3.2圆的方程 教师版

期末复习（2） 圆的方程

1、圆的定义

（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 （2）确定一个圆的要素是圆心和半径。 2、圆的方程

注：方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是2240D E F +->

当0

422 F E D -+时，方程表示一个圆，

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??

? ??--2,2E D

. 当0

422 F

E D -+时，方程无图形.

3、点与圆的位置关系

已知圆的方程为222()()x a y b r -+-=，点00(,)M x y 。则：

（1）点在圆上：222

00()()x a y b r -+-=；

（2）点在圆外：222

00()()x a y b r -+->；

（3）点在圆内：222

00()()x a y b r -+-<。

4、直线与圆的位置关系

注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。

5、圆与圆的位置关系

6、圆的标准方程为：222()()(0)x a y b r r -+-=>，),(00y x P 为圆上一点，则过P 点的圆的切线方程为：200r =)-()-(+)-()-(b y b y a x a x

特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)

7、若○1 ：0=++++11122F y E x D y x ① ○2 ：0=++++22222F y E x D y x ②

两圆相交于点A 、B ，则过A 、B 的直线AB l 方程为：① - ②

8、已知直线b kx y l +=:与圆C ：2

2

2

()()(0)x a y b r r -+-=>相交于点A 、B ，则 弦AB 的长度|AB|=距离的平方到直线圆心l C r -22

或|AB|=212

212

212x x 4-)x +(x ?

+1=

|-|+1k

x x k

【例1】求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程.

【解析】方法一：设圆的方程为x 2＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为(－D 2，－E 2)，

由已知得

???????

=-=++++=++-+,

02

,02349,04161D F E D F E D 即???

??=-=++=--,

0,1323,174D F E D F E D 解得 D ＝0，E ＝－2，F ＝－9，所求圆的方程为x 2＋y 2－2y －9＝0. 方法二：经过A (－1,4)，B (3,2)的圆，其圆心在线段AB 的垂直平分线上， AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1. 令x ＝0，y ＝1，圆心为(0,1)，r ＝(3－0)2

＋(2－1)2

＝10 ， 圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.

【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a 、b 、r 或D 、E 、F ，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.

【例2】圆2x 2＋2y 2

＝1与直线x sin θ＋y －1＝0(θ∈R ，θ≠k π＋π2

，k ∈Z)的位置关系是( )

A.相离

B.相切

C.相交

D.不能确定

【解析】选A.易知圆的半径r ＝22，设圆心到直线的距离为d ，则d ＝1

sin 2θ＋1

.

因为θ≠π

2＋k π，k ∈Z .所以0≤sin 2θ＜1，

所以2

2＜d ≤1，即d ＞r ，所以直线与圆相离.

【例3】如果圆C ：(x －a )2

＋(y －a )2

＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a 的取值范围.

【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O ：x 2＋y 2＝1上.当圆C 与圆O 有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜|OC |＜2＋1，

所以1＜a 2＋a 2＜3，即

22＜|a |＜32

2

， 所以－322＜a ＜－22或22＜a ＜32

2为所求a 的范围.

【例4】若实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3.求：

(1) y

x

的最大值和最小值；

(2)y －x 的最小值；

(3)(x －4)2＋(y －3)2的最大值和最小值.

【解析】(1)y x ＝y －0x －0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y

x

的最值为过原

点的直线与圆相切时该直线的斜率，设y

x

＝k ，y ＝kx ，kx －y ＝0.

由|2k |k 2＋1

＝3，得k ＝±3，所以y x 的最大值为3，y

x 的最小值为－ 3.

(2)令x －2＝3cos α，y ＝3sin α，α∈[0,2π). 所以y －x ＝3sin α－3cos α－2＝6sin(α－π

4)－2，

当sin(α－π

4

)＝－1时，y －x 的最小值为－6－2.

(3)(x －4)2＋(y －3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A (2,0)，B (4,3)， 连接AB 交圆于C ，延长BA 交圆于D .

|AB |＝(4－2)2

＋(3－0)2

＝13，则|BC |＝13－3，|BD |＝13＋3，

所以(x －4)2

＋(y －3)2

的最大值为(13＋3)2

，最小值为(13－3)2

.

