三种最小二乘法计算圆度误差的评比探讨

实验四圆度误差的测量

实验四圆度误差的测量一．实验目的 1.了解光学分度头、电感测微仪的工作原理和使用方法； 2.学会用光学分度头、电感测微仪测量圆柱体的圆度； 3.学会用最小二乘法、最小区域法处理测量的实验数据。二．测量对象 φ22、公差等级8级、圆度误差9um的圆柱体工件三、测量仪器仪器名称：光学分度头、电感测微仪刻度值：6′′，1um 仪器测量范围：360°，±30um 四、测量原理 1、最小包容区法最小包容区法是以最小区域圆为评定基准圆来评定圆度误差，最小区域圆是包容被测圆的轮廓且半径差Δr为最小的两同心圆。它符合最小条件，所评定的圆度误差值（两同心最小区域的半径差）最小。此方法的特征是用两同心圆包容被测实际圆时，至少应有内外交替的四点接触。当被测圆的实际轮廓曲线已绘出，则可用以下方法来确定最小区域圆和圆度误差值。（1）模板比较法将绘好的被测实际圆轮廓的图形放在有光学放大装置的仪器的投影屏上看，再将刻有一组等间距同心圆的透明模板紧贴在图形上面。调整仪器投影的放大倍率，是其中两同心圆恰好包容被测实际圆图形，并且至少有四个内外相间的接触点a,c与b,d则模板上此两包容圆即为最小区域圆。其半径差Δr除以图形的放大倍率M，即为符合最小包容区的圆度误差值。 f=Δr/M （2）作图法用作图法可逐步寻找最小区域圆心，其方法如下： ①在实际圆轮廓图形的中心附近任意找一点O1，以O1为圆心，找图形上的最远点A并以O1 A为半径作圆Ⅰ，将实际圆的图形全部包容在内。 ②在O1 A的连线或延长线上找第二个圆心O2，要使以O2为圆心，以O1 A为半径所做的圆Ⅱ，能通过实际圆图形上的另一点，即O1 A=O2B，并仍将实际圆的图形全部包容在内，O2点为AB连线的垂直平分线与O1 A的交点。 ③在被直线AB分成两部分ACB和ADC的图形上，各找一至圆Ⅱ的距离为最大的点。 ④作CD连线的垂直平分线与AB连线的垂直平分线相交于O点，O点即为所搜寻的最小区域圆的圆心。 ⑤以O为圆心，以OA和OC为半径作两同心圆，即为最小区域圆，全部实际圆轮廓都应包容子啊此两同心圆内，此两同心圆的半径差Δr为圆度误差值。 (3)计算法

测量气缸圆度圆柱度的方法及步骤

测量气缸圆度、圆柱度的方法及步骤 ①准备清洗干净的持修气缸体一台，与其内径相适应的外径千分尺、量缸表及清洁工具等。 ②将气缸孔内表面擦试洁净。 ③安装、校对量缸表。 ④用量缸表测量气缸孔第一道活塞环上止点处于平行于曲轴轴线方向的直径，记入检测记录。 ⑤在同一剖面内测量垂直于曲轴轴线方向的直径，记入检测记录。 ⑥上述两次测量值之差的一半即为该剖面的圆度误差。 ⑦用上述方法测量气缸孔第一道活塞环上止点至最后一道活塞环下止点行程的中部，将这一横剖面的圆度误差，记入检测记录。 ⑧用同样方法测量距气缸孔下端以上30mm左右处横剖面的圆度误差，记入检测记录。 ⑨三个圆度误差值中，最大值即为该气缸孔的圆度误差。 ⑩上述3个测量横剖面，6个测量值，其中最大值与最小值之差的一半，即为该气缸孔的圆柱度误差。 11上述方法只适用于待修或在用气缸套筒的一般检测。如要取精确测值，则应选多个横剖面、纵剖面测量，而且在对同一横剖面、纵剖面上进行多点测量，方能检测出圆度、圆柱度误差的值。 12气缸磨损圆柱度达到0.174~0.250mm或圆度己达到0.050~0.063mm（以其中磨损量最大一个气缸为准）送大修。

