拔高初二下数学四边形复习资料

四边形综合复习

知识与技能：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判定方法，灵活运用

这些知识进行有关的证明和计算；培养学生阅读的技能，进一步培养和发展学生

的逻辑思维能力与推理论证能力。

过程与方法：1、在综合问题解决过程中，学会阅读综合问题的方法，获取有价值的数据的方

法；

2、经历综合问题的探索过程，学会分析问题的方法。

3、经历一题多解，多题一解，培养学生的发散思维，关注知识间的联系。 情感态度与价值观：1、在问题解决过程中培养学生的数学素养和严谨的科学态度； 2、在问题解决过程中，让学生获得成功体验。

教学重点：阅读，对基本图形的认识。 教学难点：审题，寻找解决问题的突破口。 教学过程：

一、知识要点回顾： 二、例题讲解：

例1：如图，在A B C D 的纸片中，AC ⊥AB ，AC 与BD 交于O ，将△ABC 沿对角线AC 翻折得到'AB C ?.

（1）求证：以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是矩形；

（2）若2

12ABC D S cm = ， 求翻折后纸片重叠部分的面积，即AC E S ?.

意图：1、平行四边形的性质、矩形的判定定理的综合应用；

2、实现一题多解，有选择的运用矩形的判定定理，评析证明方法的优劣。

3、等积变换，以及对三角形底的选择直接影响到求面积的难易程度。

例2：我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线

四边形.请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称； （2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两

边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论. 意图：如何实现构造两条线段之和及将夹角进行有效转移

例3：如图，已知A B C D 中，A E 平分B A D ∠，交D C 于E ，D F B C ⊥于F ，交A E 于

G ，且D F AD =。 （1）试说明D E B C =；

（2）试问A B 与D G F C +之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由。

解法1：（见图1）

延长G D 到H ，使得D H F C =，连结A H ，实现将D G F C +转化为线段H G ；

解法2：（见图2）

延长C B 到H ，使得F H D G =，连结D H ，实现将D G F C +转化为线段C H ； 解法3：（见图3）

延长C F 到H ，使得BH C F =，将A D G ?绕点A 顺时针旋转90 ，得到A H G '?，实现将D G F C +转化为线段B G '；

图1 图2 图3

解法4：（见图4）如图建立平面直角坐标系，设,AB a CF b ==， 则(0,)A a ，(,0)B b ，(

,0)F a ，(,0)C b a +，(,)D a a ， AB

=，D F a =

可证得BH AB =，则,0)H b

，

可求得:D F l x a =

，:AH l y x a =-+即

y x a a

=

+

x a

y x a

a

=??

?=+??

则

(,)G b a a -+

DG DF GF b AB FC =-==-

解法5：见图5：如图建立直角坐标系，解法同解法4

图4 图5

将此题还原对比：

在AH FD 中，A G 平分

D A B ∠交D F 于点G ，证明：A B D G H B =+

还原图 例题图

意图：1、解法1、2、3均强调如何构造两条线段的和，运用了平移、旋转变换构造； 2、解法4、5均强调将几何问题代数化，初步渗透高中解析几何的思想。

体会（1）建立平面直角坐标系的可能。即存在直角。或有特殊的基本图形存在，

如等腰直角三角形、正方形；

（2）坐标原点和x 轴的选择直接影响到写出点的坐标的难易程度。 提示：针对（2）可留Ex1作为练习作业：

3、关注题目中的重要条件，抓注基本特征，将图形有效还原。

例4：如图①，小明在研究正方形ABCD 的有关问题时，得出：正方形ABCD

中，如果点E 是

CD 的中点，点F 是BC 边上的一点，且∠FAE ＝∠EAD ，那么EF ⊥AE .又将正方形改为矩形、菱形和任意平行四边形(如图②、图③、图④)，其它条件不变，发现仍然有“EF ⊥AE ”

的结论.你同意小明的观点吗？若同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由.

