综合与实践1：制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子

课题：综合与实践制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子

课型：新授课

教学目标:

1.引导学生通过观察、猜想、操作、抽象、交流、合作、推理与反思等一系列活动，感受从实际问题抽象出数学问题---建立数学模型----综合应用已有的知识解决问题的过程.

2.在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念和符号感，通过借助自己拥有的信息去推断事物的变化趋势的活动，发展学生的推理能力.

3.让学生获得一些初步的做数学实验的方法和经验.体验数学活动充满着探索与创造，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心.

教学重点与难点：

重点:引导学生探索如何设计制作尽可能大的无盖长方体形盒子.

难点:感受数量之间相依变化的状态和趋势，体验分割逼近的方法和从特殊到一般的探究过程.

教法及学法指导：

本节课让学生能够比较完整地经历从具体情境中抽象出数学问题,然后对数学问题进行研究解决,在利用数学知识解决问题的过程.在整个教学过程中,学生进行小组合作活动,在活动中体现自主、合作、探究的学习方式.

课前准备：

教师准备：20×20cm卡纸若干，剪刀、直尺、透明胶布、多媒体课件．

学生准备：学生课前用20×20cm正方形卡纸尝试制作一个无盖的长方体形盒子．

教学过程：

一、创设情境，导入新课

你能帮我吗？

师：同学们，我们班级的粉笔盒坏了，现在老师这里只有一张正方形的卡纸．你能帮帮老师，利用它制作一个无盖的长方体形粉笔盒吗？

生：我能！课前已经做好一个咯！

生：老师，我也做了一个，而且还比他的大．

师：很好！我发现很多同学都做好了，做的很漂亮，非常好！不过，哪位同学做的盒子最大呢？如何做才能够使盒子最大呢？

师：这节课我们就来研究如何制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子．（板书课题）

设计意图：切合学生生活实际，自然有趣，激发学生探究热情．同时，对学生课前制作的盒子大小进行比较，引导学生思考如何制作尽可能大的盒子，为导入新课做好铺垫．

二、动手实践，探索规律

活动一、制作无盖长方体形盒子

师：同学们课前已经用一张正方形卡纸制作了一个无盖的长方体形盒子，那么，你是如何做的呢？

生：我在正方形的四个角，分别画了一个相等的小正方形，然后沿着裁剪线把小正方形剪掉，这样也能折成一个无盖的长方体形盒子．

生：我找了一个无盖的长方体形盒子，把它展开，然后按照展开图，画裁剪线，剪掉之后，也折成了无盖的长方体形盒子．

（制作一个无盖的长方体形盒子的方法很多，可以让学生积极发言，师生共同评价.）

师：同学们的方法各不相同，不过基本思路都一样，就是在正方形的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后沿着虚线折起来，就得到了一个无盖的长方体形盒子．（多媒体展示）

师：请同学们观察你制作的盒子，并思考：剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体形盒子的高有什么关系？

生：剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体形盒子的高相等．

设计意图：让学生通过画、剪、折等亲自动手操作活动，感受纸盒的长、宽、高和原来的纸片的边长以及剪去的小正方形的边长之间的关系，为下一步表示长方体的体积扫清了障碍，初步体会到剪下的小正方形的边长对长方体的体积有较大的影响，学生因急于解决问题而进入了主动学习的状态。

三、建立数学模型

活动二、盒子容积的代数式表达

师：如果大正方形的边长为a ，剪掉小正方形的边长为h ,用a

和h 来表示这个无盖

长方体的容积V 吗？

生：交流讨论，并完成下面的填空．（多媒体展示） （1）折成的无盖长方体形纸盒高是 ．

（2）折成的无盖长方体形纸盒的底面积是 ． （3）折成的无盖长方体形纸盒的容积V = ．

生：我得到的关系式是2(2)V a h h =-．

想一想（多媒体展示）

随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体形盒子的体积如何变化？ 生：小正方形的边长越大，盒子的体积就越大． 师：真的是这样吗？

生：他说的不对．我发现，小正方形的边长增大到一定程度，如果继续增大，盒子的容积反而随着变小了．

师：那么到底是如何变化的呢？

设计意图：学生纸盒进行想像及考察，感受纸盒的长、宽、高和原来的纸片的边长以及剪去的小正方形的边长之间的关系，体会实际问题转化为数学问题的过程，体会建模的方法，为下一步分割逼近寻找最大值做准备．

a-2h

h

}

a-2h

h

}

V

}

a

h

}

四、合作探究，分割逼近

活动三、代入具体数值计算盒子容积

师：如果用边长为20cm 的正方形纸制作无盖长方体形盒子，剪去的小正方形的边长为

h cm ，此时，盒子容积V 如何表达？

生：2(202)V h h =-．

师：小正方形的边长h 的取值范围是多少？ 生：0 cm 到10 cm 之间．

师：这位同学回答的非常好．下面请同学们，利用计算器进行计算，并将结果填入下面的表格中．（多媒体展示）

剪去小正方形的边长h/cm 无盖长方体的底面积

（20—2h ）2

/cm 2

无盖长方体的容积 （20—2h ）2

.h/cm 3

1 18 324

2 16 512

3 1

4 588 4 12 576

5 10 500

6 8 384

7 6 252

8 4 128

9 2

36

10

师：请你选择合适统计图，表示正方形的边长与所得的无盖长方体形的盒子的容积变化情况．

（多媒体展示）

生：结合统计表，小组合作制作统计图．（多媒体展示）

师：观察统计表和统计图，当小正方形边长变化时，所得到的无盖长方体形的盒子的容积是如何变化的？

生：可以看出，当小正方形边长从1cm逐渐增大到3 cm时，无盖长方体形盒子的容积逐渐增大；其后随着小正方形边长的增加容积逐渐减小；当小正方形边长为10 cm时，容积为0 cm3．

