集合中含参的问题

集合中含参的问题
集合中含参的问题

集合中含参的问题

1、已知{}53<<-=x x A ,{}a x x B <=,若满足B A ?,则实数a 的取值范围为________。

2、已知{}52≤≤-=x x A ,{}121-≤≤+=m x m x B ,若满足A B ?,则实数m 的取值范围为________。

3、已知集合{}0232≤+-=x x x A ,{}

a x x B ≤≤=1,且φ≠B .若A 是B 的真子集,则实数a 的取值范围为________若A B ?,则实数a 的取值范围为________。

4、已知集合{},0232=+-=x x x A 且集合{},

02=-=mx x B 若A B ?,则实数m 的取值范围为________。

5、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,0232,若集合A 中不含任何元素,则实数a 的取值范围为________;若集合A 中只有一个元素,则实数a =_____;若集合A 中至多有一个元素,则实数a 的取值范围为________。

6、设集合A={x|2420,x x a x R +-+=∈}

(1)、当A 中有两个元素时,求a 的取值范围.

(2)、当A 中没有元素时,求a 的取值范围.

(3)、当A 中有且仅有一个元素,求a 的取值范围.

7、已知集合{}220A x x x =-=,集合{

}2220B x x ax a a =-+-=,x R ∈.

(1)若A B B = ,求实数a 的值;

(2)若A B B = ,求实数a 的取值范围.

8、已知集合A={x|2x -2x-8≤0},集合B={x|2x -(2m-3)x+(3)m m -≤0,m ∈R}, (Ⅰ)若A ∩B=[2,4],求实数m 的值; (Ⅱ)设全集为R ,若A ??R B ,求实数m 的取值范围.

9、已知集合{}220A x x x a =+->,

(1)A R =,求实数a 的取值范围.

(2)若[)1,B =+∞,A B A = ,求实数a 的取值范围.

10、已知集合A={222(1)(1)0y y a a y a a -++++>},B={}215,0322

y y x x x =

-+≤≤ (1)若A ∩B φ=,求实数a 的取值范围.

(2)当a 取使不等式21()x ax x R +≥∈恒成立的a 的最小值时,求(?R A )∩B.

解含参集合问题的几个注意点

解含参集合问题的几个注意点 同学们在集合学习中,由于对有关概念 、知识理解不深,经常出现某些模糊认识,特别在解含有参数问题时往往顾此失彼,造成失误.笔者根据以往教学经验,提醒同学们在解含参集合题时,必须注意以下几点: 1.注意空集的特殊作用 例1 已知集合A={x ∣2x +(a +2)x +1=0, x R ∈}.B={x ∣x >0}, 若φ=B A ,求a 的取值范围. 解析:由φ=B A 知,A 中的元素为非正数,即方程 2x +(a +2)x +1=0只有非正数解. ∴ ()???≥+≥-+=?0 20422a a 解得 0≥a 实际上,这个结果是不完整的,上述解法只注意到A为非空解集,当A为空集时,仍满足φ=B A . 当A=φ时,()0422 <-+=?a ,解得-4<a <0, 综上可得 : a >-4 评注:空集是任何非空集合的子集,且A φφ= , A =φ A., 在解有关含有参数的集合题时,忽视了空集的特殊性,就会造成解题解结果的残缺不全. 2.注意题中的隐含条件 例2设全集U={2,3,2a +2a -3},A={∣2a -1∣,2},A C U ={5}, 求实数a 的值. 错解:∵A C U ={5},∴ 5∈S且 5?A,从而,2a +2a -3=5,解得a = 2,或a =-4. 分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件,因为U是全集,所以A?U.当a =2时,∣2a -1∣=3∈S,符合题意;当a =-4时,∣2a -1∣=9?S,不符合题意;故a =2. 评注:在解有关含参数的集合时,需要进行验证结果是否满足题设条件,包括隐含条件. 3.注意端点值的舍取

