08 第八节 无穷小的比较

08 第八节 无穷小的比较
08 第八节 无穷小的比较

第八节 无穷小的比较

分布图示

★ 无穷小的比较

★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理

★ 例5 ★ 例6 ★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8

内容要点

一、无穷小比较的概念:无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同. 二、等价无穷小

)

0(~1)1()

0(ln ~1~1~)1ln(21~

cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a x

e x

x x x x x x x x x x x x x

定理1 设,是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~,α

β''

lim

存在, 则 .lim lim

αβαβ'

'

= 定理2 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=

例题选讲

无穷小比较概念的应用

例1 (E01) 证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小.

解 4

3

0t a n 4lim x x x x →3

0t a n l i m 4?

?? ??=→x x x .4=故当0→x 时,x x 3

tan 4为x 的四阶无穷小.

例2 (E02) 当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.

解 3

0s i n t a n l i m x x x x -→ ??? ??-?=→20c o s 1t a n

lim x x x x x .21= ∴当0→x 时,x x sin tan -为x 的三阶无穷小.

例3 当1→x 时,将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.

(1);233

+-x x (2);lg x (3).1

1sin )1(--x x 解 (1)

因为,0)23(lim 31

=+-→x x x 所以1→x 时,233+-x x 是无穷小量,又因为

123lim 31-+-→x x x x )

1()

2()1(lim

21-+-=→x x x x 0= 所以233+-x x 是比1-x 较高阶的无穷小量. (2)

因为,0lg lim 1

=→x x 所以当1→x 时,x lg 是无穷小量,又

1lg lim

1-→x x x []10ln )1()1(1ln lim 1?--+=→x x x 10

ln 1

= 所以x lg 是关于1-x 的同阶无穷小量.

(3)

由,011sin

)1(lim 1

=--→x x x 知当1→x 时,1

1

sin

)1(--x x 是无穷小量,但是 111

sin )1(lim

1

--?-→x x x x 11sin lim 1-=→x x 不存在. 所以,1

1sin )1(--x x 与1-x 不能比较.

例4 (E03) 证明.~1x e x -

证 令,1-=x e y 则),1ln(y x +=且0→x 时,,0→y 因此 x

e x x 1lim 0-→)1ln(lim 0y y y +=→y y y 10)1ln(1

lim

+=→.1= 即有等价关系 ).0(~1→-x x e x

上述证明同时也证明了等价关系 ).0(~)1ln(→+x x x

例5 (E04) 求 x

x

x 5sin 2tan lim

0→.

解 当0→x 时,,2~2tan x x .5~5sin x x 故x x x 5sin 2tan lim 0→x x x 52lim 0→=.5

2

=

例6 (E05) 求 .2sin sin tan lim

30x

x

x x -→

错解 当0→x 时,,~tan x x ,~sin x x ∴原式3

0)2(lim

x x

x x -=→.0=

正解 当0→x 时,,2~2sin x x x x sin tan -)cos 1(tan x x -=,2

1~3

x 故x

x x x 2sin sin tan lim 30-→330)2(21lim x x

x →=.161= 例7(E06) 求.3arcsin )

21ln(lim

0x

x x +→

解 当0→x 时,,2~)21ln(

x x + ,3~3arcsin x x 故

.3

2

32lim 3arcsin )21ln(lim 00==+→→x x x x x x

例8 求 .1

cos 1

)1(lim

3/120--+→x x x 解 当0→x 时,,31~

1)1(2312x x -+,2

1

~1cos 2x x -- 故1cos 1)1(lim 3

120--+→x x x 2

2

02

131lim x x

x -=→.32-=

例9 求 1

21tan 1tan 1lim

-+--+→x x

x x .

解 由于0→x 时,,~121x x -+,~tan x x 故1

21tan 1tan 1lim

-+--+→x x

x x )

tan 1tan 1(tan 2lim

x x x x

x -++=→)

tan 1tan 1(2

lim

x x x x -++=→.1=

课堂练习

1. 求极限 β

αβ

αβα--→e e lim .

