高中数学必修一知识归纳整理

集合

一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。

一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A

?或，读作“A包含于B”，或“B包含于A”。

如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A

?或，读作“A真包含于B”，或“B真包

含A”。

一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作B

A?，读作“A交B”。

一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作B

A?，读作“A并B”。

如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中补集，记作CuA，读作“A在U中的补集”。

123412n x A x B A B A B A n A ∈???

?????

∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n

A A A

C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????

????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ?????

????

??????????

????????

???????????????????????

?????????????????????=???????

1．对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的―确定性、互异性、无序性‖。

如：集合{}{}{}|lg |lg (,)|lg A x y x B y y x C x y y x A B C ======，，，、、中元素各表示什么？ 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合{}

{}2

|230|1

A x x x

B x a x =--===，，若B A ?，则实数a 的值构成的集合为答：1103?

?-????

，， 3．注意下列性质：

（1）集合{}12n a a a ，，……，的所有子集的个数是2n

（2）若A B A B A A B B ??==，；

4．你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x 的不等式

0ax x a

-<-的解集为M ，若3M ∈且5M ?，求实数a 的取值范围。

()22353053192555350

5a M a

a a M a -?

∈

??-????≥?-?

·∵，∴，，

·∵，∴ 函数

函数是一种关系，在一个变化过程中，有两个变量

x 和y ，如果给定了一个x 值，

相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。

定义设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个（唯一确定）元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射。这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作f(x)。于是y=f(x)，x 称作y 的原象。映射f 也可记为：f ：A →B ， x →f(x).其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的值域，通常叫作f(A)。

注意：

1. “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

2. 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x 。

3. 集合A 和B 是有先后顺序的，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表示。

4. “有且仅有一个（唯一确定）”意思是：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域。

构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。

两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

区间的概念

区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

无穷区间

区间的数轴表示

如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作分段函数。

函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,（1）若当x1

（2）若当x1f(x2)，则说f(x) 在这个区间上是减函数。

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

判断函数单调性的方法步骤：

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

任取x1，x2 D，且x1

作差f(x1)-f(x2)；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f(x1)-f(x2)的正负）；

下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

取值→作差→变形→定号→下结论

设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。

设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数。

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。

如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数。

,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射

传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作函数及其表示函数{

[][][][][](,,()()(),,1212()()(),,12f x a b a x x b f x f x f x a b a b f x f x f x a b a b a =≤<≤<>???????????????近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。

定义域函数的三要素值域对应法则

解析法函数的表示方法列表法

图象法

单调性函数的基本性质传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。导数定义：在区间[][][][][]()1()2()()00,()0(),,()0(),,y f x I M x I f x M x I f x M M y f x b f x f x a b a b f x f x a b a b =∈≤∈==????>

??最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有；（）存在，使得。则称是函数的最大值最值最上，若，则在上递增,是递增区间；如则在上递减,是的递减区间。 ()1()2()()00(1)()(),()(2)()(),()y f x I N x I f x N x I f x N N y f x f x f x x D f x f x f x x D f x =∈≥∈==-=-∈-=∈?????小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有；（）存在，使得。则称是函数的最小值定义域，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。

奇偶性定义域，则叫做偶函数，其图()()()(0)()()1,()

112y f x f x T f x T f x T T f x y y x a x y f x a a α+=≠=-=?=+??

?????

??????

???????????象关于轴对称。奇偶函数的定义域关于原点对称

周期性：在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期；

的最小正值叫做的最小正周期，简称周期

（）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：向右平移个平移变换函数图象的画法（）变换法,()

11,()

1110111/()

11)01)1y y x a x y f x a b x x y b y y b f x b x x y b y y b f x x w w w x wx y f wx y A A =+=?=-=+=?-==-=?+=><<=?=><

到原来的倍（纵坐标不变），即伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标伸长（或缩短（到{{{{{{/()1221010(,)2(2)0000221010221010(2)0011112(00221010A y y A y f x x x x x x x x y y y f x x y y y y y y

x x x x x x x x y f x x y y y y x x x x y y y y f y y y y y y =?=+==-??-=-+==-+==-=??=-=====??-=+==-?????原来的倍（横坐标不变），即关于点对称：关于直线对称：对称变换关于直线对称：{)11()1x x x y x y f x y y =-=?==???????????????????????????????????????????????????????

????

???

?????????????????????????

关于直线对称：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；

2、偶次方根的被开方数大于等于零；

3、对数的真数大于零；

4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；

5、三角函数正切函数tan y x =中()2

x k k Z π

π≠+∈；余切函数cot y x =中；

6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；

2、换元法；

3、待定系数法；

4、函数方程法；

5、参数法；

6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；

2、配方法；

3、判别式法；

4、几何法；

5、不等式法；

6、单调性法；

7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；

2、换元法；

3、不等式法；

4、几何法；

5、单调性法五、函数单调性的常用结论：

1、若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数

2、若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数

3、若()f x 与()g x 的单调性相同，则[()]y f g x =是增函数；若()f x 与()g x 的单调性不同，则[()]y f g x =是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =，如果一个函数()y f x =既是

奇函数又是偶函数，则()0f x =（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为

()[()()][()()]

22f x f x f x f x f x =+-+--，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶

函数的和。

函数y=kx+b （k ≠0）叫做一次函数，它的定义域为R ，值域为R 。一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象是直线，以后简写为直线y=kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距。

一次函数又叫做线性函数。

函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）叫做二次函数，它的定义域是R 。

函数的应用

,()0()()[,]()()0,()[,](,),()0,()0()0y f x f x x y f x y f x a b f a f b y f x a b c a b f c c f x f x ====?<=∈===零点：对于函数（）我们把使的实数叫做函数的零点。定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有零点与根的关系那么，函数在区间内有零点。即存在使得这个也是方程的根。（反之不成立）关系：方程函数与方程函数的应用()()(1)[,],()()0,(2)(,);(3)()()0,()()0,(,)0()()0,0

y f x y f x x a b f a f b a b c f c f c c f a f c b c x a b f c f b a c x ε?=?=?<=?<=∈?<=?????有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点确定区间验证给定精确度；求区间的中点计算；

二分法求方程的近似解 ①若则就是函数的零点；

②若则令（此时零点）； ③若则令（此时零点(,)(4)-,();24c b a b a b εε∈<~??????????????????????????????????????????