集合中含参的问题

集合中含参的问题 1、已知{}53<<-=x x A ,{}a x x B <=,若满足B A ?,则实数a 的取值范围为________。 2、已知{}52≤≤-=x x A ,{}121-≤≤+=m x m x B ,若满足A B ?,则实数m 的取值范围为________。 3、已知集合{}0232≤+-=x x x A ,{}a x x B ≤≤=1,且φ≠B .若A 是B 的真子集,则实数a 的取值范围为________若A B ?,则实数a 的取值范围为________。 4、已知集合{},0232=+-=x x x A 且集合{},02=-=mx x B 若A B ?,则实数m 的取值范围为________。 5、已知集合{} R a x ax x A ∈=+-=,0232,若集合A 中不含任何元素,则实数a 的取值范围为________;若集合A 中只有一个元素,则实数a =_____;若集合A 中至多有一个元素,则实数a 的取值范围为________。 6、设集合A={x|2420,x x a x R +-+=∈} (1)、当A 中有两个元素时,求a 的取值范围. (2)、当A 中没有元素时,求a 的取值范围. (3)、当A 中有且仅有一个元素,求a 的取值范围. <

7、已知集合{}220A x x x =-=,集合{}2220B x x ax a a =-+-=,x R ∈. (1)若A B B =,求实数a 的值; (2)若A B B =,求实数a 的取值范围. 8、… 9、已知集合A={x|2x -2x-8≤0},集合B={x|2x -(2m-3)x+(3)m m -≤0,m ∈R}, 10、(Ⅰ)若A ∩B=[2,4],求实数m 的值; 11、(Ⅱ)设全集为R ,若A ??R B ,求实数m 的取值范围. 9、已知集合{}220A x x x a =+->, (1)A R =,求实数a 的取值范围. (2)若[)1,B =+∞,A B A =,求实数a 的取值范围.

一元一次不等式的含参问题

《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计 教材分析:本章内容在学习了《一元一次方程》后的基础上安排的内容,是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》,《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》,知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法,并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集,它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键,通过本节课知识的学习,学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识,养成独立思考的习惯,也能加强与同学的合作交流意识与创新意识,为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标: (1)知识目标:使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解,掌握一元一次不等式组的解法,会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 (2)能力目标:培养探究、独立思考的学习习惯,感受数形结合的作用,逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力。 (3)德育目标:加强同学之间的合作交流与探讨,体验数学发现带来的乐趣。 学习重点: (1)加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 (2)通过含参数不等式的分析与讨论,让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点: (1)一元一次不等式组中字母参数的讨论。 (2)运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难教学难点突破办法: (1)借助数轴,数型结合,让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。(2)和学生一起探讨解决问题的一般方法:先运用口诀定大小,再考虑特殊情况定等号。教学准备(预习学案)

1、⑴不等式组? ??-≥>12x x 的解集是 . ⑵不等式组???-<-<12x x 的解集是 . ⑶不等式组???≥≤14x x 的解集是 . ⑷不等式组???-≤>4 5x x 的解集是 . 2、关于x 的不等式组12x m x m >->+??? 的解集是1x >-,则m = . 3、如图是表示某个不等式组的解集,则该不等式组的整数解的个数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4、不等式组? ??--≤-.32,281x >x x 的最小整数解是( ) A .-1 B .0 C .2 D .3 5、满足21≤<-x 的所有整数为___________ __. 6、满足21≤≤-x 的所有整数为________________ __. 7、请写出一个只含有三个整数1、2和3的解集为 。 预习要求: 1、复习上节课的知识,考察学生对一元一次不等式组的解集的四种情况的熟悉程度, 能直接根据下面口诀求出不等式组的解集:同大取大;同小取小;大小小大(大于较小的数,小于较大的数)在中间;大大小小(大于较大的数,小于较小的数)不存在. 2、根据不等式组的解集,结合数轴,能找出满足条件的解(如整数解),并能注意“a x <”与“a x ≤”的区别,为本节课的拓展应用打下基础。 教学步骤: 一、例题教学 例1、 1、关于x 的不等式3m-x<5的解集x>2,求m 的值。 2、不等式 mx-2<3x+4的解集是 , 则m 的取值范围是 变式1.如果不等式(m ﹣2)x >m ﹣2的解集为x <1,那么( ) A .m≠2 B.m >2

二次含参问题经典

二次含参问题经典集团文件发布号:(9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

不等式恒成立、存在性问题(一元二次不等式) 一、知识、方法回顾 (一)一元二次不等式 1.定义:含有一个未知数且未知数的最高次数为_____的不等式叫一元二次不等式. 2.解法:一般地,当0 a>时 (二)解分式不等式的常见方法:

法一:符号法则 其它情况类比分析,结论如下: ()0__________()f x g x ,由符号法则可知,()()f x g x 、同号,从而()()0f x g x ?>,其它情况类比分析,结论如下: () 0()()0() f x f x g x g x >??>; ()0________()f x g x ++a bx cx 解集为 . 2.若不等式220ax bx ++>的解集为11 (,)23 -,则a b +的值为_____________. 3.若不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立,则实数k 的范围为__________.

