高等数学(考前要点复习_下)
第五章定积分的概念
教学目的与要求:
1.解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。
2.解广义积分的概念并会计算广义积分。
3.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。
5.1定积分概念
一.定积分的定义
不考虑上述二例的几何意义,下面从数学的角度来定义定积分
定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点
,
把区间[a,b]分成n 个小区间
,
记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ???==-=?-λ在
[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ,作和式:)1.......()(1
i n
i i x f ?∑=ξ
如果无论[a,b]作怎样分割,也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取,只要0→λ有→?∑=i n
i i x f 1)(ξI (I 为一个确定的
常数),则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分,简称积分,记做?b a dx x f )(即I=?b
a dx x f )(其中f(x)为被积函数,f(x)dx 为积分表达式,a 为积分下限,
b 为积分上限,x 称为积分变量,[a,b]称为积分区间。 注 1.
定积分还可以用δε-语言定义
2由此定义,以上二例的结果可以表示为A=?b
a dx x f )(和S=?2
1
)(T T dt t v
3有定义知道?b
a dx x f )(表示一个具体的书,与函数f(x)以及区间[a,b]有关,而与积分变量x 无关,即
?
b
a
dx x f )(=?b a
du u f )(=?b
a
dt t f )(
4定义中的0→λ不能用∞→n 代替
5如果i n
i i x f Lim ?∑=→1
)(ξλ存在,则它就是f(x)在[a,b]上
的定积分,那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢?
经典反例:???=中的无理点,
为,中的有理点,
为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0,1]上不
可积。
可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。
6几何意义
当f(x)≥0时,?b
a dx x f )(表示曲边梯形的面积;当f(x)≤ 0时,?b
a dx x f )(表示曲边梯形的面积的负值;一般地,若f(x)在[a,b]上有正有负,则?b
a dx x f )(表示曲边梯形面积的代数和。 [例1]计算?1
0dx e x
解:显然f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积,现将[0,1]分成n 个等分,分点为
n i n
i
x i ,.....2,1,0,==
,n x i /1=?,n /1=λ取i i x =ξ作和式: 11
]
1)[(111)(11101
0101
-=--===?→=→=→=→∑∑∑
e e e e n Lim e n Lim n e Lim x
f Lim n n n
n n
i n
i n
i n i n
i i i λλλλξ所以:?1
0dx e x =e-1 7.按照定义
5.2定积分的性质积分中值定理
有定积分的定义知,?b
a dx x f )(是当a<
b 时才有意义,而当a=b 与a>b 时无意义,但为了计算及应用的方便,特作两个规定: 1.
a=b 时,?b
a dx x f )(=0
2.
a>b 时,?b a dx x f )(=-?a
b dx x f )(
性质1:和差的定积分等于它的定积分的和差,即
??
?±=±b
a
b
a
b a
dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([
性质2:常数因子可以外提(可以推广到n 个)
??
=b
a
b
a
dx x f k dx x kf )()(
性质3:无论a,b,c 的位置如何,有
???
+=b
c
c a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(
性质4:f(x)1≡则a b dx x f b
a -=?)(
性质5:若f(x)≤g(x)则,)()(??≤b a b
a dx x g dx x f
b a ≤ 性质6:??≤b
a b
a dx x f dx x f )()( 性质7:设在[]
b ,a ,()M x f m ≤≤,则
()()()a b M dx x f a b m b a -≤≤-?
性质8:(积分中值定理)若f(x)在[a,b]上连续,则
[a,b]上至少存
一点ξ,使下式成立,)()()(ξf a b dx x f b
a -=?
例1.利用定积分几何意义,求定积分值4
dx x 11
2π=
-?
上式表示介于0x =, 1x =, 0y =,
2x 1y -=之间面积
例2、(估计积分值) 证明 2
1x x 2dx 3
21
2
<
-+
证:
2
2
21x 49x x 2?
?
?
