2018届高三数学复习阶段检测卷一文

阶段检测一 集合、常用逻辑用语、函数与导数

(时间:120分钟 总分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.集合A={x∈N|x≤6},B={x∈R|x 2

-3x>0},则A∩B=( )

A.{3,4,5}

B.{4,5,6}

C.{x|3

D.{x|3≤x<6}

2.已知命题p:“?a>0,有e a

≥1成立”,则?p 为( ) A.?a≤0,有e a

≤1成立 B .?a≤0,有e a

≥1成立 C.?a>0,有e a

<1成立 D.?a>0,有e a

≤1成立

3.已知a=0.20.3

,b=log 0.23,c=log 0.24,则( ) A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>c>a

D.c>b>a

4.已知定义在R 上的偶函数f(x),且当x∈[0,+∞)时, f(x)是增函数,则f(-2), f(π), f(-3)的大小关系是( ) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)

5.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( ) A.4

B.3

C.2

D.1

6.函数f(x)=2|x|

-x 2

的图象为(

)

7.已知函数f(x)=则f(1+log 23)的值为( )

A.6

B.12

C.24

D.36

8.曲线y=ln x 上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )

A. B. C. D.

9.下列函数中,既是奇函数又在区间(-1,1)上单调递减的函数是( )

A.f(x)=sin x

B.f(x)=2cos x+1

C.f(x)=2x

-1

D.f(x)=ln

10.若函数f(x)在R 上可导,且满足f(x)-xf '(x)>0,则( ) A.3f(1)=f(3) B.3f(1)>f(3) C.3f(1)

11.已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关于x 的方程f(x)=log a x 有三个不同的根,则a 的取值范围为( ) A.(2,4)

B.(2,2)

C.(,2)

D.(,

)

12.若函数f(x)=log m (x-a)+c-1(m>0,且m≠1)的图象过定点(2,1),且函数g(x)=2aln x+-c 在[1,e]上为单调函数,则实数b 的取值范围是( ) A.(-∞,2]

B.(-∞,2)∪(2e,+∞)

C.(-∞,2]∪[2e,+∞)

D.[2e,+∞)

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)

13.已知函数f(x)=若f(4)>1,则实数a 的取值范围是 .

14.若函数f(x)=在其定义域上为奇函数,则实数k= .

15.已知曲线f(x)=ln x 在点(x 0, f(x 0))处的切线经过点(0,1),则x 0的值为 .

16.已知函数f(x)=e x

,g(x)=ln +的图象分别与直线y=m 交于A,B 两点,则|AB|的最小值为 . 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x 3

+bx 2

+cx 的图象在点(1, f(1))处的切线方程为6x-2y-1=0, f '(x)为f(x)的导函数,g(x)=ae x

(a,b,c∈R,e 为自然对数的底数). (1)求b,c 的值;

(2)若?x 0∈(0,2],使g(x 0)=f '(x 0)成立,求a 的取值范围.

18.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数g(x)=-4ln x的零点个数.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+mx2-3m2x+1,m∈R.

(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;

(2)若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求m的取值范围.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-ax-aln x(a∈R).

(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;

(2)在(1)的条件下,求证:f(x)≥-+-4x+; (3)当x∈[e,+∞)时, f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=,其中a为正实数,x=是f(x)的一个极值点.

(1)求a的值;

(2)当b>时,求函数f(x)在[b,+∞)上的最小值.

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-ax2-bx.

(1)当a=b=时,求f(x)的单调区间;

(2)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,求实数m的取值范围.

阶段检测一集合、常用逻辑用语、函数与导数

一、选择题

1.B 由题意知A={0,1,2,3,4,5,6},B={x|x>3或x<0},所以A∩B={4,5,6}.故选B.

2.C 含有全称量词的命题的否定,需将全称量词改为存在量词,并将结论否定,故?p 为?a>0,有e a

<1成立,故选C. 3.A 由指数函数和对数函数的图象和性质知a>0,b<0,c<0,又对数函数f(x)=log 0.2x 在(0,+∞)上是单调递减的,所以log 0.23>log 0.24,所以a>b>c.

4.A 因为函数f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2), f(-3)=f(3),又函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(2)

5.B 由已知可得,-f(1)+g(1)=2, f(1)+g(1)=4,两式相加,解得g(1)=3.

6.D 易知f(-x)=f(x),则函数f(x)是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除选项A 、C;当x=0时, f(x)=1,排除选项B.

7.C ∵2<1+log 23<3,4<(1+log 23)+2<5,∴f(1+log 23)=f((1+log 23)+2)=f(3+log 23)=

=23

×3=24.

8.D 因为直线2x-y+3=0的斜率为2,所以令y'==2,解得x=,把x=代入曲线方程得y=-ln 2,即曲线在点

处的切线斜率为2,

到直线2x-y+3=0的距离d=

=

,故曲线y=ln x 上的点到直线2x-y+3=0的最短

距离是

.

9.D 函数f(x)=sin x 是奇函数,但在区间(-1,1)上单调递增,排除A; f(x)=2cos x+1是偶函数,排除B; f(x)=2x

-1

是非奇非偶函数,排除C; f(x)=ln 的定义域为(-1,1),关于原点对称,又f(-x)=ln =-ln =-f(x),所以函数

f(x)=ln 为奇函数,又f(x)=ln =ln ,所以利用复合函数的单调性可判断函数f(x)=ln 在区间(-1,1)

上单调递减,选D.

10.B 由f(x)-xf '(x)>0,可得'=<0恒成立,所以y=在(0,+∞)上是减函数,所以< ,即

3f(1)>f(3).故选B.