含参集合分类讨论问题

第二周含参集合分类讨论问题 重点知识梳理 1.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略. 2.用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是: (1)明确讨论的对象; (2)进行合理分类,所谓合理分类,应该符合三个原则: ①分类应按同一标准进行; ②分类应当没有遗漏; ③分类应是没有重复的; (3)逐类讨论,分级进行; (4)归纳并作出结论. 3.集合中引起分类讨论的原因: (1)由元素的特性引起的讨论; (2)由空集引起的讨论; (3)由方程的有解性引起的讨论. 典型例题剖析 例1同时满足:(1)M?{1,2,3,4,5};(2)若a∈M,则(6-a)∈M的非空集合M有多少个?并写出这些集合. 【解析】按集合M中元素个数分类讨论: M中只有1个元素时,若3∈M,则6-a=6-3=3∈M,所以M={3}; M中有2个元素时,满足条件的M有2个:M={1,5},M={2,4}; M中有3个元素时,满足条件的M有2个:M={1,3,5},M={2,3,4}; M中有4个元素时,满足条件的M只有1个:M={1,2,4,5}; M中有5个元素时,满足条件的M也只有1个:M={1,2,3,4,5}, 所以适合条件的集合M共有7个. 变式训练已知集合M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+1},若M∩N={-3},则a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【解析】∵M∩N={-3},∴-3∈N={a-3,2a-1,a2+1},

简单的含参问题(集合)

华侨中学数学练习—简单的含参问题 班级_____ 姓名________学号____ 一、方程:注意解方程的步骤 1、解下面关于x 的方程: (1)0x a += (2)320x a += (3)20ax += (4)0ax = (2)0ax a += (3)0ax b += 2、已知集合{2,3,4,6,7}A =,集合{15,6,7,8}B =,,{|30}C x x a =-=,{|30}D x bx =-= (1)求 A B ,A B (3)如果()C A B ?,求a 的值; (4)如果()D A B ?,求b 的值; 3、解下面关于x 的方程: (1)220x x a ++= (2)210x ax ++= (3)210ax x ++=

4、(1)已知集合2{|220}A x x x a =++=,如果集合A 只有一个元素,则a =_______; (2)已知集合2{|210}B x bx x =++=,如果集合B 只有一个元素,则b =_______; 5、已知集合2{|320}A x x x =++=,集合2{|440}B x ax x =++=,且B ≠?, 如果B A ?,求a 的取值范围; 二、不等式:不等式两边同时除以负数,不等式的方向改变 1、解下面关于x 的不等式: (1)30x a +≥ (2)20x a -+≥ (3)10ax -< 2、已知集合{|1}A x x =>,集合{|}B x x a =≥-,如果A B ?,则a 的取值范围是______ 3、已知集合{|2}A x x =≥,集合{|}B x x a =<-,如果A B ≠?,则a 的取值范围是 ______ 4、已知集合{|12}A x m x m =+<<,如果A =?,则m 的取值范围_______________ 5、已知集合{|12}A x x =<<,集合{|10}B x ax =+>,如果A B ?,求a 的取值范围。

高中数学题型分析系列:集合含参问题

高中数学题型分析系列:集合含参问题 (一)特别注意:空集为任何集合的子集,因此在考虑集合之间的基本关系时第一考虑集合是否为空集(这里的空集存在于含参集合) (1)φφ=≠???=B B A B A B A 或 (2)φφ=≠???=B B A B B B A 或 (二)、针对集合中各种问题,下面进行图像展示(这里先规定处理集合含参问题一定从绘制数轴图像开始) (1)φφ=≠???=B B A B A B A 或 ,φφ=≠???=B B A B B B A 或 ,图像如下: (2)φ?φφφφφφφ≠≠=≠=≠≠≠?=B A B A A B A B B A ,,或且或且或或 图像如下: (3)R B A = ,图像如下: 解题步骤: 步骤一、处理含参数集合问题,规定首先考虑含参数集合为空集(将不等式两边数字大小互换就好,利用假设法处理是否可以取等号) 步骤二、在考虑集合之间的基本关系时,在这里约定用数轴将集合B A ,的具体情况绘制在数轴上,并在数轴上按照从左到右的顺序依次写出参数的大小关系,并用花括号表示出来(注意不要遗漏),并解出不等式组,得到结果。 注意:①同一个花括号下求交集,不同情况(分类讨论)的结果求并集 ②对于等号能否取到可以带特值验算 ③若φ=A 取等号,则φ≠A 不能取等号,反之亦然