??--=-+在[]1,0 上最大值为4
9,最小值为2
∴ 21x x 213
22
≤
-+<
∴ 2
1x x 21
3
21
2
<-+ 5.3定积分的计算方法 一. 变上限积分函数的导数
设函数f(x)在[a,b]上连续,x 为[a,b]上任一点,显然,f(x)在[a,b]上连续,从而可积,定积分为
?
x
a
dx x f )(由于积分变量与积分上限相同,为防止混
淆,修改为=Φ)(x ?x
a dt t f )((
b a ≤)称)(x Φ是变上限积分的函数。
定理1:设f(x)在[a,b]上连续,则=Φ)(x ?x
a dt t f )(在[a,b]上可导,且导数为)())(()(x f dt t f dx d x x
a
==Φ'? 证明省略
定理2:如果函数f(x)在[a,b]上连续,则积分上
限的函数=
(x?x a dt t f)(是f(x)在[a,b]上的一个原
Φ)
函数。
注意:
1定理说明了连续函数的原函数一定存在
2此定理指出了定积分与原函数的关系
二、基本定理牛顿—莱伯尼兹公式
定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]
上的一个原函数,则
。(1)
证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,又根据前面的定理知道,积分上限的函数
也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为
某个常数,即。 (2)
在上式中令x = a,得。又由Φ (ξ)的定义式及上节定积分的补充规定知Φ (α) = 0,因此,C =
F(a)。以F(a)代入(2)式中的C,以代入(2)式中的 ,可得
,
在上式中令x = b,就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知,(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见,以后把F(b) – F(a)记成。
公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式,它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法,也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分。
解。
例2计算。
解。
例3计算。
解
。
例4 计算正弦曲线y = sinx 在[0,π ]上与x 轴所围成的平面图形的面积。
解
。
例5 求
解 易知这是一个型的未定式,我们利用洛必达法则来计算。
因此
。
例6、30x 4
1
cosx
x 4x
sinx
cosxlncosx lim
x tlntdt lim ?=→→?
20x 0x 0x x lncosx lim x sinx lim cosx lim 41→→→??= cosx
2x sinx lim 410x ?-=→81-= 5.4定积分的换元法
定理:设(1)f(x)在[a,b]上连续,(2)函数)
(t x φ=在].[βα上严格单调,且有连续导数,(3)
βα≤≤t 时,b t a ≤≤)(φ 且b
a ==)(,)(βφαφ则有换元公式:
??
'=β
α
φφdt t t f dx x f b
a
)())(()( (1)
注
1. 用换元法时,当用)(t x φ=将积分变量x 换成t 求出原函数后,t 不用回代,只要积分上下限作相应的变化即可。 2. )(t x φ=必须严格单调 3. α可以大于β
4. 从左往右看,是不定积分的第二换元法;从右往左看,可以认为是第一换元法。
例1、??-=-2
2
22
2
2dx )
1(x -1x dx x
2x x
法一 设
sin t 1-x =
π2
3t)dt sin (12dt t cos cost sin t)(12π
022π2
π2=+=+??
- 法二 设 t 2sin x 2= 原式
π2
32π!4!!3!8dt t sin 82π
4=??
==?
例2.设()x f 在()+∞∞-,上连续,且
()()()dt t f t 2x x F x 0
?
-=,
证明:若f(x)为偶函数,则F(x)也是偶函数。 证:
()()()()()()
t d t f u 2x u
t dt
t f t 2x x F x 0
x 0
--+--=--=-??
-
()()dt t f t 2x x 0
?
--= ()x F =
例3. 奇偶函数在对称区间积分性质,周期函数积分性质
(1) ()x f 在[-a,a]连续,0a >
当()x f 为偶数,则??=a
0a -a f(x)dx 2f(x)dx 当()x f 为奇函数,则0f(x)dx a
-a =? (2) ??=+T
0T
a a
f(x)dx f(x)dx ,()x f 以T 为周期
说明在任何长度为T 的区间上的积分值是相等的。
例4、e
4
)dx e -)(e x x(11-1x -x 2001=+?