）；判断是否达到精确度：即若则得到零点的近似值或否则重复。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型基本初等函数

整数指数：

a n 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。并规定a 1=a 。n 必须是正整数，所以这样的幂叫做正整指数幂。正整指数幂的运算满足如下法则：

)0,()()(≠>====?-+a n m a a

a b a ab a a a a a n m n m

n n mn n m n m n m

分数指数：

正数的分数指数幂的意义规定：

)

,,,0()

0(*1为既约分数且n

N n m a a a a a a n m n m n n

∈>=>=

负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，同样可以定义为：

),,,0(1

1*为既约分数且

N n m a a a

m n

m ∈>=

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．有理数指数幂：

运算性质（1）r a 2s r r

a a +=),,0(Q s r a ∈>；（2）rs

s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；

（3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>

根式的概念

一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．

式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被

开方数（radicand ）．

当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．

(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs

a a a r s Q r r s a

b a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=??????????

????????????????????

为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ?=+=-=>≠>>=>≠??????????

????

?????

???

=>≠>????????

为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x αα???????

????

???????????

???????

?=??

???

幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。性质：见表2以10为底的对数叫做常用对数。换底公式：b

N a a b log log log =

自然对数：以e 为底的对数叫做自然对数。积、商、幂的对数运算法则：（1）log a (MN)=log a M+log a N

log a (N 1 N 2 N 3…N k )=log a N 1+log a N 2+log a N 3+…+log a N k 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。（2）log a (

)=log a M-log a N 即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。

（3）log aα

M=αlog a M

即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。

幂函数定义：一般地，函数y=x a叫做幂函数，x是自变量，a是常数。

幂函数的性质：

1、所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x=1）;

2、在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；

在(1，+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴。

3、幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，值域是

否出现在第二、第三象限内，要看函数的奇偶性，幂函数的图象最多只能同事出现在两个象限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

4、幂函数的定义域的求法可分五种情况，即：（1）α为0；（2）α为正整数；

（3）α为负整数；（4）α为正分数；（5）α为负分数。

5、作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出

幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内

完整的图象。

6、幂函数)

=α

y∈

α的图象主要分为以下几类：

(1)当α=0时，图象是过(1，1)点平行于x轴但抠去(0，1)点的一条“断”直线；

(2)当α为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限及原点。

(3)当α为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第三象限及原点。

(4)当α为负偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。

(5)当α为负奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。

7、当α>0时，幂函数αx

y=图象一些性质：

(1)图象都通过点(1，1)，(0，0)；

(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大；

(3)在第一象限内，α>1时，图象是向下凸的；0<α<1时，图象是向上凸的。8、当α<0时，幂函数αx

y=图象一些性质：

(1)图象都通过点(1，1)；

(2)在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的。

反函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。我们称这两个函数互为反函数。

高中数学必修2知识点

数轴上的基本公式

如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移。位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称向量。

数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。平面直角坐标系中的基本公式

1、两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，

则||AB

2、中点公式：设1122(,),A x y B x y ，（）

，M(x,y)是线段AB 的中点，2

,22

121y y y x x x +=+=

直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k tan k α= 当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0

2x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：

(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程的几种形式

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。 ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：

2121

y y x x y y x x --=

--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x

④截矩式：1x y a b +=

其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为

,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围

○2特殊的方程如：

平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：

000=++C y B x A （C 为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

两直线平行的充要条件：212121,//b b k k l l ≠=?；两直线垂直的充要条件：12121-=?⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2

200B A C By Ax d +++=

两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组??

?=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的一组解。方程组无解21//l l ? ；方程组有无数解?1l 与2l 重合

圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定

长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；

特别的，如果圆心在坐标原点，这时a=0，b=0，圆的标准方程就是222r y x =+。（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x

当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为?

? ??

--2,2

E D ，半径为F

E D r 42

122-+=

当0422=-+F E D 时，表示一个点；

当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为

A C Bb Aa d +++=

，则有

相离与C l r d ?>；相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?<

（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有

相离与C l ?

相切与C l ?=?0；

相交与C l ?>?0

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程：

①圆x 2+y 2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为200r yy xx =+ (课本命

题)．

②圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 (课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()22

2222:R b y a x C =-+-

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；

当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当r R d -<时，两圆内含；当0=d 时，为同心圆。

空间直角坐标系

（1）定义：如图，,

OBCD D A B C -是单位正方体.以A 为原点，

分别以OD,OA 1,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x 轴、y 轴、z 轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 1）O 叫做坐标原点

2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这

样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组)

x来表示，有序实数组)

x叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作)

M（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）

空间两点的距离公式：

空间两点)

(

A的距离公式为

)

(

)

(

)

(

)

特别地，点)

(

A到原点O的距离公式为

)

立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E

ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；

侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。