典型例题教学 典例1、已知集合{}3+≤≤=a x a x A {}51-><=x x x B 或,{}53><=x x x C 或 (1)若A B =?,求a 的取值范围; (2)若B B A = ,求a 的取值范围. (3)若R C A = ,求a 的取值范围 解析:因为则又,,φφ≠=B B A ①φ=A 满足,②φ≠A ,但B A 与无共同元素 解:(1)①当φ≠A 时,知道3+>a a ,无解,故φ≠A ②当φ≠A 时,用图像可以表示为 得到:?? ???≤++≤-≥5331a a a a ,即:12a -≤≤,故a 的取值范围为[]21-, (2)①当φ=A 时,有3+>a a ,知a 无解,故φ≠A ②当φ≠A 时,有以下两种情况其图像可以表示为: 1) 得到:? ??-<++≤133a a a ,解得4-

高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结

恒成立问题中含参范围的求解策略 数学中含参数的恒成立问题,几乎覆盖了函数,不等式、三角,数列、几何等高中数学的所有知识点,涉及到一些重要的数学思想方法,归纳总结这类问题的求解策略,不但可以让学生形成良好的数学思想,而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的,下面就几种常见的求解策略总结如下,供大家参考。 一、分离参数——最值化 1 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:a ≥f(x)恒成立,只须求出 , 则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值. 例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+?2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>?+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设 f(x)=-+3x .则f(x)=? + ,当x=2时, =2 ,所以a>2 2在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取 值范围.问题还是转化为函数求最值. 例2 已知x ∈(?∞ ,1]时,不等式1++(a ? ) >0恒成立,求a 的取值范围. 解 令 =t ,∵x ∈(?∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为 < ,要使上式在t ∈(0 ,2] 上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)== += ? 又t ∈(0 ,2] ∴∈[ ) ∴ =f(2)= ∴< , ∴?>且c a m c b 1b a 1-≥ -+-恒成立,求实数m 的取值范围。 解析:由于c a >,所以0c a >-,于是?? ? ??-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立,因+≥??? ??--+--++=??? ??-+--+-=??? ??-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a ( .4c b b a b a c b 2=--?-- (当且仅当b a c b -=-时取等号),故4m ≤。 二、数形结合——直观化 对于某些不容易分离出参数的恒成立问题,可利用函数的图像或相应图形,采用数形结合的思想,直观地反应出参数的变化范围。 例4 设])1k 2,1k 2(I ,I x ()k 2x ()x (f k k 2+-∈-=表示区间,对于任意正整数k ,直线ax y =与)x (f 恒有两个不同的交点,求实数a 的取值范围。 解析:作出2)k 2x ()x (f -=在区间]1k 2,1k 2(+-上的图像,由图像知,直线ax y =只能绕原点O 从x 正半轴旋转到过点)1,1k 2(A +的范围,直线AO 的斜率为,1 k 21 01k 201+=-+-于是实数a 的取值范围 是.1 k 21 a 0+≤ <

(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析

集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题,涉及范围广,内容多,难度大,题目灵活多变.初学时,由于未能真正理解集合的意义,性质,表示法或考虑问题不全,而造成错解.本文就常见易错点归纳如下: 1.代表元素意义不清致误 例1 设集合A ={(x , y )∣x +2 y =5},B ={(x , y )∣x -2 y =-3},求A I B . 错解: 由???-=-=+3252y x y x 得???==2 1y x 从而A I B ={1,2}. 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别,集合A 、B 中元素为点集, 所以A I B ={(1,2)} 例2 设集合A ={y ∣y =2x +1,x ∈R },B ={x ∣y =x +2},求A∩B. 错解: 显然A={y ∣y≥1}B={x ∣y≥2}.所以A ∩B=B . 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解,集合A 中的代表元素是y ,从而A ={y∣y≥1},但集合B 中的元素为x , 所以B ={ x ∣x ≥0},故A ∩B=A . 变式:已知集合}1|{2+==x y y A ,集合}|{2y x y B ==,求B A I 解:}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ,R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I 例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2 =--=x x x B ,判断A 与B 的关系。 错解:}32{,-==B A 分析:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程,可以是数,也可以是点,还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程,集合B 中的元素属性是数,故A 与B 不具包含关系。 例4设B ={1,2},A ={x |x ?B },则A 与B 的关系是( ) A .A ? B B .B ?A C .A ∈B D .B ∈A 错解:B 分析:选D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},?, ∴A ={x|x ?B}={{1},{2},{1,2},?},从集合与集合的角度来看待A 与B ,集合A 的元素属性是集合,集合B 的元素属性是数,两者不具包含关系,故应从元素与集合的角度来看待B 与A,∴B ∈A. 评注:集合中的代表元素,反映了集合中的元素所具有的本质属性,解题时应认真领会,以防出错. 2 忽视集合中元素的互异性致错 例5 已知集合A={1,3,a },B={1,2a -a +1}, 且A ?B ,求a 的值. 错解:经过分析知,若2a -,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a .若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a .从而a =-1,1,2.