原式 ?=1
0x
-x )dx e -x(e 2
?=1
0x
-x )e -xd(e 2[
]
1
x x )e x(e 2-+= e
4=
例5、??-+=+2π
2π2π
022dx x sin 1 x cos dx x 2sin x cos x cos 2
πx 2arctansin dsin x x
sin 11
2π0
2π0
2
==+=?
例6、设()x f 为连续函数,且?+=π
0dx f(x )sinx f(x )
求()x f
解: 设?=π
0A dx f(x) 则()A x sin x f +=
两边积分
??
+=π
π0
A)dx (sinx dx f(x)
π
0π0Ax cosx A +-=
π
12A -= ∴ π
12sinx f(x)-+=
5.5定积分的分部积分法
定理:若u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数,则
??
'-='b
a
b a b
a
vdx u uv dx v u |
证明:因为v u v u uv '+'=')(,则有v u uv v u '-'=')(,两边
取定积分。有??'-='b
a
b a b a vdx u uv dx v u |也可以写成:??-=b
a
b
a
b a
vdu uv udv |
例1.?1
0dx xe x
解:1)1(|1
101
01
0=--=-==???e e dx e xe xde dx xe x
x x x 例2.?e
dx x 1)sin(ln 解:
???-=-=e e e
e
dx x
x x e x xd x x dx x 1
1111)cos(ln 1sin )sin(ln |)sin(ln )sin(ln =??--=-e e e
dx x x x x x e dx x e 1111)sin(ln |)cos(ln 1sin )cos(ln 1sin
=?-+-e
dx x e e 1)sin(ln 11cos 1sin
?e
dx x 1
)sin(ln =2
1[11cos 1sin +-e e ] 例3、设 ()0x dt t
1ln t
x f x
1
>+=?,
求()??
?
??+x 1f x f
解:()'??????+++='?????
???? ??+??x 1
1x 1
dt t 1lnt dt t 1ln t x 1f x f ??
? ??-?+++=2x 1x
1
1x
1
ln
x 1lnx 例4. 设)x (f 在]b ,a [连续)b ,a (可导,且0)x (f ≤',
?-=
x a
dt )t (f a
x 1
)x (F 证明在)b ,a (内,有0)x (F ≤'
证:2
x
a )
a x (dt
)t (f )x (f )a x ()x (F ---=
'?
b x a )
a x ()(f )a x ()x (f )a x (2≤≤ζ≤-ζ---=
a
x )(f )x (f -ζ-=
)x (f 0)x (f ∴≤' 在)b ,a (单调减,x ≤ζ
)x (f )(f ≥ζ→ 故 0)x (F ≤'
5.6定积分的近似计算 5.7广义积分 一 无穷限的广义积分
定义1 设函数f(x)在区间[a , +∞ )上连续,取b>a ,若极限
存在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +∞ )上的广义积分,记作
,即
。
(1)
这时也称广义积分收敛;若上述极限不存在,称为广义积分发散。
类似地,若极限
存在,则称广义积分
收敛。
设函数f(x)在区间(-∞ ,+∞ )上连续,如果广义积分
和
都收敛,则称上述两广义积分
之和为函数f(x)在无穷区间(-∞ , +∞ )上的广义积
分,记作,也称广义积分
收敛;否
则就称广义积分
发散。
上述广义积分统称为无穷限的广义积分。 例1:计算广义积分dx x arctgx
?∞
++02
1 解:dx x arctgx ?∞
++0
21=8|]21[lim 1lim 20202π==++∞→+∞→?b
b b b x arctg dx x
arctgx 例2.计算广义积分?∞-0sin xdx 以及?+∞
∞-xdx sin 解: )cos lim 1(|cos sin 00
a x xdx a -∞
→∞-∞---=-=?显然发散
同理???+∞
∞-+∞∞-+=0
0sin sin sin xdx xdx xdx 也发散
例3:证明广义积分(a>0)当p>1时收敛,当p≤ 1时发散。
证当p = 1时,
,
当p≠ 1时,
因此,当p > 1时,这广义积分收敛,其值为;当p≤ 1时,这广义积分发散。
二.无界函数的广义积分
现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。
定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续,而在点a的右领域内无界,取,如果极限存在,
则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分,仍然
记作,这时也称广义积分收敛。
类似地,设函数f(x)在[a,b]上除点c(a 与都收敛,则定义 ;(2) 否则,就称广义积分发散。 例1 证明广义积分当q < 1时收敛,当q ≥1时发散。 证当q = 1时, , 当q ≠ 1时, 因此,当q < 1时,这广义积分收敛,其值为; 当q ≥ 1时,这广义积分发散。 例2.计算广义积分?-4 4x dx 解: 4 ]422[lim |)42(lim 4lim 40 40040 04 =+-=--=-=-→-→-→? ? εεε εε εx x dx x dx 例3:广义积分可以相互转化 第六章 定积分应用 6.1定积分的微小元素法(详请见合肥工业大学编写的高等数学上册267页) 6.2平面图形的面积 一直角坐标的情形 定理1:由两条连续曲线)(),(21x f y x f y ==, )()(21x f x f ≤以及直线x=a,x=b 所围平面图形的面积 为: dx x f x f A b a ?-=))()((12 证明:有微小元素法:dx x f x f dA ))()((12==,则 ?-=b a dx x f x f A )]()([12 注意: 1. 从几何意义容易看出??-=b a b a dx x f dx x f A )()(12 2. 若无)()(21x f x f ≤这一条件,则面积 ?-=b a dx x f x f A |)()(|12 3. 同理,曲线),(),(21y g x y g x ==与y=c,y=d 所围 区域的面积为?-=d c dy y g y g A )]()([12,其中 )()(21y g y g ≤ 例1:求抛物线3x 4x y 2-+-=及其点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积 解:4x 2y K +-='= 在)3,0(-点处,4K 1=,切线方程 3x 4y -= 在)0,3(点处,2K 2-=,切线方程 6x 2y +-= ?? ?+-=-=6 x 2y 3x 4y 得交点?? ? ??3, 2 3 [] d x x x x S ?-+---= 230 2 )34(34 [] d x x x x ? -+--+-+32 32 )34(62 ?? +-+=3 2 32230 2 )96(dx x x dx x 4 98989=+= 定理2:若平面曲线由参数方程给出, ))((),(21t t t t y t x ≤≤==ψφ且)(),(t t ψφ在[21,t t ]连续, 0)(>'t φ,则曲线与x=a,x=b 以及x 轴所围的曲边梯 形的面积为: ??'