高中数学-人教A版-必修2-第二章知识点总结
年级高一学科数学版本人教新课标A版
课程标题必修2 第二章第1节空间点、直线、平面之间的位置关系
编稿老师
一校二校审核
一、学习目标：
1. 掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质、作用及公理1-3；
2. 了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法，理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理；异面直线所成角的定义、范围及应用．
3. 了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系。
二、重点、难点：
重点：平面的概念及表示；平面的基本性质，公理1-3中的图形语言及符号语言；异面直线的概念；公理4及等角定理；空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系．难点：平面基本性质的掌握与运用；异面直线所成角的计算；用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系．
三、考点分析：
考纲对这部分知识的要求是：理解空间点、直线和平面的位置关系，掌握平面的基本特性，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。在考试中对点、线、面位置关系的考查经常出现在选择题中，求异面直线所成的角经常出现在选择题和解答题中。
1. 平面的含义、画法及表示
2. 点和面的位置关系
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B α
3. 公理1—3
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号语言表示为：
A l
B l l A B ααα∈??∈?
???∈??∈?
l
α
B
A
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号语言表示为：A 、B 、
C 三点不共线?有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α．
公理2作用：确定一个平面的依据．
推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号语言表示为：P ∈α∩β?α∩β=l 且P ∈l 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 4. 空间中的两条直线的位置关系
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点． 5. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
c a b c b a //////??
??
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据． 6. 异面直线所成的角
（1）已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）．
（2）注意：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置关系来确定，与O 点的选择无关，为了
简便，点O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0，
2
π]
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤
计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 7. 直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行 —— 没有公共点
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用α?a 来表示
a α? a∩α=A a ∥α
8. 两个平面的位置关系
（1）两个平面平行——没有公共点
（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线
用类比的方法，可使学生快速地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形语言表示为
β
α
α
β
l
α∥β α∩β=l
知识点一：确定平面
例1. 空间四点可以确定几个平面？三条直线两两相交可确定几个平面？空间四条平行直线可以确定几个平面？一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定多少个平面？
思路分析：利用公理2可以解决确定平面的问题 解答过程：1. 空间四点可以确定0个、1个、4个平面。 三点确定一个平面，讨论第四个点是否在平面上。 2. 三条直线两两相交可确定1个或3个平面。 3. 空间四条平行直线可以确定1个、4个、6个平面。
4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定1个、3个、4个平面。 解题后的思考：对于空间中点、线的位置关系要全面分析，不要遗漏。
知识点二：点、线共面
例2. 如图，正方体ABCD ——1111D C B A 中E 、F 为1AA 、1CC 中点。求证：1D 、E 、F 、B 四点共面。
思路分析：利用公理1和2可解决点共面的问题，从而解决确定平面的问题。 解答过程：连接E D 1交DA 延长线于M ∵ E 为A A 1中点
∴ MA=AD