第1讲、集合子集(包含)问题含参讨论

第一讲、集合子集(包含)含参问题讨论 【例题1】已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=,且A 中只有一个元素,求a 的值. 【答案】0 1==a a 或【解析】①当0=a 时,21-=x ,此时? ????-=21A ;②当0≠a 时,0422 =-=?a ,则1=a ,此时{}1-=A 综上可得:0=a 或1 =a 【变式1】已知集合},032{2R m x mx R x A ∈=+-∈=,且A 中只有一个元素,求m 的值.【答案】3 1 ,0【变式2】已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠ ?B ,求a 的值.【答案】2 1,31,0-【例题2】已知集合{}52|≤≤-=x x A ,{}121|-≤≤+=m x m x B ,若A B ?,求实数m 的取值范围. 【答案】{} 3|≤m m 【解析】A B ? ①当?=B 时,121->+m m ,则2

【变式2】已知非空集合{}R x a x a x A ∈+≤≤=,12|2,{}R x a x x B ∈+≤≤=,132|,R a ∈,求使B A ?时,a 的取值范围. 【答案】3 1≤≤a 【例题3】设{}04|2=+=x x x A ,(){}0112|22=-+++=a x a x x B ,若A B ?,求a 的值. 【答案】1-≤a 或1 =a 【解析】{} 4,0-=A A B ? ,?=∴B 或{}0=B 或{}4-=B 或{}4,0-=B ①当?=B 时 ()()0141422<--+=?a a ,解得1-?0 4000 f f ,解得1=a 综上可得:1-≤a 或1 =a 【变式1】集合{}023|2=+-=x x x A ,{}012|2=-+-=a x x x B ,B B A = ,求a 的取值范围. 【答案】2≥a

集合问题中常见易错点归类分析答案解析

集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题,涉及范围广,内容多,难度大,题目灵活多变.初学时,由于未能真正理解集合的意义,性质,表示法或考虑问题不全,而造成错解.本文就常见易错点归纳如下: 1.代表元素意义不清致误 例1 设集合A ={(x ,y )∣x +2y =5},B ={(x ,y )∣x -2y =-3},求A I B . 错解: 由???-=-=+3252y x y x 得???==2 1y x 从而A I B ={1,2}. 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别,集合A 、B 中元素为点集, 所以A I B ={(1,2)} 例2 设集合A ={y ∣y =2x +1,x ∈R },B ={x ∣y =x +2},求A∩B. 错解: 显然A={y ∣y≥1}B={x ∣y≥2}.所以A ∩B=B . 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解,集合A 中的代表元素是y ,从而A ={y∣y≥1},但集合B 中的元素为x , 所以B ={x ∣x ≥0},故A ∩B=A . 变式:已知集合}1|{2+==x y y A ,集合}|{2 y x y B ==,求B A I 解:}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ,R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I 例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ,判断A 与B 的关系。 错解:}32{,-==B A 分析:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程,可以是数,也可以是点,还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程,集合B 中的元素属性是数,故A 与B 不具包含关系。 例4设B ={1,2},A ={x |x ?B },则A 与B 的关系是( ) A .A ? B B .B ?A C .A ∈B D .B ∈A 错解:B 分析:选D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},?, ∴A ={x|x ?B}={{1},{2},{1,2},?},从集合与集合的角度来看待A 与B ,集合A 的元素属性是集合,集合B 的元素属性是数,两者不具包含关系,故应从元素与集合的角度来看待B 与A,∴B ∈A. 评注:集合中的代表元素,反映了集合中的元素所具有的本质属性,解题时应认真领会,以防出错. 2 忽视集合中元素的互异性致错 例5 已知集合A={1,3,a },B={1,2a -a +1}, 且A ?B ,求a 的值. 错解:经过分析知,若2a -,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a .若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a .从而a =-1,1,2.