JT3101-81中规定：磨缸后，干式气缸套的气缸圆度误差应不大于0.005mm,圆柱度误差不大于0.0075mm湿式气缸套的气缸的圆柱度误差应不大于 0.0125mm. 13确定修理尺寸：气缸磨损超过允许限度或缸壁上有严重的刮伤、沟槽和麻点，均应采取修理尺寸法将气缸按修理尺寸搪削加大。气缸修理尺寸的确定方法：先测量磨损最大的气缸最大磨损直径，加上加工余量（以直径计算一般为0.1~0.2mm），然后选取与此数值相适应的一级修理尺寸。当策动机气缸圆度，圆柱度误差超过规定的标准时，如汽油机的圆度误差超过0.05mm 或者圆柱度误差超过 0.20mm 时，联合最大磨耗尺寸视情进行修理尺寸法镗缸或者更换缸套修理用量缸表测量气缸圆度误差,在同一横向截面内,在平行于曲轴轴线方向和垂直于曲轴轴线方向的两个方位进行测量,测得直径差之半即为该截面的圆度误差沿气缸轴线方向测上、中、下三个截面,如图3-40所示上面至关于活塞上止点第一道活塞环相对应的气缸处;中间取气缸中部;下面取活塞下止点时最下一道活塞环对应的气缸位置测得的最大圆度误差即为该气缸的圆度误差测量气缸圆柱度误差凡是用量缸表在活塞行程内一股取上中下三处(如图3-41所示)气缸的各个方向测量,找出该缸磨耗的最大处气缸磨耗最大直径与活塞在下止点时活塞环运动地区范围以外,即距气缸套下部平面10MM范围内的气缸最小内径的差值的半壁,就是该气缸的圆柱度误差图：测量气缸磨耗量图：在活塞行程上、中、下三处测量气缸图：测量气缸磨耗量图：在活塞行程上、中、下三处测量气缸气缸磨耗的测量要领凡是用量缸表对气缸磨耗进行测量具体测量要领如下： 1 ．把内径百分表装在表杆的上端，并使表盘朝向测量杆的勾当点，以便于观察，使表盘的短针有 1-2mm 的压缩量

形位公差之圆度误差测量方法介绍

形位公差之圆度误差测量方法介绍摘要在机械制造中，经常会加工轴、套筒等回转体类零件，这些零件需要配合起来使用，这就要求不仅满足尺寸精度要求，同时还要满足形位精度要求。圆度属于形位公差中的一种，其测量方法主要有回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法以及利用数据采集仪连接百分表法等。圆度圆度是表示零件上圆的要素实际形状，与其中心保持等距的情况。即通常所说的圆整程度。圆度公差圆度是限制实际圆对理想圆变动量的一项指标，其公差带是以公差值t为半径差的两同心圆之间的区域。圆度公差属于形状公差，圆度误差值不大于相应的公差值，则认为合格，下图为圆度公差标注图：圆度误差的评定原则圆度误差评定有4种主要方法。 ①最小区域法：以包容被测圆轮廓的半径差为最小的两同心圆的半径差作为圆度误差。 ②最小二乘圆法：以被测圆轮廓上相应各点至圆周距离的平方和为最小的圆的圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆的半径差即为圆度误差。 ③最小外接圆法：只适用于外圆。以包容被测圆轮廓且半径为最小的外接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆半径差即为圆度误差。 ④最大内接圆法：只适用于内圆。以内接于被测圆轮廓且半径为最大的内接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓两同心圆的半径差即为圆度误差. 圆度误差测量方法圆度测量方法主要有回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法、直接利用我们太友科技的数据采集仪连接百分表法。 1、回转轴法利用精密轴系中的轴回转一周所形成的圆轨迹（理想圆）与被测圆比较，两圆半径上的差值由电学式长度

传感器转换为电信号，经电路处理和电子计算机计算后由显示仪表指示出圆度误差，或由记录器记录出被测圆轮廓图形。回转轴法有传感器回转和工作台回转两种形式。前者适用于高精度圆度测量，后者常用于测量小型工件。按回转轴法设计的圆度测量工具称为圆度仪。 2、三点法常将被测工件置于V形块中进行测量。测量时,使被测工件在V形块中回转一周，从测微仪（见比较仪）读出最大示值和最小示值，两示值差之半即为被测工件外圆的圆度误差。此法适用于测量具有奇数棱边形状误差的外圆或内圆，常用2α角为90°、120°或72°、108°的两块V形块分别测量。 3、两点法常用千分尺、比较仪等测量，以被测圆某一截面上各直径间最大差值之半作为此截面的圆度误差。此法适于测量具有偶数棱边形状误差的外圆或内圆。 4、投影法常在投影仪上测量，将被测圆的轮廓影像与绘制在投影屏上的两极限同心圆比较,从而得到被测件的圆度误差。此法适用于测量具有刃口形边缘的小型工件。 5、坐标法一般在带有电子计算机的三坐标测量机上测量。按预先选择的直角坐标系统测量出被测圆上若干点的坐标值x、y，通过电子计算机按所选择的圆度误差评定方法计算出被测圆的圆度误差。 6、利用数据采集仪连接百分表法