师：当小正方形边长取什么值时，所得到的无盖长方体形盒子的容积最大？最大是多少？

生：当小正方形边长为3 cm时，容积最大，为588 cm3．

师：你同意他的看法吗？为什么？

生：不同意．我通过折线统计图发现，当小正方形的边长为3 cm时，盒子的容积并不是最大的，而应该是当小正方形的边长在3—4 cm之间时，盒子的容积最大．

设计意图：通过收集有关数据、观察相关数据的统计图，引导学生推断“无盖长方体形盒子容积的变化”和“所剪去的小正方形边长的变化”之间的关系．探究当x取什么值时，v的值最大，归纳出结论；体会分割逼近的思想；体会探究学习的方法．这里关键是引导学生对多研究的问题进一步思考，对研究方法、研究方向有更明确的感悟．

师：我们发现，当小正方形的边长在3—4 cm之间多少时，盒子的容积最大呢．我们可以再3—4cm之间，按0.1cm的间隔取值，然后代入计算．来探究一下．

生：小组合作，明确分工，完成统计表和统计图的制作．（多媒体展示）

小正方形的边长/cm 3.1 3.2 3．3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 盒子的容积/cm3590.364 591.872 592.548 592.416 591.5 589.824 587.412 584.288 580.476

师：通过这些数据的变化，你发现了什么？当小正方形的边长取什么值时，所得到的无盖长方体形盒子的容积最大？最大值是多少？

生：结合统计图表可以看出，当剪去的小正方形的边长等于 3.3cm时，所得到的无盖长方体形盒子的容积最大，此时盒子的容积是592.548 cm3．

设计意图：让学生经历试验、想象、猜测的过程，感悟正确的探究方向．通过小组合作，探究当h取什么值时，V的值最大，归纳出结论，体会分割逼近的思想，体会探究学习的方法．

五、猜想验证，拓展优化

师：可以看到，当剪去的小正方形的边长等于3.3cm时，所得到的无盖长方体形盒子的容积592.548 cm3．这时得到的容积是最大的吗？

师：那么，当小正方形的边长在3.3—3.4 cm之间多少时，盒子的容积最大呢．我们继续可以再3.3—3.4 cm之间，按0.01cm的间隔取值，然后代入计算．来探究一下．

小正方形的边长/cm 3.31 3.32 3．33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 盒子的容积/cm3

师：通过这些数据的变化，你发现了什么？当小正方形的边长取什么值时，所得到的无盖长方体形盒子的容积最大？

生：结合统计图表可以看出，当剪去的小正方形的边长等于3.33cm 时，所得到的无盖长方体形盒子的容积最大．

师：在方案一中，当小正方形边长在3—4cm 之间容积达到最大；在方案二中，当小正方形边长，在3.3—3.4cm 之间容积达到最大．以此类推，在3.3—3.4cm 间分别以0.01cm ，0.001cm ，…为间隔计算无盖长方体形盒子的容积，即可得到小正方形边长为3.333333333…时，无盖长方体形盒子的容积的容积最大．

师：这位同学回答的非常好！事实上，运用逐步逼近的数学方法，在h =3的周围不断地缩小间距取值，可以发现，当h =

a 6

1时，盒子的容积最大，此时V =2716

592．

设计意图：通过前面两个阶段的活动，引导学生讨论、反思，从而引发学生继续对问题进行研究．在这一过程中，学生运用学过的统计知识，对数字信息进行处理，从而发现规律，提高了解决问题的能力．

六、系统小结，反思提升

师：本节课你有什么收获？

生1：我最大的收获是学习时要多动手，善于观察和分析，才能发现规律.

生2：通过这节课，我知道了一个道理：要解决一个问题可以用很多个不同的方法和途径去试试.

师：真棒！你们的收获确实非常大。看来同学们只要多动手，善于观察、善于动脑分析，就一定能发现更多更有价值的东西.

设计意图：鼓励学生结合本节课的试验、探究，谈自己的收获与感想，培养课堂反思

的习惯．小结本课的知识要点、探究过程中的方法，解决疑惑.

七、布置作业，课堂延伸

1.以小组为单位，撰写一份课题研究报告.

2.制作与思考：如果把正方形纸片换成长方形纸片，结论又如何？ 设计意图：强化所得结论、方法；启迪更多思考.

板书设计：

综合与实践制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子

1．如何制作方法

步骤2．容积表达式

h

h

a

V2)

2

(-

=

3．试验探究

4．结论

教学反思：

对学生来说，“综合与实践”极具挑战性，学生对其也比较感兴趣. 在教学中应立足于学生对问题的分析，对解决问题的理解，培养学生的数学意识.在教学中还应把握教学目标要重视过程.需要教师适当加以引导，将课题分解成一个一个的小问题，逐个突破.在教学中要及时发现学生思维的亮点，大加赞赏，调动学生的积极性，营造良好的学习氛围，其次设置悬念，引起学生兴趣，最后在学生探索问题时对学生引导也能随机应变，恰到好处．“综合与实践”课，在教学时的确很费时间，但是它对于培养学生的动手操作能力，培养学生创造性的解决问题和发现理论，作用非常大.教师要积极调动学生的参与度，尽可能的使学生在解决问题的过程中获得成就感，进一步激发学生数学学习的兴趣．

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