高中数学 含参集合分类讨论问题

含参集合分类讨论问题 重点知识梳理 1.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略. 2.用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是: (1)明确讨论的对象; (2)进行合理分类,所谓合理分类,应该符合三个原则: ①分类应按同一标准进行; ②分类应当没有遗漏; ③分类应是没有重复的; (3)逐类讨论,分级进行; (4)归纳并作出结论. 3.集合中引起分类讨论的原因: (1)由元素的特性引起的讨论; (2)由空集引起的讨论; (3)由方程的有解性引起的讨论. 典型例题剖析 例1同时满足:(1)M?{1,2,3,4,5};(2)若a∈M,则(6-a)∈M的非空集合M有多少个?并写出这些集合. 【解析】按集合M中元素个数分类讨论: M中只有1个元素时,若3∈M,则6-a=6-3=3∈M,所以M={3}; M中有2个元素时,满足条件的M有2个:M={1,5},M={2,4};

M中有3个元素时,满足条件的M有2个:M={1,3,5},M={2,3,4}; M中有4个元素时,满足条件的M只有1个:M={1,2,4,5}; M中有5个元素时,满足条件的M也只有1个:M={1,2,3,4,5}, 所以适合条件的集合M共有7个. 变式训练已知集合M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+1},若M∩N={-3},则a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【解析】∵M∩N={-3},∴-3∈N={a-3,2a-1,a2+1}, 若a-3=-3,则a=0,此时M={0,1,-3},N={-3,-1,1},则M∩N={-3,1}, 故不适合. 若2a-1=-3,则a=-1,此时M={1,0,-3},N={-4,-3,2},M∩N={-3}, 满足题意. 若a2+1=-3,此方程无实数解. 故选A. 【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想,分类的标准结合集合的性质:无序性、互异性、确定性. 例2已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+ax+a=0},若B?A,求实数a的取值范围.【解析】A={0,-4}. ①B=?时,Δ=a2-4a<0,即0

含参不等式练习题及解法

含参不等式练习题及解法

众所周知,不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点,其中,含有参数的不等式的问题,是主考命题的热点,又是复习提高的难点。(1)解不等式,寻求新不等式的解集; (2)已知不等式的解集(或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系),寻求新含参数的值或取值范围。 (3)注意到上述题型(2)的难度与复杂性,本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。 一、立足于“直面求解” 解不等式的过程是一系列等价转化的过程,对于有关不等式的“解”的问题,直面不等式求解,有时是问题解决的需要,有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后,方可延伸或突破时,则要果断地 从求解不等式切入。例1.设关于x的不等式 (1)解此不等式;(2)若不等式解集为(3,+∞),求m的取值范围; (3)若x=3属于不等式的解集,求m的取值范围 分析:着眼于不等式的等价变形,注意到这里m2>0,m2同乘以不等式两边,则不等式转化为ax>b型,于是可以x 的系数a的取值为主线进行讨论。 解:(1)由题设,原不等式m(x+2)>m2+(x-3)(m R,m≠0) (m-1)x>m2-2m-3(1)∴当m>1时,由(1)解得 当m=1时,由(1)得x R;当m<1且m≠0时,由(1)解得 ∴当m>1时,原不等式的解集为当m=1时,原不等式的解集为R 当m<1且m≠0时,原不等式的解集为 (2)若不等式的解集为(3,+∞),则由(1)知应得 ∴此时m的取值范围为{5} (3)注意到x=3 为不等式的解,将x=3代入(1)得:3(m-1)>m2-2m-3m2-5m<0 00以及,m的取值或取值范围由此而产生。 例2.已知关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数R的取值范围。 分析:由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当x= -2属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。 解:不等式x2-x-2>0 (x+1)(x-2)>0x<-1或x>2 ∴不等式x2-x-2>0的解集A=(-∞,-1)∪(2,+ ∞),显然-2∈A 不等式2x2+(2R+5)x+5R<0 (x+R)(2x+5)<0① 设这一不等式的解集为B,则由-2B,得:(-2+R)(-4+5)<0R<2② 注意到(x+R)(2x+5)=0的根为x1= -R,, ∴(1)当时, 由①得,即此时-2 B (2)当时,由①得

