华罗庚学校数学课本(6年级上册)第06讲 立体图形的计算

第六讲立体图形的计算

在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．

在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来．

例1 下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积．

分析与解答求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁．如果仔细观察，会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等．因此列式为：

（9＋8＋7）×2＝48（平方厘米）．

答：它的表面积是48平方厘米．

例2 一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．

分析一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长．根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C＝12.56÷2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了．

解：底面周长（也是圆柱体的高）：

12.56÷2＝6.28（厘米）．

侧面积：

6.28×6.28＝39.4384（平方厘米）

两个底面积（取π＝3.14）：

表面积：

39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）

答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米．

例3 一个正方体形状的木块，棱长为1米．若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？

分析如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事．如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面，这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加1＋1＝2平方米，这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决．

解：原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），

一共锯了多少次：（次数比分的段数少1）

（3－1）＋（4－1）＋（5－1）＝9（次），

表面积：6＋2×9＝24（平方米）．

答：60块长方体表面积的和是24平方米．

例4一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

分析由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）．

62.172立方厘米＝62.172毫升

＝0.062172升．

答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0．062172升．

例5一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米．求这个粮囤的体积是多少立方米？

分析按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆

圆柱体，高是（2＋0.2）米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了．

解：圆锥体化为圆柱体的高：

底面积：

体积：

7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）．

答：粮囤的体积是15.543立方米．

例6 皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为60厘米．皮球有2/3的体积浸在水中（下图）．问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？

分析皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度．

解：球的体积：

＝288π（立方厘米）．

水桶的底面积：π×302＝900π（平方厘米）．

例7 下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）．

分析直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等．

剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积．

解：正方体体积：63＝216（立方厘米）．

＝56.52（立方厘米）．

剩下体积占正方体的百分之几．

（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％．

答：剩下体积占正方体体积的73.8％．

例8 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？

分析解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环．由于打孔的深度与柱体的长度不相

同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略．但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面．

解：涂漆面积：

＝3.14×（18＋60＋20）

＝3.14×98＝307.72（平方厘米）．

答：涂油漆面积是307．72平方厘米．

习题六

1．一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图．已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米．求原来钢材的体积和侧面积．

2．在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中．取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高．

3．在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．

4．如下图所示的一个零件，中间一段是高为10厘米，底面半径为2厘米圆柱体，上端是一个半球体，下端是一个圆锥，它的高是2厘米．求这个零件的体积．

5．塑料制的三棱柱形的筒里装着水（如下页图（1）是这个筒的展开图，图中数字单位为厘米）．把这个筒的A面作为底面，放在水平桌面上，水面的高度是2厘米（如下页图（2））．问①若把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面的高度是多少厘米？

②若把C面作为底面，放在水平桌面上，水面高度是多少厘米？

为4分米、3分米、2分米．把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升高多少厘米？

7．如下图是一个正方体，H、G、F分别为棱AB、AD、AE的中点．现沿三角形GFH的面锯掉一个角，问锯掉这块的体积是整个立方体体积的几分之几？

（提示：V棱柱＝S·h，

S为底面积，h为高．

可见棱锥的体积是等底等高的棱柱体积的三分之一．）

习题六解答

1．3014.4×2＝6028.8（立方厘米），

960×π＝3014.4（平方厘米）．

答：原钢材体积是6028.8立方厘米，侧面积是3014.4平方厘米．

2．下降部分水的体积：

铸件的高：

答：铸件的高是24厘米．

3．提示：大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积．

解：6个小洞内新增加面积的总和：

1×1×4×6＝24（平方厘米），

原正方体表面积：42×6＝96（平方厘米），

挖洞后木块表面积：96＋24＝120（平方厘米），

体积：43－13×6＝58（立方厘米）．

答：挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米．

＝150.72（立方厘米）．

答：这个零件的体积是48π立方厘米，即约150．72立方厘米．

5．解：以A为底面时，水的体积为：

①以B面为底面时：由于以A为底面时，有水的部分占其纵截面（底边

角形高度的一半，即为1.5厘米．

②以C面为底面时，水的高度为：

6．解：两堆碎石的体积之和：

3分米＝30厘米，2分米＝20厘米，

302×4＋202×11＝8000（立方厘米）．

沉浸在大水缸中水面应升高高度：

4分米＝40厘米，

8000÷402＝5（厘米）．

答：如果沉浸在大水缸中，水面升高5厘米．

7．解：将正方体沿各棱中点，依水平和垂直方向切开，可得8个相同的小正方体，每个小正方体又可切成2个小三棱柱体，每个小三棱柱体的体积是等底等高三棱锥（即锯掉的一角）体积的三倍．因此锯掉的这块

体积是