同理，连接F D 1交DC 延长线于N ，CN=CD ∵ 正方体ABCD ——1111D C B A ∴ MA=AB=BC=CN
∴ ?=∠45MBA ，?=∠90ABC ，?=∠45CBN ∴ ?=∠180MBN ∴ M 、B 、N 三点共线l ∴ l D ?1，1D 、l 确定平面α
∴D 1、E 、M 、B 、N 、F 六点共面α，从而D 1、E 、F 、B 四点共面 解题后的思考：将几个公理结合起来使用是解决问题的关键
例3. 如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 、M 、N 为各棱中点，求证：EFGHMN 为正六边形。
A F
B E D N H G M C
A 1
D 1
C 1
B 1
∴ EF//NG ，确定平面α 同理，FG//EH ， 确定平面α'
α与α'有三个不在同一条直线上的三点E 、F 、G
∴ αα'、重合 ∴ E 、F 、G 、H 、N 五点共面 同理E 、F 、G 、H 、M 、N 六点共面 且EF//MH 、FG//NM 、EN//GH ∴ EFGHMN 是正六边形
解题后的思考：证明共面问题有以下两个方法：（1）先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上（2）先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合
例4. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明。
思路分析：确定两个平面的交线，就是找两个平面的两个公共点，本题中已经给出一个公共点，只需利用分别在两个平面内且相交的直线来确定另一个交点。
解答过程：如图，过点E 作EN ⊥CD 于点N ，连结NB 并延长，交EF 的延长线于点M ，连结AM ，因为直线EN//BF ，所以B 、N 、E 、F 四点共面。
因此EF 与BN 相交，交点为M ， 因为EF M ∈，且NB M ∈，
而?EF 平面AEF ，NB ?平面ABCD ， 所以M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点， 又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点， 所以AM 为这两平面的交线。
知识点三：异面直线所成的角
例5. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，对角线C A 1长为a 3。
1BA 与1CC 所成的角。
②异面直线B A 1与C B 1所成的角。 ③异面直线B A 1与1AC 所成的角。
④M 、N 为11C D 、11B C 中点，MN 与AC 所成角。 ⑤H 为BC 中点，H C 1与B D 1所成角的余弦值。
思路分析：利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解
解答过程：① 11//CC BB ∴ 1BA 与1BB 所成锐角即为两条异面直线所成的角
?=∠4511BB A 。
②D A C B 11//，BD A 1?为等边三角形 ∴B A 1与C B 1所成的角为?60
③延长DC 至E 使CE=CD ，E C C D B A 111////
1AEC ?中，a C A AC 311==，a E C 21=， ADE Rt ?中，DE=a 2，AD=a
∴ AE a 5=，由余弦定理?=∠901E AC ④MN//BD BD AC ⊥ ∴所成角为?90 ⑤F 为AD 中点，F D H C 11//，F BD 1?中，
a B D 31=，a F D 2
51=
a BF 25
=，B D F D BF B D F D B FD 112212112cos ?-+=
∠ a
a a a a 2
5
32454532
22??-+=
515
15
3== ∴ 所成角的余弦值为
5
15
解题后的思考：“平移找角”，“补形法”是求异面直线所成角的基本方法
例6. 四面体ABCD ，棱长均为a （正四面体） ①求AC 、BD 所成的角。
②E 、F 为BC 、AD 中点，求AE 、CF 所成角的余弦值。
思路分析：利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解 解答过程：①H 为CD 中点 EH//BD ，EH=
2
a
，FH//AC
2
a
FH
=
，EHF
∠为两条异面直线AC 、BD 所成角或其补角 0cos =∠EHF ∴ ?=∠90EHF ②K 为DE 中点，连结FK ，FK//AE
CF 与FK 所夹锐角为异面直线AE 、CF 所成角
a CF 23=
，a AE FK 4
321== a EK CE CK 4
7
22=+=
324323216716343cos 2
222=??-+=∠a a
a a CFK ∴ 所成角的余弦值为32
解题后的思考：在封闭几何体中求异面直线所成角，经常利用中位线的平行关系进行平移找角。
一、预习新知
请同学们预习 必修2 第二章 第2节 直线、平面平行的判定及其性质
二、预习点拨
通过预习，请回答下列问题：
1. 直线与平面平行的判定定理，两个平面平行的判定定理的内容是什么？
2. 直线与平面平行的性质定理，两个平面平行的性质定理的内容是什么？
（答题时间：50分钟）
一、选择题：
1. 已知βα,为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是（ ）
A. βββ??∈∈∈∈a B a B A a A ,,,
B. MN N N M M =?∈∈∈∈βαβαβα ,,,
C. A A A =?∈∈βαβα ,
D. 重合、不共线、、，且、、、、βαβα?∈∈M B A M B A M B A ,
2. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知棱长为a ，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