简单的含参问题(集合)

简单的含参问题(集合)

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华侨中学数学练习—简单的含参问题 班级_____ 姓名________学号____ 一、方程:注意解方程的步骤 1、解下面关于x 的方程: (1)0x a += (2)320x a += (3)20ax += (4)0ax = (2)0ax a += (3)0ax b += 2、已知集合{2,3,4,6,7}A =,集合{15,6,7,8}B =,,{|30}C x x a =-=,{|30}D x bx =-= (1)求 A B I ,A B U (3)如果()C A B ?I ,求a 的值; (4)如果()D A B ?I ,求b 的值; 3、解下面关于x 的方程: (1)220x x a ++= (2)210x ax ++= (3)2 10ax x ++=

4、(1)已知集合2 {|220}A x x x a =++=,如果集合A 只有一个元素,则a =_______; (2)已知集合2{|210}B x bx x =++=,如果集合B 只有一个元素,则b =_______; 5、已知集合2{|320}A x x x =++=,集合2{|440}B x ax x =++=,且B ≠?, 如果B A ?,求a 的取值范围; 二、不等式:不等式两边同时除以负数,不等式的方向改变 1、解下面关于x 的不等式: (1)30x a +≥ (2)20x a -+≥ (3)10ax -< 2、已知集合{|1}A x x =>,集合{|}B x x a =≥-,如果A B ?,则a 的取值范围是______ 3、已知集合{|2}A x x =≥,集合{|}B x x a =<-,如果A B ≠?I ,则a 的取值范围是______ 4、已知集合{|12}A x m x m =+<<,如果A =?,则m 的取值范围_______________ 5、已知集合{|12}A x x =<<,集合{|10}B x ax =+>,如果A B ?,求a 的取值范围。

二次含参问题---经典

不等式恒成立、存在性问题(一元二次不等式) 一、知识、方法回顾 (一)一元二次不等式 1. 定义:含有一个未知数且未知数的最高次数为_____的不等式叫一元二次不等式. 法一:符号法则 其它情况类比分析,结论如下: ()0__________()f x g x ,由符号法则可知,()()f x g x 、同号,从而()()0f x g x ?>,其它情况类比分析,结论如下: () 0()()0() f x f x g x g x >??>; ()0________()f x g x ++a bx cx 解集为 .

2.若不等式220ax bx ++>的解集为11(,)23 -,则a b +的值为_____________. 3.若不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立,则实数k 的范围为__________. 4.设1)1()(2 ++-=x a ax x f (1)解关于x 的不等式()0f x >; (2)若对任意的]1,1[-∈a ,不等式()0f x >恒成立,求x 的取值范围. 二、含参不等式解法(一元二次不等式) 1.二次项系数为常数 例1解关于x 的不等式:.0)2(2 >+-+a x a x 2.二次项系数含参数 例2解关于x 的不等式:.01)1(2 <++-x a ax 例3解关于x 的不等式:.012<-+ax ax 练习:1.解关于x 的不等式 (1)033)1(2 2>++-ax x a (2)2 110x a x a ?? -+ +< ??? ; (3)2 (21)20()ax a x a -++>∈R ; (4)(2)4 21 a x x +-≤-(其中0a >). 2. 设1)1()(2 ++-=x a ax x f (1)解关于x 的不等式()0f x >; (2)若对任意的]1,1[-∈a ,不等式()0f x >恒成立,求x 的取值范围. 三、不等式的恒成立问题 例1.已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立,其中0>a ,求实数a 的取值范围。 小结:不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >?的上界小于B 。

专题1 集合中的含参问题-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题1 集合中的含参问题-高一数学必修一专题复习训练含答案 一、选择题 1.若集合,则实数的取值范围是 ( ) A . B . C . D . 【答案】D 【解析】 2.已知集合{}0,5,10A =,集合{}22,1B a a =++,且{}5A B ?=,则满足条件的实数a 的个数有 ( ) A . 0个 B . 1 个 C . 2 个 D . 3 个 【答案】B 【解析】{}22,1B a a =++,且{}5A B ?=,则有25a +=或215a +=. 32a =,或-2. 当3a =时, {}5,10B =,此时{}510A B ?=,,不满足题意; 当2a =时, {}54B =,,满足题意; 当2a =-时, {}0,5B =,此时{}50A B ?=,,不满足题意, 所以满足条件的实数a 只有1个. 故选B . 3.已知点)在平面直角坐标系的第二象限内,则的取值范围在数轴上可表示为(阴影部分)( )

