心率求c ，进而求b ，进而根据焦点位置求椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，得关于x 的一元二次方程，由题意0?=，列方程得

2221b k =+，同时可求出切点坐标21

(,)k P b b

-

，再求(2,2)Q k b +，设x 轴上存在满足条件的点1(,0)N x ，以PQ 为直径的圆恒过定点N 等价于0NP NQ ?=，列方程得

2

1112(1)210k x x x b -+-+=，由题意该方程与,k b 无关，故12110210

x x x -=??-+=?，从而求得N 点坐标，本题还可以先从特殊值入手，确定定点N 的坐标，再证明以PQ 为直径的圆恒过定点N ．

试题解析：（1

）由已知a

=2

c e a =

=

2分 ∴1c =

，1b ==

∴椭圆C 的方程为2

212

x y +=； 4分

（2）22

12y kx b x y =+???+=??，消去y ，得222

(21)4220k x kb x b +++-=，则0?=，可得2221b k =+，设切点(,)P P P x y ，则2422(21)P kb k x k b

-=

=-+，1

P P

y kx b b =+=，故21

(,)k P b b -

，又由2

y kx b x =+??=?，得(2,2)Q k b +，设在x 上存在定点1(,0)N x ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点，∴NP NQ ⊥，即0NP NQ ?= 10分

∴1121

(,)(2,2)0k x x k b b b

----=， ∴

21112(1)210k

x x x b

-+-+=对满足2221b k =+恒成立， ∴12

110

210

x x x -=??-+=?，∴11x = 故在x 轴上存在定点(1,0)N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N . 14分

考点：１、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、向量垂直的充要条件． 20．（1）(1)n n T a q =-；（2）①21n n a =-；②详见解析.

【解析】

试题分析：本题以新定义的模式考察了等比数列的通项公式和前n 项和以及不等式的放缩法．（1）由

A 是首项是a 公比为q 的等比数列，故实数列A 确定，即

A

{}

23,,,,a aq aq aq =……，

再

结

合

A 的定义，得

{}2()(1),(1),(1)A a q aq q aq q =---???，然后求和即可（需分类讨论）；（2）由2a =，

2q =.，可确定12n n n a a +-=，利用累加法可求21n n a =-；和式

3

122341

n n a a a a a a a a ++++???+可看作数列1n n a a +??????

的前n 项和，故先求其通项公式，得

1121

21n n n n a a ++-=-，因前n 项和不易直接求出，故可考虑放缩法，首先看不等式右边，可想到证明每项都小于

1

2

，由121211

12(21)22(2)2

n n

n n

n

n a a +--=<=--，进而可证明右面不等式，再考虑不等式左边，112111122(21)2(2)2

n n n n n a a ++-==---，因为1

2(21)n +-4223n n ?-≥，故111232

n n n a a +≥-?，进而求和可证明．

试题解析：（1）令{}123,,A b b b =???这里1,()n n n b a a n N ++=-∈

Q A 是公比为q 的等比数列.∴{}2111,,A b b q b q =???

∴{}2111()(1),(1),(1)A b q b q q b q q =---???，

当1q =时，{}()0,0,0A =???，∴0n T =，. 2分

当1q ≠时，()A 是公比为q ，首项为1(1)b q -的等比数列；.

11(1)(1)(1)(1)1n n n n b q q T b q a q q

--==--=--. 4分

∴综上(1)n n T a q =-n N +∈. 6分

（2）①由题设2,2a q ==，∴2n n b =，

Q 1()n n n a a b n N ++-=∈叠加可得21n n a =-（n N +∈）. 8分

②Q 112121211

1212(21)22(2)2k k k k k k

k k a a ++---==<=--- ∴

3122341111122222

n n a a a a n

a a a a ++++???+<+++???+=. 10分 又Q 11

2111(2)211111*********(21)2(2)2(2)

22

k

k

k k k k k

k a a +++---===-=----- k N +∈，22k ≥，220,322232k k k k -≥?+-≥?

即42232k k

?-≥?，∴12(21)32K k +?-≥?，∴1112(21)

32K k

+-

≥-

?-? ∴

111111

22(21)232k k k

k a a ++=-≥-

?-?. 12分 ∴

312223*********

()(1)2322223223n n n n a a a a n n n a a a a ++++???+≥-+???+>-->- 即

31223411232

n n a a a a n n

a a a a +-<+++???+<. 13分 考点：1、等比数列通项公式；2、等比数列前n 项和；3、累加法.