3. 设P 是异面直线a 、b 外的一点，则过P 点且与a 、b 都平行的平面（ ）
A. 有且只有一个
B. 恰有两个
C. 没有或只有一个
D. 有无数个
4. 若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（ ）
A. 三个平面共线
B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交
C. 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交
D. 三个平面两两相交
二、填空题：
5. 用符号语言表示下列语句：
（1）点A 在平面α内，但在平面β外 ；
（2）直线a 经过平面α外一点M ；
（3）直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a 。 6. 分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是
7. 在四面体A-BCD 中，AD=BC ，且BC AD ⊥，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF 与BC 所成的角为 三、解答题：
8. 证明：已知b a //c //，A l a =?，B l b =?，C l c =?，求证：c b a 、、l 、四线共面。
9. 正方体1AC 中，E 、F 为AB 、B B 1中点，求E A 1、F C 1所成的角的余弦值。
一、选择题：
1. C 解析：选项A 反映的是公理1，选项B 反映的是公理3，选项D 反映的是两平面重合的条件，选项C 中α与β相交，点A 在交线上，故选项C 表述错误。
2. C 解析：如图，连接A 1D ，BD ，∵A 1D//B 1C ，∴∠BA 1D 为所求，在△A 1DB 中，A 1D=BD=A 1B ，∴∠DA 1B=60°。
3. C 解析：设点P 与直线a 确定的平面为α，当b 平行于a 时，过点P 且与a 、b 都平
行的平面不存在；当b 不平行于a 时，过点P 且与a 、b 都平行的平面有且只有一个。 4. C
二、填空题：
5. （1）βα?∈A A 且 （2）a M M ∈?,α （3）a a a =??βαβα ，即且
6. 相交或异面
7. 解析：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，GF ，则∠EFG 为异面直线EF 与BC 所
成的角。因为BC AD GF EG BC AD BC GF AD EG ⊥====。因为，所以且,2
1
,21， EG//AD ，GF//BC ，所以EG ⊥GF ，所以△EGF 为等腰直角三角形，所以∠EFG=45°。
三、解答题：
b a //α∴A 、B α∈ ∴α?l ，α?b
c b //确定平面β
同理β?l β?b B l b =? 过两条相交直线l 、b 有且仅有一个平面 ∴ βα、重合
∴ c b a 、、l 、四线共面
9. 证明：H 在11B A 上，1114
1
B A H B = M 为11B A 中点 ∴HF BM E A ////1
∴HF 与F C 1所成角等于异面直线E A 1、F C 1所成的角 设棱长为a a HF a F C 4
5,251==
a H C 4
17
1=
FH C 1?中，5
2
cos 1=
∠FH C ∴E A 1、F C 1所成角的余弦值为5
2
年 级 高一 学 科 数学
版 本
人教新课标A 版
课程标题 必修2 第二章 第2节 直线、平面平行的判定及其性质
编稿老师 一校
二校
审核
一、学习目标：
1. 理解并掌握直线与平面平行的判定定理；理解并掌握两平面平行的判定定理．
2. 掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；掌握两个平面平行的性质定理及其应用．
二、重点、难点：
重点：直线与平面平行的判定定理及其应用；两个平面平行的判定；直线与平面平行的性质定理及其应用；两个平面平行的性质定理。
难点：线面平行的判定定理和性质定理的应用。
三、考点分析：
立体几何中的平行关系是一种很重要的关系，在高考中的选择题、填空题几乎每年都考，难度适中。解答题以多面体为载体往往与其他考点考察，以中档题为主。
1. 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
简记为：线线平行，则线面平行．
符号表示：////a b a a b ααα??
?
?????
2. 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
符号表示：
//////a b a b P a b ββαβαα??????
?=??
???
推论1. βαβα//,,,//,//?????
???='?'=??''?'
'Q b a P b a b a b a b b a a
推论2. βαγβγα//////??
??
3. 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
简记为：线面平行，则线线平行．
符号表示：////a a a b b α
βαβ??
????=?
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题．
4. 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
符号表示：////a a b b αβαγβγ?
?
=???=?
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。
推论：αββα////a a ??
??
?