2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?

(完整版)无穷小量与无穷大量

第周第学时教案授课教师:贾其鑫

第周第学时教案授课教师:贾其鑫

第 周第 学时教案 授课教师:贾其鑫 1.3.2 无穷大量 定义:1.13 如果在x 的某一变化过程中,1() y f x =是无穷小量,则在该变化过程中,()f x 为无穷大量,简称无穷大,记作:lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中,对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大(函数), 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函 数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述?很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ??M >0, ?δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有 |f (x )|>M . 正无穷大与负无穷大: +∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim ) ( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1 1lim 1x x . 证 因为?M >0, ?M 1= δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11| , 所以∞=-→1 1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-| 1|1|11| , 只要M x 1|1|<-.

第七节 无穷小量的比较

第七节 无穷小的比较 教学目的:使学生掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 教学重点:用等价无穷小求极限 教学过程: 一、讲授新课: 在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况,对于其商会出现不同的情况,例如:???????>∞<==?=-→→n m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 00000000 (00,b a 为常数,n m ,为自然数) 可见对于n m ,取不同数时,n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样,为此有必要对无穷小进行比较或分类: 定义:设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小, (i) 若0lim =α β,就说β是比α高阶的无穷小,记为)(αβo =; (ii) 若∞=α βlim ,,就说β是比α低阶的无穷小; (iii) 若0lim ≠=C α β,,就说β是比α同阶的无穷小; (iv) 若1lim =α β,就说β与α是等价无穷小,记为βα~。 【例1】 当0→x 时,2x 是x 的高阶无穷小,即)(2x o x =;反之x 是2x 的低阶无穷小;2x 与x cos 1-是同阶无穷小;x 与x sin 是等价无穷小,即x x sin ~。 注 1:高阶无穷小不具有等价代换性,即:)(),(22x o x x o x ==,但)()(x o x o ≠, 因为)(?o 不是一个量,而是高阶无穷小的记号; 2:显然(iv)是(iii)的特殊情况; 3:等价无穷小具有传递性:即γαγββα~~,~?;

4:未必任意两个无穷小量都可进行比较,例如:当0→x 时,x x 1sin 与2x 既非同阶,又无高低阶可比较,因为2 01sin lim x x x x →不存在; 5:对于无穷大量也可作类似的比较、分类; 6:用等价无穷小可以简化极限的运算,事实上,有: 定理:若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小,且ββαα''~,~,及?' 'αβlim ,那么αβαβ '' =?lim lim 。 【例2】 求x x x 20sin cos 1lim -→。 解:因为当0→x 时,x x ~sin 所以 21cos 1lim sin cos 1lim 2020=- =-→→x x x x x x 。 【例3】 求x x x x 22arcsin lim 20+→ 解:因为当0→x 时,x x 2~2arcsin , 所以 原式122 22 lim 22lim 020==+=+=→→x x x x x x 。 7:在目前,常用当0→x 时,等价无穷小有: 221 ~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -; 8:用等价无穷小代换适用于乘、除,对于加、减须谨慎! 二、课堂练习: 三、布置作业:

高数无穷小比较的教案

第13、14、15、16课时: 【教学目的】 1、 掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限; 2、 熟记一些常见的等价无穷小; 3、 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型; 4、 了解连续函数的性质与初等函数的连续性。 【教学重点】 1、常见的等价无穷小的推导; 2、等价无穷小求极限; 3、函数连续性的概念(含左连续与右连续)及函数间断点的类型。 【教学难点】 判断间断点的类型。 §1. 7 无穷小的比较 1.定义: (1)如果0lim =α β,就说β是比α高阶的无穷小,记作)(αβ =; (2)如果∞=α βlim ,就说β是比α低阶的无穷小, (3)如果0lim ≠=c α β,就说β是比α同阶的无穷小, (4)如果0,0lim >≠=k c k α β,就说β是关于α的k 阶的无穷小, (5)如果1lim =αβ,就说β与α是等价的无穷小,记作βα~ 这些中重要的是等价无穷小,结合例题要让学生特别熟练 的记住一些常见的等价无穷小。 例1.证明:当0→x 时,x n x n 1~ 1+ 2.定理1.β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ += 例2.因为当0→x 时,x x ~sin ,x x ~tan ,x x ~arcsin ,22 1~cos 1x x -, 所以当0→x 时有)(s i n x x x +=,)(tan x x x +=,)(arcsin x x x +=,)(2 1cos 122x x x +=- 定理2 设αα'~,ββ'~,且αβ' 'lim 存在,则 αβαβ' '=lim lim