==b a t t dt t t dx x f A 2 1 )(|)(||)(|φψ 例1. 求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost) (a>0)的一拱与 x 轴所为的面积 解 : 2 2220 20 3)c 1(])s i ()[cos 1(a dt t a dt t t a t a A πππ=-='--=? ? 二极坐标的情形 定理3:设曲线)(θφ=r 且 )(θφ在[βα,]上连续,非负παβ2≤-则有曲线)(θφ=r 与射线βθαθ==,所围区域(称为曲边扇形)的面积为: 高等数学(通用复习) 师兄的忠告:记住我们只复习重点,不需要学得太多,这些是每年必须的重点,希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★) ○邻域(去心邻域)(★) (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1.由n x ∴N 2.即对?∴x ∞ →lim ○x →1.由(f ∴δ=2.即对?∴x x →0 lim ○→x 1.由(f ∴X 2.即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★) 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论(★★) (定理三)假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小,则()()lim 0f x g x ?=???? (定理四)在自变量的某个变化过程中,若()x f 为无穷大,则()1 f x -为无穷小;反之,若()x f 为无穷小,且 ()0f x ≠,则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算:()()0 lim x x f x g x →?????(或∞→x ) 1.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的; (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界;) 2. →x (→x 3(x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解:因为3→x ,从而可得3≠x ,所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节): 第八章 1、向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+22 22; (旋转抛物面:z a y x =+2 22(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面:122 2 22=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转)) 高等数学(下)知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2 222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111C B A n =ρ,),,(2222C B A n =ρ, ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ;?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: (三) 空间直线及其方程 1、 一般式方程:?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式(点向式)方程: p z z n y y m x x 0 00-=-=- 高等数学A2 第7章 向量代数与空间解析几何 1. 求向量的模。(课本9页,例7-7) 2. 求向量的单位向量。(课本9页,例7-7) 3. 求向量的方向角,方向余弦。(课本10页,例7-8) 4. 求向量a →在b → 方向上的投影。(课本17页,习题3) 5. 求向量的点积a b →→?,叉积a b →→?。(课本15页,例7-13) 6. 求空间平面的方程(点法式方程,一般式方程,截距式方程)。 (寻找法向量)(课本29页,例7-24,7-25) 7. 求空间直线的方程(点向式方程,参数式方程,一般式方程)。(寻找方向向量)(课本35页,例7-29、7-30) 第8章 多元函数微分学 1. 求多元函数的定义域。(课本44页,例8-3) 2. 求多元函数的极限。(课本46页,例8-6) 3. 求多元函数的偏导数。(课本51页,例8-11) 4. 求多元函数的全微分。(课本56页,例8-16) 5. 求多元复合函数的导数。(课本60页,公式8-13,例8-22) 6. 求多元隐函数的导数。(课本65页,公式8-23,例8-26) 7. 多元函数偏导数在几何上的应用。(课本67页,例8-27;8-28) 8. 求多元函数的极值。(课本71页,例8-30,课本74页,拉格 朗日乘子法) 第9章多元函数积分学 1. 二重积分的性质4. (课本79页,性质4) 2. 直角坐标系下二重积分的计算。(课本86页,例9-5) 3. 直角坐标系下二重积分交换积分次序。(课本87页,例9-6) 4. 极标系下二重积分的计算。(极标系下二重积分计算的转换公式,课本88页,公式9-5,例9-8) 第10章无穷级数 1. 常用级数等比级数(课本125页,例10-2),P级数(课本131页,例10-6)的收敛性。 2. 利用定义法(课本125页,例10-1);逆否命题法(课本128页,例10-4),比较判别法(课本133页,例10-7),比值判别法(课本135页,例10-8)等判断级数的收敛性。 3.判断常数项级数收敛还是发散,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛。(利用正项级数,交错级数判别法)(课本138页,例10-10) 4.求幂级数的收敛半径,收敛域。(课本143页,例10-11) 第11章微分方程 1. 理解微分方程、解、通解、特解的概念。(课本159页) 2. 会判断微分方程的阶。(课本160页,课后习题1) 3. 求解可分离变量的微分方程。(一阶)(课本161页,例11-4) 高等数学期末考试复习要点 定积分部分知识点及典型例题 1.若函数()y f x =在闭区间[,]a b 连续,则在()y f x =在闭区间[,]a b 上可积。 典型例题:下列函数中,在区间[2,2]-可积的函数是: 。 22111,,ln(1),,sin 11 y y x y x y y y x x x ===+===+-。 2.变上限定积分求导数:()()x a d f t dt f x dx =?。 典型例题:(1 ) 0sin x d dx =? ;(2 )1sin x d dx =? ; (3)2 1 cos 2 lim t x x e dt x -→=? 。 3.定积分的计算牛顿—莱布尼兹公式()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-?,其中主要用到不定积分主要公式? dt t α、 ?dt t 1、?dt e t 、?tdt sin 、?tdt cos ,凑微分法等。 