知识点一：线面平行的判定
例1. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱DD 1的中点。求证：BD 1//面MAC 。
思路分析：利用线面平行的判定定理“线线平行，则线面平行”进行解答。 解答过程：
证明：设直线AC 与BD 交于点N ，连结MN 。
则在△BDD 1中，因为M ，N 分别为边DD 1，BD 的中点， 所以MN//BD 1。
又直线MN ?面MAC ，BD 1?面MAC ，所以BD 1//面MAC 。 解题后的思考：
要证线面平行，可先证线线平行，这是解决此类问题的基本思想。同时，在使用线面平行的判定定理时，要特别注意一个细节：在说明或证明的过程中务必要体现一个“内”，一个“外”，此点亦是定理的核心所在。
例2. 如图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，FB N AC M ∈∈,，且AM=FN ，求证：MN//面BCE 。
思路分析：利用线面平行的判定定理，在平面BCE 中找到与MN 平行的直线，进而求证。
解答过程：证明：作MG ⊥BC 于G ，NQ ⊥BE 于Q ，连结GQ ，则MG//AB ，NQ//AB
∴MG//NQ ∴
BF
BN
EF NQ CA CM AB MG ==, 而BN FN BF AM AC CM =-=-= ∴EF
NQ
AB MG = ∴MG=NQ ∴四边形MGQN 为平行四边形
∴MN//GQ ∵MN ?面BCE ，GQ ?面BCE ∴MN//面BCE
解题后的思考：证明线面平行可以通过“过线作面找交线”，“线线平行，则线面平行”的方法、定理来解决。
知识点二：线面平行的性质
例3. 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。
思路分析：可以考虑用线面平行的性质定理来证明线线平行。 解答过程：
已知：l =?βα，βα//,//a a ，求证：l a // 证明：过a 作面γ交面α于b ∵α//a ∴b a // 同理，过a 作c =?βδ ∵β//a ∴c a // ∴c b //
又∵ββ??c b , ∴β//b 又面α过b 交β于l
∴l b // ∵b a // ∴l a //
解题后的思考：可利用“线面平行，则线线平行”的判定定理来解答。
知识点三：面面平行的判定
例4. 如图所示，点P 是△ABC 所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心，求证：
（1）平面A′B′C′//平面ABC 。 （2）A′B′=
3
1
AB 。
思路分析：
由三角形重心易联想到三角形的中线交点，且交点分中线的比为2:1，在图中取AB 、BC 、CA 的中点M 、N 、Q ，连结后即可证明。
解答过程：
证明：（1）如上图所示，取AB 、BC 、CA 的中点M 、N 、Q ，连结PM 、PN 、PQ 、MN 、NQ 、QM ，由A′、B′、C′为△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心，
∴A′、B′、C′分别在PN 、PQ 、PM 上，且3:2:::='='='PQ B P PN A P PM C P 。
在△PMN 中，
32='='PN A P PM C P ， MN C A //''∴。
∵A ′C ′?平面ABC ，MN ?平面ABC 。 ∴A ′C ′//平面ABC 。 ∴A ′C ′//MN 。
∵A ′C ′?平面ABC ，MN ?平面ABC 。 ∴A ′C ′//平面ABC 。 同理，A ′B ′//平面ABC 。 ∵A C A B A '=''?''， ∴平面A′、B′、C′//平面ABC 。 （2）由（1）知3
1
,21,32=''==''AB B A AB QN QN B A 。 解题后的思考：
利用三角形重心的性质可得线段成比例，从而可以得到线线平行，由线线平行可推得线面平行，从而推得面面平行，要理解并掌握三者之间的紧密联系、相互转化。
例5. 如图1，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB 的中点为P ，在线段AP 上取一点M 作与面PB 1C 平行的截面，此截面可能是平行四边形吗？若是，求出这个平行四边形的面积；若不是，请说明理由。
思路分析：“在线段AP 上取一点M 作与面PB 1C 平行的截面”如何作？其实，就是分别作PC 与PB 1的平行线，这两条线会与DC ，A 1B 1都相交，但过这两条线作平面会是一个什么样的平面呢？并非一目了然，需要同学们有较好的空间想象能力。
解答过程： 固定：取面PB 1C 。
运动：将面PB 1C 向后平行移动，显然出现三种情况： （1）当M 与P 重合时为三角形，如图2。
（2）当M 在A ，P 之间时所作的平面为五边形，如图3。
（3）当M 与A 重合时，截面AEC 1F 为平行四边形，如图4。结合勾股定理，易得此平行四边形为菱形，且两对角线长分别为22与32，
故平行四边形AEC 1F 的面积为
6232222
1
=??。
解题后的思考：运用运动的观点解决问题，可以加深对问题的理解，对解决问题很有帮助。
知识点四：面面平行的性质
例6. 一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点），求证：MN//平面CDEF ，并且求多面体的体积。
思路分析：证明线面平行可以考虑利用面面平行的性质，过MN 作出与面CDEF 平行的平面。
解答过程：
由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE —BCF ，且AB=BC=BF=2，DE=CF=22，且∠CBF=90°。
（1）取BF 的中点G ，由M ，N 分别为AF ，BC 的中点可得，NG//CF ，MG//EF ，所以面MNG//面CDEF ，所以MN//平面CDEF 。
（2）由分析知，42222
1
=???=V 。 解题后的思考：
从高考中出现的试题看，将三视图与传统题目结合起来考查是高考的热点内容之一，其中对三视图的考查有加深的趋势。
例7. 如图，正四棱锥S —ABCD 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P 、Q 分别在BD 和SC 上，并且BP ∶PD ＝1∶2，PQ ∥平面SAD ，求线段PQ 的长。
思路分析：
要求出PQ 的长，一般需设法构造三角形，使PQ 为其一边，然后通过解三角形的办法来处理。
解答过程：
作PM ∥AD 交CD 于M ，连结
QM ，∵PM ∥平面SAD ，PQ ∥平面SAD 。
∴平面PQM ∥平面SAD ，而平面SCD 分别与此两平行平面相交于QM ，SD 。 ∴QM ∥SD. ∵BC ＝a ，SD ＝2a.
∴
PD BP ＝21
. ∴BC
MP ＝BD PD ＝32，MP ＝32a ，