11.D 由f(x-4)=f(x),得f(x)的周期为4,又f(x)为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),所以函数f(x)的图象关于

直线x=2对称,作出函数y=f(x)与y=log a x 的图象如图所示,要使方程f(x)=log a x 有三个不同的根,则解

得

,选

D.

12.C 由函数f(x)的图象过定点(2,1),可知即则g(x)=2ln x+-2,求导得g'(x)=-=(2x-b),易

知函数y=2x,x∈[1,e]为增函数,其值域为[2,2e],所以当b≤2或b≥2e 时, f '(x)≥0或f '(x)≤0恒成立,即此时函数g(x)在[1,e]上为单调函数.故选C. 二、填空题

13.答案

解析 由题意知f(4)=f(lo 4)=f(-2)=(3a-1)×(-2)+4a>1,解得a<.故实数a 的取值范围是.

14.答案 ±1

解析 设函数f(x)的定义域为A,当0∈A 时, f(0)=

=0,解得k=1;当0?A 时,可得1+k=0,解得k=-1.经检

验,k=±1时均满足题意. 15.答案 e 2

解析 f '(x)=,所以切线的斜率为k=f '(x 0)=,所以切线方程为y-ln x 0=(x-x 0)=-1,因为切线过点(0,1),所以ln x 0=2,解得x 0=e 2

. 16.答案

2+ln 2

解析 显然m>0,由e x

=m 得x=ln m,由ln +=m 得x=2

,则|AB|=|2-ln m|.令h(m)=2-ln m,则

h'(m)=2

-,令h'(m)=2

-=0,求得m=.当0

上单调递减;当m>时,h'(m)>0,

函数h(m)在上单调递增.所以h(m)min =h =2+ln 2,因此|AB|的最小值为2+ln 2.

三、解答题

17.解析 (1)易知f '(x)=3x 2

+2bx+c, 则由题意得f '(1)=3+2b+c=3.①

又f(1)=1+b+c,点(1, f(1))在直线6x-2y-1=0上,

∴6-2(1+b+c)-1=0.②

由①②解得b=-,c=3. (2)∵g(x 0)=f '(x 0),

∴a

=3-3x 0+3,

∴a=.

令h(x)=,x∈(0,2],

则h'(x)=,x∈(0,2],

令h'(x)=0,得x=1或x=2.

当x变化时,h(x)与h'(x)在(0,2]上的变化情况如下表:

∴h(x)在x∈(0,2]上有极小值h(1)=,

又h(2)=,h(0)=3>,

∴h(x)在x∈(0,2]上的值域为,

∴a的取值范围为.

18.解析(1)因为f(x)是二次函数,且f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},所以可设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.

因为a>0, f(x)=a[(x-1)2-4]≥-4,且f(1)=-4a,

所以f(x)min=-4a=-4,解得a=1.

故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.

(2)由(1)得g(x)=-4ln x=x--4ln x-2,

所以g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=1+-=.

当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:

当0

又g(e5)=e5--20-2>25-1-22=9>0, 所以函数g(x)只有1个零点,且零点x0∈(3,e 5).

19.解析(1)当m=1时, f(x)=x3+x2-3x+1,

则f '(x)=x2+2x-3,所以f '(2)=5.

又f(2)=,所以所求切线方程为y-=5(x-2),

即15x-3y-25=0.

(2)f '(x)=x2+2mx-3m2,

令f '(x)=0,得x=-3m或x=m.

当m=0时, f '(x)=x2≥0恒成立,不符合题意;

当m>0时, f(x)的单调递减区间是(-3m,m),

若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,

则解得m≥3;

当m<0时, f(x)的单调递减区间是(m,-3m),

若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则解得m≤-2.

综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[3,+∞).

20.解析(1)f '(x)=2x-a-,

由题意可得f '(1)=0,解得a=1.

经检验,a=1时f(x)在x=1处取得极值,所以a=1.

(2)证明:由(1)知, f(x)=x2-x-ln x,

令g(x)=f(x)-=-+3x-ln x-,

则g'(x)=x2-3x+3-=-3(x-1)=(x>0),

令g'(x)=0,得x=1,可知g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,

所以g(x)≥g(1)=0,所以f(x)≥-+-4x+成立.

(3)由x∈[e,+∞)知,x+ln x>0,

所以f(x)≥0恒成立等价于a≤在x∈[e,+∞)上恒成立.

令h(x)=,x∈[e,+∞),

则h'(x)=,易知h'(x)>0,

所以h(x)在[e,+∞)上是增函数,有h(x)≥h(e)=,

所以a≤.

故a 的取值范围为.

21.解析(1)f '(x)=.

因为x=是函数y=f(x)的一个极值点,所以f '=0,

因此a-a+1=0,解得a=.

经检验,当a=时,x=是y=f(x)的一个极值点,

故所求a 的值为.

(2)由(1)可知, f '(x)=,

令f '(x)=0,得x1=,x2=.

f(x)与f '(x)随x的变化情况如下表:

所以, f(x)的单调递增区间是,,单调递减区间是. 当

当b≥时, f(x)在[b,+∞)上单调递增,

所以f(x)在[b,+∞)上的最小值为f(b)=.

22.解析(1)依题意,知f(x)的定义域是(0,+∞).

当a=b=时, f(x)=ln x-x2-x,

则f '(x)=-x-=,

令f '(x)=0,得x=1.

当00,此时f(x)单调递增;

当x>1时, f '(x)<0,此时f(x)单调递减,

所以f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).

(2)当a=0,b=-1时, f(x)=ln x+x.

因为方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,

所以ln x+x=mx在[1,e2]内有唯一实数解.

m=1+,令g(x)=1+(x∈[1,e2]),则g'(x)=,

令g'(x)>0,得1

所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数. g(1)=1,g(e2)=1+=1+,g(e)=1+,

所以m=1+或1≤m<1+.