典型例题:计算下列定积分(1 )8 ? , (2 )0 ?, (3 )2 1 e ?, (4 )1 ? 。 4.对称区间奇偶函数的定积分的性质:若()f x 是奇函数,则 ()0a a f x dx -=? ;若()f x 是偶函数,则 ()2()a a a f x dx f x dx -=? ?;。 典型例题:(1)1 21sin 1-=+?x dx x ;(2)cos ||-=?x dx ππ ; (3 ) 3 23 (sin x x --=? ;(4 )1 31 (4--=?x ; 5.定积分的几何意义。 典型例题:利用几何意义直接求下列积分(1 )3 -? ;(2 )0 ? 。 6.0>a ,广义积分dx x a ? +∞ α1 收敛、发散的充要条件。 典型例题: (1)指出反常积分 11 +∞ ?p dx x 何时收敛,何时发散? (2 )判断下列积分的敛散性:1+∞?,311dx x +∞?,611 dx x +∞?。 7.定积分应用: 1)求平面曲线所围成图形的面积:由曲线()(()0)y f x f x =≥,直线,x a x b ==以及x 轴围成的曲边梯形的面积为()b a f x dx ?; 2)旋转几何体的体积:由曲线()(()0)y f x f x =≥,直线,x a x b ==以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周形成的旋转几何体的体积为2[()]b a f x dx π?。 3)已知边际函数()f x ',则0 ()(0)()x f x f f t dt '=+?。 典型例题: (1)计算由曲线x y =、1=xy 及2=x 围成的平面图形的面积。 高数重点知识总结 1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(x a y =),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小:高阶+低阶=低阶 例如:1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限:()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式:当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ,[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如:()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续,连续未必可导。例如:||x y =连续但不可导。 6、导数的定义:()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导: [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如:x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx 例如:y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解:法 9、由参数方程所确定的函数求导:若?? ?==) ()(t h x t g y ,则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==,其二阶导数:()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算:)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如:计算 ?31sin 《高等数学》考试知识点 一、函数、极限、连续 考试内容: 1.函数的概念及表示法;函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;复合函数、反函数、分段函数和隐函数;基本初等函数的性质及其图形;初等函数简单应用问题的函数关系的建立; 2.数列极限与函数极限的定义以及它们的性质;函数的左极限与右极限; 3.无穷小和无穷大的概念及其关系;无穷小的性质及无穷小的比较; 4.极限的四则运算;极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限,; 5.函数连续的概念;函数间断点的类型;初等函数的连续性;闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理);考试要求: 1.理解函数的概念,掌握函数的表示方法; 2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性; 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念; 4.掌握基本初等函数的性质及其图形; 5.会建立简单应用问题中的函数关系式; 6.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系; 7.掌握极限的性质及四则运算法则; 8.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法; 9.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限; 10.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型; 11.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质; 二、一元函数微分学 考试内容: 1.导数和微分的概念;导数的几何意义和物理意义;函数的可导性与连续性之间的关系;平面曲线的切线和法线;基本初等函数的导数; 2.导数和微分的四则运算;复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法; 3.高阶导数的概念;某些简单函数的n阶导数; 4.一阶微分形式的不变性; 5.罗尔(Roll)定理;拉格朗日(Lagrange)中值定理;柯西(Cauchy)中值定理;泰勒(Taylor)定理; 6.洛必达(L’Hospital)法则; 7.函数的极值及其求法;函数单调性函数;图形的凹凸性、拐点及渐近线;函数最大值和最小值的求法及简单应用; 8.弧微分、曲率的概念;曲率半径; 考试要求: 1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系; 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分; 3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数; 4.