2013年海淀区高三年级第一学期期末试题(理科)

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 （理科） 2013.1

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 复数

2

1i

-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --

2.已知直线2,:2x t l y t =+??=--?（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ

=+??=?（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是

A.π

,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.

3π,(1,0)4 D.3π

,(1,0)4

- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||?=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-

C.1

3

- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为

A.4,30n S ==

B.5,30n S ==

C.4,45n S ==

D.5,45n S ==

5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，

弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ?∽DEA ? B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =? D.2PC PA AB =?

6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==?+（*

,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}

n a 成等差数列”的

A.充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C.充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为

A. 144

B.120

C. 108

D.72

B

8. 椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的

点P ，使得12F F P ?为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是

A.12(,)33

B.1(,1)2

C. 2(,1)3

D.111(,)(,1)322

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.

10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n m

n m

a a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.

11. 在261(3)x x

+的展开式中，常数项为______.(用数字作答) 12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.

13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥??

+≤??≥+?

表示的平面区域内，

若点(,)P x y 到直线1y kx =-

的最大距离为___.k =

14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =

（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1

()2

f =______________;关

于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知函数21

()cos cos 2222

x x x f x +-，ABC ?三个内角,,A B C 的对边分别

为,,a b c .

（I ）求()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）若()1,f B C +

=1a b ==，求角C 的大小.

D

A

B

C

左视图

16.（本小题满分13分）

汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:

（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；

（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；

（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.

17. （本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，

12,AB AC AA ===E 是BC 中点.

（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；

（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.

18. （本小题满分13分）

已知函数e ().1

ax

f x x =

- （I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.

E

C 1

B 1

A 1

C

B

A

19. （本小题满分14分）

已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；

（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.

20. （本小题满分13分）

已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()

f x y x

=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2

()

f x y x =

在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数3

2

()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ?Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，

求证：(24)0d d t +->；

(Ⅲ)定义集合{}

2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,

请问：是否存在常数M ，使得()f x ?∈ψ，(0,)x ?∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 （理）

参考答案及评分标准 2013．1

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空

3分，第二空2分，共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）

解：（I ）因为21

()cos cos 2222

x x x f x +-

cos 1

22

cos 12

1x x x x =+-=++ π

sin()6

x =+ ………………6分

又sin y x =的单调递增区间为

ππ

2π,2π 22

k k -+（），()Z k ∈ 所以令πππ

2π2π262

k x k -

<+<+ 解得2ππ

2π2π 33

k x k -

<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2π

π

(2π,2π) 33

k k -

+，()Z k ∈ ………………8分

(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以π

sin()16

B C ++=，

又(0,π)B C +∈，ππ7π

(,)666

B C ++∈

所以πππ

,623B C B C ++=+=，

所以2π

3

A = ………………10分 由正弦定理

sin sin B A

b a

=

把1a b ==代入，得到1

sin 2

B = ………………12分

又,b a

6

C = ………………13分

16.（本小题满分13分） 解：（I ）这辆汽车是A 型车的概率约为

3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和30

0.63020

=+

这辆汽车是A 型车的概率为0.6 ………………3分 （II ）设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，

“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为

132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分 132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分

52010203014

1001001001001001009125

=

?+?+?

=

该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为

9125

………………9分

设Y 为B 型车出租的天数，则Y 的分布列为

()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02 =3.62

E X =?+?+?+?+?+?+?

()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =?+?+?+?+?+?+?

=3.48 ………………12分

一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于B 型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加合理 . ………………13分

17.（本小题满分14分）

(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO

因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ?的中位线， 所以1//EO A B ………………2分 又EO ?平面1AEC ，1A B ?平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC ………………4分

（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E

设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--

，

因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ?=

，解得1m =，所以1AM =……………8分 （Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==

，

设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =

， 则有10

AE n AC n ??=???=?? ，得00x y y z +=??+=?，

令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-

， ………………10分

因为AC ⊥平面

1A B B A 1,取平面1A B B A 1的法

向量为 (0,2,0)AC =

……………………………13分

平面1AEC 与平面1ABB A 1 ………………14分 18. （本小题满分13分）

解：当1a =时，e ()1

ax

f x x =-，2e (2)'()(1)x x f x x -=

- ………………2分 又(0)1f =-，'(0)2f =-，

所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =-- ………………4分

（II ）2

e [(1)]

