裂项法_系数_求和

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一．用裂项法求

1n(n ＋1)

型分数求和分析：因 1n ＋1－1n ＝n n(n ＋1)－n ＋1n(n ＋1)=1n(n ＋1)

裂项公式

例1：求110×11＋111×12＋…＋159×60

的和。解：裂项有(110－111)＋(111－112)＋…＋(159－160

) ＝110－160＝112

二．用裂项法求1型分数求和均为自然数) 裂项公式例2：计算S ＝15×7＋17×9＋19×11＋111×13＋113×15

解S ＝12×(15－17)＋12×(17－19)＋…＋12×(113－115

) ＝12×[(15－17)＋(17－19)＋…＋(113－115

)] ＝12×(15－115

) ＝115 例3:求S ＝21×3＋23×5＋…＋297×99

的和解S ＝(11－13)＋(13－15)＋…＋(197－199

) ＝11－199

＝9899

四.用裂项法求例4:计算：S ＝41×3×5＋43×5×7＋…＋493×95×97＋495×97×99

解S ＝(11×3－13×5)＋(13×5＋15×7)＋…＋(195×97－197×99)

＝11×3－197×99

＝32009603

＝1 3k ( 例5:计算S ＝11×2×3×4＋12×3×4×5＋…＋117×18×19×20

解S ＝13(11×2×3－118×19×20)＝113920520

例6:计算S ＝31×2×3×4＋32×3×4×5＋…＋317×18×19×20

解S ＝11×2×3－118×19×20＝11396840

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1(1) n n +型分数求和分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二）用裂项法求 1()n n k +型分数求和分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三）用裂项法求() k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+

（四）用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五）用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六）用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求 1 (1) n n +型分数求和分析：因为 111n n -+＝11 (1)(1)(1) n n n n n n n n +-= +++（n 为自然数）所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】求 111 ......101111125960+++???的和。 111111111 ()()......()101111125960106012 =-+-++-= -= （二）用裂项法求 1 () n n k +型分数求和分析： 1 () n n k +型。（n,k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 。所以1111()()n n k k n n k =-++ 【例2】计算11111577991111131315++++ ????? 111111*********()()()()()25727929112111321315= -+-+-+-+- 111111********* [()()()()()][]2577991111131315251515 =-+-+-+-+-=-= （三）用裂项法求 () k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】求 2222 (1335579799) ++++????的和 1111111198 (1)()()......( )13355797999999 =-+-+-++-=-= （四）用裂项法求 2()(2) k n n k n k ++型分数求和分析： 2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数）则 211 ()(2) ()()(2) k n n k n k n n k n k n k = - +++++ 【例4】计算： 4444 (135357939597959799) ++++???????? 11111111()()......()()133535579395959795979799 1132001397999603 =-+-++-+-????????=-= ?? （五）用裂项法求 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和分析： 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111 ()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】计算：111 ......1234234517181920+++ ????????? 1111111 [()()......()] 3123234 2343451718191819201111139[]312318192020520 =-+-++-????????????=--=???? （六）用裂项法求 3()(2)(3) k n n k n k n k +++型分数求和分析： 3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）

数列求和-裂项法

数列求和 ------裂项相消法引例：教材P47 什么是裂项相消法？什么时候使用？思考1：变式：思考2：在裂项的过程中，是怎样把项裂开的？关键是什么？怎样相互抵消的？ 1.???? 求数列的前n 项和.11111,,,,,13243546n(n +2)222222224142434 2.,,,,,.41142143141n n n ?????-?-?-?- 求数列的前项和222235721 3..(12)(23)(34)[(1)]n n S n n +=++++???+ 求和∑求和：k n n k+1k k=12 4.S =(2-1)(2-1)2n n a a =若数列{}，,可以用裂项相消法求数列前n 项和？11n(n +)

小结：什么是裂项相消法？什么时候使用裂项相消法？在使用的过程当中应当注意什么？裂项相消法运用的数学思想是什么？你是否有新的感受呢？请用一句话总结一下前面的内容。思维拓展：思考3：裂项相消法最大的成功--实现了消项，运用错位相减法也是消项，是不是可以考虑用裂项法相消法可以求等比数列的和吗？可以求{}g 等差等比的和吗？试试看。在等比数列{}(1)n a q 1中，试一试：用裂项相消法练习： 2*1122:{},().(1) 1111(2) .(1)(1)(1)3n n n n n a n S n n n N a n a a a a a a =+∈+++<+++ 例题数列的前项和为求；证明：对一切正整数，有2335721.2222n n n S +=++++ 求和211111-=++++L n n S a a q a q a q 211111-=++++L n n n qS a q a q a q a q 1(1)1-=-n n a q S q 11 (1)-=-n n q S a a q 121321* {},,,,,2.(){}(21)3()(){}.n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n b n N b n T a -----?=∈ 已知数列满足：是首项、公差均为的等差数列 Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ令，求数列的前项和