实验一圆度与圆柱度误差测量

实验一圆度与圆柱度误差测量一、实验目的 1．掌握圆度误差及圆柱度误差的测量方法； 2．学会对测量数据的处理，加深对基本概念的理解； 3．了解测量工具结构并熟悉它的使用方法。二、圆度与圆柱度误差测量原理 1．圆度误差及测量、评定方法圆度误差为包容同一横截面实际轮廓，且半径差为最小的两同心圆间的距离f，如图1.1所示。圆度误差最小包容区域的判别方法是：由两同心圆包容被测实际轮廓时，至少有4个实测点内、外相间地在两个圆周上(即同心圆的内、外接点至少两次交替发生)，如图1.1 所示。圆度误差最小区域的同心圆圆心，通常是和零件的测量回转中心不一致。图中，O点是测量时的回转中心，O’ 测量点是圆度误差的评定中心。测量圆度误差的方法，主要有：圆度仪测量，两点法测量圆度误差，三点法测量圆度误差。这里只介绍两点法测量圆度误差。两点法测量圆度误差(检测方案代号：3—3) 用千分尺在垂直于轴线的固定截面的直径方向进行测量，测量截面一周中直径最大差一半即为单个截面的圆度误差。如此测量若干个截面。取其最大的误差值作为该零件的圆度误差。 2．圆柱度误差圆柱度误差是指包容实际表面且半径差为最小的两同轴圆柱面间的半径差f。圆柱度误差综合地反映了圆柱面轴线的直线度误差、圆度误差和圆柱面相对素线间的平行度误差。用它来综合评定圆柱面的形状误差是比较全面的，常用在精度要求比较高的圆柱面。 3．圆柱度误差的检测与评定方法圆柱度误差的评定方法有：（1）用圆度仪测量，（2）用两点法测量。这里只介绍两点法测量圆度误差。 ‘ 测量时，将被测件放在精确平板上，并紧靠直角座；在被测件回转一周过程中，测量一个横截面上的最大与最小读数差；如此测量若干个横截面，然后取整个测量过程中，所有读数中的最大与最小读数差的一半作为图1.3 两点法测量圆柱度误差

圆度的定义、测量和计算

定义圆度：是指工件的横截面接近理论圆的程度。测量工具为圆度仪。地质学名词：圆度（roundness）又称磨圆度（psephicity），是指岩石或矿物颗粒在搬运过程中，经流水冲刷，互相撞击之后，棱角被磨圆的程度。颗粒棱角越多越尖锐则圆度越差；反之棱角圆滑，圆度就好。碎屑颗粒圆度可用公式P=Σr/N·R计算求出。式中Σr=r1+r2+r3……+rn为颗粒各角的曲率颗粒最大投影面上圆度的测量半径总和，R为该颗粒轮廓内最大内接圆半径，N为所测角的曲率半径的数目。卢赛尔等（1937年）曾分出五种颗粒类型：棱角状、次棱角状、次圆状、圆状、极圆状，并提出相应的圆度数值。当对碎屑沉积物的圆度作整体分析时，要求出所有碎屑的平均圆度，这时，可统计各类圆度等级的颗粒数按加权平均法求其平均圆度即可。主要功能可快速测环形工件的圆度、表面波纹度（Wc、Wp、Wv、Wt、Wa、Wq、Swm）、谱分析、波高分析、、同心度、垂直度、同轴度、平行度、平面度、轴弯曲度、偏心、跳动量等。测量仪器测量仪器很多，然而使用不同仪器会产生不同测量误差。本文介绍了用光学分度头测量圆度误差时所建立的数学模型，分析了各种误差对测量误差的影响，从而为在保证测量精度的同时降低测量成本提供了理论依据。圆度误差的测量测量方法圆度误差的评定方法有4种：最小包容区域法，最小外接圆法，最大内切圆法，最小二乘法。由于最小二乘法简便易行，长期以来甚为流行。测量圆度误差的方法虽有多种，但最为合理、用得最多的是半径法。为此，通过采用半径测量法在光学分度头上用千分表测量圆度误差，并对测量数据进行最小二乘法计算，以求得圆度误差值。

数值计算_第6章曲线拟合的最小二乘法

第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与是相等的。如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。图6.1 含有“噪声”的数据图6.2 一条直线公路与多个景点插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如：用各点误差绝对值的和表示：用各点误差按模的最大值表示：用各点误差的平方和表示：或（6.1）

其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数线性拟合给定一组数据，做拟合直线，均方误差为（6.2）是二元函数，的极小值要满足整理得到拟合曲线满足的方程：

圆柱度误差测量方法讲解

圆柱度指在垂直于回转体轴线截面上，被测实际圆（柱）对其理想圆（柱）的变动量，以形成最小包容区域的两同心圆（柱）面的半径差计算。常用的近似测量方法有两点法、三点法、坐标测量法等。 1、两点法按图1所示方法测出各给定横截面内零件回转一周过程指示表的最大示值与最小示值，并以所有各被测截面示值中的最大值与最小值的一半作为圆柱度误差值。图1 2、三点法按图2所示方法测出各给定横截面内零件回转一周过程指示表的最大示值与最小示值的一半作为圆柱度误差值。图2

3、三坐标测量法通常是在三坐标测量机上按要求测量被测零件各横截面轮廓各测点的坐标值, 再利用相应的计算机软件计算圆柱度误差值。利用圆度仪测量圆柱度时, 将被测圆柱体工件沿垂直轴线分成数个等距截面放在回转台上, 回转台带动工件一起转动; 3个传感器安装在导轨支架上, 并可沿导轨做上下的间歇移动, 逐个测量等距截面, 获取含有混合误差的原始信号(测量原理图如图3所示)。测量传感器拾取的原始信号中不仅包含有被测工件的各个截面的圆度误差母线的直线度误差, 而且还含混入了导轨的直行运动误差及回转台的回转运动误差。将上述误差相分离, 并依据最小二乘圆心进行重构出实际圆柱面轮廓, 然后采用国标规定的误差评定方法得到被测圆柱面的圆柱度误差。图3 三坐标测量机(Coordinate Measuring Machine, CMM) 是指在一个六面体的空间范围内，能够表现几何形状、长度及圆周分度等测量能力的仪器，又称为三坐标测量仪或三次元。三坐标测量机能够在用测头所确定的三维空间（xyz空间）坐标系内, 由光学刻尺或激光干涉仪进行测量。通过测头和测量对象的接触, 由测头的坐标来获取对象的形状信息。三坐标测量机通常由本体、侧头、各轴移动量的测量、显示装置、电子计算机及其外围设备、驱动控制部分以及软件等构成。