例3求x x x 3tan 2tan lim 0→,例4求x x x x 3sin lim 30+→,例5求1cos 1)1(lim 3 120--+→x x x 注:求极限过程中,一个无穷小量可以用与其等价的无穷 小量代替,但只能在因式情况下使用,和、差情况不能用。 教学小结与学法建议 学完本节课要理解无穷小比较的定义,要牢记课上总结的常见等价无穷小,等价无穷小替换时求极限的一种重要方法,做题时要注意正确的替换方法,在加减法中千万不能用等价无穷小替换,要结合例题和习题掌握牢固和熟练。 师生活动设计P59:1,2,3,4(1)(2) 作业:P59:4(3)(4)

求极限的方法及例题总结

1.定义: 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;5 )13(lim 2 =-→x x (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2.极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3) )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较 一、选择题 1. n n n x 2sin 2lim ∞ →= ( ) A . 0; B . 1; C . x ; D . ∞. 2. x ax x ) 1ln(lim 0+→= ( ) A . a ; B . ln a ; C . e a ; D . 1. 3. 当0→x 时, x x cos sin 2 1 是x 的 ( ) A .同阶无穷小量; B . 高阶无穷小量; C . 低阶无穷小量; D . 低阶的无穷小量. 4. =+→)21ln(4sin lim 0x x x ( ) A . 4; B . 1. C . 0; D . 2. 5. 极限=-→x x x 1 )31(lim 0 ( ) A . ∞; B . e - 3; C . 0; D . e 3. 6. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时, 有 ( ) A . f (x )与x 是等价无穷小; B . (x )与x 是同阶但非等价无穷小; C . f (x )是比x 高阶的无穷小; D . f (x )是比x 低阶的无穷小. 二、填空题 1. x x x 21 sin 3lim ?∞→= . 2. 设210 )1(lim e mx x x =-→,则m = . 3. =+→)3 sin 12sin (lim 0 x x x x x _ . 三、解答题 1. 求下列极限: (1) x x x x sin 2cos 1lim 0-→; (2) 2 )2 (lim x x x x +∞→; (3) x x x x x 20sin sin tan lim -→; (4) )1sin 1)(11(sin tan lim 32 0-+-+-→x x x x x . 2. 证明: 1)1 21 11 ( lim 2 2 2 =++ +++ +∞ →n n n n n 3. 设01>x , )1 (211n n n x x x +=+(n = 1, 2, …), 证明数列}{n x 当n →∞时极限存在, 并计算极限值.

求极限的方法和例题总结

8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→解:原式 11)32(1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。

3.两个重要极限 (1) 1 sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(lim 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→210 ) 21(lim ,e x x x =+∞ →3 )31(lim ;等等。 利用两个重要极限求极限 例5 2 03cos 1lim x x x -→解:原式= 61 )2(122sin 2lim 32sin 2lim 2 2 02 2 0=?=→→x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例 6 x x x 2 ) sin 31(lim -→=6 sin 6sin 31 sin 6sin 310 ] ) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-? -→=-=-e x x x x x x x x x x 例7 n n n n )12(lim +-∞→= 31 331 1 331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+ e n n n n n n n n n n 。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2 x - ~ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0 x x →时的无穷小,且)(x f ~ )(1x f ,)(x g ~)(1x g ,则当 ) () (lim 110 x g x f x x →存在时, )() (lim x g x f x x →也存在且等于 ) (x f ) ()(lim 110 x g x f x x →,即 )() (lim x g x f x x →=)()(lim 11 0x g x f x x →。