A . B . C . D . 【答案】C 【解析】 因为 在第二象限, 所以 , 所以 ,故选C. 4.已知m ,,集合,集合,若,则 A . 1 B . 2 C . 4 D . 8 【答案】A 【解析】 5.已知集合A ={x |x 2 -2x -3≤0},B ={x |x <a },若A ?B ,则实数a 的取值范围是( ) A . (-1,+∞) B . [-1,+∞) C . (3,+∞) D . [3,+∞) 【答案】C 【解析】[] 13A =-,, (),B a =-∞;∵A B ?;∴3a >;∴a 的取值范围为 3+∞(,),故选C . 点睛:研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是

高中数学题型分析系列:集合含参问题

数学 高中数学题型分析系列:集合含参问题 (一)特别注意:空集为任何集合的子集,因此在考虑集合之间的基本关系时第一考虑集合是否为空集(这里的空集存在于含参集合) (1)φφ=≠???=B B A B A B A 或 (2)φφ=≠???=B B A B B B A 或 (二)、针对集合中各种问题,下面进行图像展示(这里先规定处理集合含参问题一定从绘制数轴图像开始) (1)φφ=≠???=B B A B A B A 或 ,φφ=≠???=B B A B B B A 或 ,图像如下: (2)φ?φφφφφφφ≠≠=≠=≠≠≠?=B A B A A B A B B A ,,或且或且或或 图像如下: (3)R B A = ,图像如下: 解题步骤: 步骤一、处理含参数集合问题,规定首先考虑含参数集合为空集(将不等式两边数字大小互换就好,利用假设法处理是否可以取等号) 步骤二、在考虑集合之间的基本关系时,在这里约定用数轴将集合B A ,的具体情况绘制在数轴上,并在数轴上按照从左到右的顺序依次写出参数的大小关系,并用花括号表示出来(注意不要遗漏),并解出不等式组,得到结果。 注意:①同一个花括号下求交集,不同情况(分类讨论)的结果求并集 ②对于等号能否取到可以带特值验算 ③若φ=A 取等号,则φ≠A 不能取等号,反之亦然

典型例题教学 典例1、已知集合{}3+≤≤=a x a x A {}51-><=x x x B 或,{}53><=x x x C 或 (1)若A B =?,求a 的取值范围; (2)若B B A = ,求a 的取值范围. (3)若R C A = ,求a 的取值范围 解析:因为则又,,φφ≠=B B A ①φ=A 满足,②φ≠A ,但B A 与无共同元素 解:(1)①当φ≠A 时,知道3+>a a ,无解,故φ≠A ②当φ≠A 时,用图像可以表示为 得到:?? ???≤++≤-≥5331a a a a ,即:12a -≤≤,故a 的取值范围为[]21-, (2)①当φ=A 时,有3+>a a ,知a 无解,故φ≠A ②当φ≠A 时,有以下两种情况其图像可以表示为: 1) 得到:? ??-<++≤133a a a ,解得4-

含参导数问题常见的分类讨论

含参导数问题常见的分类讨论 学生 1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论: 例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R). (1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2): (2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围. 2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论: 例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性; (2)证明:若5a <,则对任意x 1,x 2∈(0,)+∞,x 1≠x 2,有 1212 ()()1f x f x x x ->--。 解:(1)()f x 的定义域为(0,)+∞,211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x --+----'=-+==--------------2分 (i )若11a -=,即a=2,则2 (1)()x f x x -'=,故()f x 在(0,)+∞上单调增加。 (ii )若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时,()0f x '<; 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时,()0f x '>。 故()f x 在(1,1)a -上单调减少,在(0,1)a -,(1,)+∞上单调增加。 (iii )若11a ->,即2a >, 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少,在(0,1)a -,(1,)+∞上单调增加。 -----------------6分 (2)考虑函数21()()(1)ln 2 g x f x x x ax a x x =+=-+-+, 则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-, 由于15a <<,故()0g x '>,即()g x 在(0,)+∞上单调增加,从而当210x x <<时, 有12()()0g x g x ->,即1212()()0f x f x x x -+->,故1212 ()()1f x f x x x ->--; 当120x x <<时,有12211221 ()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---。----------------12分

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