使用量缸表测量气缸磨损情况-计算圆度和圆柱度误差

课题：使用量缸表测量气缸磨损情况，计算圆度和圆柱度误差一、气缸磨损特征及原因气缸的磨损发生在活塞行程的区域之间，通常分为正常磨损和异常磨损. 1.正常磨损的特征。 ①上大下小——产生圆柱度误差 ②横向大于纵向——产生圆度误差 (注：横向是指垂直曲轴轴线方向，纵向为平行曲轴轴线方向) 原因:产生圆柱度误差(即上大下小)主要由于气缸上、下部的磨擦力(气体膨胀力)不等,润滑条件不等及磨料磨损不等原因造成的。产生圆度误差(即横向磨损大于纵向)主要由于两个方向上的温度差异及对汽缸壁作用力不同，有害气体的电化学腐蚀以及磨料磨损的不同等原因造成的。 2.异常磨损及原因出现与正常磨损特征不相符合的磨损叫做异常磨损.气缸产生异常磨损是由于制造，使用和修理等诸方面的原因引起的。如曲轴或连杆出现弯曲或扭曲；气缸中心线与曲轴轴线不垂直；连杆大小头轴线不平行或装配不当致使活塞出现偏缸偏磨，都会造成气缸的异常磨损。二、千分尺及量缸表的使用 1.千分尺 a.结构：外径千分尺的结构由固定的尺架、测砧、测微螺杆、固定套管、微分筒、测力装置、锁紧装置等组成。

b.读数：在测量时，移动活动测砧B，将待测物夹于两测砧之间，则F筒边缘与E管零刻线之间的距离为待测物的长度，其读数由下述两部分相加而成。 2.量缸表 a.安装、校对量缸表①按被测气缸的标准尺寸、选择合适的接杆,装上后,暂不拧紧固定螺母。②把外径千分尺调到被测气缸的标准尺寸,将装好的量缸表放入千分尺。③稍微旋动接杆,便量缸表指针转动约1-2mm均可,使指针对准刻度零处,扭紧接杆的固定螺母。为使测量正确,重复校零一次。 b.读数方法： ①百分表表盘刻度为100指针在圆表盘上转动一格为0.01 mm,转动一圈为1 mm;小指针移动一格为1 mm。

圆度,圆柱度及球度的测量及评价方法讲解

圆度一．基本概念 1. 圆要素几何特征中心：横向截面与回转表面的轴线相交的交点；半径：圆要素上各点至该中心的距离。圆要素是一封闭曲线，其向量半径R 与相位角θ具有函数关系，即：()R F θ= 按傅里叶级数展开后，有： () 001 cos m k k R k k a c θθ==++∑ 2. 圆度及圆度误差圆度：回转表面的横向截面轮廓（圆要素）的形状精度; 圆度误差：表示实际圆要素精度的技术参数，即实际圆要素对理想圆的变动量。 3. 圆度误差评定原则按形状误差评定原则，评定圆度误差时，应根据实际圆要素确定最小包容区域。圆度误差的最小包容区域与圆度公差带的形状一致，由两同心圆构成，当实际圆要素被两同心圆紧紧包容，即两同心圆的半径差为最小值时，即为最小包容区域。 4. 圆度检测原则 ① 与理想要素比较原则：理想要素由测量器具模拟体现理想圆。在实际圆要素上获得的信息，通常是实际要素的半径变化量，根据获得的半径变化量再评定圆度误差。 ② 测量坐标值原则：对实际圆要素应用坐标测量系统对其采样点测取坐标值，由测得的坐标值经过计算，求得圆度误差值。 ③ 测量特征参数原则：根据实际圆要素的具体特征，采用能反映实际要素几何特征的手段进行测量，从而方便的获得圆度误差值。二．圆度测量方法 1. 半径测量法半径测量法是确定被测圆要素半径变化量的方法，是根据“与理想要素比较原则”拟定的一种检测方案。 ① 仪器类型和工作原理（加备注解释）下图分别为转轴式圆度仪和转台式圆度仪