第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点

第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点 ㈠本课的基本要求 讨论无穷小的比较,会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念,了解函数在区间 上连续的概念。了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。 ㈡本课的重点、难点 重点是利用等价无穷小求极限,难点是对连续概念的理解及间断点类型的判断。 ㈢教学内容 第七节 无穷小量的比较 讨论两个无穷小的商的情况 如: 02cos 11sin sin lim lim lim 2 =-=∞=→→→x x x x x x x x x 两个无穷小之比的极限的各种不同情况,反映了不同的无穷小趋向于0的“快、慢”程度。 差不多与快,而比x x x x sin sin 02→。 另根据常识,当x 很小时(1<≠=k c k αβ ,就说β是关于α的k 阶无穷小。 例 是同阶无穷小与x x x x x x 5sin 55sin 0 lim =→→,2)1()1tan(23 31 lim =--→x x x ,3 ) 1tan(2-x 是当1→x 时1-x 的三阶无穷小。 x x x x e x x x x x x x x ~sin 2 ,11,1,2),1ln(,cos 1,tan ,sin ,02都是无穷小量,且时,-+-+-→)0(~11,2~11,~1,~)1ln(,2~cos 1,~tan 2→-+-+-+-x m x x x x x e x x x x x x m x * 等价无穷小在理论和应用上都很重要,等价无穷小有下列性质: 定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ +=。(证略)

无穷小与无穷大教学设计

陕西国际商贸学院 教学设计 课程名称:经济应用数学.A 授课教师:_____________ 授课班级:_____________ 基础课部大学数学教研室 2017至2018学年第 1 学期

课题:无穷小与无穷大 课程:经济应用数学A教学对象:课时:2课时 任课教师:教材:《高等数学(经管类)》吴玉梅,古佳,康敏,科学出版社 一、教材分析 选用的是《高等数学(经管类)》,教材,教材适用于经济,金融和管理类的学生。本节课的主要介绍的是无穷小与无穷大,从无穷小与无穷大的定义到运算性质,让学生对无穷小与无穷大有一个整体的认识,之后对无穷小的比较做进一步学习。 1、以教材作为出发点,依据《课程标准》,引导学生体会、参与科学探究过程。首先复习数列的极限函数的极限,通过对极限概念的进一步分析和总结,让学生自主、独立的发现问题,对可能的答案做出假设与猜想,并通过多次的检验,得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动,获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论,使学生感受科学的严谨,启迪学习态度和方法,不仅要保证数学知识的完整性,也要提升学生运用数学的思想和应用数学知识解决实际问题的方法。 二、教学目标与内容 1.教学目标 知识与技能 通过对本节的学习,理解无穷小与无穷大的概念及它们的关系,掌握无穷小的运算性质,熟记常用的等价无穷小量,会用等价无穷小替换定理求极限。 过程与方法 通过对本节的学习,使同学理解无限与有限的相对性,学会在无限的范围考虑问题,在此过程中,要培养学生将实际问题转化为数学问题的能力,培养学生提出、分析、理解问题的能力,进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价值观 通过对本节的学习,使同学理解无限与有限的相对性,学会在无限的范围考虑问题让学生体验数学在实际生活中的运用,激发学生自主学习的兴趣,也培养了学生的创新意识和探索精神。 2.教学重难点 教学重点: 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小的运算性质 3.无穷小的比较