【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①

形如U ＝y －b

x －a

形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如(x －a )2＋(y －b )2

形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.

【变式训练2】已知实数x ，y 满足x 2＋y 2

＝3(y ≥0).试求m ＝y ＋1x ＋3

及b ＝2x ＋y 的取值范围.

【解析】如图，m 可看作半圆x 2

＋y 2

＝3(y ≥0)上的点与定点A (－3，－1)连线的斜率，b 可以看作过半圆x 2＋y 2＝3(y ≥0)上的点且斜率为－2的直线的纵截距.

由图易得3－36≤m ≤3＋21

6，－23≤b ≤15.

【例5】已知点P (0,5)及圆C ：x 2

＋y 2

＋4x －12y ＋24＝0.

(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求圆C 内过点P 的弦的中点的轨迹方程.

【解析】(1)如图，AB ＝43，D 是AB 的中点，则AD ＝23，AC ＝4， 在Rt △ADC 中，可得CD ＝2.

设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为 y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线的距离公式|－2k －6＋5|k 2

＋1

＝2，

得k ＝3

4

，此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.

又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x ＝0. 所以所求直线为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (也可以用弦长公式求解) (2)设圆C 上过点P 的弦的中点为D (x ，y )， 因为CD ⊥PD ，所以PD CD

?

＝0，即(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，

化简得轨迹方程x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.

【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB 两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，

由?????=+=+,

,2

222222121r y x r y x 得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－x 0y 0. 该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.

【变式训练5】已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )

【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x －3)2

＋(y －4)2

＝25，过点(3,5)的最长弦为AC ＝10，最短弦为BD ＝252－12＝46，S ＝1

2·BD ＝20 6.

【例6】已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R).

(1)求证：不论m 为何值，直线l 恒过定点； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系；

(3)求直线l 被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程. 【解析】(1)证明：直线方程可写作x ＋y －4＋m (2x ＋y －7)＝0， 由方程组??

?=-+=++,

072,04y x y x 可得??

?==,

1,3y x

所以不论m 取何值，直线l 恒过定点(3,1). (2)由(3－1)2＋(1－2)2＝5＜5，

故点(3,1)在圆内，即不论m 取何值，直线l 总与圆C 相交.

(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M (3,1)的直径垂直时，弦|AB |最短. |AB |＝2r 2－|CM |2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝45，

此时 k ＝－1k CM ，即－2m ＋1m ＋1＝－1

－1

2

＝2，

解得m ＝－3

4，代入原直线方程，得l 的方程为2x －y －5＝0.

【例7】设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP ·OQ ＝0.

(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程.

【解析】(1)曲线方程可化为(x ＋1)2

＋(y －3)2

＝9，是圆心为(－1,3)，半径为3的圆. 因为点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称， 所以圆心(－1,3)在直线x ＋my ＋4＝0上，代入得m ＝－1.

(2)因为直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，所以设 P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

则直线PQ 的方程为y ＝－x ＋b .将直线y ＝－x ＋b 代入圆的方程，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2

－6b ＋1＝0，Δ＝4(4－b )2－4×2(b 2－6b ＋1)＞0，解得2－32＜b ＜2＋3 2.

x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋1

2

，

y 1y 2＝(－x 1＋b )(－x 2＋b )＝b 2

－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2＋2b ＋1

2

，

因为OP ·OQ ＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，

即b 2

－6b ＋12＋b 2

＋2b ＋12

＝0，得b ＝1. 故所求的直线方程为y ＝－x ＋1.

【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.

【例8】求与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.

【解析】曲线x 2＋y 2

－12x －12y ＋54＝0可化为

(x －6)2

＋(y －6)2

＝18，它表示圆心为(6,6)，半径为32的圆

. 作出直线x ＋y －2＝0与圆(x －6)2＋(y －6)2＝18，

由图形可知，当所求圆的圆心在直线y ＝x 上时，半径最小.

设其半径为r，点(6,6)到直线x＋y＝2的距离为52，所以2r＋32＝52，即r＝2，点(0,0)到直线x＋y＝2的距离为2，

所求圆的圆心为(22cos 45°，22sin 45°)，即(2,2)，

故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.

【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解.