分数裂项求和

学生曹一诺学校年级六年级科目数学教师陈作谦日期16年4月24日时段15:00-17:00 次数第一次课题分数裂项求和教学重点难点重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。难点：能判断所处题目的特点，并用其对应的方法进行解答。教学步骤及教学内容一、作业检查：平时成绩中上，卓师的小升初模拟试题测试结果，数学为46分二、课前热身：与学生探讨小升初的意义，互动中令学生明白考试的应对方式。三、内容讲解：先做几个题目：（1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ，（2）求 2222 ...... 1335579799 ++++ ???? 的和这种题目就是分数裂项求和的运用。分数裂项求和，分成减法裂项和加法裂项：减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。（1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ，

解：原式= +?+?+?7 55 -7533-5311-3……+11 99-11? =( + ??+??+??)7 55-757()533-535()311-313 ……+( 11911 ?-11 99?) )11 191()7151()5131()3111(-+??+-+-+-= 11 191715151313111-+??+-+-+-= 11 111-= 11 10= （2）求 2222 (1335579799) ++++????的和解：原式=+?+?+?7 55-75 33-53 11-3……+99 9797-99? 1111111 (1)()()......() 3355797991 1999899 =-+-+-++-=-= 再看一道例题：例1：计算：72 17561542133011209127651-+-+-+ - 解：原式=98988787767665655454434332321?+-?++?+-?++?+-?++?+- ）（）（）（）（）（）（）（9 1818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11--++--++--++--= 9 11-=

分数乘法与分数裂项法

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分数乘法与分数裂项法分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。 1/ 10

【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。（2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】

分数裂项求和标准个性化教案

分数裂项求和标准个性化教案公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

变形裂项：先变形为直接裂项。【典型例题】例1 计算：观察：直接裂项2 11121121-=?= 31 2132161-=?= 41 31431121-=?= ............. = 201 ( )()=?1（）-（） ( )()=?= 1 301（）-（）解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 65 例2 计算：7217 561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 41 314343127+=?+= 920= =?+545451 41+ ............... ()() 115630+==?（）+（） ()( ) 136742+==?（）+（）解：原式）（）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 151414131312 11+-+++-+++-+++-= 例3.+?+?+?7 52532312……+ 1192 ? 变形裂项： .............. 解：原式)11 1 91()7 15 1()5 13 13 1 11-++-+-+-= （）（例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一”

解：原式128 1 12811281641321161814121 - +++++++=）（例5 1 101 1811611411212 2222-+-+-+-+- 由)()(2 2 b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为：解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试：【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】求111 (101111125960) +++ ???的和。（二）用裂项法求1 () n n k +型分数求和分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】计算11111577991111131315++++ ????? （三）用裂项法求 () k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11 n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k +

六年级分数-裂项法

知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。公式: (1)平方差公式：a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项法：例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算：2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222

小学奥数分数求和专题总结

分数求和分数求和的常用方法： 1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。 2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。 3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。 4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。 5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。典型例题一、公式法：计算： 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 =（20081＋2008 2007）×2007÷2 =2 11003 二、图解法：计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=64 63 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数641，就能凑成32 1，依次向前类推，可以求出算式之和。 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－64 1 =21 ＋41＋81＋161＋（321+32 1）－641

…… = 21 ×2－64 1 =6463 解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。设x= 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ② 用②－①得 2x －x=1+ 21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1） x=64 63 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463 三、裂项法 1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。再变数型：因为 21=211?=1－21，61=321?=21－31，121=431?=31－4 1，……，1101=11101?=101-111。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。 21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-11 1 =1－11 1 =11 10 2、计算：511?＋951?＋13 91?＋……＋33291?＋37331?