圆度仪可运用测得信号的输出特性，将被测轮廓的半径变化量放大后同步自动记录下来，获得轮廓误差的放大图形，可按放大图形评定圆度误差。 ② 用圆度仪测量注意事项（加备注择项解释）选择适当的侧头类型；静态测量力选择；测量平面和测量方向确定；频率响应选择；选择适当的放大倍率；正确安装被测件，径向偏心和轴向倾斜；主轴误差的影响 2. 坐标测量法坐标测量法是根据测量坐标值原则提出的一种检测方案。将被测零件放置在设定的坐标系中，用相应的测量器具，测取被测零件横向截面轮廓上各点的坐标值，然后按要求，用相应的方法来评定圆度误差值。 ⑴极坐标测量法在极坐标系中测量圆度，需要有精密回转轴系的分度装置，分度台或分度头。测量前，按需要对被测轮廓拟定适量的采样点数。测量时，将被测零件安装到测量装置上，适当地调整安装位置，避免过大的径向偏心，用具有固定位置的指示器，对各采样点逐一进行采样，取得的示值反映了各采样点处的半径变化量R ?。被测横向截面轮廓的极坐标值为 () ,i i i M R θ?。这些极坐标值时评定圆度误差的原始数据，由原始数据，可以在极坐标系中描述出经放大后的被测轮廓误差曲线。最后可由图解法或计算法求得圆度误差值。 ⑵直角坐标测量法应用直角坐标测量装置 ( ) ,i i i y x M ，对被测轮廓上的采样点测取直角坐标。各采样点至理想圆圆心的距离用下式求得 i R 1,2, ,.i n =

普通最小二乘法(OLS)

普通最小二乘法（OLS ）普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。在已经获得样本观测值 i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下（见图2.2.1中的散点），假如模型（2.2.1）的参数估计量已经求得到，为^0β和^ 1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见图2.2.1中的直线） i i x y ^ 1^0^ββ+= i=1,2,…,n (2.2.2) 应该能够最好地拟合样本数据。其中 ^ i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。 ),()(102 2101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()() ),(min ????1 02 1 102 12?,?1 1 ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== (2.2.3) 为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。由于 2 1 ^ 1^01 2 ^ ))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝是 ^ 0β、^ 1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^ 0β、 ^ 1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即

圆度测量方法

圆度测量目录定义方法 1.回转轴法 2.三点法 3.两点法 4.投影法 5.坐标法误差评定定义长度计量技术中对圆度误差的测量。圆度测量有回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法等方法。方法回转轴法利用精密轴系中的轴回转一周所形成的圆轨迹（理想圆）与被测圆比较，两圆半径上回转轴法的差值由电学式长度传感器转换为电信号，经电路处理和电子计算机计算后由显示仪表指示出圆度误差，或由记录器记录出被测圆轮廓图形。回转轴法有传感器回转和工作台回转两种形式。前者适用于高精度圆度测量，后者常用于测量小型工件。按回转轴法设计的圆度测量工具称为圆度仪。

三点法常将被测工件置于V形块中进行测量。测量时,使被测工件在V形块中回转一周，从测微仪（见比较仪）读出最大示值和最小示值，两示值差之半即为被测工件外圆的圆度误差。此法适用于测量具有奇数棱边形状误差的外圆三点法或内圆，常用2α角为90°、120°或72°、108°的两块V形块分别测量。两点法常用千分尺、比较仪等测量，以被测圆某一截面上各直径间最大差值之半作为此截面的圆度误差。此法适于测量具有偶数棱边形状误差的外圆或内圆。投影法常在投影仪上测量，将被测圆的轮廓影像与绘制在投影屏上的两极限同心圆比较,从

投影法而得到被测件的圆度误差。此法适用于测量具有刃口形边缘的小型工件。坐标法一般在带有电子计算机的三坐标测量机上测量。按预先选择的直角坐标系统测量出被测圆上若干点的坐标值x、y，通过电子计算机按所选择的圆度误差评定方法计算出被测圆的圆度误差。误差评定圆度误差评定有4种主要方法。①最小区域法：以包容被测圆轮廓的半径差为最小误差评定的两同心圆的半径差作为圆度误差。②最小二乘圆法：以被测圆轮廓上相应各点至圆周距离的平方和为最小的圆的圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆的半径差即为圆度误差。③最小外接圆法：只适用于外圆。以包容被测圆轮廓且半径为最小的外接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆半径差即为圆度误差。④最大内接圆法：只适用于内圆。以内接于被测圆轮廓且半径为最大的内接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓两同心圆的半径差即为圆度误差

线性判别分析LDA

LDA 算法入门一．LDA 算法概述：线性判别式分析(Linear Discriminant Analysis , LDA)，也叫做Fisher 线性判别(Fisher Linear Discriminant ,FLD)，是模式识别的经典算法，它是在1996年由Belhumeur 引入模式识别和人工智能领域的。线性鉴别分析的基本思想是将高维的模式样本投影到最佳鉴别矢量空间，以达到抽取分类信息和压缩特征空间维数的效果，投影后保证模式样本在新的子空间有最大的类间距离和最小的类内距离，即模式在该空间中有最佳的可分离性。因此，它是一种有效的特征抽取方法。使用这种方法能够使投影后模式样本的类间散布矩阵最大，并且同时类内散布矩阵最小。就是说，它能够保证投影后模式样本在新的空间中有最小的类内距离和最大的类间距离，即模式在该空间中有最佳的可分离性。二. LDA 假设以及符号说明：假设对于一个n R 空间有m 个样本分别为12,,m x x x ，即每个x 是一个n 行的矩阵，其中 i n 表示属第 i 类的样本个数，假设一共有 c 个类，则 12i c n n n n m ++++= 。 b S ：类间离散度矩阵 w S ：类内离散度矩阵 i n ：属于i 类的样本个数 i x ：第i 个样本 u ：所有样本的均值 i u ：类i 的样本均值三．公式推导，算法形式化描述根据符号说明可得类i 的样本均值为： 1 i x classi i u x n ∈= ∑ (1.1)