SD MQ ＝CD MC ＝BD BP ＝31
。
∴MQ ＝3
1SD ＝32
a ，又∠PMQ ＝∠ADS 。
∴cos ∠PMQ ＝cos ∠ADS ＝a a
221＝4
1
。
在ΔPMQ 中由余弦定理得
PQ 2＝(
32a)2+(32a)2－2·32a·32a·41＝96
a 2。 ∴PQ ＝3
6
a 。
解题后的思考：解答本题的关键是灵活运用面面平行的判定和性质，结合平行线截成线段比例的定理，最后由余弦定理求得结果。本题的综合性较强。
直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系，直线和平面的性质在应用时，要特别注意：“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线的”的错误结论。
一、预习新知
请同学们预习必修2 第二章 第3节 直线、平面垂直的判定及其性质
二、预习点拨
通过预习，请同学们回答下列问题：
1. 直线和平面垂直的定义及判定定理的内容是什么？什么是直线和平面所成角？
2. “二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念是什么？ 两个平面垂直的判定定理的内容是什么？
（答题时间：40分钟）
一、选择题：
1. 有以下三个命题，其中正确的命题是（ ）
①若直线a 与平面α相交，则α内不存在与a 平行的直线； ②若直线b //平面α，a 与直线b 垂直，则直线a 不可能与α平行； ③直线a ，b 满足α//a ，且α?b ，则a 平行于经过b 的任何平面。 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ① 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 同时与两条异面直线平行的平面有无数多个
C. 如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行
D. 直线l 不在平面α内，则α//l
3. 若平面α//平面β，直线α?a ，点β∈B ，过点B 的所有直线中（ ） A. 不一定存在与a 平行的直线 B. 只有两条与a 平行的直线 C. 存在无数条与a 平行的直线
D. 有且只有一条与a 平行的直线
4. 设βα//，α∈A ，β∈B ，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C （ ）
A. 不共面
B. 当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面
C. 当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D. 不论A 、B 如何移动，都共面
二、填空题：
5. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与AC 平行且过正方体三个顶点的截面有_______个。
6. a ，b ，c 是三条直线，α，β是两个平面，如果c b a ////，α?a ，β?b ，β?c ，那么平面α与平面β的位置关系是____________________。
7. 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都平行于平面γ；
②α内有不共线的三点到平面β的距离相等；
③存在异面直线l 、m ，使得βαβα//,//,//,//m m l l 。 其中可以判断两个平面α与β平行的条件有___________。
8. 已知平面γβα////，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C ，和D ，E ，F ，已知5
2
,
6==DF DE AB ，则AC=__________。
三、解答题：
9. 长方体1111D C B A ABCD -中，如下图，点M BA PA BB P =?∈11,，N BC PC =?1 求证：MN//平面ABCD 。
10. 如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1//平面BDC 1。
高中数学必修2-知识点总结
高中数学必修2知识点总结 第一章 立体几何初步 1、特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 '2 1 ch S = 正棱锥侧面积 ')(2 1 21h c c S += 正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表 rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 l R r S π)(+=圆台侧面积 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 2、柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 13V Sh =锥 '1 ()3 V S S h =台 2V Sh r h π==圆柱 h r V 23 1 π=圆锥 '2211 ()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 3球体的表面积和体积公式： V 球=343 R π ； S 球面=24R π 第二章 直线与平面的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 2 三个公理： （1
符号表示为 A ∈l B ∈l => l α? A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内. （2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使 A ∈α、 B ∈α、 C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 作用：判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b L A · α C B · A · α 共面直线 =>a ∥c
高中数学必修必修知识点总结
高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每 一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： （1）．有限集含有有限个元素的集合 （2）．无限集含有无限个元素的集合 （3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B? A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