大一高数学习知识重点与例题讲解

大一高数 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★) ○邻域(去心邻域)(★) (){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立, ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明(★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 1.由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<, ∴()εδg = 2.即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立, ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明(★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = 2.即对0>?ε,()εg X =?,当X x >时,始终有不等式()f x A ε-<成立, ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★) 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论(★★) (定理三)假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小,则()()lim 0f x g x ?=???? (定理四)在自变量的某个变化过程中,若()x f 为无穷大,则()1 f x -为无穷小;反之,若()x f 为无穷小,且

习题1-7 无穷小的比较

1 §1.7无穷小的比较 一、判断题 1、γβα,,是同一极限过程中的无穷小,且,~,~γββα则必有γα~。 [ ] 2、0→x 时330tan sin sin ~,lim lim 0sin x x x x x x x x x x →∞→--∴== [ ] 3、已知11cos lim 0=-→x x x ,由此可断言,当)1(cos ,0x x x -→与时为等价无穷小。[ ] 4.当0→x 时,x 3sin 与1-x e 是同阶无穷小 。 [ ] 5.当1→x 时,31x - 是1-x 的高阶无穷小。 [ ] 二、单项选择题 1、x →0时,1—cos x 是x 2的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小,但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 2、当x →0时,(1—cos x )2是sin 2x 的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小,但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 3、如果应满足则高阶的无穷小是比时c b a x c bx ax x ,,,11 1 ,2+++∞→ 。 (A)1,1,0===c b a (B) 0,1,a b c ==为任意常数 (C) 为任意常数c b a ,,0≠ (D) 都可以是任意常数c b a ,, 4、1→x 时与无穷小x -1等价的是 。 (A)()3121 x - (B) ()x -121 (C) ()2121 x - (D) x -1 5.下列极限中,值为1的是 。 (A) x x x sin 2lim π∞→ (B) x x x sin 2lim 0π→ (C) x x x sin 2lim 2 ππ→ (D) x x x sin 2lim ππ→

数学分析答案无穷小量与无穷大量的阶)

习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定a 与α,使下列各无穷小量或无穷大量等价于(~) a x α: (1) u (x ) = x x x 543 32-+, (x →0,x →∞); (2) u (x ) = x x x x 524 3 23+- (x →0,x →∞); (3) u (x ) = x 3 + x 2 3 (x →0+,x →+∞); (4) u (x ) = x x x ++ (x →0+,x →+∞); (5) u (x ) = 13+x - 123 +x (x →0,x →+∞); (6) u (x ) = x 2 1+ - x (x →+∞); (7) u (x ) = - 3 2 x (x →0+); (8) u (x ) = 1+x x - e 2x (x →0+); (9) u (x ) = ln cos x - arc tan x 2 (x →0); (10) u (x ) = x tan 1+ - 1-sin x (x →0)。 解(1))(x u ~)0(23→x x ;)(x u ~)(5∞→x x 。 (2))(x u ~)0(21→--x x ;)(x u ~ ) (3 1∞→x x 。 (3))(x u ~)0(3 2 +→x x ;)(x u ~)(2 3 +∞→x x 。 (4))(x u ~)0(81 +→x x ;) (x u ~)(21 +∞→x x 。 (5))(x u ~)0(65→x x ;)(x u ~ )(321 +∞→x x 。 (6))(x u ~ )(2 11 +∞→-x x 。 (7))(x u ~)0(21 +→x x 。 (8))(x u ~)0(2+→-x x 。

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算

关于高等数学等价无穷小替换极限的计算 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念; 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限; 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大; 2、无穷小的比较; 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换; 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极 限、0x x →(+→0x x 、- →0x x )函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用

→x *表示上述七种的某一种趋近方式,即 *{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义:当在给定的→x *下,()f x 以零为极限,则称()f x 是→x *下的无穷小,即()0lim =→x f x * 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不是无穷小。 定义: 当在给定的→x *下,()x f 无限增大,则称()x f 是→x *下的无穷大,即 ()∞=→x f x * lim 。显然,∞→n 时, 、 、、32n n n 都是无穷大量, 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如 0lim =-∞ →x x e , +∞=+∞ →x x e lim , 所以x e 当-∞→x 时为无穷小,当+∞→x 时为无穷大。 2.无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果()x f 为无穷大, 则 ()x f 1为无穷小;反之,如果()x f 为无穷小,且()0≠x f ,则() x f 1 为无穷大。 小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0 lim () () (),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0 x x →(或∞→x )中的无穷小. 证:(必要性)设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α (充分性)设() (),f x A x α其中()x α是当0x x 时的无穷小,则 【意义】 (1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