同理我们也可以得到总体样本均值： 1 1m i i u x m ==∑ (1.2) 根据类间离散度矩阵和类内离散度矩阵定义，可以得到如下式子： ()() 1c T b i i i i S n u u u u ==--∑ (1.3) ()() 1k c T w i k i k i x classi S u x u x =∈=--∑ ∑ (1.4) 当然还有另一种类间类内的离散度矩阵表达方式： ()()() 1 c T b i i i S P i u u u u ==--∑ (1.5) ()()()(){ } 11 (i)(i)E |k c T w i k i k i x classi i c T i i i P S u x u x n P u x u x x classi =∈==--=--∈∑ ∑∑ (1.6) 其中()P i 是指i 类样本的先验概率，即样本中属于i 类的概率()i n P i m =，把 ()P i 代入第二组式子中，我们可以发现第一组式子只是比第二组式子都少乘了1m ，我们将在稍后进行讨论，其实对于乘不乘该1m ，对于算法本身并没有影响，现在我们分析一下算法的思想，我们可以知道矩阵 ()() T i i u u u u --的实际意义是一个协方差矩阵，这个矩阵所刻画的是该类与样本总体之间的关系，其中该矩阵对角线上的函数所代表的是该类相对样本总体的方差（即分散度），而非对角线上的元素所代表是该类样本总体均值的协方差（即该类和总体样本的相关联度或称冗余度），所以根据公式（1.3）可知（1.3）式即把所有样本中各个样本根据自己所属的类计算出样本与总体的协方差矩阵的总和，这从宏观上描述了所有类和总体之间的离散冗余程度。同理可以的得出（1.4）式中为分类内各个样本和所属类之间的协方差矩阵之和，它所刻画的是从总体来看类内各个样本与类之间（这里所刻画的类特性是由是类

最小二乘法--计算方法

生活中的计算方法应用实例——— 最小二乘法，用MATLAB实现1. 数值实例下面给定的是某市最近1个月早晨7：00左右（新疆时间）的天气预报所得到的温度天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温度9 10 11 12 13 14 13 12 11 9 天数11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 温度10 11 12 13 14 12 11 10 9 8 天数21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 温度7 8 9 11 9 7 6 5 3 1 下面用MATLAB编程对上述数据进行最小二乘拟合，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。 2、程序代码 x=[1:1:30]; y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7, 6,5,3,1]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合% a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合% b1= polyval(a1,x) b2= polyval(a2,x) b3= polyval(a3,x) r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和% r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像% hold on plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% hold on plot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像% hold on plot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像% 3、数值结果不同次数多项式拟合误差平方和为： r1=67.6659

测量圆度误差的各种方法讲解

一、圆度圆度是表示零件上圆的要素实际形状，与其中心保持等距的情况。即通常所说的圆整程度。圆度是限制实际圆对理想圆变动量的一项指标，其公差带是以公差值t为半径差的两同心圆之间的区域。二、圆度误差的评定原则圆度误差评定有4种主要方法。①最小区域法：以包容被测圆轮廓的半径差为最小的两同心圆的半径差作为圆度误差。②最小二乘圆法：以被测圆轮廓上相应各点至圆周距离的平方和为最小的圆的圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆的半径差即为圆度误差。③最小外接圆法：只适用于外圆。以包容被测圆轮廓且半径为最小的外接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆半径差即为圆度误差。④最大内接圆法：只适用于内圆。以内接于被测圆轮廓且半径为最大的内接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓两同心圆的半径差即为圆度误差. 三、圆度测量方法圆度测量方法主要有回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法、直接利用太友科技数据采集仪连接百分表测量法等。四、测量方法简介 1、回转轴法利用精密轴系中的轴回转一周所形成的圆轨迹（理想圆）与被测圆比较，两圆半径上的差值由电学式长度传感器转换为电信号，经电路处理和电子计算机计算后由显示仪表指示出圆度误差，或由记录器记录出被测圆轮廓图形。回转轴法有传感器回转和工作台回转两种形式。前者适用于高精度圆度测量，后者常用于测量小型工件。按回转轴法设计的圆度测量工具称为圆度仪。

2、三点法常将被测工件置于V形块中进行测量。测量时,使被测工件在V形块中回转一周，从测微仪（见比较仪）读出最大示值和最小示值，两示值差之半即为被测工件外圆的圆度误差。此法适用于测量具有奇数棱边形状误差的外圆或内圆，常用2α角为90°、120°或72°、108°的两块V形块分别测量。 3、两点法常用千分尺、比较仪等测量，以被测圆某一截面上各直径间最大差值之半作为此截面的圆度误差。此法适于测量具有偶数棱边形状误差的外圆或内圆。 4、投影法常在投影仪上测量，将被测圆的轮廓影像与绘制在投影屏上的两极限同心圆比较,从而得到被测件的圆度误差。此法适用于测量具有刃口形边缘的小型工件。