分数裂项法解分数计算

分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。【巩固】 111 (101111125960) +++??? 【巩固】 2222109985443 ++++=????L 【例 2】 111111212312100 ++++++++++L L L 【例 3】 111113355799101 ++++=????L 【巩固】计算：1111251335572325???++++= ??????? L 【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008 +++++?????L 【巩固】计算：3245671255771111161622222929 ++++++=?????? 【例 4】计算：11111111()1288244880120168224288 +++++++?= 【巩固】 11111111612203042567290 +++++++=_______ 【巩固】 11111113610152128 ++++++= 【巩固】计算：1111111112612203042567290 --------＝【巩固】 11111104088154238 ++++= 。【例 5】计算：1111135357579200120032005 ++++????????L 【例 6】 7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23 ?+???+++= ??? -?& 【例 7】计算：11111123420261220420 +++++L 【巩固】计算：11111200820092010201120121854108180270 ++++= 。【巩固】计算：1122426153577 ++++= ____。【巩固】计算：1111111315356399143195 ++++++ 【巩固】计算：15111929970198992612203097029900+++++++=L ．

分数裂项求和标准个性化教案

分数裂项求和标准个性化教案 This manuscript was revised on November 28, 2020

两数之差。直接裂项加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。变形裂项：先变形为直接裂项。【典型例题】例1 计算：观察：直接裂项2 11121121-=?= 312132161-=?= 4131431121-=?= ............. =201()()=?1 （）-（） ( )()=?= 1 301（）-（）解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 6 5 例2 计算：72 17561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 4 1314343127+=?+= 920==?+54545141+ ............... ()() 1156 30+==?（）+（） ( )( ) 1367 42 += =?（）+（）解：原式）（）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11+-+++-+++-+++-= 例3. +?+?+?7 52532312 (1192) 变形裂项： ..............

解：原式)11 1 91 ()715 1()5 13 13 111- ++-+-+-= （）（例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一” 解：原式128 1 1281128164132116181 4 12 1- +++++ ++=）（例5 1 101 18116114112122222-+ -+-+-+- 由)()(22b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为：解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试：【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】求111 (101111125960) +++ ???的和。（二）用裂项法求1 () n n k +型分数求和分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】计算11111577991111131315++++ ?????

数列求和裂项法错位相减法分组求和法

数列求和裂项法错位相减法分组求和法 Modified by JEEP on December 26th, 2020.

数列求和的三种特殊求法例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和例2、求下列数列的前n 项和：（1）211，412，813，……n n 21+，…… （2）1，211+，3211 ++…… n +??+++3211 …… （3）5，55，555．……，55……5，……（4）,,，……，……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和：（1） )1(1+= n n a n （2）) 2(1 +=n n b n （3）{a n }满足a n = 1 1++n n ，求S n （4）求和：+?+?= 5 34 3122 2 n S ……+) 12)(12()2(2 +-n n n （5）求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??=n n n S n 例4、求数列 ,,,3,2,32n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。练习：求和：21，223，325，……n n 2 1 2-，…… 知识演练： 1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足 )3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且，则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a A ．)12(-n n B ．2)1(+n C ．2n D ．2)1(-n 2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且 .)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列）数列求和的思维策略：从通项入手，寻找数列特点

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和 1 1 分析：因为------ ------- n n 1 n 1 n n(n 1) n(n 1) （n为自然数） n（n 1）所以有裂项公式: 1 1 1 n(n 1) n n 1 【例 1】10 11 1 11 12 的和。 59 60 1 1 10 60 丄 12 （二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。（n,k均为自然数） n（n k）因为 1(1 所以【例 2】 n(n k)] n(n k) n(n k) ") 1 计算5 7 9 11 11 13 13 15 1 勺 1(1 9 2'9 1 1、，1 1 )( 丄(丄丄) 2 11 13 1 1 )( 丄(1 1) 2 5 7 111 -[( )( )( ,、 ,、 2 5 7 7 9 9 11 11 1 3 13 15

2[515] 丄 15 （三）用裂项法求—「型分数求和 n（n k）分析： k - 型（n,k均为自然数） n（n k） 1 1 _ n k n k n n k n(n k) n(n k) n(n k) 所以 k _ 1 1 n(n k) n n k 亠2 2 2 2 【例3】求2的和 1 3 3 5 5 7 97 99 （四）用裂项法求仝型分数求和 n(n k)(n 2k) 分析：2k 均为自然数）分析： n（n k)(n (n,k 2k) 2k 1 1 n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k) 【例4】计算：- 4 4 4 4 1 1 1 1 (1 3)( ) (- 3 5 5 1 1 99 98 99