会求分段函数的一阶、二阶导数; 第八章 1、 向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、 两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、 二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222; (旋转抛物面: z a y x =+2 2 2(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面: 122 222=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转) ) 大学高等数学知识点整理 公式,用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 高等数学知识点总结 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= , , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π 高等数学上册复习要点及解题技巧 第一章:1、极限(夹逼准则) 2、连续(学会用定义证明一个函数连续,判断间断点类型) 第二章:1、导数(学会用定义证明一个函数是否可导)注:连续不一定可导,可导一定连续 2、求导法则(背) 3、求导公式也可以是微分公式 第三章:1、微分中值定理(一定要熟悉并灵活运用--第一节) 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值(高中学过,不需要过多复习) 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章:积分 不定积分:1、两类换元法 2、分部积分法(注意加C ) 定积分: 1、定义 2、反常积分 第六章:定积分的应用 主要有几类:极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章:向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线(两直线的夹角、线面夹角、求直线方程) 3、空间平面 4、空间旋转面(柱面) 高数解题技巧 高数解题的四种思维定势 ●第一句话:在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导,“不管三七二十一”,把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话:在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时,则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话:在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0,则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话:对定限或变限积分,若被积函数或其主要部分为复合函数,则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话:题设条件与代数余子式Aij或A*有关,则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话:若涉及到A、B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话:若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA+bE可逆,则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话:若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关,先考虑用定义再说。 ●第五句话:若已知AB=0,则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话:若由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话:若已知A的特征向量ξ0,则先用定义Aξ0=λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话:若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵,则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话:如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率,则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时,用对立事件的概率公式 ●第二句话:若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验,则马上联想到Bernoulli试验,及其概率计算公式 ●第三句话:若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生,则马上联想到该事件的发 生概率是用全概率公式计算。关键:寻找完备事件组 ●第四句话:若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话:求二维随机变量(X,Y)的边缘分布密度的问题,应该马上联想到先画出使 联合分布密度的区域,然后定出X的变化区间,再在该区间内画一条//y轴的直线,先与区域边界相交的为y的下限,后者为上限,而的求法类似。 ●第六句话:欲求二维随机变量(X,Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率,应该马上联 想到二重积分的计算,其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的 区域的公共部分。 ●第七句话:涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题,马上要联想到对X作 (0-1)分解。即令 第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *010 2()(), ()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 0()(),x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞ ; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ±→) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()m a x (,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x + →=, l i m 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 高数知识点总结(上册) 函数: 绝对值得性质: (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法: (1)表格法 (2)图示法 (3)公式法(解析法) 函数的几种性质: (1)函数的有界性 (2)函数的单调性 (3)函数的奇偶性 (4)函数的周期性 反函数: 定理:如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的,则它的反函数)(1 x f y -=存在,且是单 值、单调的。 