普通高等学校招生全国统一考试2018届高三下学期第二次调研考试数学(文)试题Word版含答案

2017—2018学年度下学期高三年级二调考试

数学(文科)试卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合{}212=12A x x B x x A B ?

?=-<<≤?=????

，，则 A. {}12x x -≤< B. 112x x ?

?-<≤???? C. {}2x x < D. {}

12x x ≤< 2.已知()12i i a bi +=+（i 是虚数单位，,a b R ∈），则a b +=

A. 3-

B.3

C.1

D. 1-

3.已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是

A.若//,,//l m l m αα?则

B. 若//,//,//l m l m αα则

C.若,,l m m l αα⊥?⊥则

D. 若,//,l l m m αα⊥⊥则

4.在下列双曲线方程中，表示焦点在y 轴上且渐近线方程为3y x =±的是 A. 2

219y x -= B. 2

219x y -= C. 2219y x -= D. 22

19x y -= 5.某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：

根据表中数据得()

22277520450530015.96810.82825750320455K K ??-?=≈≥???，由，断定秃发与

患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为

A.0.1

B.0.05

C.0.01

D.0.001

6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是

A. 1-

B. 23

C. 32

D.4

7.已知函数()()sin ,336f x A x f x f x f x πππω???????=++=--+= ? ? ???????

，且 6f x π??- ???

，则实数ω的值可能是 A.2 B.3 C.4 D.5

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是

A.9

B. 272

C.18

D.27

9.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个,x y 都小于1的正实数对(),x y ，再统计其中,x y 能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值.如果统计结果是m 34=，那么可以估计π的值为 A. 227 B. 4715 C. 5116 D. 5317

10.已知函数()()20,0f x ax bx a b =+>>的图像在点()()

1,1f 处的切线的斜率为2，则8a b ab

+的最小值是 A.10 B.9 C.8

D. 11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1212,1e e e e +，则的取值范围是

A. ()1,+∞

B. 4,3??+∞ ???

C. 6

,5??+∞ ??? D. 10,9??+∞ ???

12.已知定义在R 上的函数()()()1112f x f f x '=>

满足，且恒成立，则不等式()22122

x f x <+的解集为 A. (),1-∞-

B. ()1,+∞

C. ()(),11,-∞-?+∞

D. ()1,1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量,a b 满足(

)2,0,1,a b a b ==+=，则向量,a b 所成的角为__________.

14.已知实数,x y 满足约束条件4,2,311,x y x y z x y x +=??≤=-+??≥?

若，则实数z 的最大值是_________.

15.已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 在圆()()22

:331C x y ++-=上，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是___________.

16.在ABC ?中，角A,B,C 所对的边分别为21,,sin sin sin ,24B C a b c B C -+=，且 2b c +=，则实数a 的取值范围是____________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都有()1

0,1n n a S λλ-=≠.

（1）求证：{}n a 为等比数列.

（2）若441

112log log n n n b a a λ+==，且，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18.（12分）

炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间y （从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：

（1）据统计表明，y x 与之间具有线性相关关系，请用相关系数r 加以说明（r 若0.75≥，则认为y 与x 有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r 精确到0.001）；

（2）建立y 关于x 的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；

（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.

参考公式：回归方程=y bx a +中斜率和截距的最小二乘估计分别为12

21n i

i i n i i x y nx y b x

nx ==-=-

∑∑，

a y bx =-，相关系数n i

i x y nx y r -=∑

参考数据：101010

22111159.8,172,265448,312350,287640i i i i i i i

x y x

y x y ========∑∑∑， 12905=.

19.（12分）

如图，四边形

ABCD 为梯形，AB//CD ，PD ⊥平面ABCD ，90,BAD ADC DC ∠=∠== 22,,AB a DA E ==为BC 的中点.

（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE.

（2）在线段PC 上是否存在一点F ，使得PA//平面BDF ？若存在，指出点F 的位置，并证明；

若不存在，请说明理由.

20.（12分）

在平面直角坐标系中，点(),A x y 到点()()121

,010F F -与点，的距离之和为4. （1）试求点A 的M 的方程.

（2）若斜率为12的直线l 与轨迹M 交于C,D 两点，312P ?? ???

，为轨迹M 上不同于C ，D 的一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不同，请说出理由.

21.（12分）

已知函数()()2ln 2

a f x x x x a R =-∈. （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；

（2）若函数()()()11g x f x a x x =+-=在处取得极大值，求实数a 的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()2

4cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.

（1）求圆C 的一个参数方程；

（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a .

（1）求a 的值；

（2）若正实数,m n 满足45m n a +=，求14233y m n m n

=+++的最小值.