人教版高中 数学必修二 全册知识点 归纳总结
人教版高中 数学必修二 全册知识点 归纳总结 必修2数学知识点 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式：
h S V ?=柱体；h S V ?=3 1锥体； () h S S S S V 下下上上台体+?+=31 ⑸球的表面积和体积： 323 44R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
人教版数学必修二知识点总结
第一章立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD。 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥：定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。 （4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶点；③侧面展开图是一弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段与'x轴平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段与'y轴平行，长度减为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线） ch S= 直棱柱侧面积 rh Sπ 2 = 圆柱侧 ' 2 1 ch S= 正棱锥侧面积 rl Sπ = 圆锥侧面积 ') ( 2 1 2 1 h c c S+ = 正棱台侧面积 l R r Sπ) (+ = 圆台侧面积 ()l r r S+ =π2 圆柱表 ()l r r S+ =π 圆锥表 ()2 2R Rl rl r S+ + + =π 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式
最新人教版高中数学必修二_全册教案
按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业
高中必修二数学知识点全面总结
第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=
2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
人教版高中数学必修一知识点总结
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
高中数学必修2知识点总结归纳整理
高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、 五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如 五棱柱 ' ''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行 且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间 的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、 五棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面 圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面 展开图是一个扇形。 圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之 间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。
新人教版高中数学必修2知识点总结
高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' ' E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
高一数学必修1知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是
新人教版必修二高中数学2-1-1平面
第二章 直线与平面的位置关系 §2.1.1 平面 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； （2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、平面的概念及表示； 2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、教学思想 （一）实物引入、揭示课题 师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。 师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。 （二）研探新知 1、平面含义 师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画） 之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） D C B A α
高中数学必修2知识点总结归纳
高中数学必修2知识点 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k tan k α= 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 高中数学必修知识点总结 必修一 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B … 2、子集与真子集 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 > （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） （2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 （3）性质： 二、函数的有关概念 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． ☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ☆构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 2、补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数 ' 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。 