无穷小量与无穷大量的比较

§5 无穷小量与无穷大量的比较 先看数列的情形.设,n n x y 是无穷小量,即:lim n →∞ n x =0,lim n →∞ n y =0. 考虑n n n y x ∞→lim 可能出现各种情形: 0lim ≠=∞→c y x n n n , n c x n =,n y =1n ; 0lim =∞→n n n y x , n x =21 n ,n y =1n ; ∞=∞→n n n y x l i m , n x n 1=,21 n y n = n n n y x ∞→lim 不存在 n n n y x ∞→lim 是有界量,n x =(1)n n -,n y =1 n , n n n y x ∞→lim 是无界量,但非无穷大,n x = [1(1)]n n +-,n y =21 n , 这时 n n x y =[1(1)]n n +- 可见,有些无穷小量可以比较,但有些不能。 定义3.10 设l i m n →∞ n x =0,lim n →∞ n y =0. (1)若存在A >0,B >0及正整数N ,使得当n N >时,有 0

n x 与n y 是同阶无穷小量?若存在A >0,B >0及正整数N , 使得当n N >时, 有 0?ε,N ?,当N n >时,n n y x ε<|| 这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。 n x 与n y 为等价无穷小量?n x ~n y ?lim n →∞ n n x y =1 ? n n n y x α=-1,其中0l i m =∞→n n α ?n n n n y y x α+= ?)(n n n n n y o y y x ==-α, 这表明:1、n 充分大时,n x 于n y 几乎相等。 2、两个等价无穷小量之差是比其自身更 高阶的无穷小量 还要引进一个记号: n x =()n O y ? 如果 n n x y 是有界的,即||n n x y ≤M )1(O x n = ? 如果M x n ≤||

无穷小与无穷大

1.4 无穷小与无穷大 1.4.1 无穷小 1.无穷小量的定义 定义:如果x → x 0 (或x → ∞ )时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0(或x → ∞ )时的无穷小量,简称无穷小。 例如:因为 0)1(lim 1 =-→x x ,所以函数x-1是x →1时的无穷小。 因为 01 lim =∞ →x x ,所以函数x 1是当x →1时的无穷小。 因为 011lim =--∞ →x x ,所以函数x -11 是当x →-∞时的无穷小。 以零为极限的数列{x n },称为当n →∞时的无穷小, n 1,n 3 2 都是n →∞时的无穷小。 注:⑴不能笼统的说某函数是无穷小,说一个函数f(x)是无穷小,必须指明自变量的变化趋向。 ⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小,因为这个常数在x →x 0(或x →∞)时,极限仍为常数本身,并不是零。 ⑶常数中只有零可以看作是无穷小,因为零在x →x 0(或x →∞)时,极限是零。 2.无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中,无穷小有以下性质: ⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小(无穷多个无穷小之和不一定是无穷小)。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 ⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。(常数与无穷小的乘积仍是无穷小)。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。 例1.求 x x x sin lim ∞ → 解:∵1sin ≤x ,是有界函数, 而 01 lim =∞ →x x ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

∴ x x x sin lim ∞ →=0 3.函数极限与无穷小的关系 定理:具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是该函数的极限。 4.无穷小的比较 例:当x →0时,x, 3x , x 2, sinx, x x 1 sin 2 都是无穷小。 观察各极限: 032 lim =→x x x x 2比3x 要快得多 1sin lim =→x x x sinx 与x 大致相同 ∞=?=→→x x x x x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1 sin lim lim 220 →→= 不存在 不可比 极限不同,反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。 得到以下结论:设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 ⑴如果αβlim =0,则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果αβ lim =∞,则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβ lim =k (k ≠0),则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果α β lim =1,则称β与α是等价无穷小,记为α~β。 例2.比较当x →0时,无穷小 x x ---111 与x 2阶数的高低。