裂项法求数列的和

裂项法求数列的和【内容提要】笔者在多年的教学中遇到裂项法求和的题型,加以总结,供师生们参考.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即 )()1(n f n f a n -+=，然后累加时抵消中间的许多项。【关键词】裂项法求数列的和等差数列 1等差数列积的倒数和已知等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。求和：= n s ++322111a a a a …+ 1 1 +n n a a 解： 11+n n a a =n n a a -+11（111+-n n a a ）=d 1（1 1 1+- n n a a ） = n s d 1（+-+-32211111a a a a …+111+-n n a a ）=d 1（1 11 1+-n a a ）其中nd a a n +=+11 求和：（1）= n s +?+?321211…+)1(1 +?n n (2) = n s +?+?741411…+) 13()23(1 +?-n n 2．含二次根式的数列和已知正项等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。求和：2 11a a s n += + 3 21a a ++… + 1 1++n n a a 。解： 1 1 ++n n a a =) )((111n n n n n n a a a a a a -+-+++= d 1 （n n a a -+1）。 = n s d 1(+-+-2312…+ n n a a -+1)= d 1()11-+n a 其中nd a a n +=+11 求和：= n s +++ +3 212 11…+ 1 1++n n 3．含对数的数列和

小学六年级数学难题：分数计算(裂项法)

、裂项法小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出：两个分母不同的分数相加减，自然数，公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题例1 计算：分析与解此题按常规方法先通分后再求和，显然计算起来十分繁杂是 1 ，而分母又都是相邻两个自然数的积，符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式，就得到下面12 个等式：

上面12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法. 例2 计算：分析与解这里的每一项的分子是1，分母不是相邻两个自然数的积，但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和，这使我们联想到计算公式：1+

当n分别取1，2，3，?，100时，就有即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式，略加变形就得到例 1 的形式，仿照例 1 的方法便可求出解来

分析与解猛一看，此题似乎无法下手，而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过，减法是加法的逆运算.换句话说，任一加法算式都可以改为这个题的答案是否只有这一个呢？如果不只一个，怎样才能找出所有答案呢？为此，我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数，且当t=1 时，x=7，y=42，当t=2 时，x=8，y=24，当t=3 时， x=9，y=18，当t=4 时，x=10，y=15，当t=6 时，x=12，y=12，当t=9 时，x=15，y=10，

分数裂项求和方法复习总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1 (1) n n+ 型分数求和分析：因为11 1 n n - + ＝ 11 (1)(1)(1) n n n n n n n n + -= +++ （n为自然数）所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】求 111 (101111125960) +++ ??? 的和。 111111 ()()......() 101111125960 11 1060 1 12 =-+-++- =- = （二）用裂项法求1 () n n k + 型分数求和分析： 1 () n n k + 型。（n,k均为自然数）因为11111 ()[] ()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k + -=-= ++++ 所以 1111 () () n n k k n n k =- ++ 【例2】计算 11111 577991111131315 ++++ ????? 111111********* ()()()()() 25727929112111321315 =-+-+-+-+-11111111111 [()()()()()] 2577991111131315 =-+-+-+-+-

111[]2515115 =-= （三）用裂项法求() k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】求2222 (1335579799) ++++????的和 1111111(1)()()......()335579799 1199 9899 =-+-+-++-=-= （四）用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ 【例4】计算：4444 (135357939597959799) ++++????????

数列中的裂项法求和举例

数列中的裂项法求和举例杨恒运江苏省扬中高级中学（212200）数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n 项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。 1. 求通项公式例1 已知数列｛n a ｝满足： 121321,,n n a a a a a a a ---- 是首项为1公比为 13 的等比数列，求通项n a 由于121321n n n a a a a a a a a -+-+-++-= 很容易求出通项1 13n n a -?? = ? ?? 2. 求等差数列前 n 项和例2 在数列{}n a 中,若21n n a n n s =+，求前项和学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若用裂项法就很容易求出其前n 项和略解:显然22 (1)n a n n =+- 122 22 22 2 2 2 1 (2 1)(3 2)(1) (1)12(1)n n n s a a a n n n n n a a n d =+++=-+-+++-=+-=+=+- 则一般地，若等差数列 ()() 1 122 12 11() 3(21)22 d 3 = n +12231122 =n a (1)2 n n a d n a d d n a d n a d d s n a d n n n d =+-= ++- ????-+- ? ???? ?? ??∴= +-+- ?? ??? +-则 3．求等比数列前n 项和对于等比数列前n 项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简

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