宁夏省银川一中2013-2014学年高二数学上学期期末试卷 理

M

D 1

C 1

B 1

A 1

D C

B

A

宁夏省银川一中2013-2014学年高二数学上学期期末试卷 理 新人

教A 版

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“?Z x ∈，使022≤++m x x ”的否定是（ ） A. ?Z x ∈，使m x x ++22＞0

B. 不存在Z x ∈，使m x x ++22＞0

C. ?Z x ∈，使022≤++m x x

D. ?Z x ∈，使m x x ++22

＞0

2．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是)0,3(),0,3(-，离心率是2

3

，则椭圆C 的方程为 ( )．

A. 1222=+y x B ． 1422=+y x C. 1222=+y x D. 1422

=+y x 3．设集合}3|),{(},136

|),{(2

2

x y y x B y x y x A ===-= ，则A ∩B 的子集的个数是（ ）

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

4．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，M 是AC 与BD 的交点，若c AA b AD a AB ===1,,， 则下列向量中与M B 1 相等的向量是（ ）

A ．c b a ++-2

1

21 B. c b a ++2121

C ．c b a -+-

2121 D ．c b a +--2

1

21 5．已知条件2|1:|>+x p , 条件 2

65:x x q >-，则p ?是q ?的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b

x a y C 的离心率为25

，则C 的渐近线方程为（ ）

A ．x y 2±=

B ．x y 21±

= C ．x y 4±= D ．x y 4

1

±= 7. 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，-2，-3），（0，1，0），

（0，1，1），（0，0，1），则该四面体的体积为（ ） A ． 1 B ．

21 C ．31 D ．6

1

8．过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为（ ）

A ．

131222=+y x B ．1162522=+y x C ．1364522=+y x D ．172

812

2=+y x 9. 如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，

四边形ABEF 是矩形，且AF ＝

AD 2

3

，G 是EF 的中点， 则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为（ ） A.

6

6

B.

621 C. 7

7 D.

7

21

10．已知命题p ：△ABC 所对应的三个角为A ，B ，C . A >B 是cos 2A

命题q ：函数))2

,0((1tan 2tan 1π

∈+++=

x x x y 的最小值为1；则下列四个命题中

正确的是（ ）

A. q p ∧

B. q p ?∧

C. q p ∨?

D. q p ?∧?

11. 已知向量321,,v v v 分别是空间三条不同直线321,,l l l 的方向向量，则下列命题中正确

的是（ ）

A ．)(,313221R v v l l l l ∈=?⊥⊥λλ B. )(//,313221R v v l l l l ∈=?⊥λλ

C. 321,,l l l 平行于同一个平面R ∈??μλ,，使得321v v v μλ+=

D. 321,,l l l 共点R ∈??μλ,，使得321v v v μλ+=

12. 过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =,

则AOB ?的面积为（ ）

A.

22

D. 二、填空题（每题5分，满分20分）13．有下列四个命题：

①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为___________________.

14. 过点(1,1)M 作一直线与椭圆22

194

x y +=相交于A 、

B 两点，若M 点恰好为弦AB 的中点，则AB 所在直线的方程为 ．

15．抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则

|

||

|MF MO 的最大值为 ．

16．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a 面，则a 的取值范围是_________________. 三．解答题（满分70分） 17.（本小题满分10分）

设抛物线x 2

=2py （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥y 轴.证明直线AC 经过原点O .

18.（本小题满分12分）

直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，

D 、

E 分别为AB 、BB ′的中点．

(1)求证：CE ⊥A ′D ；

(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．

19. （本小题满分12分）

已知点),(00y x P 是椭圆15

:22

=+y x C 上的一点。F 1、F 2是椭圆C 的左右焦点。 （1）若∠F 1PF 2是钝角，求点P 横坐标x 0的取值范围；

（2）求代数式02

02x y +的最大值。

20. (本小题满分12分)

已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切. (1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；

(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足

0OP OQ ?=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

D

O

C

A

B P

21．（本小题满分12分）

在四棱锥P OABC -中，PO ⊥底面OABC ，60OCB ∠=?，

90AOC ABC ∠=∠=?, 且2OP OC BC ===.

(1)若D 是PC 的中点，求证：//BD 平面AOP ; (2)求二面角P AB O --的余弦值．

22．（本小题满分12分）

已知直线220x y -+=经过椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>> 的左顶点A 和上顶

点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线

10

:3

l x =

分别交于,M N 两点. （1）求椭圆C 的方程；

（2）求线段MN 的长度的最小值；

（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这 样的点T ，使得TSB ?的面积为1

5

？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由。

高二期末数学(理科)试卷参考答案

1-5：DBDCA;6-10:ADCDB;11-12:CC 13. ①③；14.4x+9y-13=0； 15.

3

3

2 16.（0，2） 17.证：设AB ：y =kx +

2

p ，代入x 2=2py ，得x 2－2pmx －P 2

=0. 由韦达定理，得x A x B =－p 2

，

即x B =－A

x p 2

.

∵BC ∥y 轴，且C 在准线y =－2

p

上， ∴C （x B ，－

2

p

）.

则k OC =

B

x p

2-

=A

A x y =k OA .

故直线AC 经过原点O .

18.．解：(1)证明：设 CA ＝a ， CB ＝b ， CC '＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴ CE ＝b ＋12c ， A D '＝－c ＋12b －1

2a .

∴ CE · A D '＝－12c 2＋12b 2

＝0，

∴ CE ⊥A D ' ，即CE ⊥A ′D .

(2) AC '＝－a ＋c ，∴| AC '|＝2|a |，| CE |＝

5

2

|a |. AC '·CE ＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12

|a |2，

∴cos 〈 AC '，CE 〉＝

12|a |22·

52

|a |2＝

1010

. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为

1010

. 19. （1）2

15

2150<

<-

x （2）52 20. 解：（1）设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，

由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=

（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，

由2

(1)

4x k y y x

=-??

=?得2

440y ky k -+=

△2

16160k =->，11k k <->或

设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =

由0OP OQ ?=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=， 即()()21212110k y y y y --+=，2

2

2

1212(1)()0k y y k y y k +-++=，

222

4(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去），

又41

k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=

21 解：（1）如图，建立空间直角坐标系O xyz -．连接OB ,易知OBC ?

为等边三角形，

(0,0,2),(0,2,0),,0)P C B ，则(0,1,1),D

(3,0,1)BD =-．又易知平面AOP 的法向量

为 (0,2,0)OC =,

由3002100BD OC ?=-+?+?=,得 BD OC ⊥,

所以//BD 平面AOP ………………………6分

(2)在OAB ?中，2,30OB AOB ABO =∠=

∠=?,则120OAB ∠=?,由正弦定理, 得OA =

,即A ，所以3

(

,1,0)AB =，(3,1,2)PB =-． 设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，

由30

320

m AB m AB x y m PB m PB x y z ??⊥?=

+=?????⊥??

??=+-=?

， 令x =1,1y z =-=，即(3,1,1)m =

-…………………10分 又平面OABC 的法向量为(0,0,2)n OP ==,

所以，||cos ,||||5m n m n m n ?<>=

==

?． 即二面角P AB O --

13分 22．

y

x

z D

O C

A B

P

要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ?的面积等于

15，只须T 到直线BS ，

所以T 在平行于BS 且与BS 距离等于

4

的直线l 上。设直线':10l x y ++=则由

4=解得32t =-或52t =- 。