基本初等函数: (1)幂函数 (2)指数函数 (3)对数函数 (4)三角函数 (5)反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性: 数列的极限: 定义:设 {}n x 是一个数列,a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε(不管它多么小) , 总存在正整数N ,使得对于n>N 的一切n x ,不等式 ε <-a x n 都成立,则称数a 是数列 {}n x 的 极限,或称数列{}n x 收敛于a ,记做a x n n =∞ →lim ,或 a x n →(∞→n ) 收敛数列的有界性: 定理:如果数列 {}n x 收敛,则数列{}n x 一定有界 推论:(1)无界一定发散(2)收敛一定有界 (3)有界命题不一定收敛 函数的极限: 定义及几何定义 函数极限的性质: (1)同号性定理:如果A x f x x =→)(lim 0 ,而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域,当x 在该邻域内(点0 x 可除外),有0)(>x f (或0)( 主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111 C B A n =ρ ,),,(2222C B A n =ρ , 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ;? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= (三) 空间直线及其方程 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点: 一、常见函数的定义域总结如下: (1) c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域:x ∈R (2)x k y = 分式形式的定义域:x ≠0 (3)x y = 根式的形式定义域:x ≥0 (4)x y a log = 对数形式的定义域:x >0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时,恒有)()(21x f x f <,)(x f 在21x x ,所在的区间上是增加的。 当21x x <时,恒有)()(21x f x f >,)(x f 在21x x ,所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义:设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称(即若D x ∈,则有D x ∈-) (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?,恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?,恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数:c y =,定义域是),(+∞-∞,图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数:u x y =, (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义: x a x f y ==)(, (a 是常数且0>a ,1≠a ).图形过(0,1)点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==, (a 是常数且0>a ,1≠a )。图形过(1,0)点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T , },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π , ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T , },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π, ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =,]1,1[)(-=f D ,]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =,]1,1[)(-=f D ,],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =,),()(+∞-∞=f D ,)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =,),()(+∞-∞=f D ,),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 (1)利用极限的四则运算法则求极限。 (2)利用等价无穷小量代换求极限。 (3)利用两个重要极限求极限。 (4)利用罗比达法则就极限。 高等数学知识点总结 空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角; ②数量积(是个数)、向量积(是个向量);(填空选择题中考察) ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面;(重积分求体积时画图需要) ④平面的几种方程的表示方法(点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程),两平面的夹角;(一般必考) ⑤空间直线的几种表示方法(参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程), 两直线的夹角、直线与平面的夹角;(一般必考) 空间解析几何和向量代数: 。 代表平行六面体的体积为锐角时, 向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影:点的距离:空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-== (马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面: 同号) (、抛物面:、椭球面:二次曲面: 参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程: 1 1 3,,2221 1};,,{,1 302),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??===??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= , , 隐函数+, , 隐函数隐函数的求导公式: 时, ,当 : 多元复合函数的求导法全微分的近似计算: 全微分:0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22 1 高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法 则,对于00型和∞ ∞型的题目直接用洛必达法则,对于∞0、0∞、∞ 1型 的题目则是先转化为00 型或∞ ∞ 型,再使用洛比达法则;3.