例5：请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形A B C D和菱形B E F G中，点A B E

，，在同一条直线上，P是线段D F

的中点，连结P G P C

，．若60

ABC BEF

∠=∠= ，探究P G与P C的位置关系及P G

P C

的

值．小聪同学的思路是：延长G P交D C于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段P G与P C的位置关系及P G

P C

的值；

（2）将图1中的菱形B E F G绕点B顺时针旋转，使菱形B E F G的对角线B F恰好与菱形A B C D的边A B在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

对于例4、例5

意图：1、培养良好的审题习惯；

2、注意中点的作用；

3、注意在动中求静；

4、性质的熟练应用

例6、1、已知：A B C

?中，D是B C边的中点，A E平分B A C

∠，BE AE

⊥于点E。若5

A B=，

7

A C=。

求E D

2、点A

为函数

1

y

x

=的图象上的点，点B C

、的坐标分别为

(

B，C

。试用性质：函数

1

y

x

=的图象上任一点都满足

AB AC

-=求解下面问题：做B A C

∠的平分线AE，过B作AE的垂线交AE 于F，已知点A在函数

1

y

x

=的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则此曲线为（）

A、直线

B、抛物线

C、圆

D、反比例函数曲线

意图：比较两题，2题比1题从字数上就多很多，但若认真审题会发现题干中有相同的

条件，蕴涵着相同的基本图形。

B F

例7、已知：分别以A B C

?的各边为边，在B C边的同侧作等边三角形A B E、等边三角形C BD 和等边三角形A C F，连结D E D F

、。

（1）试说明四边形D E A F为平行四边形；

（2）当A B C

?满足什么条件时，四边形D E A F为菱形、矩形、正方形；

（3）四边形D E A F一定存在吗？试说明理由。

E

B

意图：1、关注旋转全等形；

2、检验平行四边形、特殊的平行四边形的判定定理的熟练程度；

3、逆向思维的能力。

三、巩固练习：

B

M

Ex1：在正方形A B C D 中，E 为A D 中点，点F 在C D 上，且14

D F C D =

，

连接B E E F B F 、、，试问B E 与E F 的位置关系如何？并说明理由。 （此题至少3种做法，其中倍长和建系做法尤佳）

F

Ex2: 正方形ABCD 边长为8,M 在DC 上,且DM=2,N 是AC 上的一动点,

则DM+MN 的最小值为 .

(注意正方形的对称性)

Ex3:我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、 BE 相交于点O ，若∠A =60°，

∠DCB =∠EBC =

12

A ∠，请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是

等对边四边形；

（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且

∠DCB =∠EBC =

12

A ∠.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你

的结论. (针对例4、例5)

EX4:如图，A B C ?中，过点A 分别作A B C A C B ∠∠、的外角平分线的垂线AD D E 、AE,、

为垂足。

求证：（1）//E D B C ； （2）1()2

E D A B A C B C =

++；

（3）若过A 分别作ABC AC B ∠∠、的平分线的垂线A D A E 、，垂足分别为

D E 、。结论有无变化？请加以说明。

（针对例6）

EX5：A B C ?中，3,4,5AB AC BC ===，ABD AC E BFC ???、、都是等边三角形。

求四边形A D F E 的面积。 （针对例7）

D

知识归纳：

1、在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圆、正五边形、正六边形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的

平行四边形的判定：(1)_____________________________。(2)__________________________。 (3)_____________________________。

(4)______________________________

。

(5)______________________________。

3、矩形

(1) 矩形具有平形四边形的所有性质, 还具有自己的性质:

① 矩形的每个角都是 ; ② 矩形的对角线 且 . (2)矩形的判定:

① ; ② ; ③ ; ④ . 4、菱形

菱形具有平行四边形的一切性质, 还具有自己的性质: (1) 菱形的四条边都 ;

(2) 菱形的对角线 . 菱形的判定:

① ② ③ ④ 菱形的面积: 菱形的面积等于 的积,也等于 积的一半。 5、正方形

正方形具有矩形和菱形的一切性质. 正方形的判定: (1) (2) (3) (4) (5) (6)

F

特殊四边形的性质

对角线与特殊四边形的关系

1.对角线互相平分的四边形是平行四边形

2.对角线相等的平行四边形是矩形

3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

对角线与特殊四边形的关系

1.对角线____________的四边形是平行四边形

2.对角线______的平行四边形是矩形

3.对角线_______的平行四边形是菱形

4.对角线__________________的平行四边形是正方形