无穷小阶的比较

无穷小阶的比较

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42 / 5 1.6 无穷小阶的比较 1 无穷小的比较 设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。 (1) 如果0lim 0x x βα →=,则称β是比α高阶的无穷小,记为()o βα=;也说α是比β低阶的无穷小。 (2) 如果0lim x x c βα →=(c 是不为0的常数),则称β是与α同阶的无穷小。 (3) 如果0lim 1x x βα →=,则称β与α是等价无穷小,记作βα:或αβ:。 (4) 如果0 lim k x x c βα→=(0k >,c 是不为0的常数),则称β是关于α的k 阶无穷小。 例如 0x →时,2 3()x o x =,sin x x :,1cos x -与2x 是同阶无穷小,同时1cos x - 也是关于x 的二阶无穷小。 注意并不是所有的无穷小都能进行比较,x →∞时,1()f x x =,sin ()x g x x =都是无穷小。由于()1lim lim ()sin x x f x g x x →∞→∞=和()lim lim sin ()x x g x x f x →∞→∞=都不存在,因此,1()f x x =与sin ()x g x x =不能进行阶的比较。 例1 0x →时,比较1cos x -与2x 的阶。 解 2 222000022sin 2sin sin 1cos 111222lim lim lim lim 12224()22x x x x x x x x x x x x →→→→?? ?-====?= ? ??? 。 0x →时,1cos x -与212 x 是等价无穷小。 定理 1.5.1 设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小,则βα:()o βαα?=+。 例如 0x →时,211cos 2x x -: ,故 2211cos ()2 x x o x -=+,即221cos 1()2x x o x =-+,于是在0x =的小邻域内可以用2112 x -近似代替cos x 。 定理1.5.2 设,,,ααββ''都是自变量同一变化过程中的无穷小,且αα':,ββ':,

作业(无穷大与无穷小、极限四则运算)(答案)

一、在下列各题中,指出哪些变量是无穷小量,哪些变量是无穷大量? 1.当∞→x 时,变量 x 2是无穷小量; 【0 2lim =∞ →x x 】 2.当-∞→x 时,变量x -2是无穷大量; 【 +∞ =--∞ →x x 2 lim 】 3.当0→x 时,变量x sin 是无穷小量; 【0sin lim 0 =→x x 】 4.当+→0x 时,变量x ln 无穷大量. 【-∞=+→x x ln lim 0 】 二、利用无穷小与有界变量的关系,计算下列极限 1. x x x sin lim ∞ → 2.x x x 1sin lim 2 → 解:由0 1lim =∞ →x x ,且1sin ≤x , 解:由0lim 2 =→x x ,且11sin ≤x , 故0 sin lim =∞ →x x x . 故0 1sin lim 2 =→x x x . 3.)21(cos lim +→x x x 4.x x x 1sin lim 2 +∞ → 解:由0lim 0 =→x x ,且 3 21cos ≤+x , 解:由0 1lim =∞ →x x ,且11sin 2 ≤+x , 故0 )21(cos lim =+→x x x . 故0 1 sin lim 2 =+∞ →x x x . 三、求下列极限 1.)158(lim 2 5 +-→x x x 176 155582 =+?-?=. 2. 1 1lim 2 1 ---→x x x 0111)1(2 =----= . 3.59lim 2 3 -+→x x x 3 5 3 932 =-+=. 强行代入 4.x x x -+→13lim 1 ∞=. 无穷小的倒数是无穷大 5.1 1 lim 2 1 --→x x x 1 ) 1)(1(lim 1 --+=→x x x x 2 11)1(lim 1 =+=+=→x x . 分解约分

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