圆度测量

圆度测量方法: 回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法等方法。 (1)回转轴法: 利用精密轴系中的轴回转一周所形成的圆轨迹（理想圆）与被测圆比较，两圆半径上的差值由电学式长度传感器转换为电信号，经电路处理和电子计算机计算后由显示仪表指示出圆度误差，或由记录器记录出被测圆轮廓图形。回转轴法有传感器回转和工作台回转两种形式（图1）。前者适用于高精度圆度测量，后者常用于测量小型工件。按回转轴法设计的圆度测量工具称为圆度仪。（2）三点法：常将被测工件置于V形块中进行测量（图2）。测量时,使被测工件在V形块中回转一周，从测微仪（见比较仪）读出最大示值和最小示值，两示值差之半即为被测工件外圆的圆度误差。此法适用于测量具有奇数棱边形状误差的外圆或内圆，常用2α角为90°、120°或72°、108°的两块V形块分别测量。（3）两点法：常用千分尺、比较仪等测量，以被测圆某一截面上各直径间最大差值之半作为此截面的圆度误差。此法适于测量具有偶数棱边形状误差的外圆或内圆。（4）投影法：常在投影仪上测量，常在投影仪上测量，将被测圆的轮廓影像与绘制在投影屏上的两极限同心圆(图3)比较,从而得到被测件的圆度误差。此法适用于测量具有刃口形边缘的小型工件。

（5）坐标法：一般在带有电子计算机的三坐标测量机上测量。按预先选择的直角坐标系统测量出被测圆上若干点的坐标值x、y，通过电子计算机按所选择的圆度误差评定方法计算出被测圆的圆度误差。圆度误差评定就是将双绞线导线横截面的实际轮廓与理想圆比较的过程。圆度误差评定方法： ①最小区域法：以包容被测圆轮廓的半径差为最小的两同心圆的半径差作为圆度误差。

偏最小二乘法基本知识

偏最小二乘法（PLS）简介-数理统计偏最小二乘法partial least square method是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。偏最小二乘法长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。这是多元统计数据分析中的一个飞跃。偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。偏最小二乘回归可以解决这个问题。它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y 中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了

基本概念偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系: Y= b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp 在方程中，b0是截距，bi的值是数据点1到p的回归系数。例如，我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数，并且从各自的样本点中估计出回归系数，之后，我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。对许多的数据分析方法来说，最大的问题莫过于准确的描述观测数据并且对新的观测数据作出合理的预测。多元线性回归模型为了处理更复杂的数据分析问题，扩展了一些其他算法，象判别式分析，主成分回归，相关性分析等等，都是以多元线性回归模型为基础的多元统计方法。这些多元统计方法有两点重要特点，即对数据的约束性： 1.变量X和变量Y的因子都必须分别从X'X和Y'Y矩阵中提取，这些因子就无法同时表示变量X和Y的相关性。 2.预测方程的数量永远不能多于变量Y跟变量X的数量。偏最小二乘回归从多元线性回归扩展而来时却不需要这些对数据的约束。在偏最小二乘回归中，预测方程将由从矩阵Y'XX'Y中提取出来的因子来描述；为了更具有代表性，提取出来的预测方程的数量可能大于变量X与Y的最大数。简而言之，偏最小二乘回归可能是所有多元校正方法里对变量约束最少的方法，这种灵活性让它适用于传统的多元校正方法所不适用的许多场合，例如一些观测数据少于预测变量数时。并且，偏最小二乘回归可以作为一种探索性的分析工具，在使用传统的线性回归模型之前，先对所需的合适的变量数进行预测并去除噪音干扰。

基于视觉检测的圆度误差测量技术(精)

基于视觉检测的圆度误差测量技术圆度误差是一项比较科学、先进的评定零件表面质量的指标,它能客观直接的反映圆柱面的旋转精度。由于圆度误差是实际轮廓相对于理想圆而确定的,所以被测量轴径截面的实际轮廓的精确测量,是求圆度误差的重要组成部分。本文测量的对象是直径为120mm、长90mm的超精密回转主轴。在深入研究零件圆度误差的测量理论和测量方法的基础上,采用V形块立式测量法,并利用精密干涉仪结合CMOS图像传感器,进行了图像采集、处理与分析,成功读取了图像信息,并将之转换成有效的实验数据,完成了对回转主轴圆度误差的测量。首先,从理论上说明了圆度误差常用的测量方法及测量中心的评定方法,阐述了最小二乘圆评定方法在V形块测量中的数学实现,并说明了实验数据的处理方法——误差联系法的运用。其次,完成了超精密主轴圆度误差测量系统的设计,对图像采集系统进行了调试。根据本文采集的干涉条纹图像的特性,运用图像灰度值列求和的方法,求出了干涉仪测头的实际位移。提出了适合本课题的图像质量评价方法——运用曲线拟合残差来评价去噪后图像质量,并与传统的评价方法进行了对比。根据不同的图像质量评价方法选择了适合的图像处理方案,使图像采集系统分辨率达到每像素点2.9nm。最后用Matlab编程实现了图像分析,求出了超精密回转主轴的圆度误差。设计实验,证明了测量结果的正确性。分析了测量系统的误差来源和具体影响因素,求出了测量系统的误差。同主题文章 [1]. 袁懿先,靳春芬. 小孔的图像处理与圆度误差的评定' [J]. 农业机械学报. 1997.(03) [2]. 傅师伟. 圆度误差测量的一种新方法' [J]. 计量与测试技术. 2004.(09) [3]. 王峰,詹小四,陈蕴. 图像处理中光学因素的影响' [J]. 洁净煤技术. 2005.(01) [4]. 樊琳. 圆度误差的评定和计算机处理' [J]. 苏州大学学报(工科版). 1988.(02) [5]. 刘杰锋,王建华,刘桂珍. 圆度误差的计算机检测系统' [J]. 佳木斯大学学报(自然科学版). 1999.(02) [6]. 高国胜. 用最小二乘法计算圆度误差' [J]. 压缩机技术. 1987.(02) [7].