补充三：抽象函数 3、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、配方法 4、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法 5、函数单调性 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1. 知识与技能 (1) 通过实物操作，增强学生的直观感知。 (2) 能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3) 会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4) 会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2. 过程与方法 (1) 让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出拄、锥、台、球的几何结构特征。 (2) 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3. 情感态度与价值观 (1) 使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提鬲学生的观察能力。 (2) 培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大董空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的槪括。 三、教学用具 (1) 学法：观察、思考、交流、讨论、槪括。 (2) 实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1. 教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2. 所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体)，你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1. 引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2. 观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么它们的共同 特点是什么 3. 组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)毎相邻两上四边形的公共边互相平 必修2 第一章 物质结构 元素周期律 一、元素周期表 1、元素周期表是俄国科学家门捷列夫发明的 2、写出1~18号元素的原子结构示意图 3、元素周期表的结构 7个周期（三短、三长、一个不完全），周期数=电子层数 7个主族、7个副族、一个零族、一个Ⅷ族，主族序数＝最外层电子数 4、碱金属元素 （1）碱金属元素的结构特点：Li 、Na 、K 、Rb 的最外层电子数、原子半径对其性质的影响。 （2）Na 与K 分别与水、氧气反应的情况 分别与出K 、Na 与水反应的化学方程式 （3）从上到下随着核电荷数的增加性质的递变规律 （4）同族元素性质的相似性 5、卤族元素 （1）卤族元素的结构特点：F 、Cl 、Br 、I 的最外层电子数、原子半径对其性质的影响。 （2）单质与氢气发生反应的条件与生成气态氢化物的稳定性 （3）卤素间的置换反应 （4）从上到下随着核电荷数的增加性质的递变规律 （5）同族元素性质的相似性 结论：同主族元素从上到下，元素的金属性逐渐增强，非金属性逐渐减弱。 3、核素 （1）核素的定义： A P X （2）同位素： 1 1H 、 2 1H 、 3 1H （3）原子的构成： 二个关系式：质子数 = 核电荷数 = 核外电子数 质量数A = 质子数P + 中子数N （3）几种同位素的应用： 126C 、146C 、 2 1H 、 3 1H 、238 92U 二、元素周期律 1、原子核外电子的排布 （1）原子核外电子是分层排布的，能量高的在离核远的区域运动，能量低的在离核近的区域运动（2）电子总是先从内层排起，一层充满后再排入下一层，依次是K、L、M、N （3）每个电子层最多只能容纳2n2个电子。最外层最多只能容纳8个电子（氦原子是2 个）；次外层最多只能容纳18 个电子；倒数第三层最多只能容纳32 个电子。 2、元素周期律 随着原子序数的递增，元素的性质呈周期性变化的规律 原子的电子层排布的周期性变化 原子半径的周期性变化 主要化合价的周期性变化 3、第三周期元素化学性质变化的规律 金属性的递变规律 （1）钠镁与水反应现象，比较钠镁与水反应的难易（方程式书写） （2）镁铝与盐酸反应的难易（现象，方程式） （3）比较钠镁铝最高价氧化物对应水化物的碱性强弱 非金属性的递变规律 （1）比较硅、磷、硫、氯与氢气反应的难易以及气态氢化物的稳定性 （2）比较它们的最高价氧化物对应的水化物的酸性强弱 （3）向硫化氢水溶液中滴入氯水的现象 结论：同一周期从左到右，元素的金属性逐渐减弱，非金属性逐渐增强。 4、元素的化合价与元素在周期表中位置的关系 5、在周期表中一定区域可以寻找到一定用途的元素 （1）寻找半导体材料 （2）寻找用于制造农药的材料 （3）寻找催化剂、耐高温、耐腐蚀的合合金材料 6、推测钫（与K同一主族在K的下面）的性质 推测铍的性质 推测量114号元素的位置与性质 三、化学键 高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1 （2 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中， () 2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义 - 0 - / 8 第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成 一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成 邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平 行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 2 22r rl S ππ+= D C B A α高中数学必修知识点总结
人教版高中数学必修二-全册教案
人教版高中化学必修2知识点总结 全册
高中数学必修123知识点总结
必修二数学知识点总结