'()(1)

ax ax a f x x -+=- 当0a =时，2

1

'()0(1)f x x -=

<-

又函数的定义域为{|1}x x ≠

所以 ()f x 的单调递减区间为(,1),(1,)-∞+∞ ………………6分 当 0a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1

a x a

+=

………………7分 当0a >时，1

1a x a

+=

>， 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：

所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1

(1,

)a a

+， 单调递增区间为1

(

,)a a

++∞ ………………10分

当0a <时，1

1a x a

+=

< 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：

所以()f x 的单调递增区间为1

(,

)a a

+-∞， 单调递减区间为1

(,1)a a

+，(1,)+∞ ………………13分 19. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =，得1p =

所以抛物线方程为2

2y x =，焦点坐标为1(,0)2

………………3分

（Ⅱ）设211(,)2

y A y ，2

2

2(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，

法一：

因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =-

与抛物线方程联立得到 2

(2)2y k x y x

=-??

=?，消去x ，得：

2240ky y k --=

则由韦达定理得：

12122

4,y y y y k

=-+=

………………6分 直线AE 的方程为：()12

12

2222

y y x y --=

--，即()12222y x y =-++，

令2x =-，得1124

2

M y y y -=

+ ………………9分 同理可得：2224

2

N y y y -=

+………………10分

又 4(2,),(2,)m m

OM y ON y -=-=- ，

所以121224244422

M N y y OM ON y y y y --?=+=+?

++ 121212124[2()4]

4[2()4]

y y y y y y y y -++=+

+++

44(44)444(44)

k k

--

+=+-++ 0=………………13分

所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2

………………14分 法二：

设直线l 方程为2x my =+

与抛物线方程联立得到 22

2x my y x =+??=?

，消去x ，得：

2240y my --=

则由韦达定理得：

12124,2y y y y m =-+= ………………6分

直线AE 的方程为：()

1212

2222

y y x y --=

--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得1124

2

M y y y -=

+ ………………9分 同理可得：2224

2

N y y y -=

+ ………………10分

又 4(2,),(2,)m m

OM y ON y -=-=- ，

12124(2)(2)

44(2)(2)

M N y y OM ON y y y y --?=+=+

++ 121212124[2()4]

4[2()4]

y y y y y y y y -++=+

+++

4(424)

44(424)

m m --+=+

-++ ………………12分

所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2

………………13分 20. （本小题满分14分）

解：（I ）因为1(),f x ∈Ω且2()f x ?Ω， 即2()

()2f x g x x hx h x

=

=--在(0,)+∞是增函数，所以0h ≤ ………………1分 而2()()2f x h h x x h x x =

=--在(0,)+∞不是增函数，而2

'()1h

h x x =+ 当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h <

综上，得0h < …4分 (Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++

所以()()4=f a f a b c a a b c a b c

++<++++， 所以4()a

f a d a b c

=<

++，

同理可证4()b f b d a b c =<

++，4()c

f c t a b c

=<++

三式相加得4()

()()()24,a b c f a f b f c d t a b c

++++=+<

=++

所以240d t +-< ………………6分 因为

,d d a b <所以()0,b a d ab

-<

而0a b <<， 所以0d <

所以(24)0d d t +-> ………………8分

(Ⅲ) 因为集合{}

2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 所以()f x ?∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立 我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 假设0(0,),x ?∈+∞使得0()0f x >， 记

02

0()

0f x m x => 因为()f x 是二阶比增函数，即2

()

f x x 是增函数. 所以当0x x >时，

0220

()

()f x f x m x x >=，所以2()f x mx > 所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>

这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾 ………………11分 ()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立

所以()f x ?∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解 假设存在20x >，使得2()0f x =，

则因为()f x 是二阶增函数，即

2

()

f x x 是增函数 一定存在320x x >>，3222

32()()

0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾 所以()0f x =在(0,)+∞上无解

综上，我们得到()f x ?∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立

所以存在常数0M ≥，使得()f x ?∈ψ，(0,)x ?∈+∞，有()f x M <成立

又令1

()(0)f x x x

=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，

又有23()1

f x x x

-=在(0,)+∞上是增函数 ，所以()f x ∈ψ，

而任取常数0k <，总可以找到一个00x >，使得0x x >时，有()f x k >

所以M 的最小值 为0 ………………13分