圆度误差的检测方法

圆度误差的检测方法圆度误差是指同一正截面内被测实际圆相对于理想圆的变动量,是以半径差来计量的。圆度误差的大小对精密机器和仪器的性能有重要影响，它是零件几何精度的重要指标，能否准确地测量和评定圆度误差值对保证和提高机械产品的质量至关重要。目前，测量圆度误差时常使用的方法有：比较检验法，特征参数测量法和坐标测量法等。其中有些方法可简便快速地得到工件的圆度误差值；有些方法则只判断工件是否合格，而不需得到圆度值；随着对加工精度要求的不断提高，有时还须通过某些测量方法获得工件的精确轮廓图形，在评定圆度值的同时，进行工艺分析，以指导改进有关工艺。 1.1比较检验法该方法是把被测圆轮廓直接与标准圆（如标准圆图形、标准半球、标准圆盘和钢珠等）进行比较，以检验被测工件是否合格。比较常用的方法有投影仪法和测微仪比较法等。 (1) 投影仪法当工件较小且边缘较规整时，可用投影仪进行测量。测量时，把工件放在玻璃工作台上。由灯泡发出的照明光经准直透镜后平行照射到工件上；工件的截面圆轮廓经投影物镜和反射镜成像在投影屏上，该影像与事先绘制好的标准同心圆相比较（同心圆间距按工件的圆度公差带选取，并放大K倍—圆轮廓像的放大倍数）。当工件的截面圆轮廓像处于两同心圆之间时，表明被测件合格，如图1－1所示。（2）测微仪比较法

在测量大型工件的圆度误差时，可采用测微仪比较法。该方法以标准圆盘的外圆表面作为基准圆。测量时，将标准圆盘与被测圆轮廓和标准圆盘的外圆表面相接触。标准圆轮廓和基准圆相对回转轴线的变动量分别由二传感器测头测取，送入带有差值的测微仪；测微仪可求出并显示变动量的差值；差值变化的最大值与最小值之差即为被测工件的圆度误差。

圆度误差测量方法

思考：自行车是日常生活中比较常用的交通工具，假若自行车的车轮制成正三棱圆形状，自行车是否还能正常行驶？问题提示：在机械制造中，经常会加工轴、套筒等回转体类零件，这些零件需要配合起来使用，这就要求不仅满足尺寸精度要求，同时还要满足形位精度要求，如下图所示的轴，当我们按照图纸要求加工出该轴时，该轴的圆度误差如何测量？测量数据如何处理？圆度是否合格如何判断？图1

在生产中如何控制零件圆不圆呢？圆度正是控制圆柱面、圆锥面的截面和球面零件任意截面圆的程度的指标；圆柱度则是控制圆柱面的圆度、素线直线度、轴线直线度等圆柱面的横截面和纵截面的综合误差的指标。圆度误差的近似测量方法有两点和三点法，为生产中常用的方法，操作也很简单。从图1零件工作图上可以看出，该轴圆度公差为0.016。本案例测量圆度误差，测得圆度误差在公差范围内，则圆度符合要求。本案例用到量具：百分表、表座、V型块实施过程 1、圆度公差圆度公差属于形状公差，圆度误差值不大于相应的公差值，则认为合格图2--圆度公差标注图2所示，被测圆柱面和圆锥面的任一正截面上的圆周必须位于半径差为公差值0.03mm和0.01mm的两同心圆之间，公差带是在同一个正截面上，半径差为公差值t的两同心圆之间的区域，如图3所示：

图3—圆度公差带圆度公差带的特点是不涉及基准，公差带无确定的方向和固定的位置（两同心圆的圆心位置是浮动的）。公差带的方向和位置随相应实际要素的不同而浮动。 2、圆度误差评定圆度误差值用最小包容区域（简称最小区域）的宽度或直径表示。最小区域是指包容被测实际要素，且具有最小宽度f 或直径的区域，最小包容区的形状与其相应的公差带的形状相同。最小区域是根据被测实际要素与包容区域的接触状态来判别的，什么样的接触状态才算符合最小条件呢？根据实际分析和理论证明，得出了各项形状误差符合最小条件的判断标准。如图5所示区域，评定圆度误差时，包容区为两个同心圆之间的区域，实际圆应至少有内、外交替的四点与两包容圆接触，这个包容区就是最小包容区。图4—圆度误差最小包容区域