利用重要极限,包括1sin lim =→x x x 、e x x x =+→1 )1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ;4.夹逼定理。 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四 章《定积分》 第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识,一方面有单独出题的情况,如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用,故非常有必要打牢基础。 对于第三章《不定积分》,陈文灯复习指南分类讨论的非常全面,范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点:不定积分 ?+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略,而考试时如果在答 案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象:定积分?dx x f )(的结果可以写为F(x)+1,1指的就是那一分, 把它折弯后就是?+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用,解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章:对于?-a a dx x f )(型定积分,若f(x)是奇函数则有 ?-a a dx x f )(=0;若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f )(=2?a dx x f 0)(;对于 ? 2 )(π dx x f 型积分,f(x)一般含三角函数,此时用x t -= 2 π 的代换是常 用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手,对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=?-a a 奇函数 、??=-a a a 02偶函数偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (1)数列极限的定义 给定数列{x n },若存在常数a ,对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x n-a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →a (n→∞). (2)函数极限的定义 设函数f (x)在点x 0的某一去心邻域内(或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,(或存在X ) 使得当x满足不等式0<|x -x0|<δ 时,(或当x X >时) 恒有 |f (x)-A |<ε , 那么常数A就叫做函数f (x)当0x x →(或x →∞)时的极限, 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x )→A (当x →x0).( 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有:如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-)时,恒有()f x A ε-<,则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限)记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时,恒有()f x A ε-<,则称A 为()f x 当x →-∞(或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== 2、极限的性质 (1)唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =,则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=,则A B = (2)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ,则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤ 大一上学期高数复习要点 同志们,马上就要考试了,考虑到这是你们上大学后的第一个春节,为了不影响阖家团圆的气氛,营造以人文本,积极向上,相互理解的师生关系,减轻大家学习负担,以下帮大家梳理本学期知识脉络,抓住复习重点; 1.主要以教材为主,看教材时,先把教材看完一节就做一节的练习,看完一章后,通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识,对于没有要求的部分可以少花时间或放弃,重点掌握要求的内容,大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习,熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理! 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律(最好掌握证明过程)邻域(去心邻域)函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则(重新推导证明过程)熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式: 两个重要极限: 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 洛必达法则: 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: ①在着手求极限以前,首先要检查是否满足或型,否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时(不包括∞情形),就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则失效,应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点: 注意:首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断(注意二阶导数的符号) 四.不定积分:(要求:将例题重新做一遍) 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表(共24个基本积分公式) 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证(求极限,求导数,求积分)(极限和中值定理的证明),